材料物理課件 Chapter 1.2 晶體的宏觀對(duì)稱性

繞旋轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)=角，記作Cn2n第一章

晶態(tài)結(jié)構(gòu)1.2.1.宏觀對(duì)稱元素第二節(jié)

晶體的宏觀對(duì)稱性C4假設(shè)圖形中可以找到一直線L，繞此直線將圖形旋轉(zhuǎn)某一角度，可使圖形復(fù)原，那么此直線稱為旋轉(zhuǎn)軸。C3C41.旋轉(zhuǎn)軸(AproperAxisofRotation)Cn

=En其中n只能取1，2，3，4，6這五個(gè)值。為什么?C3C3C3C42023/7/11對(duì)稱性定律：晶體中只可能出現(xiàn)1，2，3，4，6次旋轉(zhuǎn)軸，這稱為對(duì)稱性定律。C11.2.1.宏觀對(duì)稱元素(continue)C2C32023/7/12對(duì)稱性定律(continue)C4C6C52023/7/13對(duì)稱性定律(continue)C82023/7/142.反映面(鏡面)(APlaneofReflection)反映面的階次為2，用表示。正四面體有9個(gè)反映面。hvvd2=Eddddd2023/7/153.對(duì)稱中心(CenterofInversion)與對(duì)稱中心相應(yīng)的動(dòng)作是中心反演(或倒反)，記作I。I2=EI=hC24.反軸(ImproperAxis)與反軸相應(yīng)的動(dòng)作是旋轉(zhuǎn)反射操作，記作Sn。這是一個(gè)由旋轉(zhuǎn)和鏡面反射組成的復(fù)合操作。Sn=hCn=Cnh2023/7/164.反軸(continue)根據(jù)反軸的定義，可以得到假設(shè)n為偶數(shù)，那么(h)n=E，所以(Sn)n=E。假設(shè)n為奇數(shù)，那么(h)n=h，所以(Sn)n=h。S2=hC2=I(Sn)n=(hCn)n=(h)nCn=(h)n

n2023/7/175.一些特殊的對(duì)稱元素1)主軸在某些對(duì)稱性群中，通?？傆幸晦D(zhuǎn)軸的對(duì)稱性高于其它的轉(zhuǎn)軸。對(duì)稱性最高的的軸就稱為主軸。在討論問(wèn)題時(shí)一般都將主軸取作坐標(biāo)系的Z軸。2)等價(jià)軸(面)假設(shè)對(duì)稱性群中轉(zhuǎn)動(dòng)軸(或反映面)可由群元使之彼此相合，那么這些軸(面)就乘為等價(jià)軸(面)。繞等價(jià)軸轉(zhuǎn)動(dòng)相同角度的操作屬同一類(對(duì)等價(jià)的反軸也一樣)。3)雙向軸

若繞AA’軸的任一轉(zhuǎn)動(dòng)與其逆屬同一類(即Cm與

Cm=Cm

為同一類，則AA’軸就稱為雙向軸。m-kk-k2023/7/18兩個(gè)對(duì)稱元素組合必產(chǎn)生第三個(gè)對(duì)稱元素，這是因?yàn)榫w外形是有限圖形，對(duì)稱元素組合時(shí)至少交于一點(diǎn)。否那么對(duì)稱元素將無(wú)限伸展。一、反映面之間的組合1.2.2對(duì)稱元素組合原理定理：兩個(gè)反映面相交，其交線為旋轉(zhuǎn)軸，基轉(zhuǎn)角為反映面相交角的2倍。二、反映面與旋轉(zhuǎn)軸的組合定理：當(dāng)一個(gè)反映面穿過(guò)旋轉(zhuǎn)軸Cn時(shí)必有n個(gè)反映面穿過(guò)此旋轉(zhuǎn)軸。(萬(wàn)花筒定理)2023/7/19三、旋轉(zhuǎn)軸與對(duì)稱中心的組合1.2.2對(duì)稱元素組合原理(Cont’)定理：如果在偶次旋轉(zhuǎn)軸上有對(duì)稱中心，那么必有一反映面與旋轉(zhuǎn)軸垂直相交于對(duì)稱中心。四、旋轉(zhuǎn)軸之間的組合歐拉定理：兩個(gè)旋轉(zhuǎn)軸的適當(dāng)組合產(chǎn)生第三個(gè)旋轉(zhuǎn)軸。推論：在有對(duì)稱中心時(shí)，圖形中偶次軸數(shù)目和反映面數(shù)目相等。2023/7/1101.3.1

點(diǎn)群的概念第三節(jié)

點(diǎn)群(PointGroup)點(diǎn)群這一概念并沒(méi)有一個(gè)統(tǒng)一和明確的定義。一種觀點(diǎn)認(rèn)為晶體在宏觀觀察中是有限的，對(duì)稱元素必須至少交于一點(diǎn)，在對(duì)稱操作中至少有一點(diǎn)不動(dòng)，因此我們把宏觀觀察中所具有的點(diǎn)對(duì)稱元素的組合或宏觀對(duì)稱類型稱為點(diǎn)群。1.正當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)點(diǎn)群(properrotationpointgroup)正當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)點(diǎn)群的群元都是一些繞轉(zhuǎn)動(dòng)軸轉(zhuǎn)動(dòng)=角的操作。2n2023/7/111對(duì)于立方體群，由於不存在主軸，所以不能用極射投影圖而用單位球來(lái)表示，但很繁復(fù)。實(shí)際上常直接在立方體中標(biāo)出各種轉(zhuǎn)軸。1.3.2

極射投影圖為了形像地將一個(gè)晶體點(diǎn)群所包括的全部對(duì)稱元素表示出來(lái)，通常采用極射投影圖的方法。極射投影圖的一些規(guī)則：1.畫一個(gè)單位圓。2.n次正當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)主軸用于於圓心處的實(shí)正n邊形表示，如以

表示主軸是四次軸，以

表示二次軸，一次軸圓心處是空白。3.n次反軸用位于圓心的空心正n邊形表示。4.垂直于主軸的水平對(duì)映面用實(shí)線的單位圓表示。5.若不存在水平對(duì)映面，則用虛線單位圓表示。6.包含主軸的垂直對(duì)映面用實(shí)的直徑表示。7.垂直于主軸的轉(zhuǎn)動(dòng)軸用虛的直徑表示，并在直徑的兩端用如2、3所述的正n邊形標(biāo)明軸次。8.用表示高于紙面上的記號(hào)的投影，用表示低于紙面的記號(hào)在紙面上的投影。2023/7/1121.Cn群

這類群僅有一個(gè)n次軸，群元都是繞這n次軸的轉(zhuǎn)動(dòng)操作。這種群稱作軸轉(zhuǎn)動(dòng)群。1)C1={E}Cn

群是個(gè)循環(huán)群，即Cn={Cn,Cn,…,Cn=E}2n2)C2={C2,E}3)C3={C3,C3E}24)C4={C4,C4=C2,C4,E}231.3.3

晶體的32類點(diǎn)群+C1++C2+++C3++++C4++++++C65)C6={C6,C6=C3,C6=C2,C6=C3,C6,E}234522023/7/1132.Cnh群

這類群是由Cn群與水平反映面h組合而成的。因此這類群包含n個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)及n個(gè)旋轉(zhuǎn)反射，故群共有2n個(gè)群元。這類群共有五個(gè)。6)C1h={h,E}32類點(diǎn)群(2)7)C2h={C2,h,C2h,

E}C1hC2hC3hC4hC6h+++8)C3h={C3,C3,

h,

C3h,

C3h,E}22+++++++9)C4h={C4,C4=

C2,C4,h,

C4h,C2h,C4h,E}23310)C6h={C6,C3,C2,C3,C6,h,C6h,

C3h,C2h,C3h,C6h,E}2552++++++2023/7/1143.Cnv群

這類群含有n次旋轉(zhuǎn)軸及過(guò)主軸的垂直反映面。由對(duì)稱元素之間的關(guān)系可知，Cnv群必包含n個(gè)過(guò)主軸的垂直反映面。因此，群的群元數(shù)為2n，其中n個(gè)是繞主軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，n個(gè)是在垂直鏡面上的反射。由于C1v群與C1h群等價(jià)，所以可能的Cnv群只有四個(gè)。32類點(diǎn)群(3)11)C2v={c2z,v=xz=Ic2y,v’=c2zxz=Ic2x,E}C2vC3v12)C3h={C3z,C3z=C3z,v=xz,v’=C3zxz,

v’’=C3zxz,

E}22-12023/7/1153.Cnv群(continue)C4vC6v13)C4v={c4z,c4z=c2z,c4z,v=xz,c4zxz=d1=Ic2xy,

c4zxz=’v,c4zxz=d2=Ic2xy,E}232314)C6v={c6z,c6z=c3z,c6z=c2z,c6z=c3z,c6z,

xz=1,c6zxz=2,c6zxz=3,c6zxz=yz=4,c6zxz=5,c6zxz=5,E}232452345C6v群中由C6群的元與組合的五個(gè)元均為在垂直鏡面上的反射，分別記作2,3,4,5及6,其鏡面與xz平面的夾角分別為(n-1)/6。32類點(diǎn)群(3)2023/7/1164.S2m群

這類群僅包含n次反軸，且n=2m。當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，與Cnh群等價(jià)。所以這類群只有三個(gè)：S2、S4及S6。這類群的群元都是旋轉(zhuǎn)反射操作(S2m)n，其中1n2m。這類群都是阿貝爾群。32類點(diǎn)群(4)15)S2={s2=hc2z=c2zh=I,E}S2S416)S4={s4=xyc4z=c4zxy,s4=c2z

s4,E}23S617)S6={s6z=xyc6z=c6zxy=Ic3z,s6z=c3z,s6z=I,s6z=c3z,s6z=Ic3z,E}223542+++2023/7/1175.Dn群

Dn群包含有一個(gè)n次軸及n個(gè)與之垂直的二次軸，所以這類群的階為2n。由于二次軸的存在，使n次軸成為雙向軸。由于D1群與C2群是等價(jià)的，因此Dn群有四個(gè)：D2

、D3

、D4

、D6

。32類點(diǎn)群(5)18)D2={c2z,c2x,c2y,E}D2D3D419)D3={c3z,c2x,c3zc2x=c2’,c3z,c3zc2x=c2’’,E}2220)D4={c4z,

c2x,

c4zc2x=c2’,

c4z=c2z,

c4zc2x=c2y,

c4z,c4zc2x=c2’’,E}22332023/7/1185.Dn群(continue)D621)D6={c6z,

c2x,

c6zc2x=c2,

c6z=c3z,

c3zc2x=c2,

c6z=c2z,c2zc2x=c2y,c6z=c3z=c3z,

c3zc2x=c2,

c6z,

c6zc2x=c2,

E}522342-1532類點(diǎn)群(5)2023/7/11932類點(diǎn)群(6)6.Dnh群

Dnh群是由Dn群與水平反映面h組合而成的。Dnh群包含了在水平面上的二次轉(zhuǎn)軸，它們與h組合可得到垂直反映面v。因此，Dnh群共有4n個(gè)群元，其中2n個(gè)是Dn群的正當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)，n個(gè)垂直反映面v以及n個(gè)反軸sn=hcn。222)D2h={c2z,c2x,c2y,c2zxy=I,c2zxy=xy,c2xxy=Ic2y,c2yxy=Ic2x,E}D2h由于D1h與C2v群是等價(jià)的，所以

群有四個(gè)：D2h，D3h，D4h及D6h。++++2023/7/12032類點(diǎn)群(6)Dnh群(continue)23)D3h={c3z,c2x,c3zc2x=c2’,c3z,c3zc2x=c2’’,

c3zxy=s3,c2xxy=xz=v,c2’xy=v’,c3zxy=s3,

c2’’xy=v’’,

c3zxy=xy,E}23-122++++++D3h++++++++D4h24)D4h={c4z,

c2x,

c4zc2x=c2’,

c4z=c2z,

c4zc2x=c2y,

c4z,c4zc2x=c2’’,c4zxy=Ic4z=s4,c2xxy=Ic2y,c4zxy=I,c2yxy=Ic2x,c4zxy=Ic4z,c2’xy=Ic2’’,xy=Ic4z,

c2’’xy=Ic2’,

E}222332232023/7/12132類點(diǎn)群(6)

Dnh群(continue)D6h++++++++++++25)D6h={c6z,

c2x,

c6zc2x=c2,

c6z=c3z,

c3zc2x=c2,

c6z=c2z,c2zc2x=c2y,c6z=c3z=c3z,

c3zc2x=c2,

c6z,

c6zc2x=c2,

c6zxy=Ic6z,

c2xxy=Ic2y=xz=1,

c6zxy=Ic6z,

c2yxy=Ic2x=yz=4,

c6zxy=I,

c2xy=Ic2=2,c6zxy=Ic6z,

c2xy=Ic2=3,c6zxy=Ic6z,c2xy=Ic2=5,c6zxy=xy,c2xy=Ic2=6,E}522342-15425345262023/7/12232類點(diǎn)群(7)7.Dnd群Dnd群是由Dn與垂直反映面d組合而成的，其中d反映面包含主軸并且平分垂直于主軸的相鄰二次軸之間的夾角，這樣的垂直反映面共有n個(gè)。垂直反映面的存在，使得n次旋轉(zhuǎn)軸成為雙向軸，并使相鄰的二次軸可以互換而彼此等價(jià)。由于d及二次軸的存在，所以，主軸不僅是n次軸，而且是2n次旋轉(zhuǎn)反射軸。因此，根據(jù)對(duì)稱性定律，對(duì)于n3的Dnd群是不存在的。而且D1d與D2v群是等價(jià)的。所以，可能的Dnd群只有兩個(gè)：D2d及D3d。D2d26)D2d={c2z,c2x,c2y,c2zd1=d2,c2zd1=d1,

c2xd1=s4,c2yd1=s4,E}232023/7/12332類點(diǎn)群(7)Dnd群(continue)27)D3d={c3z,c2x,c3zc2x=c2’,c3z,c3zc2x=c2’’,

c3zd1=yz=Ic2x,s3,c2xd1=Ic3z,c2’d1=Ic3z,c3zd1=Ic2’,

c2’’d1=I,

c3zd1=Ic2’’,E}2322D3d2023/7/12432類點(diǎn)群(8)

正多面體群8.正多面體群

在正多面體群中，并不存在主軸，而存在互相垂直的等價(jià)軸。

在三維空間中，已經(jīng)證明僅有5種多面體是可能的，即正四面體、正八面體、正六面體、正十二面體、正二十面體。2023/7/12532類點(diǎn)群(8)

正多面體群(continue)如下圖，由正六面體的六個(gè)面心作為頂點(diǎn)可以構(gòu)成一個(gè)鑲嵌其中的正八面體，因此正六面體群和征八面體群具有相同的對(duì)稱性，它們屬同一點(diǎn)群。

同樣，正十二面體與正二十面體也屬同一點(diǎn)群，但由對(duì)稱性定律可知，晶體中不存在五次軸的對(duì)稱性，因此這兩種多面體群是不存在的。2023/7/12632類點(diǎn)群(8)

正四面體群Tetrahedron28)T群

T群是使正四面體自身重合的全部正當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)構(gòu)成的群。正四面體有三個(gè)二次軸及四個(gè)三次軸。因此T群的十二個(gè)群元可分成四類：E；3c2；4c3；4c3-1。C2C2C2C3C3C3C32023/7/12732類點(diǎn)群(8)

正四面體群(continue)29)Td群

Td群是由使正四面體自身重合的全部對(duì)稱操作組成的，Td群是完全的正四面體群。

Td群的對(duì)稱元素除了T群的三個(gè)二次軸和四個(gè)三次軸之外，還包含六個(gè)平分正四面體并包含正四面體一個(gè)邊的反映面d；另外還有3個(gè)四次旋轉(zhuǎn)反射軸Ic4x，Ic4y，Ic4z及其逆Ic4x-1，Ic4y-1，Ic4z-1(亦可表示為3s4及3s4-1)。所以，Td群共有24個(gè)群元，分為五類：E；3c2；8c3(4c3，4c3-1)；6Ic4(3Ic4，3Ic4-1)；6d。2023/7/12832類點(diǎn)群(8)

正四面體群(continue)30)Th群

Th

群是由T群的全部對(duì)稱元素與水平反映面h組合而成的。

Th群也有24個(gè)群元，分成八類：T群中的四類E；3c2；4c3；4c3-1及I；3Ic2；4Ic3；4Ic3-1。由于T群中存在二次旋轉(zhuǎn)軸，而二次軸與h組合成為對(duì)稱中心，而正四面體中并不存在對(duì)稱中心，因此Th

群不是正四面體的對(duì)稱性群。2023/7/129C4C3C4C3C3C3C432類點(diǎn)群(9)

正八面體群(Octahedron)31)O群

O群是使正八面體自身重合的全部正當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)構(gòu)成的群。由于正八面體與正六面體的對(duì)稱性相同，我們這里只以正六面體對(duì)稱性來(lái)說(shuō)明。正六面體有9個(gè)二次軸，4個(gè)三次軸和3個(gè)四次軸。

O群共有24個(gè)群元，可分為五類：E；3c2；6c2’；8c3(4c3，4c3-1)；6c4(3c4，3c4-1)。2023/7/13032類點(diǎn)群(9)

正八面體群(Continue)32)Th群

Oh

群是由O群的全部對(duì)稱元素與水平反映面h組合而成的。

Oh的群元是是正八面體(或正六面體)自身重合的一切對(duì)稱操作。Oh群是晶體點(diǎn)群中最大的一個(gè)群，共有48個(gè)群元，分為10類：除了O群的24個(gè)群元E；3c2；6c2’；8c3(4c3，4c3-1)；6c4(3c4，3c4-1)外，還有五類24個(gè)群元：1I；3Ic2；6Ic2’；8Ic3(4Ic3，4Ic3-1)；6Ic4(3Ic4，3Ic4-1)。2023/7/13132類點(diǎn)群(10)

32類點(diǎn)群之間的相互關(guān)系Cn群C1C2C3C4C6Cnh群C1hC2hC3hC4hC6hCnv群C1v=C1hC2vC3vC4vC6vS2m群S1=C1hS2S3=C3hS4S6Dn群D1=C2D2D3D4D6Dnh群D1h=C2vD2hD3hD4hD6hDnd群D1d=C2vD2dD3d

T群TTdThO群OOh2023/7/13232類點(diǎn)群(10)32個(gè)晶體點(diǎn)群共分9大類：Cn,Cnh,Cnv,S2m,Dn,Dnh,Dnd,O,T。在這32個(gè)點(diǎn)群中，除Oh群

(正六面體群)和D6h群(正六角柱群)是相互無(wú)關(guān)的兩個(gè)群外，其余的30個(gè)點(diǎn)群都是Oh群或D6h群的子群。這種關(guān)系示于圖中。

32類點(diǎn)群之間的相互關(guān)系2023/7/133

七大晶系按對(duì)稱性從低到高排列包括三斜晶系、單斜晶系、正交晶系、三角晶系、四方晶系、六方晶系、立方晶系。1.3.4

七大晶系及其最大點(diǎn)群1.三斜晶系(triclinic)abc90o2.單斜晶系(monoclinic)abc90o3.正交晶系(orthorhombic)abc90o4.四方晶系(tetragonal)abc90o2023/7/134

七大晶系按對(duì)稱性從低到高排列包括三斜晶系、單斜晶系、正交晶系、三角晶系、四方晶系、六方晶系、立方晶系。1.3.4

七大晶系及其最大點(diǎn)群(continue)5.三角晶系(rhombohedral)abc90o7.立方晶系(cubic)a