云南省大理市師范大學(xué)附屬中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析

云南省大理市師范大學(xué)附屬中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知等差數(shù)列中，，，則A.15

B.30

C.31

D.64參考答案：A2.設(shè)函數(shù)，其中為已知實(shí)常數(shù)，，則下列命題中錯(cuò)誤的是（

）．若，則對任意實(shí)數(shù)恒成立；．若，則函數(shù)為奇函數(shù)；．若，則函數(shù)為偶函數(shù)；．當(dāng)時(shí)，若，則．參考答案：3.已知P（，1），Q（，－1）分別是函數(shù)的圖象上相鄰的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，則（

）A. B. C.－ D.參考答案：B【分析】由點(diǎn)P,Q兩點(diǎn)可以求出函數(shù)的周期，進(jìn)而求出，再將點(diǎn)P或點(diǎn)Q的坐標(biāo)代入，求得，即求出?！驹斀狻恳?yàn)?，所以，把的坐?biāo)代入方程，得，因?yàn)?，所以，故選B。【點(diǎn)睛】本題主要考查利用三角函數(shù)的性質(zhì)求其解析式。4.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋覟榈膶?dǎo)函數(shù)，函數(shù)的圖象如圖所示，則不等式組所表示的平面區(qū)域的面積是（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：A由導(dǎo)函數(shù)的圖象可得的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為。又可得，則不等式組所表示的可行域如圖所示，其面積為，故應(yīng)選A。本題考查了不等式組所表示的平面區(qū)域及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，此題是一道圖象信息題，合理通過圖象信息捕捉其本質(zhì)特征，可以簡化推理過程。5.設(shè)首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則（）A．Sn=2an﹣1 B．Sn=3an﹣2 C．Sn=4﹣3an D．Sn=3﹣2an參考答案：D【分析】由題意可得數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而可得其求和公式，化簡可得要求的關(guān)系式．【解答】解：由題意可得an=1×=，∴Sn==3﹣=3﹣2=3﹣2an，故選D6.在△ABC中,∠BAC=60°,AB=2,AC=1,E,F為邊BC的三等分點(diǎn)(E為靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)),則等于(

)參考答案：A略7.“”是“直線:與:平行”的【

】.A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件參考答案：A由直線:與:平行，得，所以“”是“直線:與:平行”的充分不必要條件。8.在函數(shù)①，②，③,④中，最小正周期為的所有函數(shù)為A.①②③

B.①③④

C.②④

D.①③參考答案：A：由是偶函數(shù)可知，最小正周期為，即①正確；y=|cosx|的最小正周期也是p，即②也正確；最小正周期為,即③正確；的最小正周期為,即④不正確.即正確答案為①②③，選A9.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且是以2為周期的周期函數(shù)．若當(dāng)x∈[0,1)時(shí)，f(x)＝2x－1，則的值為()A．－

B．－5

C．－

D．－6參考答案：C10.已知函數(shù)，若對任意的恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．

B．

C.

D．參考答案：B∵∴對任意的x∈[1，2]，f′（x）?x+f（x）＞0恒成立?對任意的x∈[1，2]，恒成立，?對任意的x∈[1，2]，2x2﹣2tx+1＞0恒成立，?t＜恒成立，又g（x）=x+在[1，2]上單調(diào)遞增，∴，∴t＜．故選：B．

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)f(x)＝2+log3x,x∈［1,9］,則函數(shù)y＝［f(x)］2+f(x2)的值域?yàn)開__________.參考答案：[6,13]略12.設(shè)滿足條件，則目標(biāo)函數(shù)的最小值為

．參考答案：可行域如圖，直線過點(diǎn)A時(shí)z取最小值

13.直線y=kx+1與曲線y=x3+ax+b相切于點(diǎn)A（1，3），則b的值為

．參考答案：3【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【專題】計(jì)算題．【分析】由于切點(diǎn)在直線與曲線上，將切點(diǎn)的坐標(biāo)代入兩個(gè)方程，得到關(guān)于a，b，k的方程，再求出在點(diǎn)（1，3）處的切線的斜率的值，即利用導(dǎo)數(shù)求出在x=1處的導(dǎo)函數(shù)值，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，再列出一個(gè)等式，最后解方程組即可得．從而問題解決．【解答】解：∵直線y=kx+1與曲線y=x3+ax+b相切于點(diǎn)A（1，3），∴…①又∵y=x3+ax+b，∴y'=3x2+ax，當(dāng)x=1時(shí)，y'=3+a得切線的斜率為3+a，所以k=3+a；…②∴由①②得：b=3．故答案為：3．【點(diǎn)評】本小題主要考查直線的斜率、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力．屬于基礎(chǔ)題．14.已知實(shí)數(shù)滿足如果目標(biāo)函數(shù)的最小值為,則實(shí)數(shù)________參考答案：515.若四面體ABCD的三組對棱分別相等，即AB=CD,AC=BD,AD=BC,則下列結(jié)論正確的是_____（1）四面體ABCD每組對棱互相垂直（2）四面體ABCD每個(gè)面得面積相等（3）從四面體ABCD每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱兩兩夾角之和大于90°而小于180°（4）連接四面體ABCD每組對棱中點(diǎn)的線段互相垂直平分（5）從四面體ABCD每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)地三條棱的長可作為一個(gè)三角形的三邊長參考答案：1,3略16.在中，，為的外心，為劣弧上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且（），則的取值范圍為______________．參考答案：17.（文）某高校隨機(jī)抽查720名的在校大學(xué)生，詢問他們在網(wǎng)購商品時(shí)是否了解商品的最新信息，得到的結(jié)果如右表，已知這720名大學(xué)生中隨機(jī)抽取一名，了解商品最新信息的概率是，則

.參考答案：200了解商品最新信息的人數(shù)有，由，解得三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求；（2）設(shè)，求證：.

參考答案：解：（1）由得：，即，所以，對成立。所以是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，，所以，當(dāng)時(shí)，也成立。（2）19.已知函數(shù)，x∈R．（1）求f（x）的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；（2）已知，，，求f（β）．參考答案：【考點(diǎn)】兩角和與差的余弦函數(shù)．【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式化簡函數(shù)解析式為f（x）=2sin（2x﹣），利用三角函數(shù)周期公式可求最小正周期，利用，可求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．（2）利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡可得2cosβcosα=0，結(jié)合角的范圍可求，代入即可得解．【解答】解：（1）因?yàn)?，所以T=π，由，得單調(diào)增區(qū)間為，k∈Z．（2）∵，，∴，，兩式相加，得2cosβcosα=0，∵，∴，由（1）知．【點(diǎn)評】本題主要考查了誘導(dǎo)公式，兩角和與差的余弦函數(shù)公式在三角函數(shù)化簡求值中的應(yīng)用，考查了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)及三角函數(shù)周期公式的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．20.已知橢圓C：的離心率為，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上任意一點(diǎn)，且△PF1F2的周長是8+2（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)圓T：（x﹣t）2+y2=，過橢圓的上頂點(diǎn)作圓T的兩條切線交橢圓于E、F兩點(diǎn)，當(dāng)圓心在x軸上移動(dòng)且t∈（1，3）時(shí)，求EF的斜率的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的關(guān)系；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【專題】圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】（1）由橢圓離心率得到a，c的關(guān)系，再由△PF1F2的周長是得a，c的另一關(guān)系，聯(lián)立求得a，c的值，代入隱含條件求得b，則橢圓方程可求；（2）橢圓的上頂點(diǎn)為M（0，1），設(shè)過點(diǎn)M與圓T相切的直線方程為y=kx+1，由圓心到切線距離等于半徑得到關(guān)于切線斜率的方程，由根與系數(shù)關(guān)系得到，再聯(lián)立一切線方程和橢圓方程，求得E的坐標(biāo)，同理求得F坐標(biāo)，另一兩點(diǎn)求斜率公式得到kEF=．然后由函數(shù)單調(diào)性求得EF的斜率的范圍．【解答】解：（1）由，即，可知a=4b，，∵△PF1F2的周長是，∴，∴a=4，b=1，所求橢圓方程為；（2）橢圓的上頂點(diǎn)為M（0，1），設(shè)過點(diǎn)M與圓T相切的直線方程為y=kx+1，由直線y=kx+1與T相切可知，即（9t2﹣4）k2+18tk+5=0，∴，由，得．∴，同理，則=．當(dāng)1＜t＜3時(shí)，為增函數(shù)，故EF的斜率的范圍為．【點(diǎn)評】本題考查了橢圓方程的求法，考查了直線與圓，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查了直線與圓相切的條件，訓(xùn)練了利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)的最值，是中檔題．21.（13分）如圖，在△ABC中，∠ACB為鈍角，AB=2，BC=．D為AC延長線上一點(diǎn)，且CD=+1．（Ⅰ）求∠BCD的大?。唬á颍┣驜D的長及△ABC的面積．參考答案：考點(diǎn)： 余弦定理的應(yīng)用．專題： 解三角形．分析： （Ⅰ）利用正弦定理求出∠BCD的正弦函數(shù)值，然后求出角的大??；（Ⅱ）在△BCD中，由余弦定理可求BD的長，然后求出AC的長，即可求解△ABC的面積．解答： （本小題滿分13分）解：（Ⅰ）在△ABC中，因?yàn)?，，由正弦定理可得，即，所以．因?yàn)椤螦CB為鈍角，所以．所以．

…（6分）（Ⅱ）在△BCD中，由余弦定理可知BD2=CB2+DC2﹣2CB?DC?cos∠BCD，即，整理得BD=2．在△ABC中，由余弦定理可知BC2=AB2+AC2﹣2AB?AC?cosA，即，整理得．解得．因?yàn)椤螦CB為鈍角，所以AC＜AB=2．所以．所以△ABC的面積．…．（13分）點(diǎn)評： 本題考查余弦定理的應(yīng)用，解三角形，考查基本知識的應(yīng)用．22.設(shè)an=xn，bn=（）2，Sn為數(shù)列{an?bn}的前n項(xiàng)和，令fn（x）=Sn﹣1，x∈R，a∈N*．（Ⅰ）若x=2，求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和Tn；（Ⅱ）求證：對?n∈N*，方程fn（x）=0在xn∈[，1]上有且僅有一個(gè)根；（Ⅲ）求證：對?p∈N*，由（Ⅱ）中xn構(gòu)成的數(shù)列{xn}滿足0＜xn﹣xn+p＜．參考答案：【考點(diǎn)】8E：數(shù)列的求和；8K：數(shù)列與不等式的綜合．【分析】（Ⅰ）=（2n﹣1）（）n，利用“錯(cuò)位相減法”即可求得數(shù)列{}的前n項(xiàng)和Tn；（Ⅱ）由題意可得f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．求得fn（1）＞0，fn（）＜0，再根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)的判定定理，可得要證的結(jié)論成立．（Ⅲ）由題意可得fn+1（xn）＞fn（xn）=fn+1（xn+1）=0，由fn+1（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，可得xn+1＜xn，故xn﹣xn+p＞0．用fn（x）的解析式減去fn+p（xn+p）的解析式，變形可得xn﹣xn+p=+，再進(jìn)行放大，并裂項(xiàng)求和，可得它小于．，綜上可得要證的結(jié)論成立．【解答】解：（Ⅰ）若x=2，an=2n，則=（2n﹣1）（）n，則Tn=1×（）1+3×（）2+…+（2n﹣1）（）n，∴Tn=1×（）2+3×（）3+…+（2n﹣1）（）n+1，∴Tn=+2×﹣（2n﹣1）（）n+1=+2×﹣（2n﹣1）（）n+1=+1﹣（）n﹣1﹣（2n﹣1）（）n+1，∴Tn=3﹣（）n﹣2﹣（2n﹣1）（）n=3﹣；（Ⅱ）證明：fn（x）=﹣1+x+++…+（x∈R，n∈N+），fn′（x）=1+++…+＞0，故函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．由于f1（x1）=0，當(dāng)n≥2時(shí)，fn（1）=++…+＞0，即fn（1）＞0．又fn（）=﹣1++[+++…+]≤﹣+?（）i，=﹣+×=﹣?（）n﹣1＜0，根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)的判定定理，可得存在唯一的xn∈[，1]，滿足fn（xn）=0．（Ⅲ）證明：對于任意p∈N+，由（1）中xn構(gòu)成數(shù)列{xn}，當(dāng)x＞0時(shí)，∵fn+1（x）=fn（x）+＞fn（x