安徽省皖南八校2023屆高三三模數(shù)學(xué)試卷

2023屆“皖南八?！备呷谌未舐?lián)考數(shù)學(xué)一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求．1．已知集合，，則集合的非空真子集的個數(shù)為（）A．14 B．15 C．30 D．622．已知復(fù)數(shù)z滿足（i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點所在的象限為（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．給出下列四個命題，其中正確命題為（）A．“，”的否定是“，” B．“”是“”的必要不充分條件C．，，使得D．“”是“”的充分不必要條件4．如圖，用M，，三類不同的元件連接成一個系統(tǒng)，當M正常工作且，至少有一個正常工作時，系統(tǒng)正常工作，已知M，，正常工作的概率依次是，，，已知在系統(tǒng)正常工作的前提下，則只有M和正常工作的概率是（）A． B． C． D．5．勒洛三角形是一種典型的定寬曲線，以等邊三角形每個頂點為圓心，以邊長為半徑，在另兩個頂點間作一段圓弧，三段圓弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形．在如圖所示的勒洛三角形中，已知，P為弧AC上的一點，且，則的值為（）A． B． C． D．6．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的有（）A．的最小正周期為 B．直線是圖象的一條對稱軸C．在上單調(diào)遞增 D．若在區(qū)間上的最大值為1，則7．已知是定義在上的奇函數(shù)，其圖象關(guān)于點對稱，當時，，若方程的所有根的和為6，則實數(shù)k的取值范圍是（）A． B． C． D．8．已知函數(shù)，若對任意的恒成立，則的最大值是（）A． B． C． D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．在某市高三年級舉行的一次模擬考試中，某學(xué)科共有20000人參加考試．為了了解本次考試學(xué)生成績情況，從中抽取了部分學(xué)生的成績（成績均為正整數(shù)，滿分為100分）作為樣本進行統(tǒng)計，樣本容量為n，按照，，，，的分組作出頻率分布直方圖如圖所示．其中，成績落在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為16．則下列結(jié)論正確的是（）A．圖中 B．樣本容量C．估計該市全體學(xué)生成績的平均分為70.6分D．該市要對成績前25%的學(xué)生授予“優(yōu)秀學(xué)生”稱號，則授予“優(yōu)秀學(xué)生”稱號的學(xué)生考試成績大約至少為77.25分10．已知正實數(shù)a，b，c滿足，當取最小值時，下列說法正確的是（）A． B．C．的最大值為1 D．的最小值為11．已知正方體棱長為4，M為棱上的動點，平面，則下列說法正確的是（）A．若N為中點，當最小時，B．當點M與點重合時，若平面截正方體所得截面圖形的面積越大，則其周長就越大C．直線AB與平面所成角的余弦值的取值范圍為D．當點M與點C重合時，四面體內(nèi)切球表面積為12．已知拋物線的焦點為F，準線為l，A，B是C上異于點O的兩點（O為坐標原點）則下列說法正確的是（）A．若A、F、B三點共線，則的最小值為2B．若，則的面積為C．若，則直線AB過定點D．若，過AB的中點D作于點E，則的最小值為1三、填空題：共4小題，每小題5分，共20分．13．函數(shù)的值域是______．14．某企業(yè)五一放假4天，安排甲、乙、丙、丁四人值班，每人只值班一天．已知甲不安排在第一天，乙不安排在最后一天，則不同的安排種數(shù)為______．15．過雙曲線右焦點F的直線l與雙曲線C的一條漸近線垂直，垂足為點A，O為坐標原點，若的角平分線與x軸交于點M，且點M到OA與AF的距離都為，則雙曲線C的離心率為______．16．已知四面體ABCD的四個頂點都在球O的球面上，是邊長為2的等邊三角形，外接圓的圓心為．若四面體ABCD的體積最大時，，則球O的半徑為______；若，點E為AC的中點，且，則球O的表面積為______．（本題第一空2分，第二空3分）四、解答題：共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）2022年卡塔爾世界杯是第二十二屆世界杯足球賽，是歷史上首次在卡塔爾和中東國家境內(nèi)舉行、也是第二次在亞洲舉行的世界杯足球賽.卡塔爾世界杯后，某校為了激發(fā)學(xué)生對足球的興趣，組建了足球社團.足球社團為了解學(xué)生喜歡足球是否與性別有關(guān)，隨機抽取了男、女同學(xué)各100名進行調(diào)查，統(tǒng)計得出的數(shù)據(jù)如下表：喜歡足球不喜歡足球合計男生50女生25合計（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)完成上表，試根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析該校學(xué)生喜歡足球與性別是否有關(guān)．（2）社團指導(dǎo)老師從喜歡足球的學(xué)生中抽取了2名男生和1名女生示范點球，已知男生進球的概率為，女生進球的概率為，每人踢球一次，假設(shè)各人踢球相互獨立，求3人進球總次數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：，．0.0500.0100.0013.8416.63510.82818．（12分）已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．（1）求角C；（2）設(shè)BC的中點為D，且，求的取值范圍．19．（12）分在數(shù)列中，，且對任意的，都有．在等差數(shù)列中，前n項和為，，．（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項和．20．（12分）如圖，在三棱錐中，為直角三角形，，的邊長為4的等邊三角形，，．（1）求證：平面平面ABC；（2）求二面角的余弦值．21．（12分）如圖，橢圓的左、右焦點分別為，，點A，B，C分別為橢圓的左、右頂點和上頂點，O為坐標原點，過點的直線l交橢圓于E，F(xiàn)兩點，線段的中點為．點P是上在第一象限內(nèi)的動點，直線AP與直線BC相交于點Q，直線CP與x軸相交于點M．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)的面積為，的面積為，求的值．22．（12分）若對任意的實數(shù)k，b，函數(shù)與直線總相切，則稱函數(shù)為“恒切函數(shù)”．（1）判斷函數(shù)是否為“恒切函數(shù)”；（2）若函數(shù)是“恒切函數(shù)”，求證：．2023屆“皖南八?！备呷谌未舐?lián)考·數(shù)學(xué)參考答案、解析及評分細則1．D 由題意得，集合，則集合，所以集合的非空真子集的個數(shù)為．故選D．2．D 由得，∴復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，∴復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點所在的象限為第四象限．故選D．3．C 對于A，由全稱命題的否定知該命題的否定為，，A錯誤；對于B，“”是“”的既不充分又不必要條件，B錯誤；對于C，取，則，C正確；對于D，“”是“”的充要條件，D錯誤．故選C．4．C 設(shè)事件A為系統(tǒng)正常工作，事件B為只有M和正常工作，因為并聯(lián)元件、能正常工作的概率為，所以，又因為，所以．故選C．5．C 如圖所示，以B為坐標原點，直線BC為x軸，過點B且垂直于BC的直線為y軸，建立平面直角坐標系，，且，，所以，，所以．故選C．6．D ，所以的最小正周期為，A錯誤；因為，，所以直線不是圖象的一條對稱軸，B錯誤；當時，在，而函數(shù)在上不單調(diào)，C錯誤；當時，，因為在區(qū)間上的最大值為1，即，所以，解得，D正確．故選D．7．A 方程的根轉(zhuǎn)化為和的圖象的公共點的橫坐標，因為兩個圖象均關(guān)于點對稱，要使所有根的和為6，則兩個圖象有且只有3個公共點．作出和的圖象如圖所示．當時，只需直線與圓相切，可得；當時，只需直線與圓相切，可得．故k的取值范圍是．故選A．8．B ，，當時，恒成立，則單調(diào)遞減，，顯然不恒成立，當時，時，，函數(shù)單調(diào)遞減；時，，函數(shù)單調(diào)遞增，∴，∵恒成立，∴，∴，令，，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴．故選B．9．ACD 對于A，因為，解得，故A正確；對于B，因為成績落在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為16，所以樣本容量，故B錯誤；對于C，學(xué)生成績平均分為，故C正確；對于D，因為，解得，所以大約成績至少為77.25分的學(xué)生能得到此稱號，故D正確．故選ACD．10．AC ，當且僅當，即時等號成立，此時，故A正確，B錯誤；，當時，的最大值為1，C正確；無最小值，D錯誤．故選AC．11．ACD 對于A，矩形與正方形展開成一個平面（如圖所示），若最小，則A、M、N三點共線，因為，所以，所以，即，故A正確；對于B，當點M與點重合時，連接、、、、，（如圖所示），在正方體中，平面ABCD，平面ABCD，所以，又因為，且，所以平面，又平面，所以，同理可證，因為，所以平面，易知是邊長為的等邊三角形，其面積為，周長為；設(shè)E、F、Q、N，G，H分別為，、，，，的中點，易知六邊形EFQNGH是邊長為的正方形，且平面平面，正六邊形EFQNGH的周長為，面積為，則的面積小于正六邊形EFQNGH的面積，它們的周長相等，即B錯誤；對于C，以點D為坐標原點，DA、DC、所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系，則，，設(shè)，因為平面，所以是平面的一個法向量，且,，，所以直線AB與平面所成角的正弦值的取值范圍為，則直線AB與平面所成角的余弦值的取值范圍為，故C正確；對于D，當點M與點C重合時，四面體即為為正四面體，棱長，由正四面體的性質(zhì)可得，其內(nèi)切球半徑，所以表面積為，故D正確．故選ACD．12．ABD 對于A，經(jīng)分析可知，當直線AB垂直于y軸時，取最小值，且為2，A正確；由拋物線的定義可知，，解得，故，故，所以的面積為，B正確；設(shè)，，直線AB的方程為，將直線AB的方程代入，得．由，得，即，所以，，故直線，恒過定點，C錯誤；過點A作于點，過點B作于點，設(shè)，，所以，因為，所以，的最小值為1，D正確．故選ABD．13． 當時，滿足，當時，由，所以函數(shù)的值域為．14．14 ①若甲安排在最后一天，則不同的安排數(shù)為；②若甲不安排在最后一天，則不同的安排數(shù)為．綜上，不同的安排種數(shù)為14．15． 如圖所示，設(shè)點A在第一象限，由題意可知，其中d為點到漸近線的距離，，所以，過點M分別作于點N，于點T，又因為于點A，所以四邊形MTAN為正方形，所以，所以，又因為，所以，，所以，所以，所以．16． 若四面體ABCD的體積最大時，點B在過O和的直徑上，，，設(shè)球O的半徑為r，則在中，，解得．設(shè)的外接圓的半徑R，由題可得，解得．如圖，取AC的中點E，連接DE并延長DE交圓于點F．連接BE，BF，由得，則．．在中，，所以在中，由余弦定理得，可得，結(jié)合圖形可得圓．連接，過點O作BF的垂線，垂足為點G．連接BO，四面體ABCD外接球的半徑解得．所以球O的半徑．四面體ABCD外接球的表面積為．17．解：（1）列聯(lián)表如下：喜歡籃球不喜歡籃球合計男生5050100女生2575100合計75125200零假設(shè)為：該校學(xué)生喜歡籃球與性別無關(guān)．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得到，∴根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即認為該校學(xué)生喜歡籃球與性別有關(guān)．（2）3人進球總次數(shù)的所有可能取值為0，1，2，3．，，，．∴的分布列如下：0123P∴的數(shù)學(xué)期望：．18．解：（1）中，，由正弦定理得，．所以，即，所以；又，所以，所以，所以，又因為，所以，即；（2）設(shè)，則中，由可知，由正弦定理及可得，所以，，所以，由可知，，，所以．19．解：（1）由得時，．又，滿足，所以．設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則，解得，所以；（2），，①，②兩式相減得，所以．20．（1）（方法一）證明：如圖，分別取AC，AB的中點D，E，連接PD，DE，PE，則．因為，，所以，．因為是邊長為4的等邊三角形，所以，，在中，,，在中，，所以，所以，因為，點E為AB的中點，所以，又，，平面ABC，所以平面ABC，因為平面PAB，所以平面平面ABC．（方法二）證明：如圖，分別取AC，AB的中點D，E，連接PD，PE，DE，則．因為，所以，，因為是等邊三角形，所以，因為，，平面PDE，所以平面PDE，又平面PDE，所以，因為，點E為AB的中點，所以，又，AC，平面ABC，所以平面ABC，因為平面PAB，所以平面平面ABC．（2）解：以點C為原點，直線CA，CB分別為x，y軸，過點C且與PE平行的直線為z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，則，，，，，，，．設(shè)平面PBC的一個法向量為，則，即取，則．設(shè)平面PAB的一個法向量為，則，即取，則．設(shè)二面角的平面角為，所以．21．解：（1）因為線段的中點為在y軸上，O為的中點，所以軸，即軸，設(shè)，，，代入橢圓的方程得，，又，所以，即，所以，解得，所以橢圓的方程為．（2）（方法一）證明：設(shè)，由題意可得，，所以直線BC的方程的截距式為，即為．因為，所以直線AP的方程為．聯(lián)立得即；直線CP的方程為：，即，當時，，即，所以，又因為，所以，，所以，得證．（方法二）證明：由題意可得，，所以直線BC的方程的截距式為，即為．設(shè)直