七年級數(shù)學(xué)：《平行垂直》知識點歸納

七年級數(shù)學(xué)：《平行垂直》知識點歸納知識梳理1、平行線的定義：在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線叫做平行線．2、平行的表示：用符號“∥”表示，讀作“平行于”．3、同一平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系：平行或相交．4、平行公理：經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行．5、平行的傳遞性：平行于同一直線的兩直線平行．6、平行與角的聯(lián)系：若一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，則這兩個角相等或互補．7、垂直定義：如果兩條直線相交所成的四個角中有一個角是直角，那么這兩條直線互相垂直．其中一條直線叫做另一條直線的垂線．它們的交點叫做垂足．兩條線段、射線垂直是指這兩條線段、射線所在的直線垂直．8、垂直的表示：用符號“⊥”表示，讀作“垂直于”．9、垂直公理：過一點有且只有一條直線與已知直線垂直．10、點到直線的距離：直線外一點到這條直線的垂線段的長度．11、垂線段的性質(zhì)：直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短．12、垂直與角的聯(lián)系：若一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別垂直，則這兩個角相等或互補．二、典型例題例1、概念辨析(1)兩條不相交的直線叫做平行線．(2)兩條直線不相交就平行．(3)兩條射線或線段平行，是指它們所在的直線平行．(4)在同一平面內(nèi)不相交的兩條線段必平行．(5)經(jīng)過一點，有且只有一條直線與已知直線平行．(6)同一平面內(nèi)垂直于同一直線的兩條直線互相平行．(7)點A為直線l外一點，點B在直線l上，若AB＝5厘米，則點A到直線l的距離為5cm．解析：(1)錯誤，必須加同一平面內(nèi)，否則在立體幾何中，會出現(xiàn)異面的情況．比如一個正方體，上面和前面相交的棱與右面和后面相交的棱，所在直線就是既不平行也不相交．(2)錯誤，理由同(1)．(3)正確．(4)錯誤，反例如下圖：(5)錯誤，必須在直線外，否則，如果這個點在直線上，所作直線就與已知直線重合．(6)正確．(7)錯誤，如下圖，當(dāng)點B在B2處，點A到直線l的距離為5cm，當(dāng)點B在B1，點A到直線l的距離小于5cm．例2、試畫圖說明平面內(nèi)三條直線的位置關(guān)系．

分析：我們知道，同一平面內(nèi)的兩條直線有相交、平行兩種關(guān)系．那么到了三條直線，就會出現(xiàn)三條都平行，兩條平行，都不平行的情況．在三條都平行的情況外，必然有相交的情況，我們可以從交點數(shù)來考慮，即有一個，有兩個，有三個交點三種．

解答：例3、(1)如圖，P是∠AOB外一點，過點P畫直線PC∥OA，交OB于點C，過點P畫直線PD∥OB，交OA反向延長線于點D，量出∠AOB、∠CPD的度數(shù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？點P如果在∠AOB內(nèi)部呢？(2)如圖，P是∠AOB外一點，過點P畫直線PC⊥OA，交OA于點C，過點P畫直線PD⊥OB，交OB于點D，量出∠AOB、∠CPD的度數(shù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？點P如果在∠AOB內(nèi)部呢？分析：本題不難，主要是根據(jù)要求作圖，然后發(fā)現(xiàn)度數(shù)之間的聯(lián)系，不是相等就是互補，最后，再關(guān)注所研究的兩個角的位置關(guān)系，發(fā)現(xiàn)其中一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，從而得出最后結(jié)論．解答：(1)當(dāng)P是∠AOB外一點，∠AOB＋∠CPD＝180°當(dāng)P是∠AOB內(nèi)一點，∠AOB＝∠CPD發(fā)現(xiàn)：若一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，則這兩個角相等或互補．(2)當(dāng)P是∠AOB外一點，∠AOB＝∠CPD當(dāng)P是∠AOB內(nèi)一點，∠AOB＋∠CPD＝180°發(fā)現(xiàn)：若一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別垂直，則這兩個角相等或互補．三、思維提升例1、網(wǎng)格作圖(1)利用圖(1)中的網(wǎng)格，利用直尺過P點畫直線AB的平行線和垂線．(2)把圖(2)網(wǎng)格中的三條線段通過平移使三條線段AB、CD、EF首尾順次相接組成一個三角形．(3)如果每個方格的邊長是單位1，那么圖(2)中組成的三角形的面積等于______．分析：網(wǎng)格作圖是今后的重點內(nèi)容，我們應(yīng)該引起足夠的重視，(1)對于作平行，有2種作法，第一種觀察線段AB是橫2豎4的長方形對角線，那么，過要畫的點P，也應(yīng)該是構(gòu)造橫2豎4的長方形對角線．第二種，采用平移的方法，從點A平移到點P，需要向右4格再向下1格，那么點B也要同樣平移，然后將線段兩端延長，變成直線．對于作垂直，則和平行相反，過點P需要構(gòu)造橫4豎2的長方形對角線．(2)我們可以保持EF不動，將AB，CD平移，注意，有2種情況．(3)對于網(wǎng)格圖形的面積，我們通?？梢圆捎酶钛a法，割，把大圖形分成幾個小圖形，計算面積和，補，把大圖形再補成一個更大的，可直接計算面積的圖形，減去周圍幾個小圖形的面積和．本題適合用補的方法．

解答：例2、垂線段再認識如圖，在6×6的正方形網(wǎng)格中，點P是∠AOB的邊OB上的一點．過點P畫OB的垂線，交OA于點C；過點P畫OA的垂線，垂足為H；(1)請找出圖中所有的垂線段，并說明這條垂線段的長度是哪個點到哪條直線的距離．(2)線段PC、PH、OC這三條線段大小關(guān)系是______．（用“＜”號連接）分析：要找垂線段，首先要找出所有的垂足，因為垂線段是直線外一點到垂足的距離．這里的垂足顯然只有P，H，那么點O，點C，可以和點P，點H組成垂線段．要說明垂線段長度是哪個點到哪一條直線的距離，那么必然選擇的是垂線段的兩個端點中，不是垂足的那個點，到垂足所在的另外一條與垂線段垂直的直線的距離．解答：(1)OP，OP的長度是點O到直線PC的距離．

CP，CP的長度是點C到直線OB的距離．

OH，OH的長度是點O到直線PH的距離．

CH，CH的長度是點C到直線PH的距離．

PH，PH的長度是點P到直線OC的距離．(2)PH＜PC＜OC．例3、思考類作圖同一平面內(nèi)已知線段AB長為10cm，點A、B到直線l的距離分別為6cm和4cm，符合條件的直線l有_______條?分析：顯然，同學(xué)們都能想到作線段AB的垂線，將線段AB分成6cm，4cm兩部分．但其實，在線段AB的兩側(cè)還有兩條，分別以A、B為圓心、6cm和4cm為半徑作圓，當(dāng)所畫的直線與兩個圓分別都只有一個交點時，也符合題意，這樣的直線有兩條，即共有3條．到了初三，我們會知道，這三條線就是所畫的兩個圓的切線．解答：如圖，三條紅色的直線即為所求．變式如圖，在平面內(nèi)，兩條直線l1，l2相交于點O，對于平面內(nèi)任意一點M，若p，q分別是點M到直線l1，l2的距離，則稱(p，q)為點M的“距離坐標”．根據(jù)上述規(guī)定，“距離坐標”是(2，1)的點共有________個．分析：我們可以先找線，再確定點，先找出到l1距離為2的直線，到12距離為1的直線