江蘇省宿遷三年級2022年數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末考試試題含解析

2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。

2.答題時請按要求用筆。

3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。

4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5.保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.若某幾何體的三視圖（單位:cm）如圖所示，則此幾何體的體積是（）

圈3

正視圖舞視圖

B.48cm3C.60cm3D.72cm3

x2

2.已知橢圓E：——+1（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為"，F(xiàn)2,過鳥的直線2x+y-4=0與y軸交于點(diǎn)A，

a

線段A6與￡交于點(diǎn)8.若|A8|=|8用，則E的方程為（)

,2,2,2cm.2

A.-廠----1-y--=I1BD.—+y2=1

4036-玄1065

3.在直角坐標(biāo)平面上，點(diǎn)P（x,y）的坐標(biāo)滿足方程2x+y2=。，點(diǎn)Q（a,。）的坐標(biāo)滿足方程

/+。2+6。一8。+24=0則上心的取值范圍是（）

x-a

-4-幣-4+77

A.[-2,2]3-，-3-

4.已知為非零向量，“萬2萬=而”為“同@=麗，，的（

A.充分不必要條件B.充分必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

5.已知定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)/（X）滿足（l-x）"（x）+x-f（x）>0,若尸/（X+2）”是奇函數(shù)，則不等式

r_/.（幻-2/”<0的解集是（）

A.(-oo,2)B.(-oo,l)C.(2,+oo)D.(L+00)

6.設(shè)5={%|21+1>0},T={x\3x-5<0},則S?T()

B.{x|x<-g}C.{x|x>g

A.0D.{x\--<X<-}

23

］x—2

7.設(shè)函數(shù)個）=［例小_2+1.2間〉1'若函數(shù)g3=/2（x）+"3+c有三個零點(diǎn)…"3,則

XjX2+X2X3+XjX3=()

A.12B.11C.6D.3

8.已知三棱錐P—ABC中，。為AB的中點(diǎn)，P。，平面ABC,NA?B=90°,PA=PB=2,則有下列四個結(jié)

論：①若。為AABC的外心，則尸。=2；②AABC若為等邊三角形，則APL3C；③當(dāng)NAC3=90°時，PC與

平面EW所成的角的范圍為］。，（；④當(dāng)PC=4時，M為平面PBC內(nèi)一動點(diǎn)，若OM〃平面PAC,則用在“<8。

內(nèi)軌跡的長度為1.其中正確的個數(shù)是（）.

A.1B.1C.3D.4

9.將函數(shù)/（x）=cos2%圖象上所有點(diǎn)向左平移:個單位長度后得到函數(shù)g（x）的圖象，如果g（尤）在區(qū)間［0,a］上單

調(diào)遞減，那么實(shí)數(shù)"的最大值為（）

〃?！?

A.—B.-C.—D.-7T

8424

3

10.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的5=三，則①處應(yīng)填寫（）

3L

A.k<3?B.鼠3?C.k,,5?D.k<5?

11.已知f(x)=ax：+bx是定義在［a-1,2a］上的偶函數(shù)，那么a+b的值是

11

A.—B.—

33

11

C.一一D.-

22

12.若平面向量色瓦5，滿足隆|=2,出|=4,a-b=4,\c-a+b\=y/3,則/-平的最大值為()

A.572+73B.5血-GC.2V13+V3D.2岳-乖)

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.函數(shù)/(?=./與g(x)=-x-1的圖象上存在關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)，則實(shí)數(shù)”的取值范圍為.

14.若正三棱柱ABC-A5.C,的所有棱長均為2,點(diǎn)P為側(cè)棱A4上任意一點(diǎn)，則四棱錐P-8CG始的體積為

2x-y<6

15.設(shè)工,丁滿足約束條件〈,若z=x+3y+a的最大值是10,則。=.

,y<3

57rSTTTT

16.四邊形ABC。中，NA=—,NB=NC=—,ZD=-,BC=2,則AC的最小值是___.

6123

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)據(jù)《人民網(wǎng)》報道，美國國家航空航天局(NASA)發(fā)文稱，相比20年前世界變得更綠色了，衛(wèi)星資料

顯示中國和印度的行動主導(dǎo)了地球變綠.據(jù)統(tǒng)計(jì)，中國新增綠化面積的42%來自于植樹造林，下表是中國十個地區(qū)在

去年植樹造林的相關(guān)數(shù)據(jù).(造林總面積為人工造林、飛播造林、新封山育林、退化林修復(fù)、人工更新的面積之和)

單位：公頃

造林方式

造林總面

地區(qū)

新封山育退化林修

積

人工造林飛播造林人工更新

林復(fù)

內(nèi)蒙6184843H05274094136006903826950

河北5833613456253333313507656533643

河南14900297647134292241715376133

重慶2263331006006240063333

陜西297642184108336026386516067

甘肅325580260144574387998

新疆2639031181056264126647107962091

青海178414160511597342629

寧夏91531589602293882981335

北京1906410012400039991053

(1)請根據(jù)上述數(shù)據(jù)分別寫出在這十個地區(qū)中人工造林面積與造林總面積的比值最大和最小的地區(qū)；

(2)在這十個地區(qū)中，任選一個地區(qū)，求該地區(qū)新封山育林面積占造林總面積的比值超過50%的概率；

(3)在這十個地區(qū)中，從退化林修復(fù)面積超過一萬公頃的地區(qū)中，任選兩個地區(qū)，記X為這兩個地區(qū)中退化林修復(fù)

面積超過六萬公頃的地區(qū)的個數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

18.(12分)為提供市民的健身素質(zhì)，某市把A,B,C,。四個籃球館全部轉(zhuǎn)為免費(fèi)民用

(1)在一次全民健身活動中，四個籃球館的使用場數(shù)如圖，用分層抽樣的方法從A&C,。四場館的使用場數(shù)中依次

抽取4M2，%，包共25場，在4，。2，。3，%中隨機(jī)取兩數(shù)，求這兩數(shù)和自的分布列和數(shù)學(xué)期望;

t場數(shù)

(2)設(shè)四個籃球館一個月內(nèi)各館使用次數(shù)之和為X,其相應(yīng)維修費(fèi)用為)'元，根據(jù)統(tǒng)計(jì)，得到如下表的數(shù)據(jù):

X10152025303540

y10000117611301013980147711544016020

y

z=0.1即+22.993.494.054.504.995.495.99

①用最小二乘法求二與x的回歸直線方程;

②缶叫做籃球館月惠值，根據(jù)①的結(jié)論，試估計(jì)這四個籃球館月惠值最大時，的值

7__

Z（%-x）（Zj-z）

_7_7__

x

參考數(shù)據(jù)和公式:z=4.5,Z（七-x）?=700,Z（i~幻⑵-z）=70,/=2Qh=-------——a=z-bx

/=1/=1￡（%一幻2

i=l

19.（12分）某商場舉行優(yōu)惠促銷活動，顧客僅可以從以下兩種優(yōu)惠方案中選擇一種.

方案一：每滿100元減20元；

方案二：滿100元可抽獎一次.具體規(guī)則是從裝有2個紅球、2個白球的箱子隨機(jī)取出3個球（逐個有放回地抽?。?/p>

得結(jié)果和享受的優(yōu)惠如下表：（注：所有小球僅顏色有區(qū)別）

紅球個數(shù)3210

實(shí)際付款7折8折9折原價

（1）該商場某顧客購物金額超過100元，若該顧客選擇方案二，求該顧客獲得7折或8折優(yōu)惠的概率;

（2）若某顧客購物金額為180元，選擇哪種方案更劃算？

x=2cosa—

20.（12分）在直角坐標(biāo)系xOy中，把曲線C：（（a為參數(shù)）上每個點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標(biāo)

y-2sma

不變,得到曲線C,?以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以X軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程Psin（e--）=4J5.

4

（1）寫出的普通方程和C3的直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)點(diǎn)M在C2上，點(diǎn)N在G上，求|MN|的最小值以及此時M的直角坐標(biāo).

21.（12分）已知數(shù)列｛q｝和｛2｝,｛4｝前"項(xiàng)和為S“，且S“=”2+〃，也｝是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且么=￡，

,,R31

白+H+4=—?

（1）求數(shù)列｛4｝和也｝的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列｛為一4〃｝的前n項(xiàng)和7；.

22.（10分）=有最大值，且最大值大于0.

（1）求。的取值范圍；

（2）當(dāng)a=g時，/（X）有兩個零點(diǎn)玉,當(dāng)（王<々），證明：X\X2<30-

（參考數(shù)據(jù)：In0.9之-0.1）

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、B

【解析】

試題分析：該幾何體上面是長方體，下面是四棱柱；長方體的體積彳=2-2-4=16,四棱柱的底面是梯形，體積為

^=-（2+6）24=32,因此總的體積V=16+32=48.

2

考點(diǎn)：三視圖和幾何體的體積.

2、D

【解析】

由題可得A（0,4）,瑪（2,0）,所以c=2,又|AB|=|8周，所以2a=忸耳|+忸用=|傷|=2石，得”逐，故可

得橢圓的方程.

【詳解】

由題可得A（0,4）,瑪（2,0）,所以c=2,

又|AB|=|班所以2a=忸用+忸閭=|A用=26，得。=有，."=1,

2

所以橢圓的方程為二+丁=1.

5

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了橢圓的定義，橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解.

3、B

【解析】

由點(diǎn)P（x,y）的坐標(biāo)滿足方程--28+：/=0,可得P在圓（x—lF+y2=i上，由。（a,。）坐標(biāo)滿足方程

a2+b2+6a-Sb+24=0,可得。在圓（x+3p+（y—=1上，則三=A"求出兩圓內(nèi)公切線的斜率，利用數(shù)

形結(jié)合可得結(jié)果.

【詳解】

???點(diǎn)p（x,y）的坐標(biāo)滿足方程x2-2x+y2=0,

r.P在圓+9=1上，

。（凡b）在坐標(biāo)滿足方程a2+b2+6a-8b+24=0,

???Q在圓（x+3y+（y—4）2=1上,

則二=左作出兩圓的圖象如圖，

x-a

設(shè)兩圓內(nèi)公切線為AB與C。，

由圖可知—kpQKkCD,

設(shè)兩圓內(nèi)公切線方程為丫="+%，

M+時］

y/l+k2

則〈=|左+m|=\—3k+m-4|,

|-3Z:+m-4|

=1

???圓心在內(nèi)公切線兩側(cè)，，左+加二一（一32+“一4）,

可得加=%+2,

化為女2+8上+3=0，k=14士守,

3

即心_-4-幣心_-4+V7

即^AB-2'kcD-2

-4-V?/y-b_[j-4+V7

-=kpQ-'

3x-a3

上心的取值范圍「士也,故選氏

【點(diǎn)睛】

本題主要考查直線的斜率、直線與圓的位置關(guān)系以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于綜合題.數(shù)形結(jié)合是根據(jù)數(shù)量與圖形

之間的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法，尤其在解決選擇題、填空題時發(fā)揮著

奇特功效，大大提高了解題能力與速度.運(yùn)用這種方法的關(guān)鍵是運(yùn)用這種方法的關(guān)鍵是正確作出曲線圖象，充分利用數(shù)

形結(jié)合的思想方法能夠使問題化難為簡，并迎刃而解.

4、B

【解析】

由數(shù)量積的定義可得a2=\af>0,為實(shí)數(shù)，則由五2否=ba可得同？b=|彳a，根據(jù)共線的性質(zhì),可判斷之=九再根據(jù)

問萬=|即判斷斤=九由等價法即可判斷兩命題的關(guān)系.

【詳解】

若九=b2a成立，則同2b=|甲萬，則向量〃與否的方向相同，且，欠=印同,從而口=J4,所以]=B；

若問〃=慟瓦則向量4與坂的方向相同，且問'=麻,從而口=忖，所以5=4

所以“a2b=片"''為"問萬=MM”的充分必要條件.

故選:B

【點(diǎn)睛】

本題考查充分條件和必要條件的判定,考查相等向量的判定，考查向量的模、數(shù)量積的應(yīng)用.

5、A

【解析】

構(gòu)造函數(shù)g(x)="；9),根據(jù)已知條件判斷出g(x)的單調(diào)性根據(jù)y=/(x+2)-"是奇函數(shù)，求得“2)的值，

由此化簡不等式x-f(x)~2"”<0求得不等式的解集.

【詳解】

構(gòu)造函數(shù)g(x)=t/IU,依題意可知g(x)=(l一1"(x)+K/(x)〉O,所以g(x)在R上遞增.由于

y=/(x+2)-/是奇函數(shù)，所以當(dāng)尤=。時，y=/(2)-e3=0,所以〃2)=e3,所以g(2)=W=2e.

e

由x/x)-2*<0得g(x)=14^<2e=g(2)，所以x<2,故不等式的解集為(f,2).

故選：A

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查構(gòu)造函數(shù)法解不等式，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔

題.

6、D

【解析】

集合S,T是一次不等式的解集，分別求出再求交集即可

【詳解】

S={x|2x+l}o}=卜以>_3},

T-{x|3x-5<0}=卜|x<g],

則Sdlxl-gvxcg}

故選。

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了一次不等式的解集以及集合的交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

7、B

【解析】

畫出函數(shù)/(X)的圖象，利用函數(shù)的圖象判斷函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)，然后轉(zhuǎn)化求解，即可得出結(jié)果.

【詳解】

fl,x=2

作出函數(shù)/(x)=,IclICI的圖象如圖所示，

loga\x-2\+l,x^2,a>\

令f(x)=r,

由圖可得關(guān)于x的方程f(x)=t的解有兩個或三個(/=1時有三個，t*1時有兩個)，

所以關(guān)于/的方程/+4+c=o只能有一個根t=1(若有兩個根，則關(guān)于X的方程r(x)+"(X)+C=0有四個或五個

根)，

由/(x)=l,可得玉,七,當(dāng)?shù)闹捣謩e為1,2,3,

貝！|2+%2/+再玉=1x2+2x3+1x3=11

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查數(shù)形結(jié)合以及函數(shù)與方程的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，屬于?？碱}型.

8、C

【解析】

由線面垂直的性質(zhì)，結(jié)合勾股定理可判斷①正確；反證法由線面垂直的判斷和性質(zhì)可判斷②錯誤;由線面角的定義和轉(zhuǎn)

化為三棱錐的體積，求得C到平面PAB的距離的范圍，可判斷③正確;由面面平行的性質(zhì)定理可得線面平行,可得④正確.

【詳解】

畫出圖形：

P。，平面ABC河得PO±0C,即PC=ylP02+0C2=2，①正確;

△ABC若為等邊三角形，AP1BC,又APLPB

可得"，平面P8C,即AP_LPC,由PO_LOC可得

PC7Po2+0。=41^=26=AC，矛盾，②錯誤；

若NACB=90°,設(shè)PC與平面RW所成角為。

可得0C=0A=0B=V5,PC=2,

設(shè)C到平面Q鉆的距離為。

由^C-PAB=^P-ABC可得

2-2=--V2--ACBC

3232

即有ACBC^2"=4,當(dāng)且僅當(dāng)AC=BC=2取等號.

2

可得d的最大值為0,sin。=—

22

即。的范圍為（0,7,③正確；

取8C中點(diǎn)N,PB的中點(diǎn)K,連接OK,ON,MV

由中位線定理可得平面OKN//平面PAC

可得A/在線段MV上，而KN=LPC=2,可得④正確；

2

所以正確的是：①③④

故選：C

【點(diǎn)睛】

此題考查立體幾何中與點(diǎn)、線、面位置關(guān)系有關(guān)的命題的真假判斷，處理這類問題，可以用已知的定理或性質(zhì)來證明,

也可以用反證法來說明命題的不成立.屬于一般性題目.

9、B

【解析】

根據(jù)條件先求出g（x）的解析式，結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.

【詳解】

將函數(shù)/（X）=cos2x圖象上所有點(diǎn)向左平移:個單位長度后得到函數(shù)g（X）的圖象，

71

則g(x)=cos2X+一=cosf+I,

4

7C

設(shè)e=2x+—,

2

JCTC

則當(dāng)Ovx<a時，0<2x<2cl9—<2xH—<2。H—,

222

即一＜6V2。+—，

22

要使g(X)在區(qū)間［0,句上單調(diào)遞減，

47171

則2。+一＜乃得2。＜一，得。＜一，

224

7T

即實(shí)數(shù)“的最大值為Z'

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查三角函數(shù)圖象變換，考查根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)，屬于中檔題.

10、B

【解析】

模擬程序框圖運(yùn)行分析即得解.

【詳解】

左=1,S=O;k=2,S=OH—；----=—；

2'+26

k=3,S=—I—z----=-；左=4,S=—I—3-----=—.

632+34442+410

所以①處應(yīng)填寫“鼠3?”

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查程序框圖，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.

11、B

【解析】

依照偶函數(shù)的定義，對定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)，f(-x)=f(x),且定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，a--2a,即可得解.

【詳解】

根據(jù)偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，且f(X)是定義在[a-L2a]上的偶函數(shù)，

得a-l=-2a,解得a=1，又f(-x)=f(x),

3

/.b=0,a+b=—.故選B.

3

【點(diǎn)睛】

本題考查偶函數(shù)的定義，對定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)，f(-x)=f(x)；奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義域必然關(guān)于原點(diǎn)對稱，定

義域區(qū)間兩個端點(diǎn)互為相反數(shù).

12、C

【解析】

可根據(jù)題意把要求的向量重新組合成已知向量的表達(dá)，利用向量數(shù)量積的性質(zhì)，化簡為三角函數(shù)最值.

【詳解】

由題意可得：

c-b=(c-a+b)+(d-2b),

?：\a-2b|2=(a-2^)2=|S|2+4-1|2—4萬.5=4+4x16—4x4=52

:.\a-2b|=2V13,

.-.|c-^|2=(c-^)2=[(c-a+b)+(a-2h)]2=|(c-J+^)+(J-2^)|2

=|5-2+5『+1萬—255+2-\c-a+h\-\a-2b\cos<c-a+b,a+2b>

=3+52+2XA/3X2VT3xcos<c-a+b,a+2b>

=55+4\/39xcos<c-a+b,a+2b>

,,55+4739

?.?55+4屈=52+2x2而x6+3=(2萬+揚(yáng)2,

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題主要考查根據(jù)已知向量的模求未知向量的模的方法技巧,把要求的向量重新組合成已知向量的表達(dá)是本題的關(guān)鍵

點(diǎn).本題屬中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、?<1

【解析】

先求得與g(X)關(guān)于X軸對稱的函數(shù)h(x)=x+1,將問題轉(zhuǎn)化為/(x)=ae'與h(x)=x+1的圖象有交點(diǎn)，即方程

ae'=x+1有解.對“分成。=0,。<0,。>0三種情況進(jìn)行分類討論，由此求得實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【詳解】

因?yàn)間(x)=-x-1關(guān)于%軸對稱的函數(shù)為AU)=x+l,因?yàn)楹瘮?shù)/(%)=優(yōu)'與g(x)=-x-1的圖象上存在關(guān)于x軸的

對稱點(diǎn)，所以〃x)="e'與〃(x)=x+l的圖象有交點(diǎn)，方程ae'=x+l有解.

。=0時符合題意.

時轉(zhuǎn)化為e'=L(x+l)有解，即丫=3,y=，(x+l)的圖象有交點(diǎn)，y=^(x+l)是過定點(diǎn)(一1,0)的直線，其

aaa

斜率為工，若a<0,則函數(shù)y=e'與y=L(x+l)的圖象必有交點(diǎn)，滿足題意；若。>0,設(shè)丫=/,y=^(x+l)相

aaa

,eff,_1

切時，切點(diǎn)的坐標(biāo)為(m,e"')，則機(jī)+1”,解得a=l,切線斜率為，=1,由圖可知，當(dāng)即0<aWl時,

曖=工aa

La

y=e",y=—(x+1)的圖象有交點(diǎn)，此時，/(x)=ae*一/與〃(無)=一/+x+l的圖象有交點(diǎn)，函數(shù)/(x)=aex-x2

a

與g(x)=Y-X-1的圖象上存在關(guān)于X軸的對稱點(diǎn)，綜上可得，實(shí)數(shù)。的取值范圍為aW1.

,一

-2-1O12x

故答案為：a<\

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的零點(diǎn)以及對稱性,函數(shù)與方程等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生分析問題，解決問題的能力,

推理與運(yùn)算求解能力，轉(zhuǎn)化與化歸思想和應(yīng)用意識.

14、述

3

【解析】

依題意得S口BBGC=2x2=4,再求點(diǎn)p到平面的距離為點(diǎn)A到直線BC的距離乙，用公式

所以匕?S°BB?CXhp即可得出答案?

【詳解】

解：正三棱柱ABC-AgC的所有棱長均為2,

則5口叫6。=2x2=4,

點(diǎn)P到平面的距離為點(diǎn)A到直線BC的距離

2

所以%=、22-is

所以％BRCC=~^OBBCCx〃p='x4x百=4'

故答案為：迪

3

【點(diǎn)睛】

本題考查椎體的體積公式,考查運(yùn)算能力，是基礎(chǔ)題.

7

15、——

2

【解析】

畫出不等式組表示的平面區(qū)域，數(shù)形結(jié)合即可容易求得結(jié)果.

【詳解】

97

故可得10=三+9+。，解得a=一-.

22

7

故答案為：-彳.

【點(diǎn)睛】

本題考查由目標(biāo)函數(shù)的最值求參數(shù)值，屬基礎(chǔ)題.

瓜+亞

16,-------

2

【解析】

在AA8C中利用正弦定理得出人廠m12，進(jìn)而可知，當(dāng)NC48=一時，AC取最小值，進(jìn)而計(jì)算出結(jié)果.

AC-------2

sin/CAB

【詳解】

.5萬.(714、.717tn.nv6+v2

sin——=sin—■F—=sin—cos——i-cos—sin—=-------

12U6)46464

ACBC

如圖，在AABC中，由正弦定理可得

sinZBsinNCAB’

即=j'故當(dāng)"M=f時,4取到最小值為逅產(chǎn)?

sinNCAB2

V6+V2

故答案為:

2

【點(diǎn)睛】

本題考查解三角形，同時也考查了常見的三角函數(shù)值，考查邏輯推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)人工造林面積與總面積比最大的地區(qū)為甘肅省，人工造林面積與總面積比最小的地區(qū)為青海??；(2)(3)

分布列見詳解，數(shù)學(xué)期望為1

【解析】

(1)通過數(shù)據(jù)的觀察以及計(jì)算人工造林面積與造林總面積比值，可得結(jié)果.

(2)通過數(shù)據(jù)的觀察以及計(jì)算新封山育林面積與造林總面積比值，得出比值超過50%的地區(qū)個數(shù)，然后可得結(jié)果.

(3)計(jì)算退化林修復(fù)面積超過一萬公頃的地區(qū)中選兩個地區(qū)總數(shù)C：,退化林修復(fù)面積超過六萬公頃的地區(qū)的個數(shù)為

3,列出X所有取值并計(jì)算相應(yīng)概率，然后可得結(jié)果.

【詳解】

(1)人工造林面積與總面積比最大的地區(qū)為甘肅省，

人工造林面積與總面積比最小的地區(qū)為青海省.

(2)記事件4：在這十個地區(qū)中，任選一個地區(qū)，該地區(qū)

新封山育林面積占總面積的比值超過50%

根據(jù)數(shù)據(jù)可知：青海地區(qū)人工造林面積占總面積比超過50%,

則尸⑷磊

(3)退化林修復(fù)面積超過一萬公頃有6個地區(qū)：

內(nèi)蒙、河北、河南、重慶、陜西、新疆，

其中退化林修復(fù)面積超過六萬公頃有3個地區(qū)：

內(nèi)蒙、河北、重慶，

所以X的取值為0,1,2

所以P(x=o)系V，P(x=l)=罟=>

r23

蛆=2）咯V

隨機(jī)變量X的分布列如下:

X012

393

P

151515

393

￡（X）=0x—+1X—+2x—=1

'）151515

【點(diǎn)睛】

本題考查數(shù)據(jù)的處理以及離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，審清題意，細(xì)心計(jì)算，屬基礎(chǔ)題.

18、(1)見解析，12.5(2)①S=0.1x+2②20

【解析】

(1)運(yùn)用分層抽樣，結(jié)合總場次為100,可求得％,。2，。3，。4的值，再運(yùn)用古典概型的概率計(jì)算公式可求解果;

7_7__

⑵①由公式可計(jì)算Za一無)2，Z(x,-x)(4-Z)的值，進(jìn)而可求Z與X的回歸直線方程；

1=11=1

②求出g(x),再對函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合單調(diào)性，可估計(jì)這四個籃球館月惠值最大時X的值.

【詳解】

251

解：(1)抽樣比為-^■=：,所以。|,。,,仆,。4分別是，6,7,8>5

1004

所以兩數(shù)之和所有可能取值是：10,12,13,15

p?=10)=1>“(4=12)=；,“(4=13)=；,p(L=15)=\

所以分布列為

e

610121315

￡￡￡

P1336

期望為E(J)=10xL+12x』+13x1+15xL=12.5

6336

(2)因?yàn)?(玉一x)2=700,》(x,.-x)(Zj-z)=70,

i=li=]

7__

Z(斗—x)(z,.—z)

701

所以-----=——=——=—,〃=4.5-0.1x25=2,

—x)270010

i=\

z=0.1x+2；

②z=0.1e痂+2=0?卜+2,

,40,

1+------Inx

43431nx

設(shè)g(x)y,g'(x)=4343x_____

x+40x+40(x+40)2

所以當(dāng)xe[0,20],g'(x)>0,g(x)遞增，當(dāng)xe[20,e),g'(x)<0,g(x)遞減

所以約惠值最大值時的x值為20

【點(diǎn)睛】

本題考查直方圖的實(shí)際應(yīng)用，涉及求概率，平均數(shù)、擬合直線和導(dǎo)數(shù)等問題，關(guān)鍵是要讀懂題意，屬于中檔題.

19、(1)](2)選擇方案二更為劃算

【解析】

(D計(jì)算顧客獲得7折優(yōu)惠的概率片=[,獲得8折優(yōu)惠的概率H=?,相加得到答案.

88

(2)選擇方案二，記付款金額為X元，則X可取的值為126,144,162,180,,計(jì)算概率得到數(shù)學(xué)期望，比較大小

得到答案.

【詳解】

(1)該顧客獲得7折優(yōu)惠的概率=",

該顧客獲得8折優(yōu)惠的概率鳥=C；x《[x：=|

131

故該顧客獲得7折或8折優(yōu)惠的概率P=PP=-+-=-

]'+12882

(2)若選擇方案一，則付款金額為180-20=160.

若選擇方案二，記付款金額為X元，則X可取的值為126,144,162,180.

P(X=126)=-1,P(X=144)=門I-、I=-3

…62)=嗎*(X=180)=鳴?$

1331

則EX=126x—+144x2+162x三+180x—=153.

8888

因?yàn)?60>153,所以選擇方案二更為劃算.

【點(diǎn)睛】

本題考查了概率的計(jì)算，數(shù)學(xué)期望，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.

22

20、(1)C2的普通方程為*+?=1,C3的直角坐標(biāo)方程為x-y+8=0.(2)最小值為2拒，此時M(—3,1)

【解析】

(1)由的參數(shù)方程消去a求得U的普通方程，利用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化公式，求得g的直角坐標(biāo)方程.

(2)設(shè)出“點(diǎn)的坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線的距離公式求得|MN|最小值的表達(dá)式，結(jié)合三角函數(shù)的指數(shù)求得|MN|的最小

值以及此時M點(diǎn)的坐標(biāo).

【詳解】

、……c一一…|x=2百cosa.,3

(1)由題意知G的參數(shù)方程為(。為參數(shù))

y=2sina

22

所以C,的普通方程為二+二=I.由夕sin(e—工)=4&.得。cos夕—。sin夕+8=0,所以C、的直角坐標(biāo)方程為

1244

x—y+8=0.

(2)由題意，可設(shè)點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(2百cosa,2sina),

因?yàn)镃,是直線，所以IMN|的最小值即為M到4的距離”(a),

因?yàn)閐(a)=126cos〈sma+8|=2丘?cos(a+馬+21.

V26

當(dāng)且僅當(dāng)a=2Z萬+紅eeZ)時，d(a)取得最小值為20，此時M的直角坐標(biāo)為(2j§cos包,2sin包)即

666

(-3,1).

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查參數(shù)方程化為普通方程，考查極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，考查利用曲線參數(shù)方程求解點(diǎn)到直線距

離的最小值問題，屬于中檔題.

21、(1)a“=2〃，2=(￡|；&)I，=〃(〃+1)—5。一卷).

【解析】

(1)令〃=1求出q的值，然后由〃22,得出a,,=S“-S,i，然后檢驗(yàn)“是否符合。.在〃22時的表達(dá)式，即可得

出數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式，并設(shè)數(shù)列｛4｝的公比為4,根據(jù)題意列出々和4的方程組，解出這兩個量，然后利用等比數(shù)

列的通項(xiàng)公式可求出包；

(2)求出數(shù)列｛〃,｝的前“項(xiàng)和紇，然后利用分組求和法可求出7；.

【詳解】

(1)當(dāng)〃=1時，q=S[=2,

當(dāng)〃22時，a“=S“-S“_]=(〃2-=2〃.

4=2也適合上式，所以，a“=2”(〃eN)

4=bd--

125

設(shè)數(shù)列也｝的公比為q,則4>o,由<

31

瓦+%+々=4(1+4+/)=石

兩式相除得30g2—4—i=o,「q>。，解得q=a=I,.?也=姑"一=白

/X11

,,白(1一/‘)1一65

(2)設(shè)數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和為紇，則紇==——L=

i—q4

5

(〃+1)-4x；(l1

:.T=S,-AB=n