第15章用形數(shù)結(jié)合方法求解

第15章

用形數(shù)結(jié)合的方法求解空間幾何問題提高篇§15－1

概述§15－2

坐標(biāo)變換及數(shù)學(xué)表達(dá)式§15－3

代數(shù)回轉(zhuǎn)面的方程及其重要定理§15－4

用形數(shù)結(jié)合的方法研究曲面§15－5

用形數(shù)結(jié)合的方法求截交線§15－6

用形數(shù)結(jié)合的方法求相貫線§15－7

圖解與計(jì)算聯(lián)合求解空間問題§15－1

概述一、形數(shù)結(jié)合法把空間問題抽象為點(diǎn)、線、面，研究這些點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系，把幾何問題化為代數(shù)問題；然后通過方程計(jì)算所得的結(jié)果。二、用形數(shù)結(jié)合法的必要性1、隨著近代機(jī)械產(chǎn)品精度的日益提高，工程上的許多更復(fù)雜的生產(chǎn)實(shí)際問題單靠圖解法已無法滿足精度要求。2、如果只用計(jì)算法，往往空間角度關(guān)系比較復(fù)雜，計(jì)算環(huán)節(jié)多，既麻煩又易出錯(cuò)。3、采用形數(shù)結(jié)合的方法，先用圖解法形象的轉(zhuǎn)化為投影面上的問題進(jìn)行圖解分析，然后根據(jù)分析進(jìn)行精確計(jì)算，這樣既簡(jiǎn)化了計(jì)算過程又達(dá)到了所要求的精度。4、采用形數(shù)結(jié)合的方法，是對(duì)空間幾何問題進(jìn)行計(jì)算機(jī)繪圖建模的重要手段之一?！?5－2

坐標(biāo)變換及數(shù)學(xué)表達(dá)式一、基本概念用形數(shù)結(jié)合解決空間幾何問題時(shí)，為解決問題的方便，經(jīng)常要進(jìn)行坐標(biāo)變換。在用換面法解決空間幾何問題時(shí)，將空間幾何元素的投影由一個(gè)正投影體系變換到另一個(gè)正投影體系，就要進(jìn)行坐標(biāo)的變換。坐標(biāo)變換分為兩類：鏡向變換和同向變換由右手坐標(biāo)系變換到左手坐標(biāo)系或由左手坐標(biāo)系變換到右手坐標(biāo)系稱為鏡向變換。由右手坐標(biāo)系變換到右手坐標(biāo)系或由左手坐標(biāo)系變換到左手坐標(biāo)系稱為同向變換。二、點(diǎn)的坐標(biāo)變換及數(shù)學(xué)表達(dá)式Z1OZVHXa

′aa1

′ZAYAXaaxax1φφ如圖，將點(diǎn)A(x,y,z)由右手坐標(biāo)系OXYZ變到左手坐標(biāo)系O1X1Y1Z1。更換V面nk11

111x

xxxxZ1

=

Z

X

=Oa

=On+naY

=aa

=na

-ka11

XZ

=

ZY

=

X

sinf

f

1

=

X

cosf+Y

sinf-Y

cos新舊坐標(biāo)關(guān)系的矩陣表達(dá)式為1

1

100

[X

Y

Z

]=

[XYZ

]

sin

fcosf

sin

f

0

-

cosf01

1、鏡向變換Y1OYVX

Ha

′a如圖，將點(diǎn)A(x,y,z)由右手坐標(biāo)系OXYZ變到左手坐標(biāo)系O1X1Y1Z1。更換H面a1ZAYAXaaxax1φφnk/1111x1

xxx

xZ

=

a

a

1X

=Oa

=On+naY

=Y11=na

-ka

X

=

X

cosY

=Yf+Z

sinfZ1

=

X

sinf-Z

cosf新舊坐標(biāo)關(guān)系的矩陣表達(dá)式為[

]

[

]1

1

1X

Y

Z

=

XYZcosf

0 sin

f

0

1

00

sin

f-

cosf

2、同向變換如圖，將點(diǎn)A(x,y,z)由右手坐標(biāo)系OXYZ變到右手坐標(biāo)系O1X1Y1Z1。更換H面|/1111

111x

xxxna

+

kaX

=Oa

=On+naY

=YZ

=

aa

=-1

1X

=

XcosY

=Yf+ZsinfZ1

=-Xsinf+Zcosf新舊坐標(biāo)關(guān)系的矩陣表達(dá)式為1

1

1[X

Y

Z

]=

[XYZ

]

0cosf

0

-

sin

f

1

0

sin

f

0

cosfXZ1OZaa1VHa1

′a

′ax1

φnφaxk§15－3

代數(shù)回轉(zhuǎn)面的方程及其重要定理一、代數(shù)回轉(zhuǎn)面的方程ZYXoF

(x,

z)

=

0P如圖所示為繞Z軸旋轉(zhuǎn)的回轉(zhuǎn)面，其在xoz平面上的方程為F

(x,

z)

=

0

則該回轉(zhuǎn)面的方程為

:F

(

x2

+

y2

,

z)

=

0如果繞X軸旋轉(zhuǎn)，則該回轉(zhuǎn)面的方程可寫為：F

(x,

y2

+

z2

)

=

0二、重要定理當(dāng)平面或空間的n次代數(shù)曲線繞任意軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，就形成代數(shù)回轉(zhuǎn)面，在一般情況下，它為2n次曲面§15－4

用形數(shù)結(jié)合的方法研究曲面一、概述用一組相互平行的平面來切割一個(gè)二次曲面，從這些截交線的形狀來分析和識(shí)別曲面的形狀。二、舉例x2

y2a2-

b2研究由方程=2z

給定的曲面。曲面的形狀可通過作平面切割曲面所得的截交線來進(jìn)行研究（1）用平行于XOZ的平面y=t截曲面，得到截交線為拋物線。截交線方程為：2

22a2t

2bx

=

2a z

+

y

=

t（2）用平行于YOZ的平面x=k截曲面，得到截交線為拋物線。截交線方程為：2

2a2

k

2b2

y

=

2a z

+x

=

t（3）用平行于XOY的平面

z=–h

截曲面，得到的截交線為雙曲線。截交線方程為：x2

y22ha2

-

2hb3=

–1§15－5

用形數(shù)結(jié)合的方法求截交線F

(x,

y,

z)

=

0一、概述任意曲線可看成是兩曲面的交線，它可由兩已知曲面方程確定，是相貫線。F1

(x,

y,

z)

=

0

2如果其中有一個(gè)曲面為一次曲面，即平面時(shí)，則就是轉(zhuǎn)化為求截交線的情況。設(shè)平面的方程為Ax+By+Cz=0，曲面的方程為F(x,y,z)=0，則的截交線的方程為：

Ax

+

By

+

Cz

+

D

=

0F

(x,

y,

z)

=

0曲線上的點(diǎn)既滿足平面方程又滿足曲面方程。在該方程中分別消去參數(shù)z，y和x，則相應(yīng)得到截交線在XOY，XOZ，YOZ坐標(biāo)面上的投影方程二元二次方程類型的判定，為研究的方便，將二元二次方程寫成Ax2

+

2Bxy

+

Cy

2

+

2Dx

+

2Ey

+

F

=

0DFD3

=

B2B

CA

B

DC

E

=

D

B D

+

E

D A

+

F

A BE

C

E E

B

B

CA

BD

= =

AC

-

B2二次曲線的三個(gè)不變量D1

=

A

+

C根據(jù)這三個(gè)不變量，即可對(duì)二次曲線的類型及所表示的曲線進(jìn)行判定。二次曲線方程的類型判定分類類型及條件曲線形狀最簡(jiǎn)方程有心曲線

D2

?

0D1D3

<

0橢圓（含圓）中心坐標(biāo)K

x2

+

K

y2

+

D3

=

0D1D3

>

0虛橢圓B

Dx

=

C

E0

D2橢圓型D2

>

02式中K1，k2為方程K2-(A+C

K

+(AC-B2)

=0D3

=

0點(diǎn)D

A的兩個(gè)根D3

?

0雙曲線y

=

E

B雙曲型D3

=

0相交兩直線0

D2D2

<

0（實(shí)或虛）D2

=

0拋物型D2

=

0D3

?

0拋物線y2

=

2

px式中

-Dp

=

3D31D3

=

0平行兩直線（實(shí)、虛、重合）Ax2

+

2Bxy

+

Cy2

+

2Dx

+

2Ey

+

F

=

0XYZPHαθO例15－1

試求平面與正圓錐的截交線如圖15－7所示，設(shè)圓錐的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)則有O，錐軸與Z軸重合，母線與錐軸的夾角為θ，則錐面的方程為：x2

+

y2

-

z2

tan2

q

=

0與錐面相截的平面P與Z軸的夾角為α，截距為H,則方程為y

=

(z

-

H

tan

a聯(lián)立上述兩方程即得截交線方程，將平面方程代入錐面方程，消去y，則得截交線在xoz坐標(biāo)面上的投影方程：x2

+

(tan2

a

-

tan2

q

z2

-

2H

tan2

a

?z

+

H

2

tan2

a

=

0式中

A

=1,

B

=

0,C

=

tan2

a

-

tan2

q,

D

=

0,

E

=

-H

tan2

a

,

F

=

H

2

tan2

a2

2D1

=

A

+

C

=1+

tan

a

-

tan

q2B

CA

BD

= =

AC

-

B2

=

tan2

a

-

tan2

qD3

=

BA

B

DE

=

-H

2

tan2

a

tan2qE

F討論：（1）當(dāng)a

=q

時(shí)2

4D3

=

-H

tan

a

?

0D2

=

0故截交線為拋物線2

4D3

=

-H

tan

a

?

0故截交線為雙曲線當(dāng)

a

<

q

時(shí)2

2D2

=

tan

a

-

tan

q

<

0當(dāng)a

>q

時(shí)2D

=

tan2

a

-

tan2

q

>

01

3D

D

=

-(1+

tan2

a

-

tan2

q

H

2

tan2

a

tan2

q

<0故截交線為橢圓（4）當(dāng)

H

=

0

a

<

q

（截平面通過錐頂）時(shí)D3

=

0故截交線為相交于錐頂?shù)膬芍本€2

2D2

=

tan

a

-

tan

q

<

0（5）當(dāng)a

=90

時(shí)故截交線為圓x2

+

y2

-

z2

tan2

q

=

0z

=

H§15－6

用形數(shù)結(jié)合的方法求相貫線一、結(jié)式法的基本概念曲面相貫線的方程為：F1

(x,

y,

z)

=

0F

(x,

y,

z)

=

0

2可將相貫線的方程寫為：(1nnF1

(

x,

y

,

z

)

=

a0

(x,

y

z+

a

x,y+

a

(x,

y1mz

mF2

(

x,

y

,

z

)

=

b0

(x,

y+

b

(x,

yz

n

-1

+z

m

-1

++

b

(x,

yn,j

=0,1,

m其中ai

(x,

y

,bi

(x,

y

,(i

=0,1,是關(guān)于x，y的多項(xiàng)式系數(shù)設(shè)有Rz

(F1

,F2

=0

令其為(

)

(

)01z

1

2ma0

(x,

ya1

(x,

ya0

(x,

y)an

(x,

ya1

(x,

y)

an

(x,

y)a0

(x,

y)

a1

(x,

y)an

(x,

y)b

x,

yb

x,

yR

(F

,

F

)

=b

(x,

y)b0

(x,

y)

b1

(x,

y)

bm

(x,

y)m行n行b0

(x,

y)

b1

(x,

y)

bm

(x,

y)Rz

(F1

,F2

稱為多項(xiàng)式F1，F(xiàn)2的結(jié)式，這是一個(gè)關(guān)于x，y的多項(xiàng)式系數(shù)。如果 是相貫線方程組的一組實(shí)數(shù)解，那么x0

,

y0,

z0x0

,

y0就是

Rz

(F1,

F2

=

0的一組根；反過來，如果x0

,

y0是

Rz

(F1

,

F2=0

的一組實(shí)根，那么相貫線方程組a0

(x0

,y0

=b0

(x0

,y0

=0

，或者存在一個(gè)實(shí)數(shù)z0使(x0

,y0

,z0的一組解。二、舉例例15－4

試求具有公共對(duì)稱面的正圓錐與斜圓柱的相貫線o'x'xyox1'αss'

z'設(shè)頂點(diǎn)s（0，0，4），底圓半徑為2，圓y1心'

在坐標(biāo)原點(diǎn)o。兩軸線的夾角α＝45度。錐面方程為兩坐標(biāo)系的變換為同向變換，它保留V面，換掉H面。則點(diǎn)的新坐標(biāo)為4

(x2

+

y2-(z

-

4)2

=

0圓柱在o

-x1

y1

z1中的方程為x2

+

y2

=11

11x1

=

x

cosa

+

z

sin

a

y

=

yz

=

-x

sin

a

+

z

cosa

1則柱面在o

-xyz

坐標(biāo)系中的方程為(xcosa

+

z

sin

a

)2

+

y2

=1(x

+

z

)2

+

2

y2

-

2

=

0兩曲面相貫線的方程為4

(x2

+

y2-(z

-

4)2

=

0(x

+

z

)2

+

2

y2

-

2

=

0改寫為)2224

x

2

-

(z

-

4

)2=

0(1)

y

2

+4x

+

z

-4y

+=

0(2)

(令即=

0Ry

(1),

(2)

=

01

0

A

00

1 0

A1

0

B

00

1 0

B式中44x2

-(z

-

4)2A

=2(x

+

z

)2

-

2B=對(duì)行列式進(jìn)行整理得2(2x2

-

3z2

-

4xz

+8z

-12

=

0(2x2

-

3z2

-

4xz

+8z

-12

=

0A

=

2,

B

=

-2