七年級(jí)數(shù)學(xué)尖子生培優(yōu)競(jìng)賽專題輔導(dǎo)第二十講-質(zhì)數(shù)與合數(shù)

第二十講質(zhì)數(shù)與合數(shù)趣題引路】由超級(jí)計(jì)算機(jī)運(yùn)算得到的結(jié)果2859433－1是一個(gè)質(zhì)數(shù)，則2859433＋1是（）A．質(zhì)數(shù) B．合數(shù) C．奇合數(shù) D．偶合數(shù)解析 ∵2859433－1，2859433，2859433＋1．是三個(gè)連續(xù)正整數(shù)，∵2859433－1的末位數(shù)字是1．∴2859433是偶合數(shù)，∵上述三個(gè)數(shù)中一定有一個(gè)能被3整除，而2859433－1是質(zhì)數(shù)，∴2859433＋1的末位數(shù)字是奇數(shù)且能被3整除，故2859433＋1是奇合數(shù)．故選C．同學(xué)們，你們知道什么是“哥德巴赫猜想”嗎？二百多年前，德國(guó)數(shù)學(xué)家哥德巴赫發(fā)現(xiàn)：任一個(gè)不小于6的偶數(shù)都可以寫(xiě)成兩個(gè)奇質(zhì)數(shù)之和．如6＝3＋3，12＝5＋7等．對(duì)許多偶數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn)，都說(shuō)明這個(gè)猜想是正確的，但至今仍無(wú)法從理論上加以證明，也沒(méi)有找到一個(gè)反例．到目前最好的結(jié)論是我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)證明的“1＋2”，即任一充分大的偶數(shù)，都可表示成一個(gè)質(zhì)數(shù)加上一個(gè)質(zhì)數(shù)或兩個(gè)質(zhì)數(shù)的積，這一結(jié)論被命名為“陳氏定理”．知識(shí)延伸】1．正整數(shù)依據(jù)不同的標(biāo)準(zhǔn)可以有各種分類，這里依據(jù)它們的正約數(shù)的個(gè)數(shù)可以分為三類：（1）只有一個(gè)正約數(shù)的數(shù)，它只能是1；（2）只有兩個(gè)正約數(shù)的數(shù)，如2，3，11這樣的數(shù)叫質(zhì)數(shù)；（3）有兩個(gè)以上正約數(shù)的數(shù)，如4，10，12這樣的數(shù)叫合數(shù)．2．（1）2是最小的質(zhì)數(shù)，也是唯一的偶質(zhì)數(shù)；除2以外，其余的質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)。（2）質(zhì)數(shù)有無(wú)窮多；合數(shù)也有無(wú)窮多．證明 假設(shè)只有有限多個(gè)質(zhì)數(shù)，設(shè)為P1，P2，P3，…，Pn考慮P1P2P3…Pn＋1，由假設(shè)可知，P1P2P3…Pn＋1是合數(shù)，它一定有一個(gè)質(zhì)因數(shù)P，顯然，P不同于P1，P2，P3，…，Pn，這與假設(shè)P1，P2，P3，…，Pn為全部質(zhì)數(shù)矛盾．3．質(zhì)數(shù)可以采用埃拉托色尼篩選法進(jìn)行判定．如判斷2003為質(zhì)數(shù)，可以這樣操作：分別用質(zhì)數(shù)2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，41，43來(lái)除2003，它們都不能整除2003，而下一個(gè)質(zhì)數(shù)47，它的平方472＝2209大于2003，由此就可判定2003為質(zhì)數(shù)。4．算術(shù)基本定理對(duì)于一合數(shù)，如果將它分解為若干質(zhì)數(shù)的連乘積的形式，并不考慮質(zhì)因數(shù)的排列順序，那么這種分解式將是唯一的，即正整數(shù)N（N＞1）可以唯一表示為其中，P1，P2，…，Pm為質(zhì)數(shù)，且P1＜P2＜…＜Pm，a1，a2，…，am為正整數(shù).5．對(duì)于正整數(shù)N的質(zhì)因數(shù)標(biāo)準(zhǔn)分解式根據(jù)乘法原理，它的正約數(shù)個(gè)數(shù)為（1＋a1）（1＋a2）…（1＋am）．它的所有約數(shù)之和為.而且僅當(dāng)為平方數(shù)時(shí)，它的正約數(shù)個(gè)數(shù)為奇數(shù).例1用正反向的地磚不重疊、無(wú)縫隙地鋪滿一塊地，選用邊長(zhǎng)為（cm）規(guī)格的地磚，恰用塊；若選用邊長(zhǎng)為（cm）規(guī)格的地磚，則要比前一種剛好多用124塊.已知、、都是正整數(shù)，且.試問(wèn)：這塊地有多少平方米？解析設(shè)這塊地的面積為，則，得.，得.或解之得，此時(shí).故這塊地的面積為.點(diǎn)評(píng)雖然同一塊地有不同的鋪法，但是這塊地的面積不變，利用面積不變建立、、的等式，尋找解題的突破口.例2是質(zhì)數(shù)，仍是質(zhì)數(shù)，求的值. 解析∵是質(zhì)數(shù)，∴又為質(zhì)數(shù)，∴必為奇數(shù)，∴必為偶數(shù)，∴必為偶數(shù).又∵是質(zhì)數(shù)，∴.∴.點(diǎn)評(píng)本題利用了2是唯一的偶質(zhì)數(shù)這一性質(zhì).例3已知正整數(shù)和都是質(zhì)數(shù)，且與也都是質(zhì)數(shù)，試求的值.解析且是質(zhì)數(shù)，∴必為正奇質(zhì)數(shù)，為偶數(shù)，而、均為質(zhì)數(shù)，故或.當(dāng)時(shí)，有與均為質(zhì)數(shù).當(dāng)時(shí)，則不是質(zhì)數(shù)；當(dāng)時(shí)，不是質(zhì)數(shù)，因此，，且為質(zhì)數(shù)，故.當(dāng)時(shí)，有與均為質(zhì)數(shù).當(dāng)時(shí)，不是質(zhì)數(shù)；當(dāng)時(shí)，不是質(zhì)數(shù)，因此，，當(dāng)為質(zhì)數(shù)，故.故.點(diǎn)評(píng)在所有質(zhì)數(shù)中2時(shí)唯一的偶質(zhì)數(shù)，可知是奇質(zhì)數(shù)，是偶數(shù)，進(jìn)而可求或，最終達(dá)到求解的目的.例4已知和都是質(zhì)數(shù)，求證：也是質(zhì)數(shù).解析先研究和都是質(zhì)數(shù)時(shí)，應(yīng)滿足的條件可先從最小的質(zhì)數(shù)開(kāi)始考察.證明：若，則是合數(shù)；若，則是質(zhì)數(shù)；若，則是合數(shù)；若，則是合數(shù)；由此猜測(cè)：當(dāng)為大于3的質(zhì)數(shù)時(shí)，為合數(shù).下面對(duì)這一猜測(cè)給出證明.若，把按3除的余數(shù)可分為三類.由于時(shí)質(zhì)數(shù)，所以，只能為形如的數(shù)，則.顯然，是合數(shù).因此，滿足條件的.故當(dāng)時(shí)，是質(zhì)數(shù).點(diǎn)評(píng)本例的證明是由具體數(shù)字著手討論的，這種“歸納——猜想——證明”的方法在以后的學(xué)習(xí)中要經(jīng)常用到.例5若為自然數(shù)，與都是質(zhì)數(shù)，求除以3所得的余數(shù).解析我們知道除以3的余數(shù)只能為0、1、2三種.若余數(shù)為0，即（是一個(gè)非負(fù)整數(shù)，下同），則，所以，又，故不是質(zhì)數(shù)，與題設(shè)矛盾.若余數(shù)為2，即，則，故不是質(zhì)數(shù)，與題設(shè)矛盾.所以除以3所得的余數(shù)只能為1.點(diǎn)評(píng)一個(gè)整數(shù)除以以后，余數(shù)可能為0，1，…，，共個(gè)，將整數(shù)按除以所得的余數(shù)分類，可以分成類.如時(shí)，余數(shù)只能為0與1，因此可以分為兩類，一類是除以2余數(shù)為0的整數(shù)，即偶數(shù)；另一類是除以2余數(shù)為1的整數(shù)，即奇數(shù).同樣，時(shí)，就可以將整數(shù)分為三類，即除以3余數(shù)分別為0、1、2這樣的三類.通過(guò)余數(shù)是否相同來(lái)分類是一種重要的思想方法，有著廣泛的應(yīng)用.例6把一個(gè)兩位質(zhì)數(shù)接寫(xiě)在另一個(gè)與它不同的兩位質(zhì)數(shù)的右邊，得到一個(gè)四位數(shù).已知這個(gè)四位數(shù)恰能被這兩個(gè)質(zhì)數(shù)之和的一半整除，試求出所有這樣的四位數(shù).解析設(shè)均為兩位質(zhì)數(shù)，且，依題意，四位數(shù)，能被整除，則（為正整數(shù)），即.∵是整數(shù)，∴又，事實(shí)上，兩個(gè)不同的質(zhì)數(shù)是互質(zhì)的.∴.∵和是不同的兩位質(zhì)數(shù)，∴和均為不小于11且不大于99的不同質(zhì)數(shù)，∴+應(yīng)是小于24且不大于196的偶數(shù).容易求得198的不小于24且不大于196的正偶約數(shù)只有66，把66分拆成兩個(gè)不同的兩位素?cái)?shù)之和，有，故符合條件的四位數(shù)共有8個(gè)：1353、5313、1947、4719、2343、4323、2937、3729.點(diǎn)評(píng)在上面的求解過(guò)程中，用到了最大公約數(shù)的一個(gè)性質(zhì)：.好題妙解】佳題新題品味例1設(shè)都是自然數(shù)，且，證明：一定是合數(shù).證明∵和同偶數(shù)，與同奇數(shù)，又，∴與同奇偶，因此與同奇偶.∴是偶數(shù)，且，∴一定是合數(shù).點(diǎn)評(píng)偶數(shù)未必都是合數(shù)，所以在本題中是不能缺少的.例2正整數(shù)和是兩個(gè)不同的質(zhì)數(shù)，的最小值是，求的值.解析要使的值最小，而和都是質(zhì)數(shù)，則和分別取2和3，于是，故.點(diǎn)評(píng)要使的值最小，則和盡可能取較小的值，而、是兩個(gè)不同的質(zhì)數(shù)，故和分別取2和3，從而值可求.中考真題欣賞例1若是1988的三個(gè)不同質(zhì)因數(shù)，且，則的值是多少？解析∵，而為質(zhì)數(shù).∴的值分別為2、3、37.，故，得.點(diǎn)評(píng)先對(duì)1998分解質(zhì)因數(shù)，再根據(jù)確定的值.如果沒(méi)有的條件，那么又是什么呢？例2四個(gè)質(zhì)數(shù)的倒數(shù)之和是，則這四個(gè)質(zhì)數(shù)之和是.解析∵，，∴這四個(gè)質(zhì)數(shù)為3、5、7、19.因此，這四個(gè)質(zhì)數(shù)的和為3+5+7+19=34.點(diǎn)評(píng)設(shè)這四個(gè)質(zhì)數(shù)分別為，則.由于均為質(zhì)數(shù)，所以.故考慮將1995分解質(zhì)因數(shù).競(jìng)賽樣題展示例1是不小于40的偶數(shù)，試證明：總可以表示成兩個(gè)奇合數(shù)的和.解析因?yàn)槭遣恍∮?0的偶數(shù)，所以，的個(gè)位數(shù)字必為0、2、4、6、8，現(xiàn)在以的個(gè)位數(shù)字分類：（1）若的個(gè)位數(shù)字為0，則；（2）若的個(gè)位數(shù)字為2，則；（3）若的個(gè)位數(shù)字為4，則；（4）若的個(gè)位數(shù)字為6，則；（5）若的個(gè)位數(shù)字為8，則；綜上所述，不小于40的任一偶數(shù)，都可以表示成兩個(gè)奇數(shù)之和.點(diǎn)評(píng)本題證明一個(gè)不小于40的偶數(shù)可以表示成兩個(gè)奇合數(shù)之和，其難度與“哥德巴赫猜想”當(dāng)然不可同日而語(yǔ)，但本題證明時(shí)使用了構(gòu)造的方法，值得大家注意.例241名運(yùn)動(dòng)員所穿運(yùn)動(dòng)衣號(hào)碼是1,2，…，40,41這41個(gè)自然數(shù)，問(wèn)：（1）能否使這41名運(yùn)動(dòng)員站成一排，使得任意兩個(gè)相鄰運(yùn)動(dòng)員的號(hào)碼之和是質(zhì)數(shù)？（2）能否讓這41名運(yùn)動(dòng)員站成一圈，使得任意兩個(gè)相鄰運(yùn)動(dòng)員的號(hào)碼之和都是質(zhì)數(shù)？若能辦到，請(qǐng)舉一例；若不能辦到，請(qǐng)說(shuō)明理由.解析（1）能辦到.注意到41與43都是質(zhì)數(shù)，據(jù)題意，要使相鄰兩數(shù)的和都是質(zhì)數(shù)，顯然，它們不能都是奇數(shù)，因此，在這排數(shù)中只能一奇一偶相間排列，不妨先將奇數(shù)排成一排：1,3,5，7，…，41，在每?jī)蓴?shù)間留有空擋，然后將所有的偶數(shù)依次反序插在各空擋中，得1,40,3,38,5,36,7,34，…，8,35,6,37,4,39,2,41，這樣任何相鄰兩數(shù)之和都是41或43，滿足題目要求.（2）不能辦到.若把1,2,3，…，40,41排成一圈，要使相鄰兩數(shù)的和為質(zhì)數(shù)，這些質(zhì)數(shù)都是技術(shù)，故圓圈上任何相鄰兩數(shù)比為一奇一偶，但現(xiàn)有20個(gè)偶數(shù)，21個(gè)技術(shù)，總共有41個(gè)號(hào)碼，由此引出矛盾，故不能辦到.點(diǎn)評(píng)站成一排和站成一圈雖只一字之差，但卻有著質(zhì)的不同，因?yàn)橐蝗π纬闪耸孜蚕嘟拥那樾?例3（第62屆莫斯科競(jìng)賽題）寫(xiě)出5個(gè)正整數(shù)，使它們的總和等于20，而它們的積等于420.解析設(shè)這5個(gè)正整數(shù)為，則，而，故知這5個(gè)數(shù)分別為1、4、3、5、7.點(diǎn)評(píng)在420的分解式中，把看作（即兩個(gè)數(shù)相乘）還是一個(gè)數(shù)4，是否再增加一個(gè)因數(shù)1，這取決于對(duì)求和式的觀察.例4若自然數(shù)與都是質(zhì)數(shù)，求除以6的余數(shù).解析不妨將分成六類，，然后討論.當(dāng)時(shí)，與為質(zhì)數(shù)矛盾；當(dāng)時(shí)，與為質(zhì)數(shù)矛盾；當(dāng)時(shí)，與為質(zhì)數(shù)矛盾；當(dāng)時(shí)，與為質(zhì)數(shù)矛盾；當(dāng)時(shí)，與為質(zhì)數(shù)矛盾；所以只有，即除以6的余數(shù)為4.點(diǎn)評(píng)本題利用分類討論進(jìn)行.過(guò)關(guān)檢測(cè)】A級(jí)1.有三個(gè)正整數(shù)，一個(gè)是最小的奇質(zhì)數(shù)，一個(gè)是最小的奇合數(shù)，另一個(gè)既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)，求這三個(gè)數(shù)的積.2.有三個(gè)數(shù)，一個(gè)是偶質(zhì)數(shù)，一個(gè)是大于50的最小質(zhì)數(shù)，一個(gè)是100以內(nèi)最大的質(zhì)數(shù)，求這三個(gè)數(shù)的和.3.設(shè)與是兩個(gè)大于2的質(zhì)數(shù)，證明是一個(gè)合數(shù).3.若是一個(gè)質(zhì)數(shù)，仍為質(zhì)數(shù)，求值：也是一個(gè)質(zhì)數(shù).5.若與都是質(zhì)數(shù)，且.求除以3所得的余數(shù).6.若自然數(shù)，且，求的值.7.有四個(gè)不同質(zhì)因數(shù)的最小的自然數(shù)是多少？8.求2000的正約數(shù)的個(gè)數(shù)，并求它的所有質(zhì)因數(shù)的和.9.若，則是數(shù)（選填“質(zhì)”或“合”）.10.若質(zhì)數(shù)滿足，則.B級(jí)1.和均為質(zhì)數(shù)，則.2.已知三個(gè)質(zhì)數(shù)的積等于三個(gè)質(zhì)數(shù)的和的5倍則.3.（1997年北京市初一數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）的解是最小質(zhì)數(shù)的倒數(shù)，則.4.（1998年北京市出而數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）若和均為質(zhì)數(shù)，且滿足，則.5.（1997年“迎春杯