微積分下第八章

第五節(jié)

第二類曲面積分(對(duì)坐標(biāo)的曲面積分)一、定向曲面概念二、概念的引入

三、概念及性質(zhì)四、兩類曲面積分之間的聯(lián)系五、計(jì)算法六、小結(jié)一、定向曲面概念觀察以下曲面的側(cè)(假設(shè)曲面是光滑的)曲面分上側(cè)和下側(cè)曲面分內(nèi)側(cè)和外側(cè)n曲面的分類:1.雙側(cè)曲面;2.單側(cè)曲面.典型雙側(cè)曲面典型單側(cè)曲面:莫比烏斯帶播放方向余弦coscos

bcos封閉曲面>

0

為前側(cè)

>

0

為右側(cè)

>

0

為上側(cè)<

0

為后側(cè)

<

0

為左側(cè)

<

0

為下側(cè)外側(cè)內(nèi)側(cè)(DS

)x

y

,x

y(DS

)

=側(cè)的規(guī)定指定了側(cè)的曲面叫有向曲面,其方向用法向量指向表示:設(shè)S為有向曲面,其面元DS

在xoy面上的投影記為則規(guī)定的面積為(Ds

)x

y

,x

y-

(Ds

)

,0

,當(dāng)cos

g

>0時(shí)當(dāng)cos

g

<0時(shí)當(dāng)cos

g

”0時(shí)類似可規(guī)定yz

zx(DS

)

,

(DS

)二、概念的引入實(shí)例:流向曲面一側(cè)的流量.(1)

流速場(chǎng)為常向量v

,有向平面區(qū)域A,求單位時(shí)間流過(guò)A

的流體的質(zhì)量F

(假定密度為1).vn0qA

0=

Av

nF

=

A

v

cosq流量(2)

設(shè)穩(wěn)定流動(dòng)的不可壓縮流體(假定密度為1)的速度場(chǎng)由

v

(

x,

y,

z)

=

P(

x,

y,

z)i

+

Q(

x,

y,

z)

j

+

R(

x,

y,

z)k給出,Σ是速度場(chǎng)中的一片有向曲面,函數(shù)P(

x,

y,

z),

Q(

x,

y,

z),

R(

x,

y,

z)都在Σ上連續(xù),求在單位時(shí)間內(nèi)流向Σ指定側(cè)的流體的質(zhì)量F

.xyzoSxyzoSDSi(xi

,hi

,Vi

)ivin把曲面Σ分成n小塊Dsi

(Dsi

同時(shí)也代表第i

小塊曲面的面積),i在Ds

上任取一點(diǎn)i

i

i(x

,h

,z

),1.

分割則該點(diǎn)流速為vi

.法向量為ni

.i

i

i該點(diǎn)處曲面Σ的單位法向量0ni

=

cosa

i

+

cos

b

j

+

cos

g

k

,通過(guò)Dsi

流向指定側(cè)的流量的近似值為vi

ni

DSi

(i

=

1,2,,

n).fi0

=

P(xi

,hi

,zi

)i

+

Q(xi

,hi

,zi

)

j

+

R(xi

,hi,zi

)k

,vi

=

v(xi

,hi

,zi

)

2.求和通過(guò)Σ流向指定側(cè)的流量F?vi

ni

DSini

=1fi0n=

[P(xi

,hi

,zi

)

cosa

i

+

Q(xi

,hi

,zi

)

cos

bii=1n+

R(xi

,hi

,zi

)

cos

gi

]DSi=

[P(xi

,hi

,zi

)(DSi

)

yz

+

Q(xi

,hi

,zi

)(DSi

)xzi=1+

R(xi

,hi

,zi

)(DSi

)xy3.取極限l

fi

0

取極限得到流量F

的精確值.定義

設(shè)Σ為光滑的有向曲面,函數(shù)在Σ上有界,把Σ分成n

塊小曲面DSi

(DSi

同時(shí)又表示第

i

塊小曲面的面積),DSi

在xoy

面上的投影為

(DSi

)xy

,(xi

,hi,zi)是DSi

上任意取定的一點(diǎn),如果當(dāng)各小塊曲面的直徑的最大值l

fi

0

時(shí),nlim

R(xi

,hi

,zi

)(DSi

)xy

存在,lfi

0

i=1則稱此極限為函數(shù)R(x,y,z)在有向曲面Σ上對(duì)坐標(biāo)x,y

的曲面積分(也稱第二類曲面積分)三、概念及性質(zhì)S記作

R(x,y,z)dxdy

,即Sn

R(

x,

y,

z)dxdy

=

lim

R(xi

,hi

,zi

)(DSi

)

xylfi

0

i

=1被積函數(shù)積分曲面類似可定義Sn

P(

x,

y,

z)dydz

=

lim

P(xi

,hi

,zi

)(DSi

)

yzlfi

0

i

=1Sn

Q(

x,

y,

z)dzdx

=

lim

Q(xi

,hi

,zi

)(DSi

)zxlfi

0

i

=1存在條件:當(dāng)P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在有向光滑曲面Σ上連續(xù)時(shí),對(duì)坐標(biāo)的曲面積分存在.組合形式:

P(

x,

y,

z)dydz

+

Q(

x,

y,

z)dzdx

+

R(

x,

y,

z)dxdyS物理意義:F

=

P(

x,

y,

z)dydz

+

Q(

x,

y,

z)dzdx

+

R(

x,

y,

z)dxdyS性質(zhì):S1

+S2=

Pdydz

+

Qdzdx

+

Rdxdy

+

Pdydz

+

Qdzdx

+

RdxdyS1

S21.

Pdydz

+

Qdzdx

+

RdxdySSSS-S-S-

R(

x,

y,

z)dxdy

=

-

R(

x,

y,

z)dxdy

Q(

x,

y,

z)dzdx

=

-

Q(

x,

y,

z)dzdx2.

P(

x,

y,

z)dydz

=

-

P(

x,

y,

z)dydz四、計(jì)算法1）設(shè)積分曲面Σ是由方程z

=z(x,y)所給出的曲面上側(cè),Σ在xoy面上的投影區(qū)域?yàn)镈xy

,函數(shù)z=z(x,y)在Dxy

上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),被積函數(shù)R(x,y,z)在Σ上連續(xù).Sz

=

f

(

x,

y)xyDxyzoxy(Ds)Sn

R(

x,

y,

z)dxdy

=

lim

R(xi

,hi

,zi

)(DSi)

xylfi

0

i=1\

(DSi

)

xy

=

(Ds

)xy

,S取上側(cè), cosg

>

0,又zi

=

z(xi

,hi

)nn=

lim

R(xi

,hi

,

z(xi

,hi

))(

Ds

i

)

xy\

lim

R(xi

,hi

,zi

)(DSi

)

xylfi

0

i=1lfi

0

i=1即

R(

x,

y,

z)dxdy

=

R[

x,

y,

z(

x,

y)]dxdyDxy\

(DSi

)

xy

=

-(Ds

)

xy

,S若S取下側(cè), cosg

<

0,SDxy

R(

x,

y,

z)dxdy

=

-

R[

x,

y,

z(

x,

y)]dxdySD

yz2)如果Σ由x

=

x(y,z)給出, 則有

P(

x,

y,

z)dydz

=

–

P[

x(

y,

z),

y,

z]dydz若Σ是垂直于xoy面的柱面時(shí),其單位法向量的第三分量cosγ

=0,故

R(x,y,z)dxdy

=

R(x,y,z)

cosγds

=

0ds

=

0

其中的符號(hào)當(dāng)取前側(cè)時(shí)為+,取后側(cè)時(shí)為-當(dāng)Σ垂直于yoz面時(shí),

P(x,y,z)dydz

=0即:S在xoy平面投影為線時(shí),

R(x,y,z)dxdy

=0S3)如果Σ由y

=

y(z,x)給出,

則有SDzx

Q(

x,

y,

z)dzdx

=

–

Q[

x,

y(z,

x),

z]dzdx其中的符號(hào)當(dāng)

取右側(cè)時(shí)為+,取左側(cè)時(shí)為-當(dāng)Σ垂直于zox面時(shí),

P(x,y,z)dzdx

=0例1

計(jì)算

xyzdxdyS其中Σ是球面x2

+y2

+z2

=1外側(cè)在x

?0,y

?0的部分.解

把S分成S1和S2兩部分>

:

z

=

1

-

x2

-

y2;1

12Σ2

:

z=

-

1

-

x2

-

y2

,xyzΣ1+Σ2-根據(jù)對(duì)稱性

xyz

d

x

d

y

=0

xyzdxdy

=

xyzdxdy

+

xyzdxdyS

S2

S1=

xy

1

-

x2

-

y2

dxdy

-

xy(-

1

-

x2

-

y2

)dxdyDxy

DxyDxy1

-

x2

-

y2

dxdy=

2

xy15xyD=

2

r

2

sinq

cosq

1

-

r

2

rdrdq

=

2

.兩類曲面積分之間的聯(lián)系設(shè)有向曲面Σ是由方程z=z(x,y)給出,Σ在xoy面上的投影區(qū)域?yàn)镈xy

,函數(shù)z

=z(x,y)在Dxy上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),R(x,y,z)在Σ上連續(xù)

.Dxyz

=

f

(

x,

y)S對(duì)坐標(biāo)的曲面積分為

R(

x,

y,

z)dxdyS=

–

R[

x,

y,

z(

x,

y)]dxdyDxyxyzodsn曲面Σ的法向量的方向余弦為.,,222yx2y2x2yx1

+

z

+

z–

1+

z1

+

z1

+

z

+

zcosg

=cos

b

=cosa

=

zy

zx對(duì)面積的曲面積分為SDxy

R(

x,

y,

z)

cosgdS

=

–

R[

x,

y,

z(

x,

y)]dxdyS所以

R(x,y,z)dxdy

=

R(x,y,z)cos

gdSS(注意取曲面的兩側(cè)均成立)兩類曲面積分之間的聯(lián)系

Pdydz

+

Qdzdx

+

RdxdyS=

(

P

cosa

+

Q

cos

b

+

R

cos

g)dSS例2:求

xdydz

+ydzdx

+zdxdy,其中是球面x2

+y2

+z2

=R2的外側(cè).解:n

={2

x,2

y,2z}xcosa

=yx2

+

y2

+

z2cos

b

=x2

+

y2

+

z2zcosg

=I

=

x2

+

y2

+

z2x2

+

y2

+

z2

dS

=

4pR3S例3

計(jì)算

(z2

+

x)dydz

-

zdxdy,其中Σ是旋轉(zhuǎn)拋物面z

=1

(x2

+y2

)介于平面z

=0

及2z

=2之間的部分的下側(cè).S22xcosα

=1

+

x

+

y-1cosγ

=1

+

x2

+

y2解:利用兩類曲面積分的聯(lián)系,有Dxy

=

{(

x,

y)

x

+

y

￡

42

2>\

(z2

+

x)dydz

-

zdxdy222Dxy[1412(x2

+

y2

)2

x

+

x

+(x

+

y

)]dxdy=

=202222p012(r

cos

q+dqr

)rdr

=

8p.x]dS-1-

z1

+

x2

+

y21

+

x2

+

y2=

[(z2

+

x)>2=

[x2

+

1

(x2

+

y2

)]dxdyDxy六、小結(jié)1、物理意義2、計(jì)算時(shí)應(yīng)注意以下兩點(diǎn)曲面的側(cè)“一投,二代,三定號(hào)”思考題設(shè)S為球面x

2

+y

2

+z

2

=1，若以其球面的外側(cè)為正側(cè)，試問(wèn)y

=1

-x

2

-z

2之左側(cè)（即oy

軸與其法線成鈍角的一側(cè)）是正側(cè)嗎？那么y

=-1

-x

2

-z

2

的左側(cè)是正側(cè)嗎？思考題解答的左側(cè)為負(fù)側(cè)，1

-

x2

-

z2此時(shí)y

=而y

=-1

-x2

-z2

的左側(cè)為正側(cè).練習(xí)題一、填空題:1、

Q(x,y,z)dzdx

+

Q(x,y,z)dzdx-

+=

.2、第二類曲面積分

Pdydz+Qdzdx

+Rdxdy

化成第一類曲面積分是

，其中a

,

b

,g

為有向曲面

上點(diǎn)(

x

,

y

,

z)處的

的方向角

.二、計(jì)算下列對(duì)坐標(biāo)的曲面積分:1、

zdxdy

+

xdydz

+

ydzdx

,其中

是柱面x

2

+

y

2

=

1被平面z

=0及z

=3所截得的在第一卦限內(nèi)的部分的前側(cè)；