數(shù)學-高一下期中真題精選（常考60題專練）（解析版）

高一下期中真題精選（?？?0題專練）一．選擇題（共22小題）1．（2022春?臺州期中）已知i為虛數(shù)單位，（1﹣i）z＝2，則復平面上z對應的點在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】首先由（1﹣i）z＝2求得z，然后可確定復平面上z對應的點所在象限．【解答】解：首先由（1﹣i）z＝2求得z＝＝＝1+i，對應點為（1，1），在第一象限．故選：A．【點評】本題考查復數(shù)除法運算，考查復數(shù)幾何意義，屬于基礎題．2．（2022春?濱江區(qū)校級期中）已知復數(shù)z＝，則z的共軛復數(shù)是（）A．1﹣i B．1+i C．i D．﹣i【分析】復數(shù)分子、分母同乘分母的共軛復數(shù)，化簡為a+bi（a，b∈R）的形式，即可得到選項．【解答】解：復數(shù)z＝＝所以它的共軛復數(shù)為：1﹣i故選：A．【點評】本題是基礎題，考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，復數(shù)的基本概念，考查計算能力，?？碱}型．3．（2022春?臺州期中）已知△ABC中，角A，B，C的對邊邊長分別為a，b，c，若A：B：C＝1：1：4，則a：b：c等于（）A．1：1： B．2：2： C．1：1：2 D．1：1：4【分析】根據(jù)三角形內角和定理與正弦定理，即可求得a：b：c的值．【解答】解：△ABC中，A：B：C＝1：1：4，所以三個內角分別為30°，30°，120°；則a：b：c＝sinA：sinB：sinC＝：：＝1：1：．故選：A．【點評】本題考查了三角形內角和定理與正弦定理的應用問題，是基礎題．4．（2022春?石首市期中）關于向量，，下列命題中，正確的是（）A．若||＝||，則＝ B．若||＞||，則＞ C．若，則∥ D．若∥，則【分析】根據(jù)向量的有關定義分別判斷即可．【解答】解：對于A，向量的模相等，向量不一定相等，故A錯誤，對于B，向量不能比較大小，故B錯誤，對于C，若向量相等，則向量共線，反之，不成立，故C正確，D錯誤，故選：C．【點評】本題考查了向量的有關概念，熟練掌握向量的定義是解題的關鍵，是基礎題．5．（2022春?上城區(qū)校級期中）已知平面向量，不共線，＝4+6，＝﹣+3，＝+3，則（）A．A，B，D三點共線 B．A，B，C三點共線 C．B，C，D三點共線 D．A，C，D三點共線【分析】根據(jù)平面向量的共線定理與線性運算法則，進行判斷即可．【解答】解：因為＝4+6，＝﹣+3，＝+3，所以＝+＝3+9＝3（+3）＝3，所以與共線，即A、C、D三點共線．故選：D．【點評】本題考查了平面向量的線性運算與共線定理應用問題，是基礎題．6．（2022春?浙江期中）圭表（如圖1）是我國古代一種通過測量正午日影長度來推定節(jié)氣的天文儀器，它包括一根直立的標竿（稱為“表”）和一把呈南北方向水平固定擺放的與標竿垂直的長尺（稱為“圭”）．當正午太陽照射在表上時，日影便會投影在圭面上，圭面上日影長度最長的那一天定為冬至，日影長度最短的那一天定為夏至．圖2是一個根據(jù)北京的地理位置設計的圭表的示意圖，已知北京冬至正午太陽高度角（即∠ABC）為26.5°，夏至正午太陽高度角（即∠ADC）為73.5°，圭面上冬至線與夏至線之間的距離（即DB的長）為a，則表高（即AC的長）為（）A． B． C． D．【分析】先求出∠BAD，然后利用正弦定理求出AD，再在△ADC中，求出AC．【解答】解：由題可知：∠BAD＝73.5°﹣26.5°＝47°，在△BAD中，由正弦定理可知：，即，則，又在△ACD中，，所以，故選：D．【點評】本題考查了解三角形，考查了學生數(shù)學建模思想，屬于基礎題．7．（2022春?樂清市校級期中）若復數(shù)z＝，則|z﹣i|＝（）A．2 B． C．4 D．5【分析】利用復數(shù)的運算法則、模的計算公式即可得出結論．【解答】解：復數(shù)z＝＝＝＝1﹣i，則|z﹣i|＝|1﹣2i|＝＝，故選：B．【點評】本題考查了復數(shù)的運算法則、模的計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．8．（2022春?臺州期中）設z＝﹣3﹣2i，則在復平面內復數(shù)對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】先求出共軛復數(shù)，然后即可求解其對應的點，即可．【解答】解：由題意可得，＝﹣3+2i，對應的點（﹣3，2）在第二象限．故選：B．【點評】本題主要考查了復數(shù)的基本概念的應用，屬于基礎試題．9．（2022春?金東區(qū)校級期中）已知一個圓錐的底面積為π，側面積為2π，則該圓錐的體積為（）A． B． C． D．【分析】由條件底面積和側面積建立方程，求出圓錐的底面半徑和側棱，再求出高，然后再求體積．【解答】解：設圓錐的底面半徑、高、母線長分別為r，h，l，則解得所以．圓錐的體積故選：C．【點評】本題主要考查錐體體積的計算，空間想象能力的培養(yǎng)，屬于基礎題．10．（2022春?上城區(qū)校級期中）如圖，一個水平放置的平面圖形的直觀圖A'B'C'D'是邊長為2的菱形，且O'D'＝2，則原平面圖形的周長為（）A． B． C． D．8【分析】根據(jù)題意，把直觀圖還原出原平面圖形，由此分析可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，把直觀圖還原出原平面圖形，如圖所示；其中：OA＝2，OD＝4，AB＝CD＝2，則AD＝＝2，故原平面圖形的周長為2+2+2+2＝4+4，故選：B．【點評】本題考查平面圖形的直觀圖，涉及斜二測畫法，屬于基礎題．11．（2022春?金東區(qū)校級期中）如圖所示的是用斜二測畫法畫出的△AOB的直觀圖（圖中虛線分別與x'軸，y'軸平行），則原圖形△AOB的面積是（）A．8 B．16 C．32 D．64【分析】根據(jù)題意，分析原圖形三角形的高和底邊的邊長，進而計算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，原圖形△AOB的底邊AB的長為4，高為16，其面積S＝×4×16＝32，故選：C．【點評】本題考查斜二測畫法的應用，注意直觀圖的作法，屬于基礎題．12．（2022春?杭州期中）2022年北京冬奧會拉開帷幕，動作觀賞性強、視覺沖擊力大的自由式滑雪大跳臺是目前“冬奧大家族”中最年輕的項目．首鋼滑雪大跳臺實現(xiàn)了競賽場館與工業(yè)遺產(chǎn)再利用、城市更新的完整結合，見證了中外運動員在大跳臺“沖天一跳”的精彩表現(xiàn)和北京這座世界上獨一無二“雙奧之城”的無上榮光．如圖為大跳臺示意圖，為測量大跳臺最高處C點的高度，小王在場館內的A，B兩點測得C的仰角分別為45，30，AB＝60（單位：m），且∠AOB＝30°，則大跳臺最高高度OC＝（）A．45m B． C．60m D．【分析】先用OC分別表示出OA、OB，再在三角形AOB中利用余弦定理求得OC．【解答】解：在△BOC中，OB＝＝OC，在△AOB中，OA＝＝OC，在△AOB中，由余弦定理可得AB2＝OA2+OB2﹣2OA?OBcos∠AOB，即有3600＝3OC2+OC2﹣2OC2cos30°，解得OC2＝3600，則OC＝60，故選：C．【點評】本題考查解三角形，涉及余弦定理的應用，屬于基礎題．13．（2022春?臺州期中）已知向量＝（3，1），＝（1，3），且（+）⊥（﹣λ），則λ的值為（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【分析】由題意，利用兩個向量垂直的性質，兩個向量的數(shù)量積公式，求得λ的值．【解答】解：∵向量＝（3，1），＝（1，3），且（+）⊥（﹣λ），∴（+）?（﹣λ）＝+（1﹣λ）﹣λ＝10+（1﹣λ）（3+3）﹣10λ＝0，∴λ＝1，故選：C．【點評】本題主要考查兩個向量垂直的性質，兩個向量的數(shù)量積公式，屬于基礎題．14．（2022春?鄞州區(qū)校級期中）用斜二測畫法畫出的某平面圖形的直觀圖如圖，邊AB平行于y軸，BC，AD平行于x軸．已知四邊形ABCD的面積為2cm2，則原平面圖形的面積為（）A．4cm2 B．4cm2 C．8cm2 D．8cm2【分析】根據(jù)所給的圖形中∠BAD＝45°，得到原圖形為一個直角梯形，然后，根據(jù)高之間的關系進行求解．【解答】解：根據(jù)題意，得∠BAD＝45°，原圖形為一個直角梯形；且上下底面的邊長和BC、AD相等，高為梯形ABCD的高的2倍；∴原平面圖形的面積為＝8（cm2）．故答案為：8cm2．故選：C．【點評】本題重點考查了斜二側畫法、平面圖形的面積的求解方法等知識，屬于中檔題．解題關鍵是準確理解斜二側畫法的內涵，與x軸平行的線段長度保持不變，與y軸平行的線段的長度減少為原來的一半．15．（2022春?濱江區(qū)校級期中）已知等腰梯形ABCD，現(xiàn)繞著它的較長底CD所在的直線旋轉一周，所得的幾何體為（）A．一個圓臺、兩個圓錐 B．一個圓柱、兩個圓錐 C．兩個圓臺、一個圓柱 D．兩個圓柱、一個圓臺【分析】先考慮兩個全等的直角三角形分別繞它的一條直角邊所在的直線旋轉一周形成的幾何體，再考慮一個矩形繞它的一邊所在的直線旋轉一周形成的幾何體，即可得到答案．【解答】解：等腰梯形的底CD較長，繞其所在的直線旋轉一周，相當于兩個全等的直角三角形分別繞它的一條直角邊所在的直線旋轉一周，形成兩個圓錐，還有一個矩形繞它的一邊所在的直線旋轉一周，形成一個圓柱，所以所得的幾何體為一個圓柱、兩個圓錐．故選：B．【點評】本題考查了旋轉體的理解與應用，考查了空間想象能力與邏輯推理能力，屬于基礎題．16．（2022春?濱江區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，D為AB的中點，E為CD的中點，設＝，＝，以向量，為基底，則向量＝（）A．+ B．+ C．+ D．+【分析】利用向量的加減法運算法則，化簡求解即可．【解答】解：因為E為CD的中點，則＝（+）．因為D為AB的中點，則＝．所以＝+，故選：B．【點評】本題考查向量的四則運算，向量在幾何中的應用，考查計算能力．17．（2022春?臺州期中）奔馳定理：已知O是△ABC內的一點，△BOC，△AOC，△AOB的面積分別為SA，SB，SC，則SA?+SB?+SC?＝．“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結論，因為這個定理對應的圖形與“奔馳”轎車的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”．設O為三角形ABC內一點，且滿足+2+3＝3+2+，則＝（）A． B． C． D．【分析】直接根據(jù)向量的基本運算得到3++2＝，再結合“奔馳定理”即可求解結論．【解答】解：∵O為三角形ABC內一點，且滿足+2+3＝3+2+，∴+2+3＝3（﹣）+2（﹣）+（﹣）?3++2＝，∵SA?+SB?+SC?＝．∴＝＝＝，故選：D．【點評】本題考查向量的基本運算以及“奔馳定理”的應用，考查數(shù)形結合以及計算能力，是中檔題．18．（2022春?金東區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，∠BAC＝，點D在線段BC上，AD⊥AC，，則sinC＝（）A． B． C． D．【分析】在△ABC以及△ABD中，用正弦定理聯(lián)立求得：＝，再結合同角三角函數(shù)基本關系式，即可求解結論．【解答】解：因為在△ABC中，∠BAC＝，點D在線段BC上，AD⊥AC，，在△ABC中，＝?＝，①在△ABD中，＝?＝，②②÷①得：＝，即tanC＝，∴＝，又sin2C+cos2C＝1，∴sinC＝，故選：B．【點評】本題主要考查正弦定理以及同角三角函數(shù)基本關系式的應用，屬于中檔題目．19．（2022春?北侖區(qū)校級期中）在△ABC中，，則角C的度數(shù)為（）A．135° B．45° C．45°或135° D．120°【分析】由已知中在△ABC中，若a＝4、b＝6，其面積等于6，代入S＝a?b?sinC可得sinC的值，進而根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，可得C的大?。窘獯稹拷猓骸咴凇鰽BC中，若a＝4、b＝6，∴△ABC的面積等于S＝a?b?sinC＝sinC＝6，∴解得sinC＝，∵C∈（0°，180°），∴C＝45°或C＝135°故選：C．【點評】本題考查的知識點是三角形的面積公式，其中根據(jù)已知求出sinC的值，是解答的關鍵．20．（2022春?上城區(qū)校級期中）騎自行車是一種能有效改善心肺功能的耐力性有氧運動，深受大眾喜愛，如圖是某一自行車的平面結構示意圖，已知圖中的圓A（前輪），圓D（后輪）的半徑均為，△ABE，△BEC，△ECD均是邊長為4的等邊三角形．設點P為后輪上的一點，則在騎動該自行車的過程中，的最大值為（）A．18 B．24 C．36 D．48【分析】根據(jù)題意建立平面直角坐標系，然后將涉及到的點的坐標求出來，其中P點坐標借助于三角函數(shù)表示，則所求的結果即可轉化為三角函數(shù)的最值問題求解．【解答】解：據(jù)題意：圓D（后輪）的半徑均為，△ABE，△BEC，△ECD均是邊長為4的等邊三角形．點P為后輪上的一點，如圖建立平面直角坐標系：則A（﹣8，0），B（﹣6，），C（﹣2，）．圓D的方程為x2+y2＝3，可設P（），所以，．故＝＝＝12sin（）+24≤12+24＝36．故選：C．【點評】本題考查數(shù)量積的運算、三角函數(shù)的性質在實際問題中的應用，同時考查了學生的數(shù)學建模的核心素養(yǎng)．屬于中檔題．21．（2022春?浙江期中）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c已知c＝2，且2asinCcosB＝asinA﹣bsinB+bsinC，點O滿足＝，cos∠CAO＝，則△ABC的面積為（）A． B．3 C．5 D．【分析】求出b的值，根據(jù)余弦定理求出||＝，從而求出三角形的面積即可．【解答】解：∵2asinCcosB＝asinA﹣bsinB+bsinC，∴2ac?＝a2﹣b2+bc，即c＝b，又c＝2，故b＝4，∵＝，∴O是△ABC的重心，∴+＝3，故＝3﹣，兩邊平方得：＝9﹣6||||cos∠CAO+，∵cos∠CAO＝，故＝9﹣6||||×+，于是9﹣9||﹣4＝0，故||＝，△AOC的面積S＝×||×||×sin∠CAO＝，故S△ABC＝，故選：D．【點評】本題考查了余弦定理的應用以及三角形的面積以及轉化思想，是一道常規(guī)題．22．（2022春?北侖區(qū)校級期中）在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，S為△ABC的面積，且2S＝a2﹣（b﹣c）2，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)余弦定理和△ABC的面積公式，結合題意求出sinA、cosA的值，再用C表示B，求出＝的取值范圍，利用對勾函數(shù)的性質即可求出的取值范圍．【解答】解：△ABC中，由余弦定理得，a2＝b2+c2﹣2bccosA，且△ABC的面積為S＝bcsinA，由2S＝a2﹣（b﹣c）2，得bcsinA＝2bc﹣2bccosA，化簡得sinA+2cosA＝2，又A∈（0，），sin2A+cos2A＝1，所以sinA+2＝2，化簡得5sin2A﹣4sinA＝0，解得sinA＝，或sinA＝0（不合題意，舍去），所以＝＝＝＝+，由B+C＝π﹣A，且B∈（0，），π﹣A∈（，π），解得C∈（﹣A，π﹣A）∩（0，）＝（﹣A，），所以tanC＞＝，所以∈（0，），所以∈（，），設t＝，其中t∈（，），所以y＝＝＝2t+≥2，當且僅當2t＝時，即t＝時取最小值2，由于＜，且函數(shù)f（t）＝2t+在（，]上單調遞減，函數(shù)y＝2t+在[，）上單調遞增，又f（）＝2×+＝，f（）＝2×+＝，所以y＝＝＝2t+∈[2，）．故選：C．【點評】本題考查了解三角形的應用問題，也考查了運算求解能力與推理轉化能力，屬于難題．二．多選題（共10小題）（多選）23．（2022春?溫州期中）已知復數(shù)z的共軛復數(shù)為，若iz＝1+i，則（）A．z的實部是1 B．z的虛部是﹣i C． D．|z|＝2【分析】根據(jù)已知條件，結合復數(shù)的運算法則，以及復數(shù)的性質，即可求解．【解答】解：∵iz＝1+i，∴，∴z的實部是1，虛部為﹣1，故A正確，B錯誤，∴，故C正確，|z|＝，故D錯誤．故選：AC．【點評】本題主要考查復數(shù)的運算法則，以及復數(shù)的性質，屬于基礎題．（多選）24．（2022春?西湖區(qū)校級期中）已知復數(shù)z1＝2﹣2i（i為虛數(shù)單位）在復平面內對應的點為P1，復數(shù)z2滿足|z2﹣i|＝1，則下列結論正確的是（）A．P1點的坐標為（2，﹣2） B．＝2+2i C．|z2﹣z1|的最大值為+1 D．|z2﹣z1|的最小值為2【分析】利用復數(shù)的幾何意義、圓的方程即可判斷出正誤．【解答】解：A．復數(shù)z1＝2﹣2i在復平面內對應的點為P1（2，﹣2），故A正確；B．復數(shù)z1＝2﹣2i，所以復數(shù)，故B正確；C．D．設z2＝x+yi（x，y∈R），所以，所以x2+（y﹣1）2＝1，|z2﹣z1|表示的是復數(shù)z1和z2在復平面內對應的點的距離，故|z2﹣z1|的最大值為，最小值為，故C正確，D錯誤．故選：ABC．【點評】本題考查了復數(shù)的幾何意義、圓的方程，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．（多選）25．（2022春?北侖區(qū)校級期中）下面是關于復數(shù)z＝（i為虛數(shù)單位）的命題，其中真命題為（）A．|z|＝ B．z﹣z2＝1+i C．z的共軛復數(shù)為﹣1+i D．z的虛部為1【分析】利用復數(shù)的運算法則及其有關知識即可得出．【解答】解：關于復數(shù)z＝＝＝＝1+i，∴|z＝，z﹣z2＝1+i﹣（1+i）2＝1+i﹣2i＝1﹣i，共軛復數(shù)為1﹣i，z的虛部為1．其中真命題為AD．BC為假命題．故選：AD．【點評】本題考查了復數(shù)的運算法則及其有關知識，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．（多選）26．（2022春?上城區(qū)校級期中）在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．下列各組條件中使得△ABC有兩個解的是（）A． B． C． D．【分析】直接利用三角形的解的情況的應用，判定A、B、C、D的結論．【解答】解：對于A：，所以該三角形為鈍角三角形，且a＜b，故三角形無解，故A錯誤；對于B：由于，所以sinA＝，由于a＝bsinA，故三角形有一解，故B錯誤；對于C：由于，滿足b＞a＞bsinA，故三角形有兩解，故C正確；對于D：由于，滿足b＞a＞bsinA，故三角形有兩解，故D正確．故選：CD．【點評】本題考查的知識要點：三角形的解得情況的判定，主要考查學生的運算能力和數(shù)學思維能力，屬于基礎題．（多選）27．（2022春?北侖區(qū)校級期中）已知，是單位向量，且+＝（1，﹣1），則（）A．||＝2 B．與垂直 C．與的夾角為 D．||＝1【分析】利用模的坐標運算即可判斷選項A；由（）2＝2+2+2?＝2，求得?＝0，即可判斷選項B；利用模的運算求得||，即可判斷選項D；利用向量夾角公式即可判斷選項C．【解答】解：因為+＝（1，﹣1），所以||＝＝，故A錯誤；（）2＝2+2+2?＝2，因為，是單位向量，所以2＝||2＝1，2＝||2＝1，所以?＝0，所以⊥，故B正確；||＝＝＝＝，故D錯誤；因為?（）＝2﹣?＝1，所以cos＜，＞＝＝＝，所以與的夾角為，故C正確，D錯誤．故選：BC．【點評】本題主要考查平面向量數(shù)量積的運算，向量的模與夾角公式，考查運算求解能力，屬于基礎題．（多選）28．（2022春?濱江區(qū)校級期中）如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為1，P是線段BC1上的動點，則下列結論中正確的是（）A．AC⊥BD1 B．A1P的最小值為 C．A1P∥平面ACD1 D．異面直線A1P與AD1所成角的取值范圍是[，]【分析】通過證明AC⊥平面BDD1B1判斷A選項；B選項，在等邊三角形△A1BC1中討論A1P的長度；根據(jù)平面ACD1∥平面A1C1B判斷C選項；D選項，將A1P與AD1所成角轉化為A1P與BC1所成角，在等邊三角形△A1BC1中討論．【解答】解：A選項：因為AC⊥BD，AC⊥DD1，所以AC⊥平面BDD1B1，所以AC⊥BD1，說法正確．B選項：△A1BC1是邊長為的等邊三角形，當P時線段BC1的中點時，A1P取最小值，說法正確．C選項：正方體中，平面ACD1∥平面A1C1B，A1P?平面A1C1B，所以A1P∥平面ACD1.說法正確．D選項：因為BC1∥AD1，所以A1P與AD1所成角即為A1P與BC1所成角．在等邊三角形△A1BC1中，當P時BC1中點時，所成角最大為；當P是BC1的端點時，所成角最小為，說法錯誤．故選：ABC．【點評】本題考查空間線面位置關系和異面直線夾角，考查邏輯推理能力，空間想象能力，屬于中檔題．（多選）29．（2022春?鄞州區(qū)校級期中）正三棱錐底面邊長為3，側棱長為，則下列敘述正確的是（）A．正三棱錐高為3 B．正三棱錐的斜高為 C．正三棱錐的體積為 D．正三棱錐側面積為【分析】正三棱錐S﹣ABC中，底面△ABC是邊長為3的等邊三角形，側棱長為SA＝SB＝SC＝，取BC中點D，連結SD，AD，過S作SO⊥平面ABC，交AD于O，由此能求出正三棱錐高、斜高、體積和側面積．【解答】解：正三棱錐S﹣ABC中，底面△ABC是邊長為3的等邊三角形，側棱長為SA＝SB＝SC＝，取BC中點D，連結SD，AD，過S作SO⊥平面ABC，交AD于O，AD＝＝，AO＝＝＝，∴正三棱錐高為：SO＝＝＝3，故A正確；正三棱錐的斜高為：SD＝＝＝，故B正確；正三棱錐的體積為：V＝＝＝，故C錯誤；正三棱錐側面積為：S＝3×＝，故D錯誤．故選：AB．【點評】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題．（多選）30．（2022春?濱江區(qū)校級期中）在△ABC中，a，b，c分別為∠A，∠B，∠C的對邊，下列敘述正確的是（）A．若，則△ABC為等腰三角形 B．若A＝30°，b＝4，a＝3，則△ABC有兩解 C．若tanA+tanB+tanC＜0，則△ABC為鈍角三角形 D．若a＝bsinC+ccosB，則【分析】本題需要逐項分析，根據(jù)每個選項所給的條件，具體分析得出結論．【解答】解：對于A：因為，由正弦定理得，即sin2A＝sin2B，由于A、B為三角形的內角，2A＝2B，或2A+2B＝π，即A＝B，或A+B＝，△ABC為等腰三角形或直角三角形，故A錯誤；對于B：因為A＝30°，b＝4，a＝3，由正弦定理得，＝，可得sinB＝，cosA＝，cosB＝±＝±，cosC＝cos[π﹣（A+B）]＝﹣cos（A+B）＝sinAsinB﹣cosAcosB，若cosB＝，B是銳角，則cosC＝﹣＝＜0，C是鈍角，若cosB＝﹣，B是鈍角，cosC＝+＝＞0，C是銳角，故B有兩角，故B正確；對于C：若tanA+tanB+tanC＜0，因為tanC＝﹣tan（A+B）＝﹣，tanA+tanB＝﹣tanC（1﹣tanAtanB），tanA+tanB+tanC＝tanAtanBtanC＜0，因為tanA，tanB，tanC中必有一個值為負，即A，B，C中必有一個為鈍角，所以△ABC為鈍角三角形，故C正確；對于D：a＝bsinC+ccosB，由正弦定理得：sinA＝sinBsinC+sinCcosB，即sin（B+C）＝sinBsinC+sinCcosB，即sinBcosC＝sinBsinC，因為sinC≠0，所以cosC＝sinC，即tanC＝1，因為0＜C＜π，所以C＝，故D正確．故選：BCD．【點評】本題主要考查了正弦定理，兩角和的正切公式，兩角和的正弦公式在解三角形中的綜合應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于中檔題．（多選）31．（2022春?鄞州區(qū)校級期中）如圖，平行四邊形ABCD中，AB＝2，AD＝4，，E為CD的中點，AE與DB交于F，則（）A．在方向上的投影為0 B． C． D．【分析】根據(jù)向量投影、向量線性運算、向量數(shù)量積、向量的模等知識對選項進行分析，由此確定正確選項．【解答】解：平行四邊形ABCD中，，所以，所以AB⊥BD，E為CD的中點，AE與DB交于F，所以在AB方向上的投影為0，所以A正確；，∴．所以B正確；，所以C不正確；因為，所以，所以D不正確．故選：AB．【點評】本題考查向量投影、向量線性運算、向量數(shù)量積、向量的模，考查學生的運算能力，屬于中檔題．（多選）32．（2022春?金東區(qū)校級期中）如圖所示，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，O為DB的中點，直線A1C交平面C1BD于點M，則下列結論正確的是（）A．C1，M，O三點共線 B．C1，M，O，C四點共面 C．C1，O，A，M四點共面 D．D1，D，O，M四點共面【分析】在選項A中，推導出C1，M，O三點是平面C1BD和平面ACC1A1的公共點，由此得到C1，M，O三點共線；在選項B中，由C1，M，O三點共線，得C1，M，O，C四點共面；在選項C中，由C1，M，O三點共線，得C1，M，O，A四點共面；在選項D中，DD1∥CC1，從而D1，D，O，M四點不共面．【解答】解：在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，O為DB的中點，直線A1C交平面C1BD于點M，在選項A中，∵直線A1C交平面C1BD于點M，∴M∈平面C1BD，M∈直線A1C，又A1C?平面ACC1A1，∴M∈平面ACC1A1，∵O為DB的中點，BD?平面C1BD，且BD?平面ACC1A1，∴O∈平面C1BD，且O∈平面ACC1A1，又C1∈平面C1BD，且C1∈平面ACC1A1，∴C1，M，O三點共線，故選項A正確；在選項B中，∵C1，M，O三點共線，∴C1，M，O，C四點共面，故B正確；在選項C中，∵C1，M，O三點共線，∴C1，M，O，A四點共面，故C正確；在選項D中，∵直線OM∩CC1＝C1，DD1∥CC1，∴D1，D，O，M四點不共面，故D錯誤．故選：ABC．【點評】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題．三．填空題（共14小題）33．（2022春?臺州期中）已知圓柱的高為2，它的兩個底面的圓周在半徑為2的同一個球的球面上．則球的體積與圓柱的體積的比值為．【分析】畫圖分析可得，該球的直徑與圓柱的底面直徑和高構成直角三角形，進而求得圓柱的底面半徑，進而求得球的體積與圓柱的體積的比值．【解答】解：如圖，外接球的體積，圓柱的底面直徑，故底面半徑，故圓柱體積V2＝3π×2＝6π．故球的體積與圓柱的體積的比值為．故答案為：．【點評】本題主要考查了圓柱與外接球的關系，需要根據(jù)球的直徑和圓柱的底面直徑和高構成直角三角形進行求解．屬于基礎題．34．（2022春?北侖區(qū)校級期中）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．若，B＝45°，C＝75°，則b＝．【分析】由已知利用三角形內角和定理可求A，根據(jù)正弦定理即可求b的值．【解答】解：在△ABC中，∵，∴A＝180°﹣45°﹣75°＝60°，∴由正弦定理可得：．故答案為：．【點評】本題考查了正弦定理的應用，屬于基礎題．35．（2022春?濱江區(qū)校級期中）已知a，b，c分別為△ABC內角A，B，C的對邊，c2＝2ab且sinA＝sinC，則cosA＝．【分析】結合正弦定理與余弦定理即可求解．【解答】解：c2＝2ab且sinA＝sinC，由正弦定理可得，2a＝c，∴b＝c＝2a，則cosA＝＝．故答案為：【點評】本題主要考查了正弦定理與余弦定理的應用，屬于基礎試題．36．（2022春?金東區(qū)校級期中）若復數(shù)z＝（m+2）+（m2﹣9）i（m∈R）是正實數(shù)，則實數(shù)m的值為3．【分析】利用復數(shù)的代數(shù)形式求解即可．【解答】解：∵復數(shù)z＝（m+2）+（m2﹣9）i（m∈R）是正實數(shù)，∴，∴m＝3，故答案為：3．【點評】本題考查復數(shù)代數(shù)形式的應用，是基礎題．37．（2022春?上城區(qū)校級期中）i是虛數(shù)單位，復數(shù)＝1+3i．【分析】根據(jù)已知條件，結合復數(shù)的運算法則，即可求解．【解答】解：＝．故答案為：1+3i．【點評】本題主要考查復數(shù)的運算法則，屬于基礎題．38．（2022春?湖州期中）已知圓柱的底面圓的半徑為2，高為3，則該圓柱的側面積為12π．【分析】根據(jù)圓柱的側面積公式，計算即可．【解答】解：圓柱的底面圓半徑為r＝2，高為h＝3，則該圓柱的側面積為S側＝2πrh＝2π×2×3＝12π．故答案為：12π．【點評】本題考查了圓柱的側面積計算問題，是基礎題．39．（2022春?臺州期中）已知向量與的夾角為，則|5|＝7．【分析】先利用兩個向量的數(shù)量積的定義求出，根據(jù)|5|＝＝，求得結果．【解答】解：由題意可得＝1×3cos120°＝﹣，∴|5|＝＝＝＝＝7．故答案為：7．【點評】本題主要考查兩個向量的數(shù)量積的定義，求向量的模的方法，屬于基礎題．40．（2022春?浙江期中）若||＝1，||＝2，與的夾角為60°，若（3+5）⊥（m﹣），則m的值為．【分析】由條件可求得，根據(jù)兩向量垂直，則兩向量的數(shù)量積為0，從而會得到關于m的方程，解方程即可求出m．【解答】解：∵∴＝0；∴m＝．故答案為：．【點評】本題考查向量數(shù)量積的計算公式，量向量垂直的充要條件是兩向量的數(shù)量積為0．41．（2022春?鄞州區(qū)校級期中）若一個圓錐的側面展開圖是面積為2π的半圓面，則該圓錐的體積為．【分析】通過側面展開圖的面積．求出圓錐的母線，底面的半徑，求出圓錐的體積即可．【解答】解：由題意一個圓錐的側面展開圖是面積為2π的半圓面，因為4π＝πl(wèi)2，所以l＝2，半圓的弧長為2π，圓錐的底面半徑為2πr＝2π，r＝1，所以圓錐的體積為：＝．故答案為：．【點評】本題考查旋轉體的條件的求法，側面展開圖的應用，考查空間想象能力，計算能力．42．（2022春?鄞州區(qū)校級期中）小華同學騎電動自行車以24km/h的速度沿著正北方向的公路行駛，在點A處望見電視塔S在電動車的北偏東30°方向上，15min后到點B處望見電視塔在電動車的北偏東75°方向上，則電動車在點B時與電視塔S的距離是km．【分析】在△ABS中，可得∠BAS＝30°，AB＝6，∠ABS＝180°﹣75°＝105°則∠ASB＝45°，由正弦定理可得BS＝．【解答】解：如圖，由已知可得，AB＝24×＝6在△ABS中，∠BAS＝30°，AB＝6，∠ABS＝180°﹣75°＝105°∠ASB＝45°由正弦定理可得BS＝＝3，故答案為：3．【點評】本題主要考查了正弦定理在實際問題中的應用，解題的關鍵是要把實際問題轉化為數(shù)學問題．進而利用數(shù)學基本知識進行求解．43．（2022春?寧波期中）古希臘數(shù)學家托勒密于公元150年在他的名著《數(shù)學匯編》里給出了托勒密定理，即圓的內接凸四邊形的兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積．已知AC，BD為圓的內接四邊形ABCD的兩條對角線，且sin∠ABD：sin∠ADB：sin∠BCD＝2：3：4，若|AC|2＝λ|BC|?|CD|，則實數(shù)λ的最小值為．【分析】由圓內接四邊形性質結合正弦定理可得到|AD|：|AB|：|BD|＝2：3：4，再利用托勒密定理得|AC|?|BD|＝|AB|?|CD|+|AD|?|BC|，結合|AC|2＝λ|BC|?|CD|整理得16λ|BC|?|CD|≥24|CD|?|BC|，從而求得答案．【解答】解：根據(jù)圓內接四邊形的性質可知；∠BAD+∠BCD＝π，sin∠BAD＝sin∠BCD，所以sin∠ABD：sin∠ADB：sin∠BCD＝2：3：4，即sin∠ABD：sin∠ADB：sin∠BAD＝2：3：4，在△BAD中，，故|AD|：|AB|：|BD|＝2：3：4，由題意可知：|AC|?|BD|＝|AB|?|CD|+|AD|?|BC|，則4|AC|＝3|CD|+2|BC|，所以16|AC|2＝9|CD|2+4|BC|2+12|CD|?|BC|，故16|AC|2＝9|CD|2+4|BC|2+12|CD|?|BC|≥24|CD|?|BC|，當且僅當|CD|＝|BC|時等號取得，又|AC|2＝λ|BC|?|CD|，所以16λ|BC|?|CD|≥24|CD|?|BC|，則，則實數(shù)λ的最小值為，故答案為：．【點評】本題考查了三角形中的幾何計算，屬于中檔題．44．（2022春?上城區(qū)校級期中）在△ABC中，若面積，則∠A＝．【分析】直接利用余弦定理和三角形的面積公式的應用求出結果．【解答】解：在△ABC中，若面積，所以，整理得sinA＝cosA，所以tanA＝1，由于A∈（0，π），故A＝．故答案為：【點評】本題考查的知識要點：余弦定理和三角形面積公式，主要考查學生的運算能力和數(shù)學思維能力，屬于中檔題．45．（2022春?濱江區(qū)校級期中）窗花是貼在窗紙或戶玻璃上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術之一．每年新春佳節(jié)，我國許多地區(qū)的人們都有貼窗花的習俗，以此達到裝點環(huán)境、渲染氣氛的目的，并寄托著辭舊迎新、接福納祥的愿望．圖一是一張由卷曲紋和回紋構成的正六邊形剪紙窗花，已知圖二中正六邊形ABCDEF的邊長為4，圓O的圓心為正六邊形的中心，半徑為2，若點P在正六邊形的邊上運動，MN為圓O的直徑，則的取值范圍是[8，12]．【分析】先利用平面向量的線性運算法則，把，用向量，來表示，然后將所求表達為||2的形式，結合函數(shù)思想求范圍．【解答】解：由正六邊形ABCDEF的邊長為4，圓O的圓心為正六邊形的中心，半徑為2，故正六邊形ABCDEF的內切圓半徑為r＝OAsin60°＝2，外接圓半徑R＝4．，則＝（+）?（+）＝2﹣2＝||2﹣4．由圖可知2≤||≤4，∴∈[8，12]．故答案為：[8，12]．【點評】本題考查平面向量數(shù)量積的應用、轉化思想，考查數(shù)學運算能力，屬于中檔題．46．（2022春?西湖區(qū)校級期中）△ABC外接圓的半徑為1，圓心為O，且2++＝，＝||，則?的值是3．【分析】設邊BC的中點為D，可得＝2．根據(jù)2++＝，可得D與O點重合．又＝||，可得△OAB是等邊三角形．再利用數(shù)量積定義即可得出．【解答】解：設邊BC的中點為D，則＝2．∵2++＝，∴＝，∴D與O點重合．∵＝||，∴△OAB是等邊三角形．∴∠ACB＝30°．則?＝＝3．故答案為：3．【點評】本題考查了向量的平行四邊形法則、等邊三角形的性質、含30°角的直角三角形的邊角關系，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．四．解答題（共14小題）47．（2022春?溫州期中）已知向量，．（1）若，求的值；（2）若，求實數(shù)k的值；（3）若與的夾角是鈍角，求實數(shù)k的取值范圍．【分析】（1）利用向量平行的性質求出k＝﹣6，由此能求出的值．（2）利用向量垂直的性質能求出實數(shù)k．（3）由與的夾角是鈍角，得到且與不共線．由此能求出實數(shù)k的取值范圍．【解答】解：（1）因為向量，，且，所以1×k﹣2×（﹣3）＝0，解得k＝﹣6，所以．（2）因為，且，所以1×（﹣5）+2×（2+2k）＝0，解得，（3）因為與的夾角是鈍角，則且與不共線．即1×（﹣3）+2×k＜0且k≠﹣6，所以且k≠﹣6．【點評】本題考查向量的模、實數(shù)值的求法，考查向量平行、向量垂直、向量夾角余弦公式等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．48．（2022春?溫州期中）在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，已知a＝1，b＝2，．（Ⅰ）求c的值；（Ⅱ）求△ABC的面積．【分析】（Ⅰ）由已知利用余弦定理即可求解c的值．（Ⅱ）利用同角三角函數(shù)基本關系式可求sinC的值，進而根據(jù)三角形的面積公式即可求解．【解答】解：（Ⅰ）因為a＝1，b＝2，，所以由余弦定理可得c2＝a2+b2﹣2abcosC＝12+22﹣2×1×2×＝4，可得c＝2．（Ⅱ）因為sinC＝＝＝，所以△ABC的面積S＝absinC＝＝．【點評】本題主要考查了余弦定理，同角三角函數(shù)基本關系式，三角形的面積公式在解三角形中的應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于基礎題．49．（2021春?溫州期中）如圖所示，在四棱錐P﹣ABCD中，BC∥平面PAD，，E是PD的中點．（1）求證：BC∥AD；（2）線段AD上是否存在點N，使平面CEN∥平面PAB，若不存在請說明理由；若存在給出證明．【分析】（1）由線面平行性質定理可以得證；（2）存在，且當點N是AD的中點時，平面CEN∥平面PAB．分別證得EN∥平面PAB和CN∥平面PAB，由面面平行判定定理可證得結論．【解答】解：（1）證明：因為BC∥平面PAD，BC?平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BC∥AD；（2）存在，且當點N是AD的中點時，平面CEN∥平面PAB．下面給出證明：因為E、N分別是PD、AD的中點，所以EN∥PA，又EN?平面PAB，PA?平面PAB，所以EN∥平面PAB．由（1）知，BC∥AN，又N是AD的中點，，所以BC＝AN，所以四邊形ABCN是平行四邊形，從而CN∥BA，又CN?平面PAB，BA?平面PAB，所以CN∥平面PAB．又因為CN∩EN＝N，所以，平面CEN∥平面PAB．【點評】本題考查線面平行和面面平行的判定定理，屬于基礎題．50．（2022春?西湖區(qū)校級期中）已知向量，，在同一平面上，且＝（﹣2，1）．（1）若∥，且||＝25，求向量的坐標；（2）若＝（3，2），且k﹣與+2垂直，求k的值．【分析】（1）根據(jù)向量平行設出，利用坐標表示向量的模進行求解；（2）求出向量的坐標，利用數(shù)量積的坐標運算，結合兩向量垂直數(shù)量積等于0，進而求解．【解答】解：（1）∵，設，∵，即，∴，∴或；（2）∵，，∴，，∵，∴，即4（﹣2k﹣3）+5（k﹣2）＝0，即﹣3k＝22，則．【點評】本題考查了向量的坐標運算，向量共線的應用，以及數(shù)量積的坐標運算，屬于基礎題．51．（2021春?金東區(qū)校級期中）如圖所示，在四棱錐P﹣ABCD中，BC∥平面PAD，BC＝AD，E是PD的中點．（Ⅰ）求證：BC∥AD；（Ⅱ）求證：CE∥平面PAB；（Ⅲ）若M是線段CE上一動點，則線段AD上是否存在點N，使MN∥平面PAB？說明理由．【分析】（Ⅰ）根據(jù)線面平行的性質定理即可證明；（Ⅱ）取PA的中點F，連接EF，BF，利用中位線的性質，平行四邊形的性質，以及線面平行的判斷定理即可證明；（Ⅲ）取AD中點N，連接CN，EN，根據(jù)線面平行的性質定理和判斷定理即可證明．【解答】證明：（Ⅰ）在四棱錐P﹣ABCD中，BC∥平面PAD，BC?平面ABCD，平面ABCD∩平面PAD＝AD，∴BC∥AD，（Ⅱ）取PA的中點F，連接EF，BF，∵E是PD的中點，∴EF∥AD，EF＝AD，又由（Ⅰ）可得BC∥AD，BC＝AD，∴BC∥EF，BC＝EF，∴四邊形BCEF是平行四邊形，∴CE∥BF，∵CE?平面PAB，BF?平面PAB，∴CE∥平面PAB．（Ⅲ）取AD中點N，連接CN，EN，∵E，N分別為PD，AD的中點，∴EN∥PA，∵EN?平面PAB，PA?平面PAB，∴EN∥平面PAB，又由（Ⅱ）可得CE∥平面PAB，CE∩EN＝E，∴平面CEN∥平面PAB，∵M是CE上的動點，MN?平面CEN，∴MN∥平面PAB，∴線段AD存在點N，使得MN∥平面PAB．【點評】本題考查線面平行、線線平行的證明，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查推理能力，是中檔題．52．（2022春?上城區(qū)校級期中）北京2022年冬奧會將于2022年2月4日在北京和張家口開幕，運動員休息區(qū)本著環(huán)保、舒適、溫馨這一出發(fā)點，進行精心設計，如圖，在四邊形ABCD休閑區(qū)域，四周是步道，中間是花卉種植區(qū)域，為減少擁堵，中間穿插了氫能源環(huán)保電動步道AC，∠D＝2∠B，且AD＝1，CD＝3，．（1）求氫能源環(huán)保電動步道AC的長；（2）若_____；求花卉種植區(qū)域總面積．從①，②這兩個條件中任選一個，補充在上面問題中并作答．【分析】（1）cosD＝cos2B＝2cos2B﹣1＝﹣，利用余弦定可求AC的長；（2）選①：由正弦定理可求得AB＝，利用兩角和的正弦公式可求得sin∠BAC，可分別求得S△ABC，S△ADC，從而可求花卉種植區(qū)域總面積．選②：利用余弦定理求出AB＝3，利用面積公式可求得S△ABC，S△ADC，從而可求花卉種植區(qū)域總面積．【解答】解：（1）∵．∠D＝2∠B，∴cosD＝cos2B＝2cos2B﹣1＝﹣，∵AD＝1，CD＝3，∴由余弦定理得AC2＝AD2+CD2﹣2AD?CDcosD＝1+9﹣6×（﹣）＝12，∵AC＞0，∴AC＝2．（2）選①：，在△ABC中，由正弦定理得＝，∵．∴sinB＝，由（1）知AC＝2．代入上式可得＝，解得AB＝，sin∠BAC＝sin（∠B+∠ACB）＝sinBcos∠ACB+cosBsin∠ACB＝×+×＝，∴S△ABC＝AB×AC?sin∠BAC＝××2×＝，∵cosD＝﹣，∴sinD＝＝，故S△ADC＝×AD×DC×sinD＝×1×3×＝，∴花卉種植區(qū)域總面積為+＝．選②：，在△ABC中，由余弦定理得cosB＝＝，解得AB＝3或AB＝﹣（舍去），∵．∴sinB＝，∴S△ABC＝AB×BC?sinB＝××3×＝3，∵cosD＝﹣，∴sinD＝＝，故S△ADC＝×AD×DC×sinD＝×1×3×＝，∴花卉種植區(qū)域總面積為3+＝4．【點評】本題考查正余弦定理的應用，以及三角恒等變換，屬中檔題．53．（2022春?臺州期中）△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）＝c．（1）求C；（2）若c＝，△ABC的面積為，求△ABC的周長．【分析】（1）直接利用三角函數(shù)關系式的恒等變換和正弦定理的應用求出結果．（2）利用余弦定理和三角形的面積公式的應用求出結果．【解答】解：（1）△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）＝c．所以2cosC（sinAcosB+sinBcosA）＝sinC．整理得：2cosCsin（A+B）＝2cosCsinC＝sinC，故：cosC＝．由于0＜C＜π，故C＝．（2）由于，解得ab＝6，由于c2＝a2+b2﹣2abcosC，所以7＝（b+a）2﹣2ab﹣ab，整理得：a+b＝5．則：．【點評】本題考查的知識要點：三角函數(shù)關系式的恒等變換，正弦定理余弦定理和三角形面積公式的應用，主要考查學生的運算能力和轉換能力及思維能力，屬于基礎題型．54．（2022春?上城區(qū)校級期中）已知||＝4，||＝8，與夾角是120°．（1）求的值及||的值；（2）當k為何值時，？【分析】（1）利用數(shù)量積定義及其運算性質即可得出；（2）由于，?＝0，展開即可得出．【解答】解：（1）＝cos120°＝＝﹣16．||＝＝＝4．（2）∵，∴?＝+＝0，∴16k﹣128+（2k﹣1）×（﹣16）＝0，化為k＝﹣7．∴當k＝﹣7值時，．【點評】本題考查了數(shù)量積定義及其運算性質、向量垂直與數(shù)量積的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．55．（2022春?浙江期中）杭州市為迎接2022的亞運會，規(guī)劃公路自行車比賽賽道，該賽道的平面示意圖為如圖的五邊形ABCDE，運動員的公路自行車比賽中如出現(xiàn)故障，可以從本隊的器材車、公共器材車上或收容車上獲得幫助．比賽期間，修理或更換車輪或賽車等，也可在固定修車點上進行．還需要運送一些補給物品，例如食物、飲料、工具和配件．所以項目設計需要預留出BD，BE為賽道內的兩條服務通道（不考慮寬度），ED，DC，CB，BA，AE為賽道，∠BCD＝∠BAE＝，∠CBD＝，CD＝2km，DE＝8km．（1）從以下兩個條件中任選一個條件，求服務通道BE的長度；①∠CDE＝；②cos∠DBE＝．（2）在（1）的條件下，應該如何設計，才能使折線賽道BAE最長（即BA+AE最大），最長值為多少？【分析】（1）選擇①，由正弦定理求出BD，利用勾股定理求解角BE．選擇②由正弦定理求解BD，在△BDE中，由余弦定理求出BE即可．（2）在△ABE中，由余弦定理，結合基本不等式求解即可．【解答】（1）解：選擇①，在△BCD中，由正弦定理：，又，所以，在Rt△BDE中，；選擇②，在△BCD中，由正弦定理：，在△BDE中，由余弦定理：即：5BE2﹣36BE﹣140＝0，解得BE＝10（負值舍去）（2）解：在△ABE中，由余弦定理：，，當時取等號．故時，折線賽道BAE最長，最長值為．【點評】本題考查三角形的解法，正弦定理以及余弦定理的應用，勾股定理的應用，是中檔題．56．（2022春?鄞州區(qū)校級期中）設兩個非零向量與不共線．（1）若＝+，＝2+8，＝3（﹣）．求證：A，B，D三點共線；（2）試確定實數(shù)k，使k+和+k共線．【分析】（1）根據(jù)所給的三個首尾相連的向量，用其中兩個相加，得到兩個首尾相連的向量，根據(jù)表示這兩個向量的基底，得到兩個向量之間的共線關系，從而得到三點共線．（2）兩個向量共線，寫出向量共線的充要條件，進而得到關于實數(shù)k的等式，解出k的值，有兩個結果，這兩個結果都合題意．【解答】解：（1）∵＝＝＝，∴與共線兩個向量有公共點B，∴A，B，D三點共線．（2