七年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽培優(yōu)-平面直角坐標(biāo)系-含解析

平面直角坐標(biāo)系【思維入門(mén)】1．如圖3－11－1是我市幾個(gè)旅游景點(diǎn)的大致位置示意圖，如果用(0，0)表示新寧崀山的位置，用(1，5)表示隆回花瑤的位置，那么城步南山的位置可以表示為 ()圖3－11－1A．(2，1) B．(0，1)C．(－2，－1) D．(－2，1)2．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(2，－3)在第幾象限 ()A．一 B．二C．三 D．四3．如圖3－11－2，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(－3，0)，B(5，0)，C(3，4)，D(－2，3)．求四邊形ABCD的面積．圖3－11－24．如圖3－11－3，點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別是(2，2)，(2，－1)，(0，－2)．(1)求線(xiàn)段AB的長(zhǎng)及△ABC的面積；(2)若在直線(xiàn)AB上有一點(diǎn)M，且線(xiàn)段AM＝a(a>0)，求△BMC的面積．圖3－11－3【思維拓展】5．在平面直角坐標(biāo)系中有兩點(diǎn)A(－2，2)，B(3，2)，C是坐標(biāo)軸上的一點(diǎn)，若△ABC是直角三角形，則滿(mǎn)足條件的點(diǎn)有()A．1個(gè) B．2個(gè) C．4個(gè) D．6個(gè)6．在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1，eq\r(3))，M為坐標(biāo)軸上一點(diǎn)，且使得△MOA為等腰三角形，則滿(mǎn)足條件的點(diǎn)M的個(gè)數(shù)為()A．4 B．5 C．6 D．87．如圖3－11－4，在直角坐標(biāo)系中，O是原點(diǎn)，已知A(4，3)，P是坐標(biāo)軸上的一點(diǎn)，若以O(shè)，A，P三點(diǎn)組成的三角形為等腰三角形，則滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P共有____個(gè)，寫(xiě)出其中一個(gè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是____．圖3－11－48．如圖3－11－5，已知坐標(biāo)平面內(nèi)的三個(gè)點(diǎn)A(1，3)，B(3，1)，O(0，0)，求△ABO的面積．圖3－11－5

【思維升華】9．如圖3－11－6，彈性小球從點(diǎn)P(0，3)出發(fā)，沿所示方向運(yùn)動(dòng)，每當(dāng)小球碰到矩形OABC的邊時(shí)反彈，反彈時(shí)反射角等于入射角，當(dāng)小球第1次碰到矩形的邊時(shí)的點(diǎn)為P1，第2次碰到矩形的邊時(shí)的點(diǎn)為P2，…，第n次碰到矩形的邊時(shí)的點(diǎn)為Pn，則點(diǎn)P3的坐標(biāo)是____；點(diǎn)P2014的坐標(biāo)是____．圖3－11－610．如圖3－11－7，在平面直角坐標(biāo)系中，一動(dòng)點(diǎn)從原點(diǎn)O出發(fā)，按向上、向右、向下、向右的方向依次不斷地移動(dòng)，每次移動(dòng)一個(gè)單位，得到點(diǎn)A1(0，1)，A2(1，1)，A3(1，0)，A4(2，0)，…，那么點(diǎn)A4n＋1(n是自然數(shù))的坐標(biāo)為_(kāi)___．圖3－11－711．如圖3－11－8，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別為(1，0)，(0，1)，(－1，0)．一個(gè)電動(dòng)玩具從坐標(biāo)原點(diǎn)O出發(fā)，第一次跳躍到點(diǎn)P1，使得點(diǎn)P1與點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)A成中心對(duì)稱(chēng)；第二次跳躍到點(diǎn)P2，使得點(diǎn)P2與點(diǎn)P1關(guān)于點(diǎn)B成中心對(duì)稱(chēng)；第三次跳躍到點(diǎn)P3，使得點(diǎn)P3與點(diǎn)P2關(guān)于點(diǎn)C成中心對(duì)稱(chēng)；第四次跳躍到點(diǎn)P4，使得點(diǎn)P4與點(diǎn)P3關(guān)于點(diǎn)A成中心對(duì)稱(chēng)；第五次跳躍到點(diǎn)P5，使得點(diǎn)P5與點(diǎn)P4關(guān)于點(diǎn)B成中心對(duì)稱(chēng)，….照此規(guī)律重復(fù)下去，則點(diǎn)P2013的坐標(biāo)為_(kāi)___．圖3－11－812．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于點(diǎn)P(x，y)，我們把點(diǎn)P′(－y＋1，x＋1)叫做點(diǎn)P的伴隨點(diǎn)，已知點(diǎn)A1的伴隨點(diǎn)為A2，點(diǎn)A2的伴隨點(diǎn)為A3，點(diǎn)A3的伴隨點(diǎn)為A4，這樣依次得到A1，A2，A3，…，An，…，若點(diǎn)A1的坐標(biāo)為(3，1)，則點(diǎn)A3的坐標(biāo)為_(kāi)___，點(diǎn)A2014的坐標(biāo)為_(kāi)___；若點(diǎn)A1的坐標(biāo)為(a，b)，對(duì)于任意的正整數(shù)n，點(diǎn)An均在x軸上方，則a，b應(yīng)滿(mǎn)足的條件為_(kāi)___．平面直角坐標(biāo)系【思維入門(mén)】1．如圖3－11－1是我市幾個(gè)旅游景點(diǎn)的大致位置示意圖，如果用(0，0)表示新寧崀山的位置，用(1，5)表示隆回花瑤的位置，那么城步南山的位置可以表示為 (C)圖3－11－1A．(2，1) B．(0，1)C．(－2，－1) D．(－2，1)2．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(2，－3)在第幾象限 (D)A．一 B．二C．三 D．四3．如圖3－11－2，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(－3，0)，B(5，0)，C(3，4)，D(－2，3)．求四邊形ABCD的面積．圖3－11－2解：作DE⊥x軸于E，CF⊥x軸于F，如答圖，四邊形ABCD的面積＝S△ADE＋S四邊形CDEF＋S△BCF＝eq\f(1,2)×1×3＋eq\f(1,2)×(3＋4)×(3＋2)＋eq\f(1,2)×2×4＝23.第3題答圖4．如圖3－11－3，點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別是(2，2)，(2，－1)，(0，－2)．(1)求線(xiàn)段AB的長(zhǎng)及△ABC的面積；(2)若在直線(xiàn)AB上有一點(diǎn)M，且線(xiàn)段AM＝a(a>0)，求△BMC的面積．圖3－11－3解：(1)∵點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是(2，2)，(2，－1)，∴AB⊥x軸，∴AB＝2－(－1)＝3，S△ABC＝eq\f(1,2)×3×2＝3.(2)當(dāng)M點(diǎn)在BA的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，MB＝a＋3，△BMC的面積＝eq\f(1,2)×2×(a＋3)＝a＋3；當(dāng)M點(diǎn)在線(xiàn)段AB上時(shí)，0<a<3，MB＝3－a，△BMC的面積＝eq\f(1,2)×2×(3－a)＝3－a；當(dāng)M點(diǎn)在AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，a>3，MB＝a－3，△BMC的面積＝eq\f(1,2)×2×(a－3)＝a－3.【思維拓展】5．在平面直角坐標(biāo)系中有兩點(diǎn)A(－2，2)，B(3，2)，C是坐標(biāo)軸上的一點(diǎn)，若△ABC是直角三角形，則滿(mǎn)足條件的點(diǎn)有(D)A．1個(gè) B．2個(gè) C．4個(gè) D．6個(gè)【解析】因?yàn)锳，B的縱坐標(biāo)相等，所以AB∥x軸．因?yàn)镃是坐標(biāo)軸上的一點(diǎn)，所以過(guò)點(diǎn)A向x軸引垂線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)B向x軸引垂線(xiàn)，分別可得一點(diǎn)，以AB為直徑作圓，可與坐標(biāo)軸交于4點(diǎn)，所以滿(mǎn)足條件的點(diǎn)共有6個(gè)．6．在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1，eq\r(3))，M為坐標(biāo)軸上一點(diǎn)，且使得△MOA為等腰三角形，則滿(mǎn)足條件的點(diǎn)M的個(gè)數(shù)為(C)A．4 B．5 C．6 D．8【解析】如答圖，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)M的個(gè)數(shù)為6，分別為(－2，0)，(2，0)，(0，2eq\r(3))，(0，2)，(0，－2)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2\r(3),3))).故選C.第6題答圖7．如圖3－11－4，在直角坐標(biāo)系中，O是原點(diǎn)，已知A(4，3)，P是坐標(biāo)軸上的一點(diǎn)，若以O(shè)，A，P三點(diǎn)組成的三角形為等腰三角形，則滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P共有__8__個(gè)，寫(xiě)出其中一個(gè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是__(0，6)，答案不唯一__．圖3－11－48．如圖3－11－5，已知坐標(biāo)平面內(nèi)的三個(gè)點(diǎn)A(1，3)，B(3，1)，O(0，0)，求△ABO的面積．圖3－11－5解：如答圖，S△ABO＝S梯形ACDB＋S△BDO－S△ACO＝eq\f(1,2)×(1＋3)×(3－1)＋eq\f(1,2)×3×1－eq\f(1,2)×1×3＝4＋eq\f(3,2)－eq\f(3,2)＝4.第8題答圖

【思維升華】9．如圖3－11－6，彈性小球從點(diǎn)P(0，3)出發(fā)，沿所示方向運(yùn)動(dòng)，每當(dāng)小球碰到矩形OABC的邊時(shí)反彈，反彈時(shí)反射角等于入射角，當(dāng)小球第1次碰到矩形的邊時(shí)的點(diǎn)為P1，第2次碰到矩形的邊時(shí)的點(diǎn)為P2，…，第n次碰到矩形的邊時(shí)的點(diǎn)為Pn，則點(diǎn)P3的坐標(biāo)是__(8，3)__；點(diǎn)P2014的坐標(biāo)是__(5，0)__．圖3－11－6【解析】如答圖，經(jīng)過(guò)6次反彈后小球回到出發(fā)點(diǎn)(0，3)，第9題答圖當(dāng)點(diǎn)P第3次碰到矩形的邊時(shí)，點(diǎn)P3的坐標(biāo)為(8，3)；∵2014÷6＝335……4，∴當(dāng)點(diǎn)P第2014次碰到矩形的邊時(shí)為第336個(gè)循環(huán)組的第4次反彈，點(diǎn)P2014的坐標(biāo)為(5，0)．10．如圖3－11－7，在平面直角坐標(biāo)系中，一動(dòng)點(diǎn)從原點(diǎn)O出發(fā)，按向上、向右、向下、向右的方向依次不斷地移動(dòng)，每次移動(dòng)一個(gè)單位，得到點(diǎn)A1(0，1)，A2(1，1)，A3(1，0)，A4(2，0)，…，那么點(diǎn)A4n＋1(n是自然數(shù))的坐標(biāo)為_(kāi)_(2n，1)__．圖3－11－7【解析】由圖可知，n＝1時(shí)，4×1＋1＝5.點(diǎn)A5(2，1)，n＝2時(shí)，4×2＋1＝9，點(diǎn)A9(4，1)，n＝3時(shí)，4×3＋1＝13，點(diǎn)A13(6，1)，所以，點(diǎn)A4n＋1(2n，1)．11．如圖3－11－8，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別為(1，0)，(0，1)，(－1，0)．一個(gè)電動(dòng)玩具從坐標(biāo)原點(diǎn)O出發(fā)，第一次跳躍到點(diǎn)P1，使得點(diǎn)P1與點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)A成中心對(duì)稱(chēng)；第二次跳躍到點(diǎn)P2，使得點(diǎn)P2與點(diǎn)P1關(guān)于點(diǎn)B成中心對(duì)稱(chēng)；第三次跳躍到點(diǎn)P3，使得點(diǎn)P3與點(diǎn)P2關(guān)于點(diǎn)C成中心對(duì)稱(chēng)；第四次跳躍到點(diǎn)P4，使得點(diǎn)P4與點(diǎn)P3關(guān)于點(diǎn)A成中心對(duì)稱(chēng)；第五次跳躍到點(diǎn)P5，使得點(diǎn)P5與點(diǎn)P4關(guān)于點(diǎn)B成中心對(duì)稱(chēng)，….照此規(guī)律重復(fù)下去，則點(diǎn)P2013的坐標(biāo)為_(kāi)_(0，－2)__．圖3－11－8【解析】點(diǎn)P1(2，0)，P2(－2，2)，P3(0，－2)，P4(2，2)，P5(－2，0)，P6(0，0)，P7(2，0)，從而可得出6次一個(gè)循環(huán)，∵eq\f(2013,6)＝335……3，∴點(diǎn)P2013的坐標(biāo)為(0，－2)．12．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于點(diǎn)P(x，y)，我們把點(diǎn)P′(－y＋1，x＋1)叫做點(diǎn)P的伴隨點(diǎn)，已知點(diǎn)A1的伴隨點(diǎn)為A2，點(diǎn)A2的伴隨點(diǎn)為A3，點(diǎn)A3的伴隨點(diǎn)為A4，這樣依次得到A1，A2，A3，…，An，…，若點(diǎn)A1的坐標(biāo)為(3，1)，則點(diǎn)A3的坐標(biāo)為_(kāi)_(－3，1)__，點(diǎn)A2014的坐標(biāo)為_(kāi)_(0，4)__；若點(diǎn)A1的坐標(biāo)為(a，b)，對(duì)于任意的正整數(shù)n，點(diǎn)An均在x軸上方，則a，b應(yīng)滿(mǎn)足的條件為_(kāi)_－1＜a＜1且0＜b＜2__．【解析】∵A1的坐標(biāo)為(3，1)，∴A2(0，4)，A3(－3，1)，A4(0，－2)，A5(3，1)，…，以此類(lèi)推，每4個(gè)點(diǎn)為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)，∵2014÷4＝503……2，∴點(diǎn)A20