2015年全國(guó)高考文科數(shù)學(xué)試題及答案

2015年全國(guó)高考文科數(shù)學(xué)試題及答案

2015年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（全國(guó)卷1）文科數(shù)學(xué)本試卷共分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。第Ⅰ卷為1至3頁，第Ⅱ卷為4至6頁。答題前，請(qǐng)務(wù)必將個(gè)人信息填寫在答題卡上，并核對(duì)條形碼上的信息是否與準(zhǔn)考證一致。第Ⅰ卷請(qǐng)使用2B鉛筆，第Ⅱ卷請(qǐng)使用0.5毫米黑色簽字筆作答。在試題卷上作答的答案無效。考試結(jié)束后，請(qǐng)將試題卷和答題卡一并交回監(jiān)考員。第Ⅰ卷一、選擇題1.已知集合A={x|x=3n+2,n∈N}，B={6,8,12,14}，則集合A∩B中元素的個(gè)數(shù)為(A)5(B)4(C)3(D)22.已知點(diǎn)A（0,1），B（3,2），向量AC=（-4，-3），則向量BC=(A)（-7，-4）(B)（7,4）(C)（-1,4）(D)（1，4）3.已知復(fù)數(shù)z滿足（z-1）i=i+1，則z=(A)-2-i(B)-2+i(C)2-i(D)2+i4.如果3個(gè)整數(shù)可作為一個(gè)直角三角形三條邊的邊長(zhǎng)，則稱這3個(gè)數(shù)為一組勾股數(shù)。從1，2，3，4，5中任取3個(gè)不同的數(shù)，則3個(gè)數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的概率為(A)1/10(B)1/15(C)1/20(D)1/255.已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率為2/3，E的右焦點(diǎn)與拋物線C：y2=8x的焦點(diǎn)重合，A，B是C的準(zhǔn)線與E的兩個(gè)焦點(diǎn)，則|AB|=(A)3(B)6(C)9(D)126.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題:“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺。問:積及為米幾何?”其意思為:“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一)，米堆底部的弧度為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少?”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放斛的米約有A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛7.已知是公差為1的等差數(shù)列，則a4=4，a7=(A)10(B)11(C)12(D)138.函數(shù)f(x)=的部分圖像如圖所示，則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為本文是一篇數(shù)學(xué)題目，沒有明顯的格式錯(cuò)誤或有問題的段落。以下是對(duì)每段話的小幅度改寫：（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求不等式f(x)>1的解集。（Ⅱ）若f(x)的圖像與x軸圍成的三角形面積大于6，求a的取值范圍。設(shè)C2與C3的交點(diǎn)為M,N，求ρ∈R，C2MN的長(zhǎng)度。解答：（Ⅰ）由正弦定理可得b=2ac，又a=b，可得b=2c，a=2c。代入不等式f(x)>1中，得到sin(x)+asin(x)>1，解得x∈(0,π/2)。（Ⅱ）由（Ⅰ）知b=2ac，因?yàn)锽=90°，由勾股定理得a+c=b，故a+c=2ac，得c=a=2/√3。由三角形面積公式S=1/2bh，代入數(shù)據(jù)得到b>√27/2，即a>√3/2。C2MN的長(zhǎng)度可以通過計(jì)算C2M、C2N、MN的長(zhǎng)度并求和得到。（22）解：當(dāng)$a>0$時(shí)，$f(x)\geq2a+aln(22)$。證明：由題意得$f(x)=\frac{e^{x}}{e^{x}+a}$，當(dāng)$x\rightarrow\infty$時(shí)，$f(x)\rightarrow1$，所以$f(x)$在$x\geq0$時(shí)單調(diào)遞增。又$f(0)=\frac{1}{1+a}$，所以當(dāng)$a>0$時(shí)，$f(x)\geq2a+aln(22)$。（Ⅰ）連接$AE$，由已知得$AE\perpBC,AC\perpAB$。在$\triangleAEC$中，由已知得$DE=DC$，故$\angleDEC=\angleDCE$。連接$OE$，則$\angleOBE=\angleOEB$。又$\angleACB+\angleABC=90$，所以$\angleDEC+\angleOEB=90$，故$\angleOED=90$，$DE$是$O$的切線。（Ⅱ）設(shè)$CE=1,AE=x$，由已知得$AB=\sqrt{23},BE=\sqrt{23-x^2}$。由射影定理可得$AE=CE\cdotBE$，所以$x^2=23-x^2$，即$x=2$。（23）解：（Ⅰ）因?yàn)?x=\rho\cos\theta,y=\rho\sin\theta$，所以$C_1$的極坐標(biāo)方程為$\rho\cos\theta=-2$，$C_2$的極坐標(biāo)方程為$\rho^2-2\rho\cos\theta-4\rho\sin\theta+4=0$。（Ⅱ）將$\theta=\frac{2\pi}{3}$，所以$\angleACB=60$。代入$\rho^2-2\rho\cos\theta-4\rho\sin\theta+4=0$，得$\rho_1=2\sqrt{2},\rho_2=2$，故$|MN|=2$。由于$C_2$的半徑為$1$，所以$C_2MN$的面積為$\frac{1}{2}$。（24）解：（Ⅰ）當(dāng)$a=1$時(shí)，$f(x)>1$化為$|x+1|-2|x-1|-1>0$。當(dāng)$x\leq-1$時(shí)，不等式無解；當(dāng)$-1<x<1$時(shí)，不等式化為$3x-2>0$，解得$2/3<x<1$；當(dāng)$x\geq1$時(shí)，不等式化為$-x+2>0$，解得$1\leqx<2$。所以$f(x)>1$的解集為$\{x|2/3<x<2\}$。（Ⅱ）由題設(shè)可得$f(x)=\begin{cases}x-1-2a,&x<-1,\\3x+1-2a,&-1\leqx\leqa,\\-x+1+2a,&x>a.\end{cases