7.3.2離散型隨機變量的方差課件

“五大行動”之“智育提質(zhì)”7.3.2離散型隨機變量的方差1.離散型隨機變量的均值：一般地，若離散型隨機變量X的分布列如下表所示，Xx1x2???xnPp1p2???pn則稱為隨機變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，數(shù)學(xué)期望簡稱期望.2.均值的性質(zhì)：3.隨機變量X服從兩點分布，則有復(fù)習(xí)引入問題2從兩名同學(xué)中挑出一名代表班級參加射擊比賽.根據(jù)以往的成績記錄，甲、乙兩名同學(xué)擊中目標(biāo)靶的環(huán)數(shù)X和Y的分布列如下表所示.如何評價這兩名同學(xué)的射擊水平?X678910P0.090.240.320.280.07Y678910P0.070.220.380.300.03通過計算可得，由于兩個均值相等，所以用均值不能區(qū)分這兩名同學(xué)的射擊水平.評價射擊水平，除了要了解擊中環(huán)數(shù)的均值外，還要考慮穩(wěn)定性，即擊中環(huán)數(shù)的離散程度.問題探究為了能直觀分析甲乙兩名擊中環(huán)數(shù)的離散程度，下面我們分別作出X和Y的概率分布圖.0671098P0.10.20.30.4X0671098P0.10.20.30.4Y比較兩個圖形，可以發(fā)現(xiàn)乙同學(xué)的射擊成績更集中于8環(huán)，即乙同學(xué)的射擊成績更穩(wěn)定.思考：怎樣定量刻畫離散型隨機變量取值的離散程度?問題探究我們知道，樣本方差可以度量一組樣本數(shù)據(jù)的離散程度，它是通過計算所有數(shù)據(jù)與樣本均值的“偏差平方的平均值”來實現(xiàn)的，所以我們可以用能否用可能取值與均值的“偏差平方的平均值”來度量隨機變量的離散程度.Xx1x2???xnPp1p2???pn探究新知設(shè)離散型隨機變量X的分布列如下表所示.隨機變量X所有可能取值xi與E(X)的偏差的平方為(x1－E(X))2，(x2－E(X))2，???，(xn－E(X))2.所以偏差平方的平均值為我們把隨機變量X的這個平均值稱為隨機變量X的方差，用D(X)表示.(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋???＋(xn－E(X))2pn.一般地，若離散型隨機變量X的分布列如下表所示.Xx1x2???xnPp1p2???pn則稱離散型隨機變量的方差：為隨機變量X的方差，有時也記為Var(X)，并稱為隨機變量X的標(biāo)準(zhǔn)差，記為σ(X).概念形成隨機變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都可以度量隨機變量取值與其均值的偏離程度，反映了隨機變量取值的離散程度.方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，隨機變量的取值越集中；方差或標(biāo)準(zhǔn)差越大，隨機變量的取值越分散.問題2從兩名同學(xué)中挑出一名代表班級參加射擊比賽.根據(jù)以往的成績記錄，甲、乙兩名同學(xué)擊中目標(biāo)靶的環(huán)數(shù)X和Y的分布列如下表所示.如何評價這兩名同學(xué)的射擊水平?X678910P0.090.240.320.280.07Y678910P0.070.220.380.300.03問題探究解：∴隨機變量Y的取值相對更集中，即乙同學(xué)的射擊成績相對更穩(wěn)定.在方差的計算中，為了使運算簡化，還可以用下面的結(jié)論.證明：探究新知解：隨機變量X的分布列為例1拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，求擲出的點數(shù)X的方差.典例分析說明:方差的計算需要一定的運算能力，在隨機變量X2的均值比較好計算的情況下，運用關(guān)系式D(X)=E(X2)-[E(X)]2不失為一種比較實用的方法．方差的性質(zhì)：探究：離散型隨機變量X加上一個常數(shù)方差會有怎樣的變化?離散型隨機變量X乘以一個常數(shù),方差又有怎樣的變化?它們和期望的性質(zhì)有什么不同?探究新知一般地，可以證明下面的結(jié)論成立：解：1.已知隨機變量X的分布列為X1234P0.20.30.40.1求D(X)和σ(2X＋7).小試牛刀例2投資A，B兩種股票，每股收益的分布列分別如下表所示.股票A收益的分布列股票B收益的分布列收益X/元－102概率0.10.30.6收益Y/元012概率0.30.40.3投資哪種股票的期望收益大?(2)投資哪種股票的風(fēng)險較高?典例分析解：∵E(X)>E(Y)∴投資股票A的期望收益較大∵D(X)>D(Y)∴投資股票A的風(fēng)險較高

隨機變量的方差是一個重要的數(shù)字特征，它刻畫了隨機變量的取值與其均值的偏離程度，或者說反映隨機變量取值的離散程度.在不同的實際問題背景中，方差可以有不同的解釋.例如，如果隨機變量是某項技能的測試成績，那么方差的大小反映了技能的穩(wěn)定性；如果隨機變量是加工某種產(chǎn)品的誤差，那么方差的大小反映了加工的精度；如果隨機變量是風(fēng)險投資的收益，那么方差的大小反映了投資風(fēng)險的高低；等等.2.甲、乙兩個班級同學(xué)分別目測數(shù)學(xué)教科書的長度，其誤差X和Y(單位:cm)的分布列如下:甲班的目測誤差分布列X－2－1012P0.10.20.40.20.1先直觀判斷X和Y的分布哪一個離散程度大，再分別計算X和Y的方差，驗證你的判斷.乙班的目測誤差分布列Y－2－1012P0.050.150.60.150.05解：直觀的觀察可判斷X的離散程度較大，下面用方差驗證.∵D(X)>D(Y)∴X的分布離散程度較大鞏固練習(xí)3.有甲乙兩個單位都愿意聘用你，而你能獲得如下信息:解：據(jù)已知分布列可得甲單位不同職位月工資X

/元1200140016001800獲得相應(yīng)職位的概率P0.40.30.20.1乙單位不同職位月工資X

/元1000140018002200獲得相應(yīng)職位的概率P0.40.30.20.1根據(jù)工資待遇的差異情況，你愿意選擇哪家單位？∴如果你希望不同職位的工資差距小一些，就選擇甲單位；如果你希望不同職位的