高一數(shù)學(xué)必修1各章知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

高一數(shù)學(xué)必修1各章知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

集A的補(bǔ)集，記作A'一、集合與函數(shù)概念1.集合的含義：集合是由一些確定的元素構(gòu)成的整體。2.集合的元素特性：確定性、互異性、無序性。3.集合的表示方法：列舉法、描述法、語言描述法、Venn圖。4.集合的分類：有限集、無限集、空集。二、集合間的基本關(guān)系1.“包含”關(guān)系—子集：A包含于B，記作A?B。2.“相等”關(guān)系：A=B表示A和B的元素相同。3.真子集：A是B的子集但不等于B，記作A?B。4.空集：不含任何元素的集合，記為Φ。三、集合的運(yùn)算1.交集：由屬于A且屬于B的元素組成的集合，記作A∩B。2.并集：由屬于A或?qū)儆贐的元素所組成的集合，記作A∪B。3.補(bǔ)集：由S中不屬于A的元素組成的集合，記作A'。集合A的補(bǔ)集記作C(S-A)，表示集合S中所有不屬于A的元素組成的集合。集合S由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集合，稱為A,B的交集，記作A∩B。韋恩圖可以用來表示集合的運(yùn)算，如(C∪A)∩(C∪B)=C∪(A∪B)，(C∪A)∪(C∪B)=C∪(A∩B)，A∪(C∪A)=U，A∩(C∪A)=Φ，A∩A=A，A∩Φ=Φ，A∩B=B∩A，A∩B?A，A∩B?B，A∪A=A，A∪Φ=A，A∪B=B∪A，A∪B?A，A∪B?B。例題：1.能構(gòu)成集合的是A某班所有高個(gè)子的學(xué)生B著名的藝術(shù)家C一切很大的書。2.集合{a，b，c}的真子集共有7個(gè)。3.集合M={y|y=x-2x+1,x∈R}∩{x|x≥0}。4.若A?B，且A={x|1<x<a}，B={x|0<x<2}，則a的取值范圍是(1,2)。5.兩種實(shí)驗(yàn)都做對(duì)的有67人。6.陰影部分的點(diǎn)（含邊界上的點(diǎn)）組成的集合M可以用{x|0≤x≤2,1≤y≤2-x}來描述。7.當(dāng)m∈(3,4)時(shí)，B∩C≠Φ，A∩C=Φ。函數(shù)是指集合A到集合B的一個(gè)映射關(guān)系，記作y=f(x)，其中x為自變量，A為函數(shù)的定義域，f(x)為函數(shù)值，{f(x)|x∈A}為函數(shù)的值域。在求函數(shù)的定義域時(shí)，需要注意分式的分母不能為零，偶次方根的被開方數(shù)不能小于零，對(duì)數(shù)式的真數(shù)必須大于零，指數(shù)、對(duì)數(shù)式的底必須大于零且不等于1。)成立，則稱函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)。（2）減函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果對(duì)于定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x1，x2，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)>f(x2)成立，則稱函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)。2.函數(shù)的奇偶性(全局性質(zhì))（1）奇函數(shù)如果對(duì)于函數(shù)y=f(x)，對(duì)于任何x∈D，都有f(-x)=-f(x)成立，則稱函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù)。（2）偶函數(shù)如果對(duì)于函數(shù)y=f(x)，對(duì)于任何x∈D，都有f(-x)=f(x)成立，則稱函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù)。3.函數(shù)的周期性(全局性質(zhì))如果存在一個(gè)正數(shù)T，使得對(duì)于函數(shù)y=f(x)，對(duì)于任何x∈D，都有f(x+T)=f(x)成立，則稱函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù)，T稱為函數(shù)的周期。單調(diào)性是函數(shù)的一種局部性質(zhì)。如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上任意兩個(gè)自變量的值x1和x2滿足x1<x2時(shí)，都有f(x1)>f(x2)，那么就說f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)，區(qū)間D稱為y=f(x)的單調(diào)增區(qū)間。如果對(duì)于區(qū)間D上任意兩個(gè)自變量的值x1和x2滿足x1<x2時(shí)，都有f(x1)<f(x2)，那么就說f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)，區(qū)間D稱為y=f(x)的單調(diào)減區(qū)間。函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)時(shí)，就具有單調(diào)性。在單調(diào)區(qū)間上，增函數(shù)的圖象從左到右是上升的，減函數(shù)的圖象從左到右是下降的。判定函數(shù)單調(diào)性的方法有定義法、圖象法和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性。定義法是通過計(jì)算差f(x)-f(x)的正負(fù)來判斷函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性。圖象法則是從函數(shù)的圖象上看升降。復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)u=g(x)，y=f(u)的單調(diào)性密切相關(guān)，其規(guī)律是“同增異減”。函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間，不能把單調(diào)性相同的區(qū)間合并成其并集。函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的一種整體性質(zhì)。如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就是偶函數(shù)。如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)就是奇函數(shù)。偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。判斷函數(shù)奇偶性的步驟是首先確定函數(shù)的定義域并判斷其是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，然后確定f(-x)與f(x)的關(guān)系，最后作出相應(yīng)結(jié)論：若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0，則f(x)是偶函數(shù)；若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0，則f(x)是奇函數(shù)。注意：函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件。首先需要檢查函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，如果不對(duì)稱，則函數(shù)是非奇非偶函數(shù)。如果對(duì)稱，可以通過以下方法判斷函數(shù)的奇偶性：（1）根據(jù)定義判定；（2）利用f(-x)±f(x)=或f(x)/f(-x)=±1來判定；（3）利用定理或者函數(shù)的圖像來判定。9、函數(shù)的解析表達(dá)式（1）函數(shù)的解析式是一種表示函數(shù)的方法，需要確定兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系，并確定函數(shù)的定義域。（2）求函數(shù)的解析式的主要方法有：（1）湊配法；（2）待定系數(shù)法；（3）換元法；（4）消參法。10、函數(shù)最大（?。┲岛瘮?shù)的最大（小）值可以通過以下方法求解：（1）利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）；（2）利用函數(shù)的圖像；（3）通過函數(shù)單調(diào)性來判斷函數(shù)的最大（?。┲怠Ｈ绻瘮?shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[b，c]上單調(diào)遞減，則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最大值f(b)；如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[b，c]上單調(diào)遞增，則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最小值f(b)。例題：1.求下列函數(shù)的定義域：⑴y=(x^2-2x-15)/(x+3)：x≠-3⑵y=1-(x-1)^2/[(x+1)(x+3)-3]：x≠-1,-32.設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇0,1]，則函數(shù)f(x^2)的定義域?yàn)閇0,1]。3.若函數(shù)f(x+1)的定義域?yàn)閇-2,3]，則函數(shù)f(2x-1)的定義域?yàn)閇-3,4)。4.函數(shù)f(x)的解析式為：f(x)=x+2(x≤-1)；f(x)=x^2(-1<x<2)；f(x)=2x(x≥2)。5.求下列函數(shù)的值域：⑴y=x^2+2x-3：y≥-4⑵y=x^2+2x-3：1≤y≤2⑶y=x-1-2x：y∈R⑷y=-x^2+4x+5：y≤66.已知函數(shù)f(x-1)=x^2-4x，求函數(shù)f(x)的解析式為f(x)=(x+1)^2-4。7.已知函數(shù)f(x)滿足2f(x)+f(-x)=3x+4，則f(2x+1)的解析式為f(2x+1)=(3x+5)/2。8.設(shè)f(x)是R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x∈[0,+∞)時(shí)，f(x)=x(1+3x)，則當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí)，f(x)在R上的解析式為f(x)=-x(1-3x)。9.求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：⑴y=x^2+2x+3：無單調(diào)區(qū)間⑵y=-x^2+2x+3：(-∞,1]和[1,+∞)⑶y=x^2-6x-1：(-∞,3]和[3,+∞)10.函數(shù)y=-x^3+1的單調(diào)性為：在(-∞,0)上單調(diào)遞減，在(0,+∞)上單調(diào)遞增。一、指數(shù)函數(shù)（一）指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算1.根式的概念：一般地，如果$x=a^n$，那么$x$叫做$a$的$n$次方根，其中$n>1$，且$n\inN$。負(fù)數(shù)沒有偶次方根；任何次方根都是正數(shù)，記作$n\sqrt[n]{a}$。當(dāng)$n$是奇數(shù)時(shí)，$n\sqrt[n]{a}=a$，當(dāng)$n$是偶數(shù)時(shí)，$n\sqrt[n]{a}=|a|$。2.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：正數(shù)的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義規(guī)定為：$a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}$，其中$a>0,m,n\inN^*,n>1$。$a^{-m/n}=\dfrac{1}{a^{m/n}}$。正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于根式，負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義。3.實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：（1）$a^r\cdota^s=a^{r+s}$，其中$a>0,r,s\inR$；（2）$(a^r)^s=a^{rs}$，其中$a>0,r,s\inR$；（3）$(ab)^r=a^r\cdotb^r$，其中$a>0,b>0,r\inR$；（4）$\dfrac{a^r}{a^s}=a^{r-s}$，其中$a>0,r,s\inR$。（二）指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)1.指數(shù)函數(shù)的概念：一般地，函數(shù)$y=a^x$（$a>0$且$a\neq1$）叫做指數(shù)函數(shù)，其中$x$是自變量，函數(shù)的定義域?yàn)?R$。注意：指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的取值范圍，底數(shù)不能是負(fù)數(shù)、零和1。2.指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)：當(dāng)$a>1$時(shí)，函數(shù)圖象在$R$上單調(diào)遞增，定義域?yàn)?R$，值域?yàn)?y>0$，非奇非偶函數(shù)，函數(shù)圖象都過定點(diǎn)$(0,1)$。當(dāng)$0<a<1$時(shí)，函數(shù)圖象在$R$上單調(diào)遞減，定義域?yàn)?R$，值域?yàn)?y>0$，非奇非偶函數(shù)，函數(shù)圖象都過定點(diǎn)$(0,1)$。注意：利用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合圖象還可以看出：（1）在$[a,b]$上，$f(x)=a^x$（$a>0$且$a\neq1$）的值域是$[f(a),f(b)]$或$[f(b),f(a)]$；（2）若$x\neq0$，則$f(x)\neq1$；$f(x)$取遍所有正數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)$x\inR$；（3）對(duì)于指數(shù)函數(shù)$f(x)=a^x$（$a>0$且$a\neq1$），總有$f(1)=a$。二、對(duì)數(shù)函數(shù)（一）對(duì)數(shù)1.對(duì)數(shù)的概念：一般地，如果$a=N$（$a>0$且$a\neq1$），那么數(shù)$x$叫做以$a$為底$N$的對(duì)數(shù)，記作$x=\log_aN$（$a$—底數(shù)，$N$—真數(shù)，$\log_aN$—對(duì)數(shù)式）。說明：（1）注意底數(shù)的限制$a>0$，且$a\neq1$；（2）$x=\log_aN$的充分必要條件是$a^x=N$；（3）注意對(duì)數(shù)的書寫格式。兩個(gè)重要對(duì)數(shù)：（1）常用對(duì)數(shù)：以10為底的對(duì)數(shù)$\log_{10}N$；（2）自然對(duì)數(shù)：以無理數(shù)$e=2.71828\ldots$為底的對(duì)數(shù)$\lnN$。指數(shù)式與對(duì)數(shù)式是數(shù)學(xué)中非常重要的概念，它們之間有著密切的聯(lián)系。指數(shù)式的底數(shù)和指數(shù)可以通過對(duì)數(shù)式互相轉(zhuǎn)化。例如，當(dāng)ab=N時(shí)，可以表示為logaN=b。這是指數(shù)式和對(duì)數(shù)式的互化。對(duì)數(shù)式有著許多運(yùn)算性質(zhì)。當(dāng)a>1且a≠1，M>0，N>0時(shí)，有以下運(yùn)算性質(zhì)：①loga(M·N)=logaM+logaN；②loga(M/N)=logaM-logaN；③loga(Mn)=n·logaM(n∈R)。此外，還有換底公式，即當(dāng)a>0且a≠1，c>0且c≠1，b>0時(shí)，有l(wèi)ogab=logcb/logca。對(duì)數(shù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的逆函數(shù)，記為y=logax(a>0且a≠1)。對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)?0,+∞)，值域?yàn)镽，且在R上遞增。其圖像都過點(diǎn)(1,0)。冪函數(shù)是形如y=xα(α為常數(shù))的函數(shù)。冪函數(shù)的定義域?yàn)?0,+∞)，值域?yàn)镽。當(dāng)α>1時(shí)，冪函數(shù)的圖像在[,+∞)上遞增且下凸；當(dāng)0<α<1時(shí)，冪函數(shù)的圖像在[,+∞)上遞增且上凸；當(dāng)α<0時(shí)，冪函數(shù)的圖像在(0,+∞)上遞減。冪函數(shù)的圖像都過點(diǎn)(1,1)。練習(xí)題：1.已知a>0，a≠1，函數(shù)y=a與y=loga(-x)的圖像只能是（B）。A.兩個(gè)函數(shù)的圖像都在第一象限B.函數(shù)y=a的圖像在第一象限，函數(shù)y=loga(-x)的圖像在第二象限C.函數(shù)y=a的圖像在第二象限，函數(shù)y=loga(-x)的圖像在第一象限D(zhuǎn).兩個(gè)函數(shù)的圖像都在第二象限2.計(jì)算：①log32；②24+log23；③0.064-(-7)+[(-2)3]-?+.01。3.函數(shù)y=log1/(2x-3x2+1)的遞減區(qū)間為2/3<x<1。第三章函數(shù)的應(yīng)用一、方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)1、函數(shù)零點(diǎn)的概念：對(duì)于函數(shù)$y=f(x)$$(x\inD)$，使$f(x)=0$成立的實(shí)數(shù)$x$叫做函數(shù)$y=f(x)$$(x\inD)$的零點(diǎn)。2、函數(shù)零點(diǎn)的意義：函數(shù)$y=f(x)$的零點(diǎn)就是方程$f(x)=0$的實(shí)數(shù)根，也就是函數(shù)$y=f(x)$的圖像與$x$軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。即：方程$f(x)=0$有實(shí)數(shù)根$\Leftrightarrow$函數(shù)$y=f(x)$的圖像與$x$軸有交點(diǎn)$\Leftrightarrow$函數(shù)$y=f(x)$有零點(diǎn)。3、函數(shù)零點(diǎn)的求法：1.代數(shù)法：求方程$f(x)=0$的實(shí)數(shù)根；2.幾何法：對(duì)于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)$y=f(x)$的圖像聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn)。4、二次函數(shù)的零點(diǎn)：二次函數(shù)$y=ax^2+bx+c$$(a\neq0)$。（1）$\Delta>0$，方程$ax^2+bx+c=0$有兩不等實(shí)根，二次函數(shù)的圖像與$x$軸有兩個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)。（2）$\Delta=0$，方程$ax^2+bx+c=0$有兩相等實(shí)根，二次函數(shù)的圖像與$x$軸有一個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有一個(gè)二重零點(diǎn)或二階零點(diǎn)。（3）$\Delta<0$，方程$ax^2+bx+c=0$無實(shí)根，二次函數(shù)的圖像與$x$軸無交點(diǎn)，二次函數(shù)無零點(diǎn)。5、函數(shù)的模型收集數(shù)據(jù)$\rightarrow$畫散點(diǎn)圖$\rightarrow$不符合實(shí)際$\rightarrow$選擇函數(shù)模型$\rightarrow$求函數(shù)模型$\rightarrow$檢驗(yàn)$\rightarrow$符合實(shí)際。4.若函數(shù)$f(x)=\log_ax$$(a<x<1)$在區(qū)間$[a,2a]$上的最大值是最小值的$3$倍，則$a=$。5.已知$f(x)=\log_{1+x}\frac{a}{1-x}$$(a>0$且$a\neq1)$，（1）求$f(x)$的定義域；（2）求使$f(x)$有意義的$x$的取值范圍。第三章函數(shù)的應(yīng)用一、方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)1.函數(shù)零點(diǎn)的定義：對(duì)于函數(shù)$y=f(x)$$(x\inD)$，使$f(x)=0$成立的實(shí)數(shù)$x$叫做函數(shù)$y=f(x)$$(x\inD)$的零點(diǎn)。2.函數(shù)零點(diǎn)的意義：函數(shù)$y=f(x)$的零點(diǎn)就是方程$f(x)=0$的實(shí)數(shù)根，也就是函數(shù)$y=f(x)$的圖像與$x$軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。即：方程$f(x)=0$有實(shí)數(shù)根$\Leftrightarrow$函數(shù)$y=f(x)$的圖像與$x$