復(fù)變函數(shù)與積分變換課程1-2課件

復(fù)數(shù)的代數(shù)表示式知識回顧12注意：輻角不確定.3利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系復(fù)數(shù)可以表示成復(fù)數(shù)的三角表示式再利用歐拉公式復(fù)數(shù)可以表示成復(fù)數(shù)的指數(shù)表示式歐拉介紹復(fù)數(shù)的三角表示和指數(shù)表示451.n次冪:6棣莫弗公式棣莫弗介紹推導(dǎo)過程如下:2.棣莫弗公式7根據(jù)棣莫弗公式,8當(dāng)k以其他整數(shù)值代入時(shí),這些根又重復(fù)出現(xiàn).9從幾何上看,10第四節(jié)無窮大與復(fù)球面第三節(jié)平面點(diǎn)集的一般概念第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)一、開集與閉集二、單連通域與多連通域三、無窮大與復(fù)球面主要內(nèi)容1112一、開集與閉集1.鄰域:鄰域132.內(nèi)點(diǎn):143.開集:

如果G內(nèi)每一點(diǎn)都是它的內(nèi)點(diǎn),那末G稱為開集.

平面上不屬于G的點(diǎn)的全體稱為G的余集，

開集的余集稱為閉集.154.邊界點(diǎn)、邊界:

設(shè)

是一點(diǎn)，若在的任一鄰域內(nèi)既有的點(diǎn)又有的點(diǎn)，則稱是的一個(gè)邊界點(diǎn).的邊界點(diǎn)全體稱為的邊界。邊界點(diǎn)邊界16

若在的某一鄰域內(nèi)除外不含的點(diǎn)，則稱是的一個(gè)孤立點(diǎn).175.區(qū)域:

如果平面點(diǎn)集D滿足以下兩個(gè)條件,則稱它為一個(gè)區(qū)域.(1)D是一個(gè)開集；(2)D是連通的,就是說D中任何兩點(diǎn)都可以用完全屬于D的一條折線連結(jié)起來.18以上基本概念的圖示區(qū)域鄰域邊界點(diǎn)邊界6.有界區(qū)域和無界區(qū)域:19二、單連通域與多連通域1.連續(xù)曲線:平面曲線的復(fù)數(shù)表示:20例1解所以它的復(fù)數(shù)形式的參數(shù)方程為212.光滑曲線:

由幾段依次相接的光滑曲線所組成的曲線稱為分段光滑曲線.22233.簡單曲線:

沒有重點(diǎn)的連續(xù)曲線C稱為簡單曲線(或若爾當(dāng)曲線).24換句話說,簡單曲線自身不相交.簡單閉曲線的性質(zhì):

任意一條簡單閉曲線C將復(fù)平面唯一地分成三個(gè)互不相交的點(diǎn)集.內(nèi)部外部邊界254.單連通域與多連通域的定義:

復(fù)平面上的一個(gè)區(qū)域B,如果在其中任作一條簡單閉曲線,而曲線的內(nèi)部總屬于B,就稱為單連通域.一個(gè)區(qū)域如果不是單連通域,就稱為多連通域.單連通域多連通域26

單連通域的特征：屬于B的任何一條簡單閉曲線，在B內(nèi)可以經(jīng)過連續(xù)的變形而縮成一點(diǎn).27

指明下列不等式所確定的區(qū)域,是有界的還是無界的,單連通的還是多連通的.例2解無界的單連通域(如圖).28是角形域,無界的單連通域(如圖).無界的多連通域.29表示到1,–1的距離之和為定值4的點(diǎn)的軌跡,是橢圓,有界的單連通域.30三、無窮大與復(fù)球面1.無窮遠(yuǎn)點(diǎn)特殊的“復(fù)數(shù)”-----無窮大，記為∞

我們規(guī)定:復(fù)數(shù)∞的模為+∞，而實(shí)部、虛部和輻角均沒有意義。3132包括無窮遠(yuǎn)點(diǎn)在內(nèi)的復(fù)平面稱為擴(kuò)充復(fù)平面.

不包括無窮遠(yuǎn)點(diǎn)在內(nèi)的復(fù)平面稱為有限復(fù)平面,或簡稱復(fù)平面.

在復(fù)平面上沒有一點(diǎn)與復(fù)數(shù)∞相對應(yīng),但我們可以設(shè)想復(fù)平面上有一理想點(diǎn)與它對應(yīng)，此點(diǎn)稱為無窮遠(yuǎn)點(diǎn)。擴(kuò)充復(fù)平面上的每一條直線都通過無窮遠(yuǎn)點(diǎn).332.復(fù)球面34zz

球面上的每一個(gè)點(diǎn)都有唯一