七年級(jí)上冊數(shù)學(xué)-角

xx一對(duì)一輔導(dǎo)講義學(xué)生姓名年級(jí)七年級(jí)科目數(shù)學(xué)授課教師上課時(shí)間年月日課時(shí)2h教學(xué)課題角的計(jì)算和證明教學(xué)目標(biāo)1．掌握角的概念及角的表示方法，并能進(jìn)行角度的互換；2.借助三角尺畫一些特殊角，掌握角大小的比較方法；3．會(huì)利用角平分線的意義進(jìn)行有關(guān)表示或計(jì)算；4.掌握角的和、差、倍、分關(guān)系，并會(huì)進(jìn)行有關(guān)計(jì)算；5.掌握互為余角和互為補(bǔ)角的概念及性質(zhì)，會(huì)用余角、補(bǔ)角及性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)計(jì)算；6．了解方位角的概念，并會(huì)用方位角解決簡單的實(shí)際問題．教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)掌握互為余角和互為補(bǔ)角的概念及性質(zhì)，會(huì)用余角、補(bǔ)角及性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)計(jì)算；了解方位角的概念，并會(huì)用方位角解決簡單的實(shí)際問題．教學(xué)過程考點(diǎn)一、角的概念角的定義：（1）定義一：有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，這個(gè)公共端點(diǎn)是角的頂點(diǎn)，這兩條射線是角的兩條邊．如圖1所示，角的頂點(diǎn)是點(diǎn)O，邊是射線OA、OB．圖2圖1圖2圖1定義二：一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形，射線旋轉(zhuǎn)時(shí)經(jīng)過的平面部分是角的內(nèi)部．如圖2所示，射線OA繞它的端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到OB的位置時(shí)，形成的圖形叫做角，起始位置OA是角的始邊，終止位置OB是角的終邊．要點(diǎn)詮釋：（1）兩條射線有公共端點(diǎn)，即角的頂點(diǎn)；角的邊是射線；角的大小與角的兩邊的長短無關(guān)．（2）平角與周角：如圖1所示射線OA繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，當(dāng)終止位置OB和起始位置OA成一條直線時(shí)，所形成的角叫做平角，如圖2所示繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，OB和OA重合時(shí)，所形成的角叫做周角．2.角的表示法：角的幾何符號(hào)用“∠”表示，角的表示法通常有以下四種：要點(diǎn)詮釋：用數(shù)字或小寫希臘字母表示角時(shí)，要在靠近角的頂點(diǎn)處加上弧線，且注上阿拉伯?dāng)?shù)字或小寫希臘字母．3.角的畫法（1）用三角板可以畫出30°、45°、60°、90°等特殊角（牢記三角板角度）．（2）用量角器可以畫出任意給定度數(shù)的角．（3）利用尺規(guī)作圖可以畫一個(gè)角等于已知角．考點(diǎn)二、角的比較與運(yùn)算1.角度制及其換算角的度量單位是度、分、秒，把一個(gè)周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的為1分，記作“1′”，1′的為1秒，記作“1″”．這種以度、分、秒為單位的角的度量制，叫做角度制．1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．要點(diǎn)詮釋：在進(jìn)行有關(guān)度分秒的計(jì)算時(shí)，要按級(jí)進(jìn)行，即分別按度、分、秒計(jì)算，不夠減，不夠除的要借位，從高一位借的單位要化為低位的單位后再進(jìn)行運(yùn)算，在相乘或相加時(shí)，當(dāng)?shù)臀坏脭?shù)大于等于60時(shí)要向高一位進(jìn)位．2.角的比較：角的大小比較與線段的大小比較相類似，方法有兩種．方法1：度量比較法．先用量角器量出角的度數(shù)，然后比較它們的大?。椒?：疊合比較法．把其中的一個(gè)角移到另一個(gè)角上作比較．如比較∠AOB和∠A′O′B′的大?。喝缦聢D，由圖（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由圖(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由圖(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．3.角的和、差關(guān)系如圖所示，∠AOB是∠1與∠2的和，記作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB與∠2的差，記作：∠1＝∠AOB-∠2．要點(diǎn)詮釋：(1)用量角器量角和畫角的一般步驟：①對(duì)中(角的頂點(diǎn)與量角器的中心對(duì)齊)；②重合(一邊與刻度尺上的零度線重合)；③讀數(shù)(讀出另一邊所在線的度數(shù))．(2)利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根據(jù)角的和、差關(guān)系，還可以畫出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角．4.角平分線從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線，叫做這個(gè)角的平分線．如圖所示，OC是∠AOB的角平分線，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC=∠AOB．要點(diǎn)詮釋：由角平分線的概念產(chǎn)生的合情推理其思維框架與線段中點(diǎn)的思維框架一樣．考點(diǎn)三、余角和補(bǔ)角1.定義：一般地，如果兩個(gè)角的和等于90°(直角)，就說這兩個(gè)角互為余角，即其中一個(gè)角是另一個(gè)角的余角．類似地，如果兩個(gè)角的和等于180°(平角)，就說這兩個(gè)角互為補(bǔ)角，即其中一個(gè)角是另一個(gè)角的補(bǔ)角．2．性質(zhì)：（1）同角（等角）的余角相等．（2）同角（等角）的補(bǔ)角相等．要點(diǎn)詮釋：(1)互余互補(bǔ)指的是兩個(gè)角的數(shù)量關(guān)系，互余、互補(bǔ)的兩個(gè)角只與它們的和有關(guān)，而與它們的位置無關(guān)．(2)一般地，銳角α的余角可以表示為(90°-α)，一個(gè)角α的補(bǔ)角可以表示為(180°-α)．顯然一個(gè)銳角的補(bǔ)角比它的余角大90°?？键c(diǎn)四、方位角在航行和測繪等工作中，經(jīng)常要用到表示方向的角．例如，圖中射線OA的方向是北偏東60°；射線OB的方向是南偏西30°．這里的“北偏東60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角．要點(diǎn)詮釋：（1）正東，正西，正南，正北4個(gè)方向不需要用角度來表示；（2）方位角必須以正北和正南方向作為“基準(zhǔn)”，“北偏東60°”一般不說成“東偏北30°”；（3）在同一問題中觀察點(diǎn)可能不止一個(gè)，在不同的觀測點(diǎn)都要畫出表示方向的“十字線”，確定其觀察點(diǎn)的正東、正西、正南、正北的方向；圖中的點(diǎn)O是觀測點(diǎn)，所有方向線(射線)都必須以O(shè)為端點(diǎn)．考點(diǎn)五、鐘表上有關(guān)夾角問題鐘表中共有12個(gè)大格，把周角12等分、每個(gè)大格對(duì)應(yīng)30°的角，分針1分鐘轉(zhuǎn)6°，時(shí)針每小時(shí)轉(zhuǎn)30°，時(shí)針1分鐘轉(zhuǎn)0.5°，利用這些關(guān)系，可幫助我們解決鐘表中角度的計(jì)算問題．【典型例題】類型一、角的概念及表示例1.下列語句正確的是()．A．兩條直線相交，組成的圖形叫做角．B．兩條具有公共端點(diǎn)的線段組成的圖形叫做角．C．兩條具有公共端點(diǎn)的射線組成的圖形叫做角．D．過同一點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角．舉一反三：【變式1】判斷下列說法是否正確。(1)兩條射線組成的圖形叫做角()(2)平角是一條直線()(3)周角是一條射線()【變式2】從點(diǎn)O出發(fā)有五條射線，可以組成的角的個(gè)數(shù)是（）A．4個(gè)B.5個(gè)C.7個(gè)D.10個(gè)例2.寫出圖中(1)能用一個(gè)字母表示的角；(2)以B為頂點(diǎn)的角；(3)圖中共有幾個(gè)角(小于180°).【總結(jié)】(1)頂點(diǎn)處只有一個(gè)角時(shí)，才可以用一個(gè)字母表示；(2)一般數(shù)角時(shí)不包括平角和大于平角的角．類型二、角度制的換算1.(1)把25.72°用度、分、秒表示；(2)把45°12′30″化成度（精確到百分位）．【總結(jié)】無論由高級(jí)單位向低級(jí)化還是由低級(jí)單位向高級(jí)化，都必須逐級(jí)進(jìn)行，“越級(jí)”化單位容易出錯(cuò)．舉一反三：【變式】1(1)把26.29°轉(zhuǎn)化為度、分、秒表示的形式為：；(2)把33°24′36″轉(zhuǎn)化成度表示的形式為：．2.計(jì)算下列各題：(1)152°49′12″+20.18°；(2)82°-36°42′15″；(3)35°36′47″×9；(4)41°37′÷3．【變式】計(jì)算：(1)23°45′36″+66°14′24″；(2)180°-98°24′30″；(3)15°50′42″×3；(4)88°14′48″÷4．類型三、角的比較與運(yùn)算1.不用量角器，比較圖1和圖2中角的大?。?用“＞”連接)2．如圖，直線外有一定點(diǎn)O，點(diǎn)A是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)A從左向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，和的關(guān)系是（）越來越小B.越來越大C.+=180°D.和均保持不變3．若∠A=20°18′，∠B=20°15′30″，∠C=20.25°，則（）A．∠A＞∠B＞∠CB．∠B＞∠A＞∠CC．∠A＞∠C＞∠BD．∠C＞∠A＞∠B舉一反三：【變式】已知∠AOB(如圖所示)，畫一個(gè)角等于這個(gè)角．作法步驟：(1)以點(diǎn)（）為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交（）、（）于點(diǎn)C、D；(2)畫一條射線（），以點(diǎn)（）為圓心，OC長為半徑畫弧，交O′A′于點(diǎn)C′；(3)以點(diǎn)C′為圓心，CD長為半徑畫弧，交弧l于點(diǎn)D′；(4)過點(diǎn)D′畫射線O′B′，則∠A′O′B′＝∠AOB．類型四、角平分線例1.∠AOB∠BOC∠AOC=120°∠MON=.例2.如圖所示，已知OC平分∠BOD，且∠BOC＝20°，OB是∠AOD的平分線，求∠AOD的度數(shù)．【變式1】已知：如圖，OM是∠AOB的平分線，ON是∠BOC的平分線，∠AOC=80°，求：∠MON.【變式2】如圖，已知O是直線AC上一點(diǎn)，OD平分DAOB，OE在DBOC內(nèi)，且DBOE＝DEOC，DDOE＝70°，求DEOC的度數(shù).例3.如圖，∠AOB的平分線OM,ON為∠MOA內(nèi)的一條射線，OG為∠AOB外的一條射線。某同學(xué)經(jīng)過認(rèn)真分析，得到一個(gè)關(guān)系式是∠MON=（∠BON－∠AON），你認(rèn)為這個(gè)同學(xué)得到的關(guān)系式正確嗎？若正確，請把得到這個(gè)結(jié)論的過程寫出來?！揪毩?xí)】1.如圖，已知∠AOB是∠AOC的余角，∠AOD是∠AOC的補(bǔ)角，且，求∠BOD、∠AOC的度數(shù)2.一條射線OA，若從點(diǎn)O再引兩條射線OB、OC，使∠AOB=60°，∠BOC=20°，求∠AOC的度數(shù)。例4.已知，如圖∠BOC為∠AOC內(nèi)的一個(gè)銳角，射線OM、ON分別平分∠AOC、∠BOC。若∠AOB=90°，∠BOC=30°，求∠MON的度數(shù)；若∠AOB=，∠BOC=30°，求∠MON的度數(shù)；若∠AOB=90°，∠BOC=，還能否求出∠MON的度數(shù)？若能，求出其值，若不能，說明理由。從前三問的結(jié)果你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？練習(xí)1.如圖，∠AOB=90o，∠AOC=30o，且OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，（1）求∠MON的度數(shù)．（2）若∠AOB=α其他條件不變，求∠MON的度數(shù)．（3）若∠AOC=β（β為銳角）其他條件不變，求∠MON的度數(shù).（4）從上面結(jié)果中看出有什么規(guī)律？練習(xí)2.把兩塊三角板按如圖所示那樣拼在一起，那么∠ABC的度數(shù)是____________練習(xí)3.如圖，將一副三角尺的直角頂點(diǎn)重合在一起．（1）若∠DOB與∠DOA的比是2∶11，求∠BOC的度數(shù)．（2）若疊合所成的∠BOC=n°(0<n<90)，則∠AOD的補(bǔ)角的度數(shù)與∠BOC的度數(shù)之比是多少？練習(xí)4.如圖所示．OB平分∠AOC，且∠2∶∠3∶∠4=2∶5∶3．求∠2，∠3，∠4．類型五、余角和補(bǔ)角一個(gè)角的補(bǔ)角比它的余角的4倍還多15°，則這個(gè)角的度數(shù)是多少.例2.∠A=32°36′它的補(bǔ)角為。例3.已知角a的余角比角a的補(bǔ)角的還少20°，求角a的余角.【總結(jié)】此題的關(guān)鍵是掌握互為余角、補(bǔ)角的定義，然后根據(jù)題中的關(guān)鍵語句列出方程或代數(shù)式，求出相應(yīng)角的度數(shù).【變式1】已知∠α=35°，則∠α的補(bǔ)角的度數(shù)是（）A．55° B． 65° C． 145° D． 165°【變式2】一個(gè)角的余角是這個(gè)角的補(bǔ)角的，則這個(gè)角的度數(shù)是（）A．30° B． 45° C． 60° D． 70°類型六、方位角例1.A看B的方向是北偏東30°，那么B看A的方向是()．A．南偏東60°B．南偏西60°C．南偏東30°D．南偏西30°例2.輪船航行到C處觀測小島A的方向是北偏西46°，那么從A同時(shí)觀測輪船在C處的方向是（）A．東偏南46°B．東偏北46°C．南偏東46°D．南偏東44°【變式1】小王從家出發(fā)向南偏東30°的方向走了1000米到達(dá)小軍家，此時(shí)小王家在小軍家的________方向．【變式2】已知小島A位于基地O的東南方向，貨船B位于基地O的北偏東50°方向，那么∠AOB的度數(shù)等于．類型七、鐘表上有關(guān)夾角問題例1.如圖是一個(gè)時(shí)鐘的鐘面，下午1點(diǎn)30分，時(shí)鐘的分針與時(shí)針?biāo)鶌A的角等于．【總結(jié)升華】根據(jù)鐘面平均分成12份，可得每份30°，根據(jù)每份的度數(shù)乘以時(shí)針與分針相距的份數(shù)，可得答案．本題考查了鐘面角，每份的度數(shù)乘以時(shí)針與分針相距的份數(shù)是解題關(guān)鍵．例2.求在7時(shí)到7時(shí)10分之間的什么時(shí)刻，時(shí)針與分針成一條直線?【變式】某人下午6點(diǎn)多外出購物，表上的時(shí)針和分針的夾角恰為110°，下午近7點(diǎn)回家時(shí)，發(fā)現(xiàn)表上的時(shí)針和分針的夾角又是110°，試算出此人外出用了多長時(shí)間?課后練習(xí)一、選擇題1．下列語句中正確的個(gè)數(shù)為（）（1）延長射線OA到點(diǎn)B（2）直線AB比射線CD長（3）線段AB就是A、B兩點(diǎn)間的距離（4）角的大小與角兩邊的長度無關(guān)A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)2．一個(gè)銳角的補(bǔ)角減去90°，就等于（）A．這個(gè)銳角的2倍B．這個(gè)銳角的余角C．這個(gè)銳角加上90°D．這個(gè)銳本身3．下面等式成立的是（）A．83.5°=83°50′B．37°12′36″=37.48°C．24°24′24″=24.44°D．41.25°=41°15′4．下列各圖中，射線OA表示南偏東32°方向的是（）A．B．C．D．5．用一副三角板不可以拼出的角是（）A．105°B．75°C．85°D．15°6．如圖，O是直線AB上的一點(diǎn)，過點(diǎn)O任意作射線OC，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，則∠DOE（）一定是鈍角B．一定是銳角C．一定是直角D．都有可能7．如果所示，已知∠1=∠2，∠3=∠4，則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為（）①AD平分∠BAF；②AF平分∠DAC；③AE平分∠DAF；④AE平分∠BAC．A．1B．2C．3D．48．已知∠AOB=80°，OM是∠AOB的平分線，∠BOC=20°，ON是∠BOC的平分線，則∠MON的度數(shù)為（）A．30°B．40°C．50°D．30°或50°二、填空題若∠α=34°36′，則∠