江蘇省淮安市2021-2022學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題含解析

淮安市2021—2022學(xué)年度高二第二學(xué)期期末調(diào)研測試

數(shù)學(xué)試題

注意事項：

考生在答題前請認真閱讀本注意事項及答題要求

1.本試卷共4頁，包括單項選擇題（第1題一第8題）、多項選擇題（第9題一第12題）、

填空題（第13題一第16題）、解答題（第17題一第22題）四部分.本試卷滿分為150

分，考試時間為120分鐘.

2.答題前，請您務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答

題卡的規(guī)定位置上.

3.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的標(biāo)號涂黑.如需改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.作答非選擇題時，必須用0.5毫米黑色墨水的

簽字筆將答案寫在答題卡的指定位置上，寫在本試卷上無效，

4.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等加黑、加粗.考試結(jié)束后，請將試卷

與答題卡一并交回.

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.（一一彳門的展開式中含爐項的系數(shù)為（）

A.-1B.-5C.1D.5

【答案】A

【解析】

【分析】由二項展開式的通項求解即可.

52r

（詳解】（--x）的展開式的通項為7；+1=C；'（x廠（—X）'=（T）'C；?x'°-,

令10-「=5,解得廠=5,則（=—R故含爐項的系數(shù)為T.

故選：A.

2.己知集合N均為R的子集，且（QM）CN=0,則MN=（）

A.0B.MC.ND.R

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合韋恩圖可得NqM,再利用交集的定義求解作答.

且第一組數(shù)據(jù)的線性相關(guān)性較第四組強，則乙>〃>0,

第二組數(shù)據(jù)的線性相關(guān)性較第三組強，貝！I同>同且與<0，4<0,則弓<4<0.

因此:，r2<r3<0<^<^.

故選：C.

5.某班50名同學(xué)參加體能測試，經(jīng)統(tǒng)計成績c近似服從N（90,o-2）,若P（9（）Wc495）=0.3,則可

估計該班體能測試成績低于85分的人數(shù)為（）

A.5B.10C.15D.30

【答案】B

【解析】

【分析】由已知可得正態(tài)分布曲線的對稱軸，再由已知條件結(jié)合對稱性求得P（C<85）,即可求得該班體

能測試成績低于85分的人數(shù).

【詳解】由c近似服從N（90,cr2）,可知正態(tài)分布曲線的對稱軸為〃=90,

則P（85<c<90）=P（90<c<95）=0.3,

所以P（c<85）=g□-2尸（90<c<95）］=0.2,

則可估計該班體能測試成績低于85分的人數(shù)為50x0.2=10人，

故選：B.

6.已知隨機變量X滿足E（2—2X）=4,0（2—2X）=4,下列說法正確的是（）

A.E（X）=-1,Z）（X）=-1B.E（X）=1,Z）（X）=1

C.E（X）=-1,D（X）=4D.E（X）=-1,Z）（X）=1

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)方差和期望的性質(zhì)即可求解.

【詳解】根據(jù)方差和期望的性質(zhì)可得：￡（2—2X）=-2E（X）+2=4n￡（X）=-l,

0（2-2X）=4O（X）=4nO（X）=l,

故選：D

7.已知函數(shù)y(x)=,卜曰,函數(shù)/(x)=/(x)—z?有四個不同的零點小演，七，/，且

IXrI1,,VZ

滿足：須＜々＜工3＜%，則下列結(jié)論中不正確的是()

A.O<Z?<1B.1<x<1

3C.西+%2=-4D.忍?14

【答案】B

【解析】

【分析】作出函數(shù)/(x)圖象，根據(jù)函數(shù)圖象得出4個零點的關(guān)系及范圍，進而得出結(jié)論.

【詳解】函數(shù)F(x)=/(x)-。的四個不同的零點均，4，￡，&，就是函數(shù)y=/(x)與y=b兩個圖

象四個交點的橫坐標(biāo)，

作出函數(shù)y=/(x)的圖象，

由圖象可知0＜匕41,故A正確；

由|1083才=1,可得x=g或x=3,結(jié)合圖象可知：4七＜1，故B錯誤；

根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和圖象得出七玉=一2,所以西+々=—4,故C正確；

又|隆3'=|log3x/,Klog3x3＜0,log3x4＞0,

所以-log?X3=log3%,即log3x,+log3x4=log3(x,?%)=0,

所以七?％4=1,故D正確.

故選：B.

8.如圖，在四棱錐P—ABC。中，底面ABC。為正方形，B4_L平面43cdPA=AB^M為PC上一動

點，PM=tPC,若為鈍角，則實數(shù)f可能為（）

Dl

【答案】D

【解析】

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用即可求解.

【詳解】分別以AB、AD>/止為x軸，>軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示,

人

設(shè)PA=1，M(x,y,z),故P(O,O,1),C(l,l,O),PM=(x,y,z—l),FC=(1,1,-1),

x-t

由PM=，PC可知，，y=，，即

z-1=T

又因為NBA/。為鈍角，所以

由8。,0,0),。(0,1,0),可知加8=(1—,-"-1),=

M5MD=-r(l-f)-r(l-r)+(r-l)2<0,整理得3/一4r+l<0,

解得—<r<1,

3

故選：D.

二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符

合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.

9.下列隨機變量中屬于離散型隨機變量的是（）

A.某電話亭內(nèi)的一部電話1小時內(nèi)使用的次數(shù)記為X

B.測量一個年級所有學(xué)生的體重，在60依~70奴之間的體重記為X

C.測量全校所有同學(xué)的身高，在170c,"~175c機之間的人數(shù)記為X

D.一個數(shù)軸上隨機運動的質(zhì)點在數(shù)軸上的位置記為X

【答案】AC

【解析】

【分析】根據(jù)離散型隨機變量的定義知，離散型隨機變量是可以列舉的；連續(xù)型隨機變量

不能一一列舉。

【詳解】電話1小時內(nèi)使用的次數(shù)是可以列舉的，是離散型隨機變量，選項A正確；

體重?zé)o法一一列舉，選項B不正確；

人數(shù)可以列舉，選項C正確；

數(shù)軸上的點有無數(shù)個，點的位置是連續(xù)型隨機變量；選項D不正確；

故選AC.

10.高二年級安排甲、乙、丙三位同學(xué)到A,B,C,D,E五個社區(qū)進行暑期社會實踐活動，每位同學(xué)只

能選擇一個社區(qū)進行活動，且多個同學(xué)可以選擇同一個社區(qū)進行活動，下列說法正確的有（）

A.如果社區(qū)A必須有同學(xué)選擇，則不同的安排方法有61種

B.如果同學(xué)甲必須選擇社區(qū)A,則不同的安排方法有25種

C.如果三名同學(xué)選擇的社區(qū)各不相同，則不同的安排方法共有60種

D.如果甲、乙兩名同學(xué)必須在同一個社區(qū)，則不同的安排方法共有20種

【答案】ABC

【解析】

【分析】求得社區(qū)A必須有同學(xué)選擇的方法數(shù)判斷選項A；求得同學(xué)甲必須選擇社區(qū)A的方法數(shù)判斷選

項B；求得三名同學(xué)選擇的社區(qū)各不相同的安排方法數(shù)判斷選項C；求得甲、乙兩名同學(xué)必須在同一個社

區(qū)的安排方法數(shù)判斷選項D.

詳解】安排甲、乙、丙三位同學(xué)到A,B,C,D,E五個社區(qū)進行暑期社會實踐活動，

選項A：如果社區(qū)A必須有同學(xué)選擇，

則不同的安排方法有5,-43=61（種）.判斷正確;

選項B：如果同學(xué)甲必須選擇社區(qū)A,則不同的安排方法有5z=25（種）.判斷正確；

選項C：如果三名同學(xué)選擇的社區(qū)各不相同，

則不同的安排方法共有5x4x3=60（種）.判斷正確；

選項D：如果甲、乙兩名同學(xué)必須在同一個社區(qū)，

再分為丙與甲、乙兩名同學(xué)在一起和不在一起兩種情況，

則不同的安排方法共有5+5?425（種）.判斷錯誤.

故選：ABC

11.對于函數(shù)〃x）=F。，下列說法正確的有（）

2Txi

A./（x）在其定義域上偶函數(shù)

B./（x）在2,0）上單調(diào)遞減，在（0,2）。（2,+8）上單調(diào)遞增

C./（X）值域為（-00,-1）50,+8）

D./（x）W1有解集為（F,—2）u[-l,l]u（2,+8）

【答案】AD

【解析】

【分析】分段函數(shù)需要考慮定義域的范圍，對于含有絕對值的簡單的分段函數(shù)，可以先判斷奇偶性再畫

圖像更容易.

【詳解】畫出函數(shù)=圖像，如圖，

2-x

/(-x)=±±=7+=/(x)，為偶函數(shù),關(guān)于y軸對稱,所以A正確；

/(X)在x>0時的函數(shù)圖像不是連續(xù)遞增，所以B不正確；

當(dāng)x=0時，代入函數(shù)得/(0)=0,所以C不正確；

當(dāng)/(x)=l時，代入得尤=-1或x=l,結(jié)合圖像可知，選項D正確.

故選：AD.

12.將邊長為近的正方形ABCQ沿8。折成如圖所示的直二面角4一3。一。，對角線8。的中點為0,

下列說法正確的有()

A.AC=V2B.AB1CD

n

C.二面角A—BC—O的正切值為血D.點B到平面AC。的距離為三

【答案】AC

【解析】

【分析】由面面垂直可得線面垂直，進而得線線垂直，根據(jù)勾股定理即可求解A,假設(shè)AB_LCD,進而

得到矛盾，即可判斷B,根據(jù)二面角的幾何求法即可求解C,根據(jù)等體積法即可判斷D.

【詳解】因為平面平面BC。,其交線為3。，且故。。_L平面所以

。。_1_49,由。。=40=(6。=1,所以4。=&，故人正確，

假若又因為則ABJ_平面AC。,進而ABJ.AC,而48=4。=3。=0這與

ABJ_CD矛盾，故ABJ_C￡>不可能成立，故B錯誤，

取8c中點為E,連接。區(qū)AE,因為OE_L5C,AO，平面詼,故可得AO±3C,進而可得，平

面AOE,因此BC_LAE,故NAEO為二面角A—3C—。的平面角,

=色」=應(yīng)

tanZAEO=—:

EO1C￡)&，故C正確.

2T

@An-BCCDAOoG

>sACD%=S--------二*，故D錯誤.

^B-ACD=匕一BCD=

dACD-CD-ADsin60

2

故選：AC

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.甲、乙、丙三名同學(xué)競選班長、團支書、學(xué)習(xí)委員三個職位，每人只競選一個職位，設(shè)事件A為“三

人競選職位都不同”，B為"甲獨自競選一個職位”，則P(A|B)=.

【答案】g##0.5

【解析】

【分析】先求出事件8發(fā)生的概率和事件A事件B共同發(fā)生的概率，利用條件概率公式即可求出.

【詳解】由題三名同學(xué)競選三個職位，共有3x3*3=27種情況，

其中事件8的情況有3x2x2=12種，

事件A和事件B共同發(fā)生的情況有3x2x1=6種，

所以P(B)=二=入,P(AB)----

279279

所以小加篇H.

故答案為：7.

14.甲、乙兩名同學(xué)進行乒乓球比賽，每局比賽沒有平局且相互獨立，每局比賽甲勝的概率為p,若比賽

最大的項為

【答案】①.6②.96第，(或第六項)

【解析】

【分析】根據(jù)題意得到CJ+C：+C：=22,即可求得〃的值；利用展開式的通項，設(shè)展開式的第Z+1項

的系數(shù)最大，列出不等式組，進而求得展開式中系數(shù)最大的項.

【詳解】由題意可得C：+C：+C；=l+/+4(2=22且“eN*，

解得〃=6,

(1A61

二二項式一+2尤=(-)6(1+4X)6.

12)2

則(1+4x)6展開式的通項為&]=晨(4x)，=C》中￡,

Ck.4">C*T.41

設(shè)展開式的第4+1項的系數(shù)最大，則6~L,.，

C*-4*>Cg-4A1

解得4.6WZW5.6,所以后=5,

所以展開式中系數(shù)最大的項為7；=(；)6<：?45工5=96/.

故答案為：6；96x5?

四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知非空集合A={x|m-lWxW3加-2},.①函數(shù)/(x)=J12+x—f的定義域

2

為集合8②不等式——<1的解集為艮試從以上兩個條件中任選一個補充在上面的問題中，并解答.

x-1

(1)當(dāng)加=3時，求A|J3；

(2)若AB=Af求實數(shù)機的取值范圍.

【答案】⑴選①Au3=[—3,7]；選②Au3=(y,l)u[2,+力)；

⑵選①；，2；選②；，l)u[4,+力).

【解析】

【分析】(1)由題可求出集合A3,然后利用并集的定義運算即得；

(2)由題可得A=然后利用集合關(guān)系列出不等式組，即得.

【小問1詳解】

若選①：當(dāng)/%=3時，A=[2,7],

B={X|12+X-X2>0),解得3=[_3,4],

則AD8=[-3,7]；

若選②：當(dāng)加=3時，A=[2,7],

B=,解得3=(-OO,1)U[3,+8)

則AuB=(-oo,l)u[2,+<?)；

【小問2詳解】

若選①：因為AB=A,

所以A=3,

m-\<3m-2

因為Aw0,所以<m-l>-3,

3m-2<4

解得,4機42,

2

所以，"的取值范圍為；,2；

若選②：因為A3=A,

所以A=

m-\<3m-2m-\<3m-2

因為A*0,所以《，、或，

m-l>33m-2<1

解得加G；』[u[4,+e),

所以，”的取值范圍為(,l]u[4,+e).

18.已知函數(shù)/(x)為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，/(x)=10g2x-l.

(1)求/(x)的解析式；

(2)解不等式獷(工)20.

log2x-l,x>0

【答案】(1)〃X)=?O,X=O

l-log2(-%),%<0

(2)(-OO,-2]u{o}u[2,+OO)

【解析】

【分析1(1)設(shè)尤<0,則一x>0,帶入解析式，再利用奇函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.

(2)根據(jù)(1)的解析式，分段求解，即可.

【小問1詳解】

設(shè)x<0,則一x>0,/(-x)=log2(-x)-1=-/(%),貝U/(x)=l-log2(-x)

因為/'(x)為定義在R上的奇函數(shù)，所以x=0時/(x)=0

log2x-l,x>0

綜上/(x)=<O,X=O

l-log2(-x),x<0

【小問2詳解】

當(dāng)x>0時，M"(x)2()即/(x)20,1(唱2》一120,解得xw[2,+00).

當(dāng)x=0時，4(力=0符合題意；

當(dāng)x<0時，V(x)20即/(x)K0，l-log2(-x)W0,解得xw(-°°，-2]

綜上，不等式4(x)2。的解集為(一?,—2]。{0}32,小).

19.(1)用二項式定理求3僧除以5的余數(shù)；

(2)某小組有8人，從中選擇4人參加活動，有兩種選法：第一種：直接選4人，有C：種選法.第二

利-如果該組的組長參加活動，則從剩余的7人中選3人，有C；種選法；如果該組的組長不參加活動,

則從剩余的7人中選4人，有C；種選法.因為這兩種選法的效果是一致的，所以我們可以得到一個等

式：C：=C；+C；.試將這種情形推廣：從“+1個元素中選擇膽個元素的不同選法得到的等式

是,并以此求解：C；+C；+C；++C；.(用數(shù)字作答).

【答案】(1)4；(2)C3=C；+C：T,84.

【解析】

【分析】(1)利用二項式定理展開式即可求解整除問題；

(2)利用類比推理及組合數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【詳解】(1)因為3i°=95=(10—1)5=XIO3X(-1)°+C；X104X(-1)'++C^xl()x(-1)4

+C；xlO°x(-l)5.在展開式中，前5項均可以被5整除，最后一項為-1,因此除以5的余數(shù)為4.

⑵類比引例方法可得C?.=C：+c?-'.

所以C；+C；+C；++C；=C；+C；+C；++C；=C：+C：++C；

=C；=84.

20.某校成立了生物興趣小組，該興趣小組為了探究一定范圍內(nèi)的溫度x與就豆種子發(fā)芽數(shù)y之間的關(guān)

聯(lián)，在5月份進行了為期一周的實驗，實驗數(shù)據(jù)如下表：

日期星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日

溫度20212315251719

發(fā)芽數(shù)y個25273019312122

該興趣小組確定的研究方案是：先從這7組數(shù)據(jù)中任選5組數(shù)據(jù)建立y關(guān)于x的線性回歸方程，并用該方

程對剩下的2組數(shù)據(jù)進行檢驗.

(1)若選取的是星期一、二、三、六、日這5天的數(shù)據(jù)，則求出y關(guān)于x的線性回歸方程；

(2)若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與選出的檢驗數(shù)據(jù)的誤差均不超過2個，則認為得到的線性回歸

方程是可靠的，試問(1)中所得的線性回歸方程是否可靠？

附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為3=上七------------,a=y-b-x.

ta--元了

/=!

Q

【答案】(1)y=-x-7

(2)可靠

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題中給出的數(shù)據(jù)，結(jié)合回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式計算即可求解；

(2)將星期四、五兩天的數(shù)據(jù)代入線性回歸方程，驗證誤差是否不超過2,即可得出結(jié)論.

【小問1詳解】

解：由數(shù)據(jù)得±=2(),亨=25.

55

因為E(x二君(V-2=32,Za一元尸=20，

/=1/=1

5

E(%—初力一刃8

所以------------=!.

￡(—)2

i=l

QQ

所以3=9一1H=25—2x20=—7.

Q

所以y關(guān)于x的線性回歸方程為》=^^一7.

【小問2詳解】

Q

解：由(1)知，y關(guān)于x的線性回歸方程為5=gX-7.

Q

當(dāng)x=15時，^=|xl5-7=17,|19-17|<2.

Q

當(dāng)x=25時，5>=]x25—7=33,|33-31|<2.

Q

所以，所得到的線性回歸方程》=1X-7是可靠的.

21.疫情過后，百業(yè)復(fù)蘇，某餐飲店推出了“三紅免單”系列促銷活動，為了增加活動的趣味性與挑戰(zhàn)

性，顧客可以從裝有3個紅球、7個白球的袋子中摸球參與活動，商家提供A、8兩種活動規(guī)則：規(guī)則

A：顧客一次性從袋子中摸出3個球，如果3個球都是紅球，則本次消費免單；如果摸出的3個球中有2

個紅球，則獲得價值200元的優(yōu)惠券；如果摸出的3個球中有1個紅球，則獲得價值100元的優(yōu)惠券；如

果摸出的3個球中沒有紅球，則不享受優(yōu)惠.規(guī)則8：顧客分3次從袋子中摸球，每次摸出1只球記下顏

色后放回，按照3次摸出的球的顏色計算中獎，中獎優(yōu)惠方案和規(guī)則A相同.

(1)某顧客計劃消費300元，若選擇規(guī)則A參與活動，求該顧客參加活動后的消費期望；

(2)若顧客計劃消費300元，則選擇哪種規(guī)則參與活動更加劃算？試說明理由.

【答案】(1)200元

(2)A、8都一樣，理由見解析

【解析】

【分析】(1)記顧客按照規(guī)則A參加活動后消費金額為X,則X可取0、100、200、300,計算出隨

機變量X在不同取值下的概率，進而可求得E(X)的值；

(2)記顧客按照規(guī)則8參加活動后消費金額為y,則y可取o、100、200、300,計算出隨機變量x

在不同取值下的概率，求出￡(丫)的值，比較E(X)、E(y)的大小，可得出結(jié)論.

小問1詳解】

解：記顧客按照規(guī)則A參加活動后消費金額為X，則X可取0、10（）、200、300,

C31C2C]?1

P（X=O）=W=-!-,尸（x=ioo）=*=3,

\）Co1201'Co120

P（X=200）=^-=—,P（X=300）=-^=—.

17C：。1201）C：。120

1r\i/2QC

則該顧客消費期望E（X）=Ox志+100x^+200x^+300x^=210.

答：該顧客參加活動后消費期望為210元.

【小問2詳解】

解：記顧客按照規(guī)則8參加活動后消費金額為y,則y可取0、100、200、300,

p（y=0）=0.33=0.027,P（r=100）=Cj-0.32-0.7=0.189,

P（Y=200）=C；-0.3-0.72=0.441,P[Y=300）=0.73=0.343.

該顧客消費期望￡（丫）=0x0.027+100x0.189+200x0.441+300x0.343=210.

按照規(guī)則B參加活動的期望與按照規(guī)則A的期望一致.

因此選擇規(guī)則A、5都一樣.