高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)課件.-數(shù)列的通項(xiàng)及數(shù)列求和

要點(diǎn)梳理1.若已知數(shù)列{an}，滿足an+1-an=f（n），且f（1）+

f（2）+…+f（n）可求，則可用

求數(shù)列的通項(xiàng)an.2.若已知數(shù)列{an}，滿足=f（n），且f(1)·f(2)·…·f（n）可求，則可用

求數(shù)列的通項(xiàng)an.§6.4數(shù)列的通項(xiàng)及數(shù)列求和累加法累積法基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)3.等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn=

=

，推導(dǎo)方法：

；等比數(shù)列前n項(xiàng)和

推導(dǎo)方法:乘公比，錯(cuò)位相減法.Sn=，na1=

q=1,

q≠1.，倒序相加法4.常見(jiàn)數(shù)列的前n項(xiàng)和（1）1+2+3+…+n=

;（2）2+4+6+…+2n=

;（3）1+3+5+…+(2n-1)=

;（4）12+22+32+…+n2=

;（5）13+23+33+…+n3=

.n2+nn25.（1）分組求和：把一個(gè)數(shù)列分成幾個(gè)可以直接求和的數(shù)列.（2）拆項(xiàng)相消：有時(shí)把一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式分成兩項(xiàng)差的形式，相加過(guò)程消去中間項(xiàng)，只剩有限項(xiàng)再求和.（3）錯(cuò)位相減：適用于一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘構(gòu)成的數(shù)列求和.（4）倒序相加：例如，等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo).6.常見(jiàn)的拆項(xiàng)公式有基礎(chǔ)自測(cè)1.已知等比數(shù)列{an},a1=3,且4a1、2a2、a3成等差數(shù)列，則a3+a4+a5等于 （）A.33 B.72 C.84 D.189

解析由題意可設(shè)公比為q,則a2=a1q,a3=a1q2,∵4a2=4a1+a3,∴4a1q=4a1+a1q2,又a1=3,∴q=2.

a3+a4+a5=a1q2(1+q+q2)=3×4×(1+2+4)=84.C2.如果數(shù)列{an}滿足a1,a2-a1,a3-a2,…,an-an-1,…是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，則an等于（ ）A.B.C.D.

解析

a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）=an=C3.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=，其中前n項(xiàng)和Sn=，則項(xiàng)數(shù)n等于 （ ）A.13B.10C.9D.6

解析∵an=∴Sn=n-=n-1+而D4.若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n+2n-1,則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為 （ ）A.2n+n2-1B.2n+1+n2-1C.2n+1+n2-2D.2n+n2-2

解析

Sn==2n+1-2+n2.C5.數(shù)列押的少前n項(xiàng)和為懲（肝）A.駛B.C.螺D.解析由數(shù)倦列通家項(xiàng)公終式得前n項(xiàng)和B題型訊一總由累遞推梁公式戲求通稀項(xiàng)公換式【例1】分別幸求滿鞭足下修列條奮件的紋數(shù)列景的通淋項(xiàng)公按式.(1聽(tīng))設(shè){an}是首獅項(xiàng)為1的正完項(xiàng)數(shù)獻(xiàn)列，錯(cuò)且（n+1）+an+1an=0色(n=1秤,2沙,3鞠,…艷);(2銳)已知蒙數(shù)列{an}滿足an+1=獲,a1=2健.依據(jù)妥已知責(zé)數(shù)列朗的遞飽推關(guān)事系適考當(dāng)?shù)仨曔M(jìn)行偶變形役，可單尋找創(chuàng)數(shù)列顏的通郵項(xiàng)的制差an-an-1或通皮項(xiàng)的坐商的規(guī)軟律.思維殼啟迪題型灰分類(lèi)由深度像剖析解（1）方法蠅一∵數(shù)失列{an}是首傅項(xiàng)為1的正蔬項(xiàng)數(shù)肉列,∴anan+1≠0種,∴嗓+傭1=雞0,令=t,∴橫(n+1耍)t2+t-n=0燥,∴［(n+1魄)t-n］(t+1咸)=巨0,∴t=或t=-高1（舍糕去）決，即方法去二由（n+1）+an+1an=0敲,得n(器)愿+an+1(an+1+an)=期0,即（an+1+an）［(n+1騎)an+1-nan］=0諷.∵an＞0,扒∴an+1+an≠0把,∴鏡(n+1抹)an+1-nan=0鋼,即（2）將型已知帝遞推額式化轟為將以恥上（n-1）個(gè)摔式子涼相加庭得探究善提高已知亦遞推鈔關(guān)系隱求通盤(pán)項(xiàng)公介式這昏類(lèi)問(wèn)趙題要封求不以高,主要影掌握豎由a1和遞咬推關(guān)搶系先參求出損前幾態(tài)項(xiàng),再歸瓣納、繼猜想an的方旗法,以及換累加頓：an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1;累乘粘：an=等方禿法.知能煉遷移1由已魔知在屠數(shù)列{an}中a1=1呀,求滿恐足下咳列條個(gè)件的灰數(shù)列萌的通約項(xiàng)公暑式.（1）an+1=舒;范(2播)an+1=2an+2n+1.解（1）因乎為對(duì)盞于一挺切n∈N*,an≠0容,因此檢由an+1=，得即∴數(shù)屆列縮慧是排等差掃數(shù)列蘋(píng)，(n-1甜)·墨2=雖2n-1盯,即an=（2）根張據(jù)已隔知條撕件得即槽∴數(shù)換列欺是等蓋差數(shù)條列.即an=(蒙2n-1臟)2n-1.題型魔二啦錯(cuò)軌位相順減法鍋求和【例2】設(shè)數(shù)覽列{an}滿足a1+3a2+32a3+…簽+3n-1an=n∈N*.（1）求躺數(shù)列{an}的通隔項(xiàng)；（2）設(shè)bn=，求挺數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.（1）由挖已知梯寫(xiě)出垮前n-1項(xiàng)之區(qū)和，拳兩式小相減.（2）bn=n·3n的特低點(diǎn)是舟數(shù)列{n}與{3n}之積質(zhì)可用蓋錯(cuò)位投相減嗓法.解（1）∵a1+3a2+32a3+…鵲+3n-1an=?、佟喈?dāng)n≥2時(shí)，a1+3a2+32a3+…斯+3n-2an-1=坡②思維陪啟迪①-②得3n-1an=菜,∴an=在①句中，承令n=1渾,得a1=，適悄合an=∴an=(2橋)∵bn=蝴,嫂∴bn=n·3n.∴Sn=3風(fēng)+2選×32+3秘×33+…膨+n·3n③∴3Sn=32+2量×33+3捐×34+…過(guò)+n·3n+1.音④④-懶③得2Sn=n·3n+1-(腳3+盞32+33+…醒+3n),即2Sn=n3n+1-探究床提高解答濱本題究的突屠破口永在于桌將所茄給條盤(pán)件式喘視為全數(shù)列{3n-1an}的前n項(xiàng)和,從而罷利用an與Sn的關(guān)近系求驚出通廁項(xiàng)3n-1an,進(jìn)而獵求得an;另外脆乘公沉比錯(cuò)儲(chǔ)位相誦減是德數(shù)列灘求和浪的一鍵種重經(jīng)要方旅法,但值知得注還意的床是,這種豆方法產(chǎn)運(yùn)算昂過(guò)程勤復(fù)雜,運(yùn)算庫(kù)量大,應(yīng)加醋強(qiáng)對(duì)綱解題祖過(guò)程柏的訓(xùn)清練,重視?shū)澾\(yùn)算羽能力淺的培葉養(yǎng).知能妖遷移2(2總00出8·全國(guó)Ⅰ文，19浸)在數(shù)罷列{an}中，a1=1，an+1=2an+2n.（1）設(shè)bn=端.證明亮：數(shù)巡壽列{bn}是等即差數(shù)示列；（2）求獅數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.（1）證明∵an+1=2an+2n，∴∵bn=，∴bn+1=bn+1，即bn+1-bn=1涼,b1=1仆,故數(shù)圍列{bn}是首瞇項(xiàng)為1，公仇差為1的等辦差數(shù)麗列.(2版)解由（1）知,bn=n,an=n·2n-1,則Sn=1雖·20+2需·21+…牛+(n-1慘)·受2n-2+n·2n-12Sn=1彩·21+2露·22+…功+(n-1紐奉)·秀2n-1+n·2n兩式暗相減堤，得Sn=n·2n-1留·20-21-…個(gè)-2n-1=n·2n-2n+1焰.題型進(jìn)三共分毒組轉(zhuǎn)顫化求陵和【例3】求和Sn=1企+數(shù)列釣的通以項(xiàng)an=2，求Sn可用忘分組求鉆和法.解和式杠中第k項(xiàng)為思維絲式啟迪探究敞提高先將叔求和甚式中故的項(xiàng)瞎進(jìn)行死適當(dāng)微分組舊調(diào)整賤，使奔之每斧一個(gè)縣組為帶等差召或等形比數(shù)真列，擇然后的分別得求和庸，從懸而得協(xié)出原離數(shù)列牽的和.它是避通過(guò)回對(duì)數(shù)召列通托項(xiàng)結(jié)丸構(gòu)特臥點(diǎn)的心分析決研究棍，將次數(shù)列涉分解遮轉(zhuǎn)化榜為若孩干個(gè)繳能求魚(yú)和的犯新數(shù)袖列的議和或缺差，鋪從而印求得寇原數(shù)儲(chǔ)列的解和的房誠(chéng)一種殊求和摸方法.解前n項(xiàng)和桑為Sn=（1+謠1）+=衣+［1+朝4+盜7+彈……著+(趨3n-2負(fù))］，設(shè)S1=當(dāng)a=1時(shí)，S1=n；當(dāng)a≠1時(shí)，S1=知能廁遷移3求下倆列數(shù)叢列的神前n項(xiàng)和剩：S2=1波+4裙+7眼+…嘩+（3n-2）=∴當(dāng)a=1時(shí)，Sn=S1+S2=當(dāng)a≠1時(shí)，Sn=S1+S2=題型豬四晶裂哥項(xiàng)相吧消法建求和【例4】（12分）壓已知始數(shù)列{an}中，a1=1，當(dāng)n≥2時(shí)，植其前n項(xiàng)和Sn滿足（1）求Sn的表率達(dá)式鎮(zhèn)；（2）設(shè)bn=，求{bn}的前n項(xiàng)和Tn.解（1）∵an=Sn-Sn-1，（n≥2）,∴擋=（Sn-Sn-1）(Sn-評(píng)),即2Sn-1Sn=Sn-1-Sn，奴①3分由題軍意Sn-1·Sn≠0，①式叛兩邊添同除拳以Sn-1·Sn，得∴數(shù)績(jī)列繭是吸首項(xiàng)乳為刃公爛差為2的等費(fèi)差數(shù)補(bǔ)列.紗4分∴=1園+2（n-1）=2n-1，∴Sn=產(chǎn)6分（2）又bn=8分∴Tn=b1+b2+…汁+bn12分使用肉裂項(xiàng)笛法求妄和時(shí)感，要論注意南正負(fù)型項(xiàng)相跡消時(shí)消以去了猴哪些銀項(xiàng)，遵保留滴了哪輩些項(xiàng)菠，切亭不可糞漏寫(xiě)流未被消去蠅的項(xiàng)診，未緞被消旦去的爐項(xiàng)有有前后頌對(duì)稱(chēng)盤(pán)的特既點(diǎn)，華實(shí)質(zhì)上造韻成正朗負(fù)相龍消是崇此法萬(wàn)的根殿源與呼目的.探究愚提高知能炊遷移4已知滔等差般數(shù)列{an}的首順項(xiàng)a1=1滋,公差d＞0，且插第二楚項(xiàng)、廉第五趟項(xiàng)、爛第十痰四項(xiàng)固分別伙是一赤個(gè)等長(zhǎng)比數(shù)傳列的賓第二疑項(xiàng)、由第三尋項(xiàng)、柔第四膨項(xiàng).（1）求浪數(shù)列{an}的通逃項(xiàng)公撥式；（2）設(shè)bn=消(n∈N*)，Sn=b1+b2+…慢+bn，是寒否存冷在最樸大的根整數(shù)t，使興得對(duì)嬌任意頁(yè)的n均有Sn＞霜總成立儀？若譜存在宇，求射出t;若不斬存在撞，請(qǐng)泄說(shuō)明志理由.解（1）由句題意雁得（a1+d）(a1+1植3d)=宴(a1+4d)2，整理杏得2a1d=d2.∵a1=1，解知得d=2，d=0（舍調(diào)）.∴an=2n-1（n∈N*）.（2）bn=∴Sn=b1+b2+…浮+bn假設(shè)伯存在稱(chēng)整數(shù)t滿足Sn＞總成廟立，又Sn+1-Sn=＞0,∴數(shù)列{Sn}是單潔調(diào)遞示增的.∴S1=為Sn的最思小值端，故我＜爆，劫即t＜9.又∵t∈N*，∴獻(xiàn)適合侮條件姜的t的最憐大值詠為8.方法墊與技鴉巧1.求數(shù)撕列通醬項(xiàng)的雙方法咬技巧束：(1也)通過(guò)草對(duì)數(shù)兩列前金若干段項(xiàng)的廣觀察患、分玩析,找出膚項(xiàng)與坐項(xiàng)數(shù)脾之間絕的統(tǒng)本一對(duì)蛛應(yīng)關(guān)率系，拍猜想拾通項(xiàng)差公式指；(2滴)理解遼數(shù)列混的項(xiàng)籌與前n項(xiàng)和片之間列滿足an=Sn-Sn-1（n≥2）的岔關(guān)系紙，并蛋能靈聽(tīng)活運(yùn)伯用它涌解決勇有關(guān)鑄數(shù)列范問(wèn)題.2.an的兩地種常制見(jiàn)變瞎形an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…懸+（an-an-1）（陷累加析法）殃；an=a1·（累旗乘法抖）.思想劉方法飄感悟醋提高3.數(shù)列耽求和渡的方悲法技己巧（1）倒袍序相紡加：掃用于淋等差剛數(shù)列識(shí)與二先項(xiàng)式擁系數(shù)雨相關(guān)價(jià)聯(lián)的漆數(shù)列航的求塞和.（2）錯(cuò)搜位相汁減：覺(jué)用于勒等差寄數(shù)列膠與等纖比數(shù)欣列的勿積數(shù)賠列的跪求和.（3）分詞組求詠和：課用于喪若干津個(gè)等魄差或科等比疾數(shù)列矩的和布數(shù)列騙的求部和.失誤繩與防將范1.直接摟用公錄式求齒和時(shí)謎，注成意公世式的抽應(yīng)用彼范圍鍛和公臉式的輛推導(dǎo)鉤過(guò)程.2.重點(diǎn)然通過(guò)蓬數(shù)列四通項(xiàng)墨公式眾觀察苦數(shù)列鉆特點(diǎn)堡和規(guī)愿律，船在分候析數(shù)鏈列通議項(xiàng)的臉基礎(chǔ)蠅上，既判斷層求和喚類(lèi)型徒，尋份找求桐和的侍方法謝，或疏拆為脖基本蠻數(shù)列桌求和隱，或辨轉(zhuǎn)化背為基暮本數(shù)止列求呢和.求和腐過(guò)程崖中同饞時(shí)要希對(duì)項(xiàng)慰數(shù)作航出準(zhǔn)伏確判閣斷.3.含有妖字母治的數(shù)膛列求委和，禮常伴萌隨著表分類(lèi)扒討論.一、令選擇病題1.等差咬數(shù)列{an}的通水項(xiàng)公輩式an=2n-1暫,數(shù)列bn=其前n項(xiàng)和魔為Sn，則Sn等于綢（飄）A.啦B.C.罵D.以上門(mén)都不竟對(duì)定時(shí)團(tuán)檢測(cè)解析∵an=2n-1，答案B2.已知贈(zèng)數(shù)列{an}滿足a1=1燒,an+1=an+2n，則a10等于（珠）A.蘋(píng)1悠02已4窗B郊.1拌0緞23芹C.臂2粱04慘8祖D.塵2圍04嚇7解析利用舞疊加全法及仔等比男數(shù)列魚(yú)求和漿公式罷，可求倉(cāng)得a10=210-1倘=1題0達(dá)23閑.B3.已知叢數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2-4n+2，則|a1|+茅|a2|+駱…+撲|a10|等于冶（儲(chǔ)）A.囑66謠B轎.6摧5紐奉C朵.6輔1茅D僻.5昆6解析當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=-喬1;當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=n2-4n+2敢-［（n-1）2-4（n-1）+2］=2n-5，∴a2=-旱1，a3=1，a4=3，…，a10=1絡(luò)5，∴|a1|+黃|a2|+查…+抓|a10|=嗓1+西1+=2隨+6伴4=本66屈.A4.數(shù)列1，1+歸2，1+跪2+票4，…，1+相2+蛛22+…鍬+2n-1，…的前n項(xiàng)和Sn＞1柜02近0，那腦么n的最嶼小值采是（斷）A.頑7檢B硬.8弄C.嘗9鮮D掉.1應(yīng)0解析∵1+瀉2+梅22+…拳+2n-1=饞=2n-1，∴Sn=（2+疾22+…笨+2n）-n=遮-n=2n+1-2程-n.若Sn＞1撈02河0，則2n+1-2決-n＞1默02霜0,宿∴n≥1浸0.D5.若數(shù)蠢列{an}的通薯項(xiàng)為an=4n-1敗,bn=n∈N*,則數(shù)墳列{bn}的前n項(xiàng)和曉是偽（辛）A.n2B.n(n+1閉)C.n(n+2馬)公D.n(2n+1貓)解析a1+a2+…勿+an=(奧4×泉1-翁1)流+(雙4×辜2-講1)婆+…蛋+(僵4n-1焰)=4末(1詠+2辰+…自+n)-n=2n(n+1玻)-n=2n2+n,∴bn=2n+1微,b1+b2+…照+bn=(炭2×融1+豈1)像+(盆2×座2+翁1)磨+…注+(售2n+1枝)=n2+2n=n(n+2餅).C6.數(shù)列an=紫,其前n項(xiàng)之征和為,則在況平面豈直角很坐標(biāo)系協(xié)中,直線(n+1彼)x+y+n=0在y軸上岡的截元距為芒（學(xué)）A.擦-1斃0幅B撕.-撐9潤(rùn)C(jī)瓶.1夏0庭D.隱9解析數(shù)列地的前n項(xiàng)和拿為∴直勺線方媽程為10x+y+9修=0舍.令x=0拜,得y=-舞9,府∴在y軸上曉的截亮距為-9性.B二、懼填空昌題7.等比情數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=2n-1，則.解析當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=1沈,當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=2n-1思-（2n-1-1）=2n-1，又∵a1=1適合痰上式.∴an=2n-1，∴=4n-1.∴數(shù)列{盾}是以=1為首善項(xiàng)，堡以4為公劈燕比的叼等比密數(shù)列.∴8.已知躬數(shù)列2膝00暴8,遍2早00雀9，1，-2感0董08，-2挑0值09，…這個(gè)數(shù)肉列的袖特點(diǎn)舊是從債第二擋項(xiàng)起允，每軋一項(xiàng)彼都等音于它陸的前后嬸兩項(xiàng)賠之和梅，則婚這個(gè)烤數(shù)列競(jìng)的前2進(jìn)00奸9項(xiàng)之拖和S2后00組9等于.解析由題疫意an+1+an-1=an,an+an+2=an+1,兩式麗相加榴得an+2=-an-1,∴an+5=an-1,即{an}是以6為周畫(huà)期的作數(shù)列.2茶00尼9=餐33怎4×量6+屈5.∴a1+a2+…舍+a2蜂00篇9=a1+a2+a3+a4+a5=2柄0慶08圖+2規(guī)0薯09偉+1料-2栽0唐08備-2著0宗09位=1陣,即S2頌00買(mǎi)9=1蔽.19.有限縮慧數(shù)列{an}中，Sn為{an}的前n項(xiàng)和,若把稱(chēng)為爪數(shù)列{an}的“左優(yōu)化潤(rùn)和”優(yōu)，現(xiàn)茂有一躍個(gè)共2誦00念9項(xiàng)的劉數(shù)列余：a1,a2,a3,…仁,a2集00疏9,若其撫“優(yōu)秧化和堅(jiān)”為2婆01縣0，則怖有2朝01膝0項(xiàng)的猾數(shù)列孫：1，a1,a2,a3,…最,a2赤00級(jí)9的優(yōu)疼化和炮為.解析依題伴意，∴S1+S2+…因+S2柏00脫9=2旬0蜜09痕×2道0差10劉.又?jǐn)?shù)推列1,a1,a2,…偷,a2框00嚼9相當(dāng)浪于在撐數(shù)列a1,a2,…打,a2啦00暫9前加笨一項(xiàng)1，∴其晉優(yōu)化柏和為2瞧01筋0三、灰解答捕題10輝.數(shù)列{an}中,a1=3祖,an+an-1+2n-1杰=0掀(n∈N*且n≥2養(yǎng)).（1）求a2、a3的值術(shù)；（2）證源明：慮數(shù)列{an+n}是等準(zhǔn)比數(shù)懇列，復(fù)并求{an}的通潑項(xiàng)公式勤；（3）求諸數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.（1）解∵a1=3，an+an-1+2n-1貪=0（n∈N*且n≥2），∴a2=-a1-4任+1寧=-擱6,a3=-a2-6錦+1常=1旱.（2）證明∵∴數(shù)性列{an+n}是首礙項(xiàng)為a1+1棍=4妥,公比凝為-1的等蔥比數(shù)減列，∴an+n=4證×（-1）n-1，即an=4分×(最-1奏)n-1-n,∴{an}的通盼項(xiàng)公懂式是an=4努×(計(jì)-1青)n-1-n(n∈N*).（3）解∵an=4抽×（-1）n-1-n（n∈N*），Sn=a1+a2+…亂+an=［4(觸-1且)0-1］+［4(隱-1跳)1-2］+［4(詠-1法)2-3］+…衡+［4(待-1差)n-1-n］=4［(-眠1)0+(面-1較)1+(腐-1蝦)2+…芒+(店-1楊)n-1］-（1+趣2+勁3+椒…+n）=2［1-鄉(xiāng)豐(-觸1)n］-11澤.已知弟數(shù)列{an}的各動(dòng)項(xiàng)均扯為正帝數(shù)，Sn為其