高中數(shù)學(xué)- 兩角差的余弦公式教學(xué)設(shè)計學(xué)情分析教材分析課后反思

3.1.1兩角差的余弦公式教材分析《兩角差的余弦公式》是人教A版高中數(shù)學(xué)必修4第三章《三角恒等變換》第一節(jié)《兩角和與差的正弦、余弦和正切公式》第一課時內(nèi)容。本節(jié)主要給出了兩角差的余弦公式的推導(dǎo)，要引導(dǎo)學(xué)生主動參與，獨立思考，合作交流，獲得相應(yīng)結(jié)論。三維目標(biāo)1．通過讓學(xué)生探索、猜想、發(fā)現(xiàn)并推導(dǎo)“兩角差的余弦公式”，了解單角與復(fù)角的三角函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，并通過強化題目的訓(xùn)練，加深對兩角差的余弦公式的理解，培養(yǎng)學(xué)生的運算能力及邏輯推理能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)．2．通過兩角差的余弦公式的運用，會進(jìn)行簡單的求值、化簡、證明，體會化歸思想在數(shù)學(xué)當(dāng)中的運用，使學(xué)生進(jìn)一步掌握聯(lián)系的觀點，自覺地利用聯(lián)系變化的觀點來分析問題，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力．3．通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，使學(xué)生體會探究的樂趣，認(rèn)識到世間萬物的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化，養(yǎng)成用辯證與聯(lián)系的觀點看問題．創(chuàng)設(shè)問題情境，激發(fā)學(xué)生分析、探求的學(xué)習(xí)態(tài)度，強化學(xué)生的參與意識，從而培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力和代換、演繹、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法．重點難點教學(xué)重點：通過探究得到兩角差的余弦公式．教學(xué)難點：探索過程的組織和適當(dāng)引導(dǎo)．課時安排1課時eq\o(\s\up7(),\s\do5(教學(xué)過程))導(dǎo)入新課推進(jìn)新課公式探究探究一請學(xué)生猜想cos(α－β)＝？活動：問題①，出示問題后，教師讓學(xué)生充分發(fā)揮想象能力嘗試一下，大膽猜想，有的同學(xué)可能就首先想到cos(α－β)＝cosα－cosβ的結(jié)論，讓學(xué)生明白，要想說明猜想正確，需進(jìn)行嚴(yán)格證明，而要想說明猜想錯誤，只需一個反例即可．探究二利用前面學(xué)過的單位圓上的三角函數(shù)線，如何用α、β的三角函數(shù)來表示cos(α－β)呢？既然cos(α－β)≠cosα－cosβ，那么cos(α－β)究竟等于什么呢？由于這里涉及的是三角函數(shù)的問題，是α－β這個角的余弦問題，我們能否利用單位圓上的三角函數(shù)線來探究呢？如圖1，設(shè)角α的終邊與單位圓的交點為P1，∠POP1＝β，則∠POx＝α－β.過點P作PM垂直于x軸，垂足為M，那么OM就是角α－β的余弦線，即OM＝cos(α－β)，這里就是要用角α、β的正弦線、余弦線來表示OM.過點P作PA垂直于OP1，垂足為A，過點A作AB垂直于x軸，垂足為B，過點P作PC垂直于AB，垂足為C.那么，OA表示cosβ，AP表示sinβ，并且∠PAC＝∠P1Ox＝α.于是，OM＝OB＋BM＝OB＋CP＝OAcosα＋APsinα＝cosβcosα＋sinβsinα.所以，cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.圖1教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考，以上的推理過程中，角α、β、α－β是有條件限制的，即α、β、α－β均為銳角，且α>β，如果要說明此結(jié)果是否對任意角α、β都成立，還要做不少推廣工作，并且這項推廣工作的過程比較繁瑣，由同學(xué)們課后動手試一試．探究三利用向量的知識，又能如何推導(dǎo)發(fā)現(xiàn)cos(α－β)＝？引導(dǎo)學(xué)生，可否利用剛學(xué)過的向量知識來探究這個問題呢？如圖2，在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)作單位圓O，以O(shè)x為始邊作角α、β，它們的終邊與單位圓O的交點分別為A、B，則eq\o(OA,\s\up6(→))＝(cosα，sinα)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(cosβ，sinβ)，∠AOB＝α－β.圖2由向量數(shù)量積的定義有eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝|eq\o(OA,\s\up6(→))||eq\o(OB,\s\up6(→))|·cos(α－β)＝cos(α－β)，由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示有eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝(cosα，sinα)(cosβ，sinβ)＝cosαcosβ＋sinαsinβ，于是，cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.我們發(fā)現(xiàn)，運用向量工具進(jìn)行探究推導(dǎo)，過程相當(dāng)簡潔，但在向量數(shù)量積的概念中，角α－β必須符合條件0≤α－β≤π，以上結(jié)論才正確，由于α、β都是任意角，α－β也是任意角，因此就是研究當(dāng)α－β是任意角時，以上公式是否正確的問題．當(dāng)α－β是任意角時，由誘導(dǎo)公式，總可以找到一個角θ∈[0,2π)，使cosθ＝cos(α－β)，若θ∈[0，π]，則eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝cosθ＝cos(α－β)．若θ∈[π，2π]，則2π－θ∈[0，π]，且eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝cos(2π－θ)＝cosθ＝cos(α－β)．由此可知，對于任意角α、β都有eq\x(cosα－β＝cosαcosβ＋sinαsinβCα－β)此公式給出了任意角α、β的正弦、余弦值與其差角α－β的余弦值之間的關(guān)系，稱為差角的余弦公式，簡記為C(α－β)．有了公式C(α－β)以后，我們只要知道cosα、cosβ、sinα、sinβ的值，就可以求得cos(α－β)的值了．公式認(rèn)知細(xì)心觀察C(α－β)公式的結(jié)構(gòu)，它有哪些特征？其中α、β角的取值范圍如何？引導(dǎo)學(xué)生細(xì)心觀察公式C(α－β)的結(jié)構(gòu)特征，讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)公式左邊是“兩角差的余弦”，右邊是“這兩角的余弦積與正弦積的和”，可讓學(xué)生結(jié)合推導(dǎo)過程及結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行記憶，特別是運算符號，左“－”右“＋”．或讓學(xué)生進(jìn)行簡單填空，如：cos(A－B)＝________，cos(θ－φ)＝________等．因此，只要知道了sinα、cosα、sinβ、cosβ的值就可以求得cos(α－β)的值了．公式應(yīng)用如何正用、逆用、靈活運用C(α－β)公式進(jìn)行求值計算？例1利用差角余弦公式求cos15°的值．活動：先讓學(xué)生自己探究，對有困難的學(xué)生教師可點撥學(xué)生思考題目中的角15°，它可以拆分為哪些特殊角的差，如15°＝45°－30°或者15°＝60°－45°，從而就可以直接套用公式C(α－β)計算求值．充分讓學(xué)生自己獨立完成，在學(xué)生的具體操作下，體會公式的結(jié)構(gòu)，公式的用法以及把未知轉(zhuǎn)化為已知的數(shù)學(xué)思想方法．解：方法一：cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(3),2)＋eq\f(\r(2),2)×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4).方法二：cos15°＝cos(60°－45°)＝cos60°cos45°＋sin60°sin45°＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)＋eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4).點評：本題是指定方法求cos15°的值，屬于套用公式型的，這樣可以使學(xué)生把注意力集中到使用公式求值上．但是仍然需要學(xué)生將這個非特殊角拆分成兩個特殊角的差的形式，靈活運用公式求值．本例也說明了差角余弦公式也適用于形式上不是差角，但可以拆分成兩角差的情形．至于如何拆分，讓學(xué)生在應(yīng)用中仔細(xì)體會.思考．不查表求sin75°，sin15°的值．解：sin75°＝cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(3),2)＋eq\f(\r(2),2)×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4).sin15°＝eq\r(1－cos215°)＝eq\r(1－\f(\r(6)＋\r(2),4)2)＝eq\r(\f(8－2\r(6)×\r(2),16))＝eq\f(\r(6)－\r(2),4).點評：本題是例題的變式，比例題有一定的難度，但學(xué)生只要細(xì)心分析，利用相關(guān)的誘導(dǎo)公式，不難得到上面的解答方法．變式訓(xùn)練不查表求值：cos110°cos20°＋sin110°sin20°.解：原式＝cos(110°－20°)＝cos90°＝0.點評：此題學(xué)生一看就有似曾相識而又無從下手的感覺，需要加以引導(dǎo)，讓學(xué)生細(xì)心觀察，再結(jié)合公式C(α－β)的右邊的特征，逆用公式便可得到cos(110°－20°)．這就是公式逆用的典例，從而培養(yǎng)了學(xué)生思維的靈活性.求點評：此題逆用公式的基礎(chǔ)上還需要整體代換思想，需要加以引導(dǎo)，讓學(xué)生細(xì)心觀察，從而培養(yǎng)了學(xué)生換元的思想.例2已知sinα＝eq\f(4,5)，α∈(eq\f(π,2)，π)，cosβ＝－eq\f(5,13)，β是第三象限角，求cos(α－β)的值．活動：教師引導(dǎo)學(xué)生觀察題目的結(jié)構(gòu)特征，聯(lián)想到剛剛推導(dǎo)的余弦公式，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)，欲求cos(α－β)的值，必先知道sinα、cosα、sinβ、cosβ的值，然后利用公式C(α－β)即可求解．從已知條件看，還少cosα與sinβ的值，根據(jù)誘導(dǎo)公式不難求出，但是這里必須讓學(xué)生注意利用同角的平方和關(guān)系式時，角α、β所在的象限，準(zhǔn)確判斷它們的三角函數(shù)值的符號．解：由sinα＝eq\f(4,5)，α∈(eq\f(π,2)，π)，得cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\r(1－\f(4,5)2)＝－eq\f(3,5).又由cosβ＝－eq\f(5,13)，β是第三象限角，得sinβ＝－eq\r(1－cos2β)＝－eq\r(1－－\f(5,13)2)＝－eq\f(12,13).所以cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝(－eq\f(3,5))×(－eq\f(5,13))＋eq\f(4,5)×(－eq\f(12,13))＝－eq\f(33,65).點評：本題是直接運用公式C(α－β)求值的基礎(chǔ)練習(xí)，但必須思考使用公式前應(yīng)作出的必要準(zhǔn)備．特別是運用同角三角函數(shù)平方關(guān)系式求值時，一定要弄清角的范圍，準(zhǔn)確判斷三角函數(shù)值的符號．提醒學(xué)生注意這點，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣.變式訓(xùn)練已知sinα＝eq\f(4,5)，α∈(0，π)，cosβ＝－eq\f(5,13)，β是第三象限角，求cos(α－β)的值．解：①當(dāng)α∈[eq\f(π,2)，π)時，由sinα＝eq\f(4,5)，得cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\r(1－\f(4,5)2)＝－eq\f(3,5)，又由cosβ＝－eq\f(5,13)，β是第三象限角，得sinβ＝－eq\r(1－cos2β)＝－eq\r(1－－\f(5,13)2)＝－eq\f(12,13).所以cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝(－eq\f(3,5))×(－eq\f(5,13))＋eq\f(4,5)×(－eq\f(12,13))＝－eq\f(33,65).②當(dāng)α∈(0，eq\f(π,2))時，由sinα＝eq\f(4,5)，得cosα＝eq\r(1－sin2α)＝eq\r(1－\f(4,5)2)＝eq\f(3,5)，又由cosβ＝－eq\f(5,13)，β是第三象限角，得sinβ＝－eq\r(1－cos2β)＝－eq\r(1－－\f(5,13)2)＝－eq\f(12,13).所以cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝eq\f(3,5)×(－eq\f(5,13))＋eq\f(4,5)×(－eq\f(12,13))＝－eq\f(63,65).點評：本題與例2的顯著的不同點就是角α的范圍不同．由于α∈(0，π)，這樣cosα的符號可正、可負(fù)，需討論，教師引導(dǎo)學(xué)生運用分類討論的思想，對角α進(jìn)行分類討論，從而培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性和邏輯的條理性．教師強調(diào)分類時要不重不漏.eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(課堂小結(jié)))1．先由學(xué)生自己思考、回顧公式的推導(dǎo)過程，觀察公式的特征，特別要注意公式既可正用、逆用，還可變形用及掌握變角和拆角的思想方法解決問題．然后教師引導(dǎo)學(xué)生圍繞以下知識點小結(jié)：(1)學(xué)到了什么知識？(2)怎么得到這些知識的?(3)有什么收獲的感悟？2．教師畫龍點睛：本節(jié)課要理解并掌握兩角差的余弦公式及其推導(dǎo)，要正確熟練地運用公式進(jìn)行解題，在解題時要注意分析三角函數(shù)名稱、角的關(guān)系，準(zhǔn)確判斷三角函數(shù)值的符號．多對題目進(jìn)行一題多解，從中比較最佳解決問題的途徑，以達(dá)到優(yōu)化解題過程，規(guī)范解題步驟，領(lǐng)悟變換思路，強化數(shù)學(xué)思想方法之目的．課后作業(yè)課本習(xí)題3.1A組2、3、4、5。小組合作探究公式：學(xué)生在前兩章已經(jīng)學(xué)習(xí)了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式及平面向量，為探究兩角差的余弦公式建立了良好的基礎(chǔ)本節(jié)課主要內(nèi)容是兩角差的余弦公式推導(dǎo)及應(yīng)用，學(xué)生能正確熟練地運用公式進(jìn)行解題，在解題時能分析三角函數(shù)名稱、角的關(guān)系，能準(zhǔn)確判斷三角函數(shù)值的符號．但對于分類討論問題及一題多解還需要加強練習(xí)，從中比較最佳解決問題的途徑，以達(dá)到優(yōu)化解題過程，還需要規(guī)范解題步驟，并領(lǐng)悟變換思路，強化數(shù)學(xué)思想方法。教材分析：《兩角差的余弦公式》是人教A版高中數(shù)學(xué)必修4第三章《三角恒等變換》第一節(jié)《兩角和與差的正弦、余弦和正切公式》第一課時內(nèi)容。本節(jié)主要給出了兩角差的余弦公式的推導(dǎo)，要引導(dǎo)學(xué)生主動參與，獨立思考，合作交流，獲得相應(yīng)結(jié)論。本章學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容是兩角和與差的正弦、余弦和正切公式，以及運用這些公式進(jìn)行簡單的恒等變換．變換是數(shù)學(xué)的重要工具，也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要對象之一．在本冊第一章，學(xué)生接觸了同角三角函數(shù)公式．在本章，學(xué)生將運用向量方法推導(dǎo)兩角差的余弦公式，由此出發(fā)導(dǎo)出其他的三角變換公式，并運用這些公式進(jìn)行簡單的三角恒等變換．三角恒等變換位于三角函數(shù)與數(shù)學(xué)變換的結(jié)合點上．通過本章學(xué)習(xí)，使學(xué)生在學(xué)習(xí)三角恒等變換的基本思想和方法的過程中，發(fā)展推理能力和運算能力，并體會三角恒等變換的工具性作用，學(xué)會它們在數(shù)學(xué)中的一些應(yīng)用．本章內(nèi)容安排按兩條線進(jìn)行，一條明線是建立公式，學(xué)習(xí)變換；一條暗線就是發(fā)展推理能力和運算能力，并且發(fā)展能力的要求不僅僅體現(xiàn)在學(xué)習(xí)變換過程之中，也體現(xiàn)在建立公式的過程之中．因此在本章教學(xué)中，要特別注意恰時恰點地提出問題，引導(dǎo)學(xué)生用對比、聯(lián)系、化歸的觀點去分析、處理問題，使學(xué)生能依據(jù)三角函數(shù)式的特點，逐漸明確三角函數(shù)恒等變換不僅包括式子的結(jié)構(gòu)形式變換，還包括式子中角的變換，以及不同三角函數(shù)之間的變換，強化運用數(shù)學(xué)思想方法指導(dǎo)設(shè)計變換思路的意識．突出數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，在類比、推廣、特殊化等一般邏輯思考方法上進(jìn)行引導(dǎo)，本章不僅關(guān)注使學(xué)生得到和(差)角公式，而且還特別關(guān)注公式推導(dǎo)過程中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想方法．例如，在兩角差的余弦公式這一關(guān)鍵性問題的解決中體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想以及向量方法的應(yīng)用．本節(jié)是以誘導(dǎo)公式做引子，目的在于從中提出問題，引入本章的研究課題．首先引導(dǎo)學(xué)生對cos(α－β)的結(jié)果進(jìn)行探究，讓學(xué)生充分發(fā)揮想象力，進(jìn)行猜想，給出所有可能的結(jié)果，然后再去驗證其真假．這也展示了數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、發(fā)展的具體過程，最后提出了兩種推導(dǎo)證明“兩角差的余弦公式”的方案．方案一，利用單位圓上的三角函數(shù)線進(jìn)行探索、推導(dǎo)，讓學(xué)生動手畫圖，構(gòu)造出α－β角，利用學(xué)過的三角函數(shù)知識探索存在一定的難度，教師要作恰當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)；方案二，利用向量知識探索兩角差的余弦公式時，要注意推導(dǎo)的層次性：①在回顧求角的余弦有哪些方法時，聯(lián)系向量知識，體會向量方法的作用；②結(jié)合有關(guān)圖形，完成運用向量方法推導(dǎo)公式的必要準(zhǔn)備；③探索過程不應(yīng)追求一步到位，應(yīng)先不去理會其中的細(xì)節(jié)，抓住主要問題及其線索進(jìn)行探索，然后再反思，予以完善；④補充完善的過程，既要運用分類討論的思想，又要用到誘導(dǎo)公式．1．cos1°cos4°＋sin1°sin4°等于(