排列組合問題的求解策略

1排列組合問題的求解策略長陽職業(yè)教育中心張庭松楊子敬[主題詞]排列組合求解[摘要]計數(shù)問題是現(xiàn)實生活中最普遍排列與組合問題與現(xiàn)實生活密切相關(guān)，有關(guān)這類問題的解答的根底是兩個計數(shù)原理，但是在實際求解過程中必須講究解題策略和方法技巧。解答排列組合問題，首先必須認真審題，明確是屬于排列問題還是組合問題，或者屬于排列與組合的混合問題，其次要抓住問題的本質(zhì)特征，靈活運用根本原理和公式進行分析解答。同時還要注意講究一些策略和方法技巧，使一些看似復雜的問題迎刃而解。下面介紹幾種常用的解題方法和策略。一、合理分類與準確分步法解含有約束條件的排列組合問題，應按元素性質(zhì)進行分類，按事情發(fā)生的連續(xù)過程分步，保證每步獨立，到達分類標準明確，分步層次清楚，不重不漏。例1、五個人排成一排，其中甲不在排頭，乙不在排尾，不同的排法有〔〕A．120種B．96種C．78種D．72種樹分析炒：由印題意傍可先談安排帖甲，濃并按右其分悅類討推論：袍1〕旦假設甲只在末吊尾，晃剩下壘四人掙可自膝由排報，有他種排錫法；敗2〕付假設甲團在第仔二，窯三，見四位織上，慢那么有頸種排辮法，庸由分奉類計戚數(shù)原朱理，廁排法燒共有美種，垂選C采。且解排卷列與休組合換并存暴的問真題時識，一談般采忠用先斜選〔楊組合政〕后刷排〔蝕排列莊〕的但方法產(chǎn)解答羨。裹例硬2、膛4摧個不鳳同小塞球放培入編勻號為刪1，史2，陷3，意4的碰四個主盒中附，恰甘有一李空盒透的方小法有添多少仙種？巷分析廳：從因洗恰有箏一空點盒，瘦故必慚有一云盒子榨放兩左球。饒1〕我選：乎從四桐個球暴中選吊2個秩有論種，諸從4慎個盒絹中選特3個倘盒有另種；離2〕驕排：神把選架出的性2個睡球看講作一趟個元址素與故其余害2球與共3蓋個元谷素，約對選稿出的幼3盒占作全朋排列耀有您種，呼故所境求放優(yōu)法有匠種。恭二、跡元素模分析斯與位膝置分憤析法白對于租有附鋤加條脅件的題排列絲組合終問題鎮(zhèn)，一鳴般采東用：欠先考原慮滿涂足特亡殊的訴元素址和位放置，葬再考質(zhì)慮其槳它元偷素和虎位置租。價例3標、脊用0洽，2艙，3邁，4夢，5置，五染個數(shù)斷字，薯組成貨沒有脂重復副數(shù)字宜的三聾位數(shù)正，其芹中偶檔數(shù)共捆有〔孩〕魯。伯24三個援B機。3稿0個漲澆C。遣40代個槽D壤。6察0個中[分給析]芹由于嘗該三杜位數(shù)艙為偶藝數(shù)，俘故末敗尾數(shù)團字必極為偶雕數(shù)，榮又因省為0粥不能拆排首衡位，馳故0墓就是長其中腫的蕩“趣特殊腰〞遇元素離，應品該優(yōu)燕先安啊排，俗按0竟排在嬸末尾全和0興不排列在末逢尾分恐兩類造：1宰〕0高排末贈尾時狂，有琴個，答2〕刷0不院排在弦末尾倘時，漢那么有陶個，僵由分影數(shù)計致數(shù)原慮理，因共有雜偶數(shù)尋=3黑0個號，選韻B。銅例4帳、餃馬路瞧上有天8只缺路燈限，為衫節(jié)約貧用電宰又不攔影響泊正常搬的照撒明，匯可把夸其中唇的三類只燈興關(guān)掉康，但袖不能惑同時告關(guān)掉留相鄰相的兩聯(lián)只或旗三只籌，也紛不能雷關(guān)掉測兩端敢的燈棵，那軌么滿百足條古件的厘關(guān)燈孝方法溉共有線多少鎮(zhèn)種？掌分析普：表紫面上良看關(guān)氏掉第美1只沃燈的池方法典有6銅種，垂關(guān)第羽二只欠，第氧三只萌時需鐘分類皺討論口，十搞分復卸雜。電假設從紐反面裝入手膛考慮擊，每莖一種布關(guān)燈士的方幼法對豎應著密一種拌滿足柏題設解條件咳的亮輸燈與線關(guān)燈佩的排閑列，湯于是膛問題披轉(zhuǎn)化翁為駁“呈在5把只亮乖燈的斯4個顛空中愧插入揉3只登暗燈仗〞透的問方題。畝故關(guān)襲燈方護法種諒數(shù)為英。阻三、用插空綠法、傳捆綁任法旨對于煮某幾燦個元墾素不犁相鄰饅的排出列問仆題，囑可先禿將其褲他元暖素排交好，熊再將清不相言鄰元蘋素在胃已排圍好的責元素咳之間言及兩伐端空中隙中輛插入燕即可您。訪例5鵝、7察人站僅成一嚴排照們相，幣假設弓要求縫甲、偶乙、越丙不抬相鄰截，那么斥有多英少種裳不同瘡的排耀法？謹分析糟：去先將筐其余碗四人批排好痛有膛種排樹法，壯再在性這人凱之間還及兩吐端的抱5個喇“鈔空半〞股中選慚三個網(wǎng)位置禿讓甲殖乙丙諷插入方，那么鋪有濫種方攏法，磁這樣遞共有緞種不陡同排裁法。缸對于瞞局部安“陵小整死體泊〞題的排扇列問借題，足可先剪將局螺部元浮素捆徹綁在逮一起厘看作衡一個灰元，鵲與其溝余元駛素一啊同排曬列，壟然后抱在進墳行局狠部排味列。劍例6槽、銅7人您站成收一排至照相葡，甲會、乙辰、丙喊三人些相鄰遺，有擴多少旱種不熔同排接法？醋分析煎：勿把甲晌、乙遠、丙鐘三人區(qū)看作蝴一個出“劉元丸〞值，與叔其余漁4人邊共5閱個元喬作全澇排列田，有頭種排閘法，殲而甲使乙、舒丙、本之間罪又有綁種排絕法，運故共躁有階種排狀法。映四、蓄總體濱淘汰下法籌對于馬含有徹否認像字眼鴨的問毅題，賊可以險從總擦體中芒把不兄符合有要求底的除奶去，限此時忌需注傘意不心能多芝減，管也不漸能少設減。戶例如備在例香3中雞，也南可用轎此法門解答炊：五鞠個數(shù)完字組便成三筍位數(shù)電的全單排列韻有給個，蠢排好慘后發(fā)累現(xiàn)0挖不能災排首值位，湯而且濫數(shù)字箭3，沖5也護不能羽排末府位，汽這兩昨種排裁法要臨除去懇，故可有派個偶吧數(shù)。楚五、饅順序于固定然問題槽用爛“雪除法肢〞液對于嫌某幾繪個元最素順沾序一浴定的假排列愛問題興，可鐮先把局這幾燈個元系素與搏其他栗元素冤一同效排列勒，然毀后用妥總排賀列數(shù)政除以忍這幾非個元衫素的消全排夫列數(shù)蔬。美例7搭、釘6隙個人喊排隊朋，甲寄、乙帽、丙肅三人江按毛“埋甲-樂--衰乙-睬--謝丙殊〞西順序舉排的躺排隊繪方法旬有多蛛少種齊？喚分析杏：洽不配考慮笑附加塑條件襪，排紡隊方織法有但種，相而其樸中甲能、乙機、丙銀的皆種排迫法中梢只有育一種雁符合躬條件圍。故牧符合芳條件求的排添法有山種。娃六、烘構(gòu)造日模型鍛漠“永隔板負法幣〞舒對于哥較復或雜的體排列北問題陪，可略通過悠設計宵另一跟情景梳，構(gòu)疏造一聽個隔監(jiān)板模劫型來灘解決妙問題墳。駝例8茶、噴方快程透a+獲b+站c+頁d=菠12瓶有多芒少組尼正整藍數(shù)解故？輪分析炭：建疤立隔襲板模透型：銅將1特2個路完全敏相同服的球璃排成升一列狐，在蹈它們姥之間棕形成奏的1倍1個冬間隙旁中任燦意插戒入3叮塊隔法板，杠把球調(diào)分成影4堆儀，每違一種害分法乎所得挺4堆裂球的荷各堆汁球的紛數(shù)目揭，對暮應為膛a、膊b、美c、傅d魄的一望組正好整解奧，故幻原方渴程的止正整姨數(shù)解臘的組藥數(shù)共撿有未。嫩又如瞇方程洞a+懼b+守c+臺d=彈12繳非負雖整數(shù)奔解的尊個數(shù)鑼；三洪項式偶,漲四項暑式速等展變開式蛾的項嫩數(shù)，奇經(jīng)過伙轉(zhuǎn)化岸后都在可用飯此法搏解。柴七、簽分排洪問題方“縣直排咽法英〞朗把幾村個元臉素排洲成前投后假設腸干排鑼的排夠列問歐題，嚷假設沒館有其孕它的草特殊躁要求議，可敵采取撓統(tǒng)一免排成但一排熟的方牧法來細處理蓬。嚇例9穿、7進個人叼坐兩概排座急位，務第一墓排3以個人靜，第認二排畫坐4漿個人威，那么廣不同抗的坐燙法有眠多少姜種？漲分析?。?歲個人姐可以丹在前蚊兩排制隨意褲就坐趁，再愛無其零它條輪件，紛故兩森排可岸看作慣一排霞來處縮理，融不同誠的坐即法共論有山種。展八、馳表格京法卻有些盼較復把雜的框問題翻可以丸通過州列圖也表使抄其直呀觀化軌。遭例1米0、借9評人組單成籃汽球隊味，其即中7桌人善奇打前渾鋒，粘3人銷善打改后衛(wèi)壞，現(xiàn)福從中染選5測人〔瓣兩衛(wèi)發(fā)三鋒乓，且哈鋒分順左、剝中、范右，杜衛(wèi)分軍左右驕〕組淘隊出怠場，角有多累少種支不同系的組掀隊方妄法？危分析沙：由覽題設爸知，慰其中拖有1熔人菜既可索打鋒蜂，又鼓可打堂衛(wèi)，瘋那么只語會鋒摔的有嫌6人品，只瓶會衛(wèi)煩的有冬2媽人。城列表券如下握：觀人數(shù)母6人繼只會樹鋒金2人談只會什衛(wèi)桌1人著即鋒絡又衛(wèi)洽結(jié)果臺不同供選法準3陷2示3祥1樂1〔走衛(wèi)〕飾2保2漢1〔崇鋒〕塞由表約知，擠共有稻種方魄法。計除了泛上述送方法禽外，趁有時恒還可宜以通不過設純未知哪數(shù)，繼借助胖方程慚來解表答，況簡單久一些紅的問局題可淡采用撈列舉備法等訓。解必此類毫問題異常用鎮(zhèn)的數(shù)佳學思銅想是媽：分右類討傘論的生思想浪，轉(zhuǎn)癢化思餐想和稍對稱杠思想塘等三肯種。袍排列紙組合嘴是高彈中數(shù)倒學的泉重點橫和難艇點之曠一，場也是為進一診步學巴習概沙率的慮根底歸。事匹實上外，許隨多概理率問絲題也約可歸脫結(jié)為干排列打組合半問題產(chǎn)。這柿一類起問題給不僅炎內(nèi)容末抽象信，解咐法靈切活，似而且削解題死過程壽極易矩出現(xiàn)跨“舊重復換〞城和羽“軌遺漏刪〞谷的錯圣誤，阻這些染錯誤走甚至社不容易易檢崖查出聾來，胃所以指解題新時要猾注意覆不斷裝積累漠經(jīng)驗循，總素結(jié)解秀題規(guī)幫律，苗掌握姨假設干鏟技巧受，