數(shù)學(xué)模型電子教案 m★漢魅HanMei-課程講義3

第十一章馬氏鏈模型11.1健康與疾病11.2鋼琴銷售的存貯策略11.3基因遺傳11.4等級(jí)結(jié)構(gòu)馬氏鏈模型系統(tǒng)在每個(gè)時(shí)期所處的狀態(tài)是隨機(jī)的從一時(shí)期到下時(shí)期的狀態(tài)按一定概率轉(zhuǎn)移下時(shí)期狀態(tài)只取決于本時(shí)期狀態(tài)和轉(zhuǎn)移概率已知現(xiàn)在，將來(lái)與過(guò)去無(wú)關(guān)（無(wú)后效性）描述一類重要的隨機(jī)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)（過(guò)程）的模型馬氏鏈(MarkovChain)——時(shí)間、狀態(tài)均為離散的隨機(jī)轉(zhuǎn)移過(guò)程通過(guò)有實(shí)際背景的例子介紹馬氏鏈的基本概念和性質(zhì)例1.人的健康狀況分為健康和疾病兩種狀態(tài)，設(shè)對(duì)特定年齡段的人，今年健康、明年保持健康狀態(tài)的概率為0.8,而今年患病、明年轉(zhuǎn)為健康狀態(tài)的概率為0.7，11.1健康與疾病

人的健康狀態(tài)隨著時(shí)間的推移會(huì)隨機(jī)地發(fā)生轉(zhuǎn)變保險(xiǎn)公司要對(duì)投保人未來(lái)的健康狀態(tài)作出估計(jì),以制訂保險(xiǎn)金和理賠金的數(shù)額

若某人投保時(shí)健康,問(wèn)10年后他仍處于健康狀態(tài)的概率Xn+1只取決于Xn和pij,與Xn-1,

…無(wú)關(guān)狀態(tài)與狀態(tài)轉(zhuǎn)移狀態(tài)轉(zhuǎn)移具有無(wú)后效性

120.80.20.30.7n0a2(n)0a1(n)1設(shè)投保時(shí)健康給定a(0),預(yù)測(cè)a(n),n=1,2…設(shè)投保時(shí)疾病a2(n)1a1(n)0n時(shí)狀態(tài)概率趨于穩(wěn)定值，穩(wěn)定值與初始狀態(tài)無(wú)關(guān)3…

0.778…

0.222…

∞

7/9

2/9

0.70.770.777…0.30.330.333…

7/9

2/9

狀態(tài)與狀態(tài)轉(zhuǎn)移120.80.20.30.710.80.220.780.221230.10.0210.80.250.180.65例2.健康和疾病狀態(tài)同上，Xn=1~健康,Xn=2~疾病p11=0.8,p12=0.18,p13=0.02死亡為第3種狀態(tài)，記Xn=3健康與疾病

p21=0.65,p22=0.25,p23=0.1p31=0,p32=0,p33=1n0123a2(n)00.180.1890.1835

a3(n)00.020.0540.0880

a1(n)10.80.7570.7285設(shè)投保時(shí)處于健康狀態(tài)，預(yù)測(cè)a(n),n=1,2…不論初始狀態(tài)如何，最終都要轉(zhuǎn)到狀態(tài)3；一旦a1(k)=a2(k)=0,a3(k)=1,則對(duì)于n>k,a1(n)=0，a2(n)=0,a3(n)=1,即從狀態(tài)3不會(huì)轉(zhuǎn)移到其它狀態(tài)。狀態(tài)與狀態(tài)轉(zhuǎn)移00150

0.12930.0326

0.8381

馬氏鏈的基本方程基本方程馬氏鏈的兩個(gè)重要類型1.正則鏈~從任一狀態(tài)出發(fā)經(jīng)有限次轉(zhuǎn)移能以正概率到達(dá)另外任一狀態(tài)（如例1）。w~穩(wěn)態(tài)概率馬氏分鏈的深兩個(gè)居重要艇類型2.吸收揉鏈~存在粒吸收蒼狀態(tài)逆（一墓旦到齡達(dá)就切不會(huì)郊離開忍的狀福態(tài)i,pii=1娃）,且從任帥一非桑吸收悄狀態(tài)吐出發(fā)專經(jīng)有菠限次季轉(zhuǎn)移康能以拒正概址率到境達(dá)吸開收狀尿態(tài)（幅如例2）。有r個(gè)吸練收狀酸態(tài)的稱吸收逝鏈的鐘轉(zhuǎn)移惱概率獎(jiǎng)陣標(biāo)大準(zhǔn)形監(jiān)式R有非擺零元促素yi~從第i個(gè)非僑吸收備狀態(tài)全出發(fā)邀，被突某個(gè)羞吸收朽狀態(tài)鄰吸收塔前的傍平均鵲轉(zhuǎn)移償次數(shù)拿。11拜.2鋼琴罪銷售即的存波貯策廚略鋼琴蔽銷售逮量很宇小，鎮(zhèn)商店職的庫(kù)浮存量過(guò)不大取以免尿積壓歇資金一家綱商店膝根據(jù)憲經(jīng)驗(yàn)塊估計(jì)就，平侮均每她周的宜鋼琴粱需求陡為1架存貯戶策略：每姐周末歸檢查茶庫(kù)存瘡量，盈僅當(dāng)俱庫(kù)存杜量為碎零時(shí)打，才及訂購(gòu)3架供拘下周納銷售閥；否畝則，省不訂耀購(gòu)。估計(jì)番在這慨種策悠略下肺失去核銷售征機(jī)會(huì)孕的可登能性農(nóng)有多掘大，圾以及度每周紫的平耽均銷連售量辱是多針少。背景造與問(wèn)惡題問(wèn)題幸分析顧客開的到局來(lái)相稱互獨(dú)葉立，擇需求敲量近擋似服移從波描松分畜布，守其參哪數(shù)由跟需求壁均值描為每煎周1架確秘定，摔由此要計(jì)算它需求亮概率存貯續(xù)策略扮是周涂末庫(kù)沿存量貓為零災(zāi)時(shí)訂粥購(gòu)3架周末圾的庫(kù)籌存量靠可能膽是0,諸1甘,則2,坑3，周隸初的塞庫(kù)存去量可涉能是1,婚2耕,煎3。用馬武氏鏈雁描述澡不同搖需求朵導(dǎo)致刊的周備初庫(kù)綠存狀逮態(tài)的檔變化瓦。動(dòng)態(tài)避過(guò)程絲式中每蘋周銷深售量淋不同竹，失剩去銷河售機(jī)術(shù)會(huì)（刮需求踐超過(guò)師庫(kù)存造）的輪概率賺不同竟?？砂纯品€(wěn)態(tài)總情況莊（時(shí)瓦間充蘿分長(zhǎng)熔以后至）計(jì)仗算失銅去銷久售機(jī)乖會(huì)的場(chǎng)概率薦和每節(jié)周的叢平均檢銷售撇量。模型犧假設(shè)鋼琴找每周賞需求輕量服茫從波蜻松分撞布，梁均值繳為每湖周1架存貯桶策略：當(dāng)黎周末滅庫(kù)存忠量為貸零時(shí)勢(shì)，訂瘡購(gòu)3架，科周初盞到貨戚；否菌則，伍不訂愿購(gòu)。以每利周初稼的庫(kù)瓜存量卵作為古狀態(tài)鋼變量燙，狀苦態(tài)轉(zhuǎn)罷移具荷有無(wú)暫后效遇性。在穩(wěn)備態(tài)情去況下獲計(jì)算隨該存墨貯策鞏略失較去銷胳售機(jī)據(jù)會(huì)的狂概率針，和鍋每周鉗的平壟均銷便售量洋。模型尺建立Dn~第n周需鴨求量，均值控為1的波培松分沾布Sn~第n周初香庫(kù)存慮量(狀態(tài)靈變量)狀態(tài)租轉(zhuǎn)移盒規(guī)律Dn0123>3P0.3680.3680.1840.0610.019狀態(tài)轉(zhuǎn)移陣

…觸…模型混建立狀態(tài)概率

馬氏寒鏈的史基本樓方程正則鏈

穩(wěn)態(tài)概率分布w滿足wP=w已知展初始皮狀態(tài)鎮(zhèn)，可席預(yù)測(cè)逃第n周初義庫(kù)存惡量Sn=i的概鋪率n,狀態(tài)概率

第n周失未去銷礦售機(jī)瘦會(huì)的岔概率n充分大時(shí)

模型菠求解從長(zhǎng)配期看是，失閃去銷跪售機(jī)寄會(huì)的警可能徐性大桶約10環(huán)%。1.估計(jì)廚在這裳種策吼略下術(shù)失去覽銷售擺機(jī)會(huì)繼的可皇能性D

0123>3P0.3680.3680.1840.0610.019模型慢求解第n周平早均售諒量從長(zhǎng)傘期看棒，每紅周的霜平均隸銷售蔽量為0.潔85售7(糟架)n充分大時(shí)

需求不超過(guò)存量,銷售需求需求超過(guò)存量,銷售存量

思考仁：為躲什么糟這個(gè)保數(shù)值炊略小政于每左周平鴨均需淘求量1(鐮架)?2.估計(jì)寺這種聞策略鑰下每而周的球平均妄銷售盜量敏感貝性分糊析當(dāng)平壟均需婦求在業(yè)每周1退(架地)附近船波動(dòng)鎮(zhèn)時(shí)，匆最終展結(jié)果騙有多匯大變氣化。設(shè)Dn服從屆均值候?yàn)榈牟ㄗ咚煞治霾紶顟B(tài)捉轉(zhuǎn)移死陣0.80.91.01.11.2P0.0730.0890.1050.1220.139第n周(n充分大)失去銷售機(jī)會(huì)的概率

當(dāng)平旨均需趨求增雖長(zhǎng)（閉或減懂少）10妻%時(shí)，百失去攪銷售賊機(jī)會(huì)趙的概啊率將國(guó)增長(zhǎng)雪（或畫減少沉）約12踢%。11逼.3基因牢遺傳背景生物慮的外軋部表暈征由攜內(nèi)部炸相應(yīng)境的基狠因決緣瑞定。基因虧分優(yōu)沈勢(shì)基秘因d和劣系勢(shì)基貞因r兩種嬌。每種紙外部覽表征繡由兩緞個(gè)基燃因決型定，湖每個(gè)筍基因文可以汪是d,沃r中的獵任一妖個(gè)。涉形成3種基列因類壘型：dd~優(yōu)種D,dr~混種H,rr~劣種R?；蛱骖愋蜕茷閮?yōu)餃種和箏混種,外部寨表征癥呈優(yōu)浴勢(shì)；潔基因父類型洋為劣煎種,外部形表征逝呈劣腥勢(shì)。生物任繁殖迷時(shí)后稠代隨爛機(jī)地雞（等顏概率暫地）送繼承萍父、威母的簽各一鍬個(gè)基微因，扮形成拉它的豎兩個(gè)畜基因哄。父狠母的禍基因塵類型突決定甩后代概基因妨類型穗的概乖率完全粗優(yōu)勢(shì)憤基因被遺傳父母松基因萌類型鏡決定役后代遵各種捷基因倚類型冰的概惕率父母基因類型組合后代各種基因類型的概率DDRRDHDRHHHRDRH1000011/21/200101/41/21/401/21/23種基鼓因類撓型：dd~優(yōu)種D,dr~混種H,rr~劣種R完全兩優(yōu)勢(shì)擱基因通遺傳P(DDH)=P(dddd,dr)=P(ddd)P(ddr)P(RHH)=P(rrdr,dr)=P(rdr)P(rdr)=1奴1完/2彩=1/塞2=1莖/2升1益/2尼=1/癥4隨機(jī)就繁殖設(shè)群輸體中述雄性茫、雌攏性的們比例殊相等挨，基略因類岔型的蠅分布禁相同刻（記叛作D:H:R）每一頑雄性坐個(gè)體案以D:H:R的概醉率與泛一雌時(shí)性個(gè)牲體交具配，楚其后憶代隨璃機(jī)地爆繼承策它們賺的各瞧一個(gè)遇基因設(shè)初枯始一辛代基門因類睬型比謹(jǐn)例D:H:R=a:2b:c（a+鐵2b柿+c埋=1)午,記p=屆a+撫b,農(nóng)q慘=b蘭+c爹,則群體深中優(yōu)丹勢(shì)基固因和怪劣勢(shì)狐基因壯比例d:r=優(yōu)p:q(p+螞q=1守)。假設(shè)建模狀態(tài)Xn=1賀,2濃,3童~第n代的箏一個(gè)局體屬瘦于D,地H荒,朽R狀態(tài)戶概率ai(n)僚~第n代的控一個(gè)裳體屬說(shuō)于狀東態(tài)i(=市1,擺2,泛3)的概捕率。討論京基因尖類型飄的演跳變情液況基因榨比例d:端r=凝p:菜q轉(zhuǎn)移概率矩陣狀態(tài)的轉(zhuǎn)移睛概率隨機(jī)棕繁殖馬氏資鏈模嫂型自然辰界中鞋通常p=總q=1障/2穩(wěn)態(tài)奴分布D:H:R=1雹/4篩:1胞/2凱:1棕/4基因勻類型許為D和H,優(yōu)勢(shì)放表征——綠色教，基因戶類型促為R,劣勢(shì)況表征——黃色巧。解釋“豆科立植物怒的莖寒，綠根色:黃色=3服:1”(D+H):R=3:1隨機(jī)大繁殖近親讀繁殖在一許對(duì)父泛母的應(yīng)大量則后代描中,雄雌葬隨機(jī)殲配對(duì)賺繁殖魯，討犬論一厭系列和后代電的基溫因類伙型的虜演變帖過(guò)程蹦。狀態(tài)飄定義帖為配故對(duì)的地基因費(fèi)類型商組合Xn=1溪,2逗,3證,4理,5棉,6榜~配對(duì)窄基因鼓組合睜為DD財(cái),R者R,姐DH飛,D犯R,暗HH松,H呀R狀態(tài)竄轉(zhuǎn)移鏟概率馬氏寒鏈模洲型I0RQ狀態(tài)1(DD),國(guó)2例(RR)是吸輪收態(tài)芽，馬況氏鏈粗是吸趣收鏈——不論福初始劃如何賄，經(jīng)啦若干執(zhí)代近罩親繁消殖，問(wèn)將全幟變?yōu)榇秲?yōu)種年或劣揚(yáng)種.計(jì)算倡從任撲一非豪吸收出態(tài)出稅發(fā)，抱平均蠟經(jīng)過(guò)由幾代哪被吸杰收態(tài)能吸收追。純種(優(yōu)種極和劣趴種)的某終些品喜質(zhì)不扇如混達(dá)種，協(xié)近親變繁殖肢下大百約5~廳6代就合需重棕新選臟種.近親關(guān)繁殖11癥.4等級(jí)嫁結(jié)構(gòu)社會(huì)售系統(tǒng)購(gòu)中的嚇等級(jí)陸結(jié)構(gòu)眾，適揀當(dāng)、減穩(wěn)定貪結(jié)構(gòu)惜的意保義描述檢等級(jí)榜結(jié)構(gòu)嚴(yán)的演營(yíng)變過(guò)衰程，風(fēng)預(yù)測(cè)遞未來(lái)險(xiǎn)的結(jié)板構(gòu)；確定案為達(dá)屠到某岡個(gè)理器想結(jié)支構(gòu)應(yīng)拆采取禮的策為略。引起遷等級(jí)醉結(jié)構(gòu)殊變化倡的因濤素：系統(tǒng)悲內(nèi)部附等級(jí)窯間的躍轉(zhuǎn)移慢：提污升和襲降級(jí)丹；系統(tǒng)速內(nèi)外冷的交臂流：售調(diào)入沸和退蛛出(退休乘、調(diào)仙離等).用馬動(dòng)氏鏈少模型炭描述擊確定筍性轉(zhuǎn)氏移問(wèn)燥題——轉(zhuǎn)移靠比例匠視為擁概率基本墓模型a(t)~等級(jí)們結(jié)構(gòu)等級(jí)i=1橋,2挑,k（如助壞教、學(xué)講師洪、教乎授）數(shù)量擊分布n(t)=惱(n1(t),n2(t),nk(t))ni(t)延~t年屬填于等屠級(jí)i的人訓(xùn)數(shù)，t=0奸,1畝,比例稱分布a(t)=衣(a1(t),a2(t),ak(t))轉(zhuǎn)移掙矩陣Q={pij}kk,pij是每死年從i轉(zhuǎn)至j的比項(xiàng)例基本聞模型基本質(zhì)模型~基本慎模型基本呈模型等級(jí)亂結(jié)構(gòu)a(t)暢~狀態(tài)卡概率P~轉(zhuǎn)移斷概率不矩陣用調(diào)筍入比形例進(jìn)棍行穩(wěn)戚定控鋒制問(wèn)題箏：給率定Q,哪些愁等級(jí)紐奉結(jié)構(gòu)抗可以漠用合艷適的肝調(diào)入爪比例兼保持陰不變a為穩(wěn)定結(jié)構(gòu)用調(diào)君入比幟例進(jìn)幻玉行穩(wěn)川定控栗制求穩(wěn)定結(jié)構(gòu)a=(a1,a2,a3)(a1+a2+a3=1)(0.5,0.5,0)a2=a1a3=1.5a2(0,0.4,0.6)a*穩(wěn)定擴(kuò)域BB(0,0,1)(0,1,0)(1,0,0)A可行愧域A例列大轟學(xué)教豆師(助教肝、講陵師、者教授)等級(jí)i=1敬,2苗,3，已知窄每年薦轉(zhuǎn)移棟比例用調(diào)頃入比館例進(jìn)杏行穩(wěn)死定控代制研究逃穩(wěn)定覺(jué)域B的結(jié)蜘構(gòu)