勾股定理歸納總結

勾股定理歸納總結一．知識點歸納總結１．勾股定理內容：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.表示方法：如果直角三角形的兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么a2+b2=c2.２.勾股定理的證明勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方法：３.勾股定理的適用范圍勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間所存在的數(shù)量關系，它只適用于直角三角形.４.勾股定理的應用①已知直角三角形的任意兩邊長，求第三邊長時；在Rt△ABC中，∠C=90°，則有②知道直角三角形一邊，可得另外兩邊之間的數(shù)量關系；③可運用勾股定理解決一些實際問題.５.勾股定理的逆定理如果三角形三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形，其中c為斜邊.①勾股定理的逆定理是判定一個三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過“數(shù)轉化為形”來確定三角形的可能形狀，在運用這一定理時，可用兩小邊的平方和a2+b2與較長邊的平方c2作比較:若它們相等時，以a，b，c為三邊的三角形是直角三角形；若a2+b2<c2，時，以a，b，c為三邊的三角形是鈍角三角形；若a2+b2>c2，時，以a，b，c為三邊的三角形是銳角三角形.②定理中a，b，c及a2+b2=c2只是一種表現(xiàn)形式，不可認為是唯一的，如若三角形三邊長a，b，c滿足a2+c2=b2，那么以a，b，c為三邊的三角形是直角三角形，但此時的斜邊是b而不是c了.③勾股定理的逆定理在用問題描述時，不能說成：當斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和時，這個三角形是直角三角形.６.勾股數(shù)①能夠構成直角三角形的三邊長的三個正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即a2+b2=c2中，a，b，c為正整數(shù)時，稱a，b，c為一組勾股數(shù);②記住常見的勾股數(shù)可以提高解題速度，例如3,4,5；6,8,10；5,12,13等;③用含字母的代數(shù)式表示n組勾股數(shù)：7.勾股定理及其逆定理的應用二、常見題型歸納總結題型一：直接考查勾股定理【例題1】在△ABC中，∠C=90°．⑴已知AC=6，BC=8．求AB的長;⑵已知AB=17，AC=15，求BC的長.分析：畫出圖形直接應用勾股定理即可解題.題型二：應用勾股定理建立方程【例題2】⑴在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，BC=3cm，CD⊥AB于D，則CD＝

；⑵已知直角三角形的兩直角邊長之比為3：4，斜邊長為15cm，則這個三角形的面積為

；⑶已知直角三角形的周長為30cm，斜邊長為13cm，則這個三角形的面積為

.分析：在解直角三角形時，要想到勾股定理，及兩直角邊的乘積等于斜邊與斜邊上高的乘積．有時可根據(jù)勾股定理列方程求解.【例題3】如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠1=∠2，CD=1.5,BD=2.5,求AC的長.分析：此題將勾股定理與全等三角形的知識結合起來.解析：設AC=x,易知CD=DE=1.5,AC=AE=x,在Rt△DEB中，根據(jù)勾股定理可得：DE2+BE2=BD2,即1.5×1.5+BE2=2.5×2.5，解得BE=2.在Rt△ACB中，根據(jù)勾股定理可得：AC2+BC2=AB2,即x2+4×4=（x+2）2,解得x=3,∴AC=3.題型三：勾股定理在實際問題中的應用【例題4】如圖有兩棵樹，一棵高8m，另一棵高2m，兩樹相距8m，一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵數(shù)的樹梢，至少飛了

m.分析：根據(jù)題意建立數(shù)學模型，如圖所示AB=8m，CD=2m，BC=8m，過點D作DE⊥AB，垂足為E，則AE=6m，DE=8m.在Rt△AED中，應用勾股定理，可得AD=10m，即小鳥至少飛了10m.題型四：應用勾股定理逆定理，判定一個三角形是否是直角三角形【例題5】已知三角形的三邊長分別為a，b，c，試判定△ABC是否為直角三角形.①a=1.5，b=2，c=2.5;②a=5/4，b=1，c=2/3.題型五：勾股定理與勾股定理的逆定理綜合應用【例題6】已知在△ABC中，AB=13cm，BC=10cm，BC邊上的中線AD=12cm，求證：AB=AC.證明：∵AD是BC邊上的中線，BC=10cm,∴BD=DC=5cm,在△ADB中，AB=13cm,AD=12cm,BD=5cm,∵5×5+12×12=13×13，∴BD2+AD2=AB2,∴△ADB是直角三角形，∴∠ADB=∠ADC=90°，∴△ADB≌△ADC，（SAS）∴AB=AC.三、鞏固訓練1、一架方梯長25米，如圖，斜靠在一面墻上，梯子底端離墻7米，（1）這個梯子的頂端距地面有多高？（2）如果梯子的頂端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑動了幾米？（3）當梯子的頂端下滑的距離與梯子的底端水平滑動的距離相等時，這時梯子的頂端距地面有多高？2、如圖，A、B兩個小集鎮(zhèn)在河流CD的同側，分別到