電子科大 圖論上課及復(fù)習(xí)總結(jié) 楊春6

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圖論及其應(yīng)用任課教師：楊春數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院1本次課主要內(nèi)容(二)、E圖和H圖的關(guān)系超哈密爾頓圖問(wèn)題(一)、超H圖與超H跡2

定義1若圖G是非H圖，但對(duì)于G中任意點(diǎn)v,都有G-v是H圖，則稱G是超H圖。(一)、超H圖與超H跡

定理1彼得森圖是超H圖。1765432彼得森圖1098

證明：(1)證明彼得森圖是非H圖。3

若不然，設(shè)C是G的H圈。1654327彼得森圖1098

又對(duì)于邊28，23來(lái)說(shuō)，在前面情況下，必有一條在C中。分兩種情形討論。

對(duì)于邊12,17,15來(lái)說(shuō)，必然有兩條邊在C中。不失一般性，假定17,12在C中，那么，56，54也必然在C中。41654327彼得森圖1098

但這樣得到圈：17(10)821。所以該情形不能存在。

情形1：假如28在C中，則39，34在C中,從而7(10),8(10)在C中5

但這樣得到圈：123971。所以該情形也不能存在。

情形2：假如23在C中，則86，8(10)在C中,從而39,79在C中.1654327彼得森圖10981654327彼得森圖1098

上面推理說(shuō)明，G中不存在H圈，即彼得森圖是非H圖。6

由對(duì)稱性，只需考慮下面兩種情形:(a)G-1,（b）G-6

(2)證明對(duì)任意點(diǎn)v，G-v是H圖。

(a)G-1中有H圈：54328(10)796536542107G-198

(b)G-6中有H圈：54397(10)8215154327G-61098

由(1)與(2)，G是超H圖。7

定義2若G中沒(méi)有H路，但是對(duì)G中任意點(diǎn)v，G-v存在H路，則稱G是超可跡的。

數(shù)學(xué)家加萊曾經(jīng)猜想：不存在超可跡的圖。但該猜想被Horton和Thomassen以構(gòu)圖的方式否定了。

定理2Thomassen圖是超可跡圖。abdefcThomassen圖ⅠⅡⅢⅣ8

定理證明分為兩部分:(1)證明G中不存在H路；(2)證明對(duì)G中任意點(diǎn)v，有G-v存在H路。

(1)證明G中不存在H路。

如圖所示，將G用虛線分成對(duì)稱的4部分：Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ

。abdefcThomassen圖ⅠⅡⅢⅣ

假設(shè)G有H路P,設(shè)該路的起點(diǎn)為α，終點(diǎn)為β。不失一般性，設(shè)α∈Ⅰ∪｛a｝。

斷言1：Ⅰ∪｛a｝中不存在以a,c,d三點(diǎn)中任意兩點(diǎn)為端點(diǎn)的H路。

若不然，將推出彼得森圖是H圖。9abdefcThomassen圖ⅠⅡⅢⅣ斷言2：Ⅰ∪學(xué)Ⅱ游∪｛a，b｝中不倆存在劍以a為端絨點(diǎn)的H路。若不無(wú)然，存設(shè)Q是一事條以a為起漢點(diǎn)的Ⅰ∪劣Ⅱ屈∪｛a，b｝中的H路。璃那么節(jié)，從a出發(fā)肆，沿靈著該屯路行止走有哥兩種針可能:銹(1批)遍歷勤了Ⅰ中所蛾有點(diǎn)辨之后湯，從c或d進(jìn)入Ⅱ，但誘這形貸成了Ⅰ百∪｛a｝中的棵以a,伴c或a,料d為端漆點(diǎn)的H路，葡與斷鏡言1矛盾濱！(2攏)沒(méi)有額遍歷述完Ⅰ棟∪｛a｝中的村頂點(diǎn)殃，假殊若從c進(jìn)入Ⅱ，那起么，樓必須懼遍歷授完Ⅱ啞∪｛b｝的所刪有頂惱點(diǎn)后拾，才僵能從e進(jìn)入Ⅰ。但左這也覺(jué)會(huì)與小斷言1產(chǎn)生月矛盾真。10abdefcThomassen圖ⅠⅡⅢⅣ情形1：α=叨a所以缸，情紗形1不能塘成立傘！由前然面假禮設(shè)：α∈Ⅰ∪｛a｝。我們額沿著P作如撇下的重行進(jìn)董：(1布)假設(shè)毅是由a進(jìn)入Ⅰ，要怒能夠規(guī)走完P(guān),必須界遍歷Ⅰ∪光Ⅱ的所手有頂寄點(diǎn)后餡由b進(jìn)入Ⅲ，但陳這與性斷言2矛盾州！(2史)假設(shè)寧是由a進(jìn)入Ⅳ，要尊能夠肯走完P(guān),必須廈遍歷Ⅲ∪Ⅳ的所豬有頂叉點(diǎn)后痛由b進(jìn)入Ⅱ，但悼這也江與斷某言2矛盾呢！11abdefcThomassen圖ⅠⅡⅢⅣ情形2：α≠常a所以艦，情場(chǎng)形2也不逗能成捉立！我們黨沿著P作如撕下的蛇行進(jìn)晌：(1調(diào))假設(shè)融是由α遍歷跪了Ⅰ∪垂Ⅱ室∪｛b｝所霞有頂炸點(diǎn)從a進(jìn)入Ⅳ，這序與斷攝言2矛盾秒！同箭樣，礙假設(shè)此是由α遍歷銷了Ⅰ∪獸Ⅱ取∪｛a｝所配有頂堵點(diǎn)從b進(jìn)入Ⅳ，這似也與決斷言2矛盾溪！(2努)假設(shè)著是由α開(kāi)始娘，沒(méi)可有遍燈歷Ⅰ∪筆Ⅱ館∪｛a少,b｝而牧從a或b進(jìn)入Ⅲ∪勞Ⅳ，那聽(tīng)么，挎要走凈完P(guān),都必定須遍榴歷完Ⅲ∪蟲(chóng)Ⅳ的所捧有頂乓點(diǎn)后仔，才打能重魂新進(jìn)州入Ⅰ∪遵Ⅱ。但銅這要嚷與斷文言2矛盾12綜合雹上面蛛的論層述：命得G中沒(méi)認(rèn)有H路。(2定)證明桐對(duì)G中任奸意點(diǎn)v，有G-愧v存在H路。由對(duì)貍稱性茅：我毫們?nèi)和Ⅲ中頂績(jī)點(diǎn)逐辯一分讀析即銜可。糾例如急：abdefcThomassen圖ⅠⅡⅢⅣ綜上展所述教：得Th奇om次as編se葬n圖是煩超可繞跡圖初。13關(guān)于H圖的蛇一些時(shí)猜想1、加刑萊猜持想：科不存訴在超統(tǒng)可跡箱的圖示。加萊段猜想僵是錯(cuò)傷誤的陜。Th薄om憐as驗(yàn)se趟n圖否園定了報(bào)加萊超猜想晨。加萊(1泡91櫻2-福--補(bǔ)19減92蹤蝶)匈牙錢利數(shù)膚學(xué)家覆。他嘴和Er泥do候s,托蘭帥是當(dāng)鴉時(shí)匈坐牙利榨國(guó)家抓數(shù)學(xué)地競(jìng)賽括獲勝殖者，舍后來(lái)淡成為羨一生紀(jì)的朋踏友。加萊送深受啄哥尼偽的影辦響而泛對(duì)圖爆論產(chǎn)訴生極風(fēng)大興窗趣，堪以至艱于他蕩對(duì)圖秩論基駛礎(chǔ)理張論做缸出了貞重大陸貢獻(xiàn)處，推呈動(dòng)了誦圖論疑與組在合數(shù)夾學(xué)的城迅速蘋(píng)發(fā)展外。同蹲時(shí)，置他也齊是最究早認(rèn)挖識(shí)所連謂的爽“極愁小--極大剛定理并”重皇要性零的數(shù)情學(xué)家計(jì)之一棉。加萊潮為人接謙虛謹(jǐn)?shù)驼{(diào)吐，很承少在配公開(kāi)菊?qǐng)龊侠ヂ睹娌摺３r(shí)常在很贊揚(yáng)鏈別人籠工作蛛時(shí)低尾估自蔽己的建成績(jī)陰。不故喜歡器發(fā)表亂自己攔研究污成果送。142、泰脈特猜灣想：冶任何3連通3正則垮可平右面圖警是H圖。泰特纖猜想貪也是珍錯(cuò)誤鈴的。濾托特19嫂46年構(gòu)妄圖否背定了臺(tái)泰特救猜想?yún)病?6個(gè)點(diǎn)的托特圖Le嚇de言rb巡壽er籍g等構(gòu)譯造了際最小紅的3連通3正則浪圖非H圖，漫有38個(gè)點(diǎn)醋。15如果候泰特滿猜想掘正確俘，4色定舞理可矩得到伙證明全。托特(1制91架7-窩--局20瓣02傭)英國(guó)毒著名汗數(shù)學(xué)副家。19利35年，鉗入劍拉橋三菌一學(xué)兵院學(xué)訂習(xí)化壞學(xué)，抹并攻秩讀了歌化學(xué)酬研究搭生，墨撰寫(xiě)紡了2篇化抓學(xué)論決文。西但是鑰，他污的興皮趣是救數(shù)學(xué)廚。在歸劍橋任，他金結(jié)識(shí)播了3位數(shù)膊學(xué)專鳳業(yè)的橫本科沈?qū)W生急并成首為終助身朋鄭友，彼合作符發(fā)表宇數(shù)學(xué)頑論文談。二抹戰(zhàn)后頂，托竿特回涂到劍搬橋攻能讀數(shù)腸學(xué)研攀究生糕。研跌究生旅期間雅，發(fā)茂表了毒關(guān)于倚圖的書(shū)因子父分解四論文蘇。在足他的柏?cái)?shù)學(xué)萌博士鴉論文菠中，雅復(fù)興跡了擬踢陣?yán)斫嫡?惠特識(shí)尼引析入的).顛19庸48年博魯士畢矛業(yè)后箭，受20世紀(jì)盞偉大大的幾攝何學(xué)反家Co吸xe贏te躁r邀請(qǐng)內(nèi)前往催多倫攝多大龜學(xué)任達(dá)教，張成為跳組合魂數(shù)學(xué)余杰出弓學(xué)者蕉。5年后啦到滑土鐵盧個(gè)大學(xué)餐工作情直到19掩84年退沖休。托特謠是20世紀(jì)銜偉大招的數(shù)寬學(xué)家對(duì)之一鴨，在助近代凍數(shù)學(xué)故史上總占有艦一定言的地猴位?；葜饕M功績(jī)?cè)撌翘崴沙霾⒉熳C明活了圖蟻的完唉美匹箱配定凱理。16托特神還喜網(wǎng)歡寫(xiě)捎詩(shī)，寶在19著69年寫(xiě)偽了一末首反桿映圖任論的趨詩(shī)：哥尼允斯堡摘的一涼些市態(tài)民，漫步弊在河治畔。在普類雷格響爾河鹽旁，有七胡座橋目相伴縫。“Eu岸le冊(cè)r,我們節(jié)一起倡散步宋吧！求”那些佛市民寄在召封喚?！拔页鐐?cè)谂@七綠座橋闖上漫也步，經(jīng)過(guò)尼每座夕橋僅角一次閑。”“你餐們做廉不到弓”，Eu斧le唯r大聲蠟吼道甲?！敖Y(jié)旦果就膚是這鎮(zhèn)樣，島嶼盤(pán)作為祝頂點(diǎn)蘇，四個(gè)狹點(diǎn)有骨奇數(shù)氧度”境。從哥仁尼斯濱堡到睬哥尼敞的書(shū)萍，圖論素的傳梯說(shuō)正木是如醉此，而且暢越來(lái)蒼越精筋彩，綻放叼在密咳歇根漫和耶慢魯17該猜痛想錯(cuò)呢誤。Me柔re遙di擊th構(gòu)圖傲對(duì)猜虛想進(jìn)提行了藏否定澆。3、納值什—威廉破斯猜辰想：尸每個(gè)4連通4正則算圖是H圖。Meredith圖Me辰re兩di激th圖是感由彼個(gè)得森棗圖的堵每個(gè)姜頂點(diǎn)虹嵌入索一個(gè)K3,袍4作成與。18該猜扯想錯(cuò)察誤。Co箭xe資te匹r構(gòu)圖邪對(duì)猜耕想進(jìn)惡行了蘭否定產(chǎn)。4、托戚特猜朽想：福每個(gè)3連通3正則原偶圖攤是H圖。Coxeter圖19該猜泥想是羞正確心的，競(jìng)已經(jīng)督得到月證明洽。5、普需魯默雕猜想猜：每來(lái)個(gè)2連通源圖的梳平方僅是H圖。定義裁：圖G的平夠方G2是這叮樣的造圖:1234G1234G2值得孔一提努的是欠：在H問(wèn)題并研究卸中，H圖中H圈的轉(zhuǎn)計(jì)數(shù)寸問(wèn)題封也是筑一個(gè)駐研究漫方向海。20定理撤：每范個(gè)3正則H圖至鵲少有3個(gè)生膨成圈窮。我院楚張先柱迪、園李正濱良教策授曾蛋經(jīng)也剩研究剛過(guò)H圖中H圈的討計(jì)數(shù)脊問(wèn)題村。90年在《系統(tǒng)越科學(xué)館與數(shù)獻(xiàn)學(xué)》學(xué)報(bào)鵲上發(fā)餃表文走章：瞞“有磚限循癢環(huán)群招上Ca爐yl萄ey有向辮圖的H回路沾”，鵲得到雕了該帝類圖舊的H圈的厭計(jì)數(shù)凳公式己。(二)、E圖和H圖的雹關(guān)系從表蔑面上膠看，E圖與H圖間睬沒(méi)有饒聯(lián)系哲。因霸為我概們可饅以不產(chǎn)費(fèi)力愁地找康到:座(1卸)胳E圖但牽非H圖；(2鼓)甘E圖且H圖；(3握)稠H圖但淺非E圖;毛(4蜻)非E圖且或非H圖.E且H圖E圖但非H圖H但非E圖非E且非H圖21定義3設(shè)G是圖杠，G的線屋圖L(僑G)定義帥為：特別間地，羅定義G的n次迭油線圖Ln(G丙)為：x3x1x4x2G2=L(G1)L(G2)=L(L(G1))x1x2

x3x4G11、線暈圖概盼念22(1滅)線圖L(牲G)頂點(diǎn)省數(shù)等茶于G的邊聽(tīng)數(shù)；竄若e=悄u蜓v是G的邊笛，則e作為L(zhǎng)(丹G)的頂喪點(diǎn)度謙數(shù)為芽：d(燒e)成=d稿(u糕)+保d(鉤v)閘-2陵.2、線擴(kuò)圖的釀性質(zhì)(2蟲(chóng))若G=松(n武,草m)封,則線役圖L(掙G)邊數(shù)趣為：證明洪：由史線圖喊的定妥義，L(啟G)有m個(gè)頂馬點(diǎn)。腰對(duì)于G中任奮一頂鐮點(diǎn)v，關(guān)劍聯(lián)于皮該頂肢點(diǎn)的d(控v)條邊薯將產(chǎn)冷生L(誰(shuí)G)中屑條邊不。所排以L(逐G)中的租總邊粘數(shù)為龜