平面向量及其線性運(yùn)算（復(fù)習(xí)課）

平面向量及其線性運(yùn)算（復(fù)習(xí)課）湯溪市高級(jí)中學(xué)郭增知識(shí)梳理1.向量的有關(guān)概念：（1）向量：（2）向量的長(zhǎng)度(模)：（3）零向量：（4）單位向量：既有大小又有方向的量.表示向量的有向線段的長(zhǎng)度.模為0的向量.模為1個(gè)單位的向量.（5）平行向量(共線向量)：規(guī)定：零向量與任一向量平行.（6）相等向量：方向相同或相反的非零向量.長(zhǎng)度相等且方向相同的向量.（7）相反向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量.2.向量的線性運(yùn)算：（1）向量加法的平行四邊形法則aｂBｂa＋bAaOC

向量加法的三角形法則aｂCｂa＋bABa加法，減法以及數(shù)乘（2）向量減法的三角形法則

abbBAOaab（3）向量的數(shù)乘運(yùn)算

實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量，記作λa，且（1）|λa|＝|λ||a|；（2）λ＞0時(shí)，λa與a方向相同；

λ＜0時(shí)，λa與a方向相反；

λ＝0時(shí)，λa＝0.3.向量的線性運(yùn)算性質(zhì)：（1）a＋b＝b＋a；

（2）(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；（3）λ(μa)=(λμ)a

；

（4）(λ＋μ)a=λa＋μa；（5）λ(a＋b)=λa＋λb.向量a與λa什么關(guān)系？4.向量共線定理：

向量a(a≠0)與b共線的充要條件存在唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b=λa.向量概念及運(yùn)算的辨析小試牛刀

例1判斷下列命題的真假：（1）若|a|＝|b|，則a＝b.（2）若a＝b，b＝c，則a＝c.（3）a＝b的充要條件是|a|＝|b|且a//b.（4）若a//b，b//c，則a∥c.（5）（6）在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，則

例2如圖，平行四邊形OADB的對(duì)角線相交于點(diǎn)C，點(diǎn)M在線段ABC上，且BC＝3BM，點(diǎn)N在線段CD上，且CD＝3CN.設(shè)＝a，＝b，試用a，b表示向量，，.AOBCDMN向量共線問題

例3設(shè)a，b是不共線的兩個(gè)向量.（1）若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求證：A，B，D三點(diǎn)共線.（2）試確定實(shí)數(shù)x，y的值，使得.那么當(dāng)分別又有什么結(jié)論呢？

向量三點(diǎn)共線定理：在平面中A、B、C三點(diǎn)共線的充要條件是：

（O為平面內(nèi)任意一點(diǎn)），其中

在平面中A、B、C三點(diǎn)，O為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，x,y為實(shí)數(shù)

那么當(dāng)平面中A、B、C三點(diǎn)什么位置關(guān)系？C1COAB

在平面中A、B、C三點(diǎn)，O為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，x,y為實(shí)數(shù)

若O為平面內(nèi)直線AB外任意一點(diǎn)，則當(dāng)

時(shí)C與O點(diǎn)在直線AB同側(cè)，

時(shí)，A與O點(diǎn)在直線BC的異側(cè)C1COABC高考連接BOAMP[2006年湖南（文）15

]如圖，已知,點(diǎn)P在由射線OM，線段OB及AB的延長(zhǎng)線圍成的陰影區(qū)域內(nèi)（不含邊界）運(yùn)動(dòng)，且，則實(shí)數(shù)對(duì)可以是（）BOAMP[2006年湖南（理）15

]如圖，已知,點(diǎn)P在由射線OM，線段OB及AB的延長(zhǎng)線圍成的陰影區(qū)域內(nèi)（不含邊界）運(yùn)動(dòng)，且，則x的取值范圍是。當(dāng)時(shí)，y的取值范圍是

在平面中A、B、C三點(diǎn)，O為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，x,y為實(shí)數(shù)C1COAB

若O為平面內(nèi)直線AB外任意一點(diǎn)，則當(dāng)

時(shí)C與O點(diǎn)在直線AB同側(cè)，

時(shí)，A與O點(diǎn)在直線BC的異側(cè)自由發(fā)揮，據(jù)結(jié)論出題BOAMP[2006年湖南（理）15