數(shù)值方法第七章

考慮一階常微分方程的初值問(wèn)題/*Initial-ValueProblem*/:其中f(x,y)為x,y的已知函數(shù)，y0為給定的初始值第六章常微分方程數(shù)值解/*NumericalMethodsforOrdinaryDifferentialEquations*/例如：其解析解為：只有一些特殊類(lèi)型的微分方程問(wèn)題能夠得到用解析表達(dá)式表示的函數(shù)解，而大量的微分方程問(wèn)題很難得到其解析解。這是微積分的發(fā)明者之一Leibniz在1686年曾經(jīng)讓當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)界人士求解的一階微分方程式，吸引了許多數(shù)學(xué)家的注意，大約經(jīng)過(guò)150年的探索到1838年,劉維爾（Liouville)在理論上證明了這個(gè)微分方程不能用初等積分法求解，得借助于數(shù)值方法

只能依賴于數(shù)值方法去獲得微分方程的數(shù)值解。

數(shù)值方法的基本思想是：在解的存在區(qū)間上取n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)

這里hi可以不相等，但一般取成相等的，這時(shí)在這些節(jié)點(diǎn)上采用離散化方法，（通常用數(shù)值積分、微分、泰勒展開(kāi)等）將上述初值問(wèn)題化成關(guān)于離散變量的相應(yīng)問(wèn)題。把這個(gè)相應(yīng)問(wèn)題的解yn作為y(xn)的近似值。這樣求得的yn就是上述初值問(wèn)題在節(jié)點(diǎn)xn上的數(shù)值解。一般說(shuō)來(lái)，不同的離散化導(dǎo)致不同的方法。，i=0,1,…,n-1稱為由xi到xi+1的步長(zhǎng)。步進(jìn)式：根據(jù)已知的或已求出的節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值計(jì)算當(dāng)前節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值，一步一步向前推進(jìn)。因此只需建立由已知的或已求出的節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值求當(dāng)前節(jié)點(diǎn)函數(shù)值的遞推公式即可。§1歐拉方法

/*Euler’sMethod*/

歐拉公式：x0x1向前差商近似導(dǎo)數(shù)記為亦稱為歐拉折線法

/*Euler’spolygonalarcmethod*/

也稱歐拉折線法.用這條折線近似地代替曲線由Euler法所得的折線明顯偏離了積分曲線，可見(jiàn)此方法非常粗糙。例用歐拉法求初值問(wèn)題當(dāng)h=0.02時(shí)在區(qū)間[0,0.1]上的數(shù)值解。解：把代入歐拉法計(jì)算公式，得具體計(jì)算結(jié)果nxnyny(xn)n=y(xn)-

yn001.00001.0000010.020.98200.98250.000520.040.96500.96600.000530.060.94890.95030.001440.080.93360.93540.001850.100.91920.9230.0021表中y(xn)，是初遲值問(wèn)糞題的攪真解在xn上的嘩值。為近斯似值yn的誤矛差。從表橡中可葡以看征出，埋隨著n的增所大，狠誤差廣也在膽增大璃，所竭以說(shuō)勁，歐降拉法掀計(jì)算濫簡(jiǎn)便始，對(duì)甩一些齊問(wèn)題文有較宜大的叨使用凡價(jià)值隔，但榆是，感它的皂誤差戴較大俘，所脅得的填數(shù)值進(jìn)解精偏確度吩不高回。定義在假設(shè)yi=y(xi)，即第i步計(jì)算是精確的前提下，考慮的截?cái)嗾`差Ri=y(xi+1)

yi+1稱為局部截?cái)嗾`差/*localtruncationerror*/。定義若某算法的局部截?cái)嗾`差為O(hp+1)，則稱該算法有p階精度。歐拉誓法的竭局部界截?cái)嗨`差柜：歐拉違法具咱有1階精裝度。Ri的主項(xiàng)/*最l飽ea閉di情ng鋪t墳er膠m抵*/衡量繁求解況公式賀好壞糟的一唇個(gè)主粘要標(biāo)密準(zhǔn)是病求解駝公式馬的精喘度,因此卡引入莖局部娛截?cái)嗵秸`差斧和階弓數(shù)的搶概念令。Eu屢le仿r’崗s粉Me馬th情od歐拉吧公式慘的改策進(jìn)：隱式刃歐拉章法/*兇i糞mp浙li右ci嶼t伐Eu像le設(shè)r全me估th卻od殖*席/向后差商近似導(dǎo)數(shù)x0x1))(,()(1101xyxfhyxy+)1,...,0(),(111-=+=+++niyxfhyyiiii§狗E巖ul齒er鼓’s戴M浩et客ho測(cè)d由于羞未知這數(shù)yi+1同時(shí)責(zé)出現(xiàn)鎖在等斜式的寄兩邊街，不潔能直畫(huà)接得憑到，胖故稱卵為隱式/*奶i古mp趙li血ci像t叮*/歐拉抱公式息，而前仰者稱攪為顯式/*各e雀xp葛li倘ci祝t廣*/歐拉叛公式遞。一般垃先用虎顯式脂計(jì)算投一個(gè)娃初值愈，再迭代求解榴。隱式歐拉鋸法的稅局部遮截?cái)嗥`差完：即隱式平歐拉飛公式們具有1階精倡度。Hey!Isn’ttheleadingtermofthelocaltruncationerrorofEuler’smethod?Seemsthatwecanmakeagooduseofit…§竿E嫁ul殘er族’s祖M液et著ho烘d梯形脂公式/*輝t鉤ra繼pe恥zo驚id杠f哪or湖mu毯la納*戰(zhàn)/—顯、沒(méi)隱式左兩種這算法知的平均注：局部糕截?cái)囹溦`差即梯竿形公救式具富有2階精儉度，熔比歐慰拉方繞法有蔥了進(jìn)喜步。但注膚意到循該公昌式是隱式公式閑，計(jì)算預(yù)時(shí)不貞得不辨用到中迭代慈法，鉗其迭佩代收孕斂性糾與歐筆拉公嶺式相昂似。例在區(qū)潑間[0循,擋1.淡5]上，取h=騰0.起1，求解曠。本題的精確解為，可用來(lái)檢驗(yàn)近似解的精難確程味度。禿計(jì)算歇結(jié)果槳如下蚊表：xn歐拉臺(tái)法yn迭代攪一次梯形移公式y(tǒng)n準(zhǔn)確借解01110.錘11.儲(chǔ)11.跑09圓59曬091.仇09狗54拳450.鋪21.稀19店18饞181.退18填40現(xiàn)961.蝴18酸32草160.滿31.拐27并74扁381.嗓26妹02占011.含26喘49忌110.丈41.米35搶82眼131.擠34旺33誕601.年34催16瘦410.榆51.擔(dān)43勝51撥331.把41鍵61皺021.抗41晨42詢140.買(mǎi)61.春50蜘89龍661.剖48好29冶561.韻48亂32隙400.爽71.喜58訂03西381.寇55走25那151.賽54幫91指930.澆81.英64顛97糕831.轎61陰64基761.爽61始24靜520.僑91.蘆71父77顏791.銅67延81歡681.孔67聯(lián)33夢(mèng)201.拔01.柱78晶47腎701.求73詞78黃691.塑73允20毒511.吧11.繼85寶11垃81.沖79鈔58舞221.爺78草88雄541.冤21.麥91邊74稅641.蓮85跌22忌421.閣84季39判091.笑31.語(yǔ)98嚼40洪461.異90偽73機(jī)231.拿89傻73寬671.羞42.麻05遷14挺041.侵96仙12尊531.旨94次93領(lǐng)591.丟52.糾12勾00均522.蜜01揮42靜072.客00閉00歪00中點(diǎn)持歐拉悉公式/*箏m猾id尊po徒in鼻t且fo稠rm泥ul豪a育*/中心差商近似導(dǎo)數(shù)x0x2x1假設(shè)，則可以導(dǎo)出即中點(diǎn)公式具有2階精度。需要2個(gè)初因值y0和y1來(lái)啟估動(dòng)遞神推過(guò)程忍，這外樣的界算法懂稱為雙步影法/*肅d止ou在bl丸e-巨st貨epme憐th匹od焦*沒(méi)/，而前砌面的陷三種閣算法樸都是單步鄙法/*菌s憤in愛(ài)gl鞠e-伸st近ep蛋m絕et獨(dú)ho睡d擇*/。方法§耽E哀ul檔er分’s全M澆et拿ho市d顯式歐拉隱式歐拉梯形公式中點(diǎn)公式簡(jiǎn)單精度內(nèi)低穩(wěn)定茶性最故好精度震低,計(jì)算婦量大精度醉提高計(jì)算曠量大精度列提高,顯式多一個(gè)蒸初值,可能制影響村精度Ca術(shù)n’錘t除yo減u擴(kuò)gi劍ve存m拐e參a硬fo釘rm陜ul口awi剖th受a見(jiàn)ll注t我he咐a謹(jǐn)dv歉an括ta驗(yàn)ge繡s椅ye宣t波wi去th欄ou限t騙an管yof品t葉he萌d側(cè)is版ad宴va賓nt狐ag桂es岡?Do驗(yàn)y釋ou籃t凱hi爛nk綿i甩t逗po債ss燙ib色le委?We椅ll慎,擾ca客ll盡m虹e旺gr疾ee可dy灣…OK尋,亦l(xiāng)e沫t’市s費(fèi)ma臣ke魚(yú)i驗(yàn)t市po蓋ss員ib鑒le主.改進(jìn)緣瑞歐拉挽法/*擊m崗od言if醬ie孕d蝦Eu薦le商r’祖s周me渴th強(qiáng)od麗*定/Step1:先用顯式歐拉公式作預(yù)測(cè)，算出),(1iiiiyxfhyy+=+Step2:再將代入隱式梯形公式的右邊作校正，得到1+iy)],(),([2111+++++=iiiiiiyxfyxfhyy注：此法斤亦稱次為預(yù)測(cè)-校正估法/*抓p猾re鑼di汽ct蔑or倚-c豬or貿(mào)re釘ct悶or聞m特et醫(yī)ho凳d蟻*/?？梢怨ёC明鏟該算將法具膽有2階精培度，隨同時(shí)蹈可以絨看到歲它是反個(gè)單步遞推存格式纖，比飾隱式塑公式繩的迭截代求軋解過(guò)敞程簡(jiǎn)單。后含面將堅(jiān)看到桌，它截的穩(wěn)定忠性高于顯翼式歐尚拉法董?！鞙谽u階le重r’完s府Me毯th察od§2龍格-庫(kù)塔縫法/*Ru論ng攏e-欺Ku眉tt豬aMe貪th捎od似*肚/建立高精度的單步遞推格式。單步遞推法的基本思想是從(xi,yi)點(diǎn)出發(fā)，以某一斜率沿直線達(dá)到(xi+1

,yi+1

)點(diǎn)。歐拉法及其各種變形所能達(dá)到的最高精度為2階。

考察改進(jìn)的歐拉法，可以將其改寫(xiě)為：斜率一定稠取K1K2的平均方值嗎？步長(zhǎng)調(diào)一定剝是一歌個(gè)h嗎？§2Ru怨ng極e-閣Ku牌tt尚aMe膝th蔥od首先希望能確定系數(shù)1、2、p，使得到的算法格式有2階精度，即在的前提假設(shè)下，使得

St窄ep塵1:將K2在(xi,yi)點(diǎn)作Ta飯yl酬or展開(kāi)將改進(jìn)歐拉法推廣為：),(),(][12122111phKyphxfKyxfKKKhyyiiiiii++==++=+llStep2:將K2代入第1式，得到§2Ru艘ng克e-掩Ku算tt即aMe警th鑒odSt死ep每3:將yi+1與y(xi+1)在xi點(diǎn)的泰勒展開(kāi)咐作比挎較要求，則必須有：這里伶有邁個(gè)未簡(jiǎn)知數(shù)丈，陡?jìng)€(gè)方著程。32存在無(wú)窮國(guó)多個(gè)律解。所塞有滿熟足上鍋式的柔格式到統(tǒng)稱