優(yōu)質(zhì)中職數(shù)學(xué)基礎(chǔ)模塊下冊(cè)：93《直線與直線、直線與平面、平面與平面所成的角》課件(兩份)

第九章立體幾何

9．3直線與直線、直線與平面、平面與平面所成的角創(chuàng)設(shè)情境興趣導(dǎo)入9．3直線與直線、直線與平面、平面與平面所成的角在如圖所示的長(zhǎng)方體中，直線和直線AD是異面直線，度量和，發(fā)現(xiàn)它們是相等的．

如果在直線AB上任選點(diǎn)P，那么過(guò)點(diǎn)P分別作直線與直線AD相等？

的平行線，它們所成的角是否與動(dòng)腦思考探索新知9．3直線與直線、直線與平面、平面與平面所成的角兩條相交直線的夾角是這兩條直線相交所成的最小的正角．經(jīng)過(guò)空間任意一點(diǎn)分別作與兩條異面直線平行的直線，這兩條相交直線的夾角叫做兩條異面直線所成的角．動(dòng)腦思考探索新知9．3直線與直線、直線與平面、平面與平面所成的角nmnOnmO如圖所示，∥m、∥n，則與的夾角就是異面直線m與n所成的角．為了簡(jiǎn)便，經(jīng)常取一條直線與過(guò)另一條直線的平面的交點(diǎn)作為點(diǎn)O．如下圖鞏固知識(shí)典型例題9．3直線與直線、直線與平面、平面與平面所成的角ABCD例1

如圖所示的長(zhǎng)方體中，，求下列異面直線所成的角：

(1)與DC；(2)與解（1）因?yàn)镈C∥AB，所以為異面直線與DC所成的角．即所求角為（2）因?yàn)椤危詾楫惷嬷本€與所成的角．

在直角△中，

所以即所求的角為運(yùn)用知識(shí)強(qiáng)化練習(xí)9．3直線與直線、直線與平面、平面與平面所成的角在如圖所示的正方體中，求下列各直線所成的角的度數(shù)：創(chuàng)設(shè)情境興趣導(dǎo)入9．3直線與直線、直線與平面、平面與平面所成的角正方體中，直線與直線AB、BC、CD、AD、AC所成的角各是多少？

可以發(fā)現(xiàn)，這些個(gè)角都是直角．動(dòng)腦思考探索新知9．3直線與直線、直線與平面、平面與平面所成的角如果直線l與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，那么就稱(chēng)直線l與的交點(diǎn)叫做垂足．垂直，記作．直線l叫做平面的垂線，垂線l與平面平面畫(huà)表示直線l和平面垂直的圖形時(shí)，要把直線l畫(huà)成與平行四邊形的橫邊垂直（如圖所示），其中點(diǎn)A垂足．

創(chuàng)設(shè)情境興趣導(dǎo)入9．3直線與直線、直線與平面、平面與平面所成的角將一根木棍PA直立在地面上，用細(xì)繩依次度量點(diǎn)P與地面上的點(diǎn)A、B、C、D的距離（如圖），發(fā)現(xiàn)PA最短．動(dòng)腦思考探索新知9．3直線與直線、直線與平面、平面與平面所成的角直線PB與平面相交但不垂直，則稱(chēng)直線PB與平面斜交，直線PB叫做的斜線，斜線和平面的交點(diǎn)叫做斜足．點(diǎn)P與斜足B之間的線段叫做點(diǎn)P平面到這個(gè)平面的斜線段．

過(guò)垂足與斜足的直線叫做斜線在平面內(nèi)的射影．如圖所示，直線AB是斜線PB在平面內(nèi)的射影．

從平面外一點(diǎn)向這個(gè)平面引垂線段和斜線段，垂線段最短．因此，將從平面外一點(diǎn)P到平面的的距離．

垂線段的長(zhǎng)叫做點(diǎn)P到平面如圖所示，，線段PA叫做垂線段，垂足A叫做點(diǎn)P在平面內(nèi)的射影．

創(chuàng)設(shè)情境興趣導(dǎo)入9．3直線與直線、直線與平面、平面與平面所成的角如圖所示，炮兵在發(fā)射炮彈時(shí)，為了擊中目標(biāo)，需要調(diào)整好炮筒與地面的角度．動(dòng)腦思考探索新知9．3直線與直線、直線與平面、平面與平面所成的角就是直線PB與平面如圖所示，所成的角．

斜線l與它在平面內(nèi)的射影的夾角，叫做直線l與平面所成的角．規(guī)定：當(dāng)直線與平面垂直時(shí)，所成的角是直角；當(dāng)直線與平面平行或直線在平面內(nèi)時(shí)，所成的角是零角．顯然，直線與平面所成角的取值范圍是動(dòng)腦思考探索新知9．3直線與直線、直線與平面、平面與平面所成的角想一想如果兩條直線與一個(gè)平面所成的角相等，那么這兩條直線一定平行嗎？鞏固知識(shí)典型例題9．3直線與直線、直線與平面、平面與平面所成的角例2

如圖所示，等腰ABC的頂點(diǎn)A在平面外，底邊BC在平面內(nèi)，已知底邊長(zhǎng)BC=16，腰長(zhǎng)AB=17，又知點(diǎn)A到平面的垂線段AD=10．求

（1）等腰ABC的高AE的長(zhǎng)；

（2）斜線AE和平面所成的角的大?。ň_到1o）．

解(1)在等腰ABC中，，故由BC=16可得BE=8.

在AEB中，∠AEB=90°，因此

鞏固知識(shí)典型例題9．3直線與直線、直線與平面、平面與平面所成的角例2

如圖所示，等腰ABC的頂點(diǎn)A在平面外，底邊BC在平面內(nèi)，已知底邊長(zhǎng)BC=16，腰長(zhǎng)AB=17，又知點(diǎn)A到平面的垂線段AD=10．求

（1）等腰ABC的高AE的長(zhǎng)；

（2）斜線AE和平面所成的角的大?。ň_到1o）．

（2）聯(lián)結(jié)DE.因?yàn)锳D是平面的垂線，AE是的斜線，內(nèi)的射影.所以DE是AE在是AE和平面所成的角.因此ADE中，

在所以即斜線AE和平面所成的角約為運(yùn)用知識(shí)強(qiáng)化練習(xí)9．3直線與直線、直線與平面、平面與平面所成的角長(zhǎng)方體ABCD?中，高DD1=4cm，底面是邊長(zhǎng)為3cm的正方形，求對(duì)角線D1B與底面ABCD所成角的大?。ň_到1′）.

創(chuàng)設(shè)情境興趣導(dǎo)入9．3直線與直線、直線與平面、平面與平面所成的角在建筑房屋時(shí)，有時(shí)為了美觀和排除雨水的方便，需要考慮屋頂面與地面形成適當(dāng)?shù)慕嵌龋ㄈ鐖D（1））；在修筑河堤時(shí)，為使它經(jīng)濟(jì)且堅(jiān)固耐用，需要考慮河堤的斜坡與地面形成適當(dāng)?shù)慕嵌龋ㄈ鐖D（2））．（2）（1）動(dòng)腦思考探索新知9．3直線與直線、直線與平面、平面與平面所成的角平面內(nèi)的一條直線把平面分成兩部分，每一部分叫做一個(gè)半平面．從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角．這條直線叫做二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫做二面角的面．以直線l（或CD）為棱，兩個(gè)半平面分別為的二面角，記作二面角（或）（如圖）．

圖9?40CD圖9?41loNMCD動(dòng)腦思考探索新知9．3直線與直線、直線與平面、平面與平面所成的角圖9?40CD圖9?41loNMCD過(guò)棱上的一點(diǎn)，分別在二面角的兩個(gè)面內(nèi)作與棱垂直的射線，以的棱l上任意選取一點(diǎn)O

，以點(diǎn)O為垂足，在面與面內(nèi)分別作，則就是這個(gè)二面角的平面角．

這兩條射線為邊的最小正角叫做二面角的平面角．如圖所示，在二面角動(dòng)腦思考探索新知二面角的平面角的大小由的相對(duì)位置所決定，與頂點(diǎn)在棱上的位置無(wú)關(guān)，當(dāng)二面角給定后，它的平面角的大小也就隨之確定．因此，二面角的大小用它的平面角來(lái)度量．

當(dāng)二面角的兩個(gè)半平面重合時(shí)，規(guī)定二面角為零角；當(dāng)二面角的兩個(gè)半平面合成一個(gè)平面時(shí)，規(guī)定二面角為平角．因此二面角取值范．

圍是9．3直線與直線、直線與平面、平面與平面所成的角平面角是直角的二面角叫做直二面角．例如教室的墻壁與地面就組成直二面角，此時(shí)稱(chēng)兩個(gè)平面垂直．平面與平面垂直記作鞏固知識(shí)典型例題9．3直線與直線、直線與平面、平面與平面所成的角例3

在正方體中（如圖），求二面角的大小．

解

AD為二面角的棱，與是分別在二面角的兩個(gè)面內(nèi)并且與棱AD垂直的射線，為二面角的平面角．

所以因?yàn)樵谡襟w中，所以二面角為90°.

是直角．運(yùn)用知識(shí)強(qiáng)化練習(xí)9．3直線與直線、直線與平面、平面與平面所成的角在正方體中，求二面角的大小.

過(guò)棱上的一點(diǎn)，分別在二面角的兩個(gè)面內(nèi)作與棱垂直的射線，以這兩條射線為邊的最小正角叫做二面角的平面角．.二面角的平面角的概念

？理論升華整體建構(gòu)9．3直線與直線、直線與平面、平面與平面所成的角自我反思目標(biāo)檢測(cè)9．3直線與直線、直線與平面、平面與平面所成的角在正方體中，求平面與平面所成的二面角的大?。?/p>

作業(yè)讀書(shū)部分：閱讀教材相關(guān)章節(jié)

實(shí)踐調(diào)查：尋找生活中的二書(shū)面作業(yè)：教材習(xí)題9.2A組（必做）

教材習(xí)題9.2B組（選做）面角的平面角繼續(xù)探索活動(dòng)探究9．3直線與直線、直線與平面、平面與平面所成的角9.3.2直線和平面所成的角回顧知識(shí)：

空間中一條直線與平面有哪幾種位置關(guān)系？

（1）直線在平面內(nèi)，（2）直線與平面平行，（3）直線與平面相交知識(shí)探究（一）：直線與平面垂直的概念

(垂直)

大漠孤煙直

ABABABABABABABABCC1B1AB地面內(nèi)任意一條直線AB所在直線⊥CC1B1ABα內(nèi)過(guò)點(diǎn)B的直線AB所在直線內(nèi)不過(guò)點(diǎn)B的直線ααAB所在直線內(nèi)任意一條直線αAB所在直線⊥⊥⊥直線與平面垂直的定義：圖形表示：αPl文字表示：如果一條直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，則稱(chēng)這條直線與這個(gè)平面垂直.記作

垂足平面α的垂線直線l的垂面畫(huà)直線與平面平行時(shí)，通常把直線畫(huà)成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直。深入理解“線面垂直定義”判斷下列語(yǔ)句是否正確：（若不正確請(qǐng)舉反例）1.如果一條直線與一個(gè)平面垂直，那么它與平面內(nèi)所有的直線都垂直.（）2.如果一條直線與平面內(nèi)無(wú)數(shù)條直線都垂直，那么它與平面垂直.（)bαaPAOl垂足斜足復(fù)習(xí)舊知

過(guò)斜線上斜足A以外的一點(diǎn)P向平面α引垂線，垂足為點(diǎn)O，過(guò)垂足O和斜足A的直線叫做斜線在這個(gè)平面上的射影斜線在平面上的射影射影斜足垂足射影斜線垂線他與地面所成的角是哪個(gè)角？

平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條斜線和這個(gè)平面所成的角.斜線和平面所成的角概念提出一、斜線和平面所成的角PAOl射影例題講解例1ADCBD1A1B1C1斜足垂足垂線射影分別指出正方體的體對(duì)角線A1C與平面A1B1C1D1、

A1ABB1、BCC1B1所成的角.∠CA1C1分別指出正方體的體對(duì)角線A1C與平面A1B1C1D1、

A1ABB1、BCC1B1所成的角.例1ABACDCBD例題講解∠CA1B

分別指出正方體的體對(duì)角線A1C與平面A1B1C1D1、

A1ABB1、BCC1B1所成的角.例1ABACDCBD例題講解∠B1CA1lααl2、一條直線和平面平行或在平面內(nèi)，它們所成的角是0；3、一條直線垂直于平面，它們所成的角是直角90。1、斜線與平面所成的角θ的取值范圍是：直線與平面所成的角θ的取值范圍是：

二、直線和平面所成的角概括歸納αl練習(xí)1.如圖：正方體ABCD-A1B1C1D1中，（1）求出A1C1與面ABCD所成的角的度數(shù)；（2）求出A1B1與面BCC1B1所成的角的度數(shù)；（3）求出A1C1與面BCC1B1所成的角的度數(shù)；（4）求出A1C1與面BB1D1D所成的角的度數(shù)；A1D1C1B1ADCB0o小試牛刀練習(xí)1.如圖：正方體ABCD-A1B1C1D1中，（1）求出A1C1與面ABCD所成的角的度數(shù)；（2）求出A1B1與面BCC1B1所成的角的度數(shù)；（3）求出A1C1與面BCC1B1所成的角的度數(shù)；（4）求出A1C1與面BB1D1D所成的角的度數(shù)；A1D1C1B1ADCB0o90o小試牛刀練習(xí)1.如圖：正方體ABCD-A1B1C1D1中，（1）求出A1C1與面ABCD所成的角的度數(shù)；（2）求出A1B1與面BCC1B1所成的角的度數(shù)；（3）求出A1C1與面BCC1B1所成的角的度數(shù)；（4）求出A1C1與面BB1D1D所成的角的度數(shù)；A1D1C1B1ADCB0o90o45o小試牛刀練習(xí)1.如圖：正方體ABCD-A1B1C1D1中，（1）求出A1C1與面ABCD所成的角的度數(shù)；（2）求出A1B1與面BCC1B1所成的角的度數(shù)；（3）求出A1C1與面BCC1B1所成的角的度數(shù)；（4）求出A1C1與面BB1D1D所成的角的度數(shù)；0o90o45oA1D1C1B1ADCB90o小試牛刀例2：正方體ABCD-A1B1C1D1中，求A1B與平面A1B1CD所成的角。求角→找角→找射影ABCDA1B1C1D1M典例精講例2：正方體ABCD-A1B1C1D1中，求A1B與平面A1B1CD所成的角。設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1棱長(zhǎng)為a.如圖所示，連接BC1交B1C于M點(diǎn)，連接A1M.∵DC⊥平面BCB1C1∴DC⊥