概率論與數(shù)理統(tǒng)計PPT全套完整教學課件

概率論與數(shù)理統(tǒng)計在經濟、科技、教育、管理和軍事等方面已得到廣泛應用。概率論與數(shù)理統(tǒng)計是研究和揭示隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的一門學科，是重要的一個數(shù)學分支。概率論與數(shù)理統(tǒng)計

已成為高等工科院校教學計劃中一門重要的公共基礎課。通過本課程的學習，使學生掌握處理隨機現(xiàn)象的基本理論和方法，并且具備一定的分析問題和解決實際問題的能力。課程簡介前言概率論是研究偶然、隨機現(xiàn)象的規(guī)律性的數(shù)學理論，產生于17世紀中葉。概率論發(fā)展初期，主要是從討論賭博問題開始的。16世紀的意大利學者吉羅拉莫·卡爾達諾（GirolamoCardano）研究了擲骰子等賭博中的一些簡單問題。到了17世紀中葉，法國宮廷貴族中間盛行擲骰子游戲。據(jù)說，1654年左右，愛好賭博的法國人梅雷寫信向帕斯卡（B.Paseal）請教了著名的“點數(shù)問題”或“賭金分配問題”。帕斯卡和費馬（P.deFermat）在通信中討論了點數(shù)問題及其他問題。他們把這些日常賭博問題變成了真正的數(shù)學問題，用排列組合理論得出正確解答，并提出了數(shù)學期望的這一核心概念。現(xiàn)在，大家公認他們二人是概率論的共同創(chuàng)立者。

隨著18、19世紀科學的發(fā)展，人們注意到在某些生物、物理和社會現(xiàn)象與機會游戲之間有某種相似性，從而由機會游戲起源的概率論被應用到這些領域中；同時這也大大推動了概率論本身的發(fā)展。真正使概率論作為一門獨立數(shù)學分支的莫基人是雅各布·伯努利（JacobBernoulli）。他建立了概率論中第一個極限定理，即伯努利大數(shù)定律，證明了隨著試驗次數(shù)的增加，某一事件出現(xiàn)的頻率會越來越接近該事件的概率。其意義在于揭示了因偶然性的作用而呈現(xiàn)的雜亂無章現(xiàn)象中的一種規(guī)律性。隨后棣莫弗和拉普拉斯又導出了第二個基本極限定理（中心極限定理）的原始形式。拉普拉斯在系統(tǒng)總結前人工作的基礎上寫出了概率論專著，明確給出了概率的古典定義，并在概率論中引入了更有力的分析工具，從而將概率論推向一個新的發(fā)展階段。如何定義概率，如何把概率論建立在嚴格的邏輯基礎上，是概率理論發(fā)展的困難所在，對這一問題的探索一直持續(xù)了3個世紀。蘇聯(lián)數(shù)學家柯爾莫哥洛夫1933年在他的《概率論基礎》一書中第一次給出了概率的定義和一套嚴密的公理體系。他的公理化方法成為現(xiàn)代概率論的基礎，使概率論成為嚴謹?shù)臄?shù)學分支，對概率論的迅速發(fā)展起了積極的作用?，F(xiàn)在，概率與統(tǒng)計的方法日益滲透到各個領域，并廣泛應用于自然科學、經濟學、醫(yī)學、金融保險甚至人文科學中。第1章概率論的基本概念§1.1隨機事件§1.2隨機事件間的關系運算§1.3隨機事件的概率§1.4條件概率§1.5事件的獨立性基本要求：了解隨機現(xiàn)象、隨機試驗、樣本空間、事件的相互獨立性等基本概念，掌握古典概率、條件概率的計算。重點：古典概率的計算難點：條件概率的計算§1.1隨機事件隨機現(xiàn)象隨機試驗樣本空間隨機事件1.隨機現(xiàn)象在一定條件下必然發(fā)生的現(xiàn)象稱為確定性現(xiàn)象

“太陽總是從東邊升起”“水往低處流”實例確定性現(xiàn)象的特征

條件完全決定結果我們事先知道每次試驗所有可能出現(xiàn)的結果。但每次的結果呈現(xiàn)出不確定性，而在大量重復試驗中，其結果呈現(xiàn)出一種統(tǒng)計規(guī)律性的現(xiàn)象

隨機現(xiàn)象

實例

“在相同條件下擲一枚均勻的硬幣，觀察結果有可能出現(xiàn)正面也可能出現(xiàn)反面的情況”。“拋擲一枚骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù)結果有可能為:1,2,3,4,5或6

”。

2.隨機試驗

在我們所生活的世界上，充滿了不確定性

隨機現(xiàn)象是通過隨機試驗來研究的。問題

什么是隨機試驗？如何來研究隨機現(xiàn)象?隨機試驗（E，Randomexperiment）：具有以下三個特征的試驗：（1）可以在相同的條件下重復地進行;（2）每次試驗有多種可能結果，并且能知道試驗的所有可能結果;（3）進行一次試驗之前不能語言哪一個結果會出現(xiàn)。E1:在一定的條件下進行射擊練習，考慮中靶的環(huán)數(shù)；E2:拋一枚硬幣，

觀察出現(xiàn)的面；E3:記錄某汽車站某時段內候車的人數(shù)；E4:測試某種燈泡的壽命；E5:記錄電話交換臺在單位時間內受到的呼喚次數(shù)；E6:拋擲一顆均勻的骰子出現(xiàn)的點數(shù)。3.

樣本空間（Samplespace）:

隨機試驗E的所有可能的結果組成的集合稱為隨機試驗E的樣本空間。用Ω表示。樣本點（Sample,Outcome）：樣本空間中的每個元素，即試驗的每個結果。記為ω。

例如E2和E6的樣本空間分別為Ω2={正面，反面}和Ω6={1，2，3，4，5，6}。特別地，E的必然事件就是其樣本空間Ω自身，E的不可能事件記為,它對應著空集4.隨機事件（事件，Event）：試驗E的樣本空間Ω的子集。常用A、B、C等表示。注意：一旦做試驗，就會出現(xiàn)一個結果，即有一個樣本點出現(xiàn)。

復合事件由多個樣本點構成的集合基本事件當且僅當A中的一個樣本點出現(xiàn)

必然事件每次試驗后必有Ω中的一個樣本點出現(xiàn)不可能事件空集?不包含任何樣本點，顯然在每次試驗中都不會發(fā)生§1.2隨機事件間的關系運算1.2.1事件間的關系和運算1.包含關系ΩAB如果A發(fā)生必導致B發(fā)生，則相等關系

包含關系的傳遞性?A，若AB，BC，則AC。AB2.和（并）事件（或）事件發(fā)生當且僅當A、B至少發(fā)生一個.Ω3.積（交）事件AB事件發(fā)生當且僅當

A、B

同時發(fā)生.Ω4.差事件ABAAB

發(fā)生當且僅當A

發(fā)生B

不發(fā)生.ΩΩ5.互斥關系（互不相容）6.對立（逆）事件ABA請注意互不相容與對立事件的區(qū)別！ΩΩΩ1.2.1事件間的關系和運算的性質分配律:交換律:

結合律:對偶律:運算順序：逆交并差，括號優(yōu)先。【例1】將兩顆均勻的骰子各擲一次，若以(x,y)表示其結果，其中x表示第一顆骰子出現(xiàn)的點數(shù)，y表示第二顆骰子出現(xiàn)的點數(shù)，則樣本空間為Ω={(x,y):x,y=1,2,3,4,5,6}若以A，B，C，D分別表示事件“點數(shù)之和等于2”、“點數(shù)之和等于5”、“點數(shù)之和超過9”，“點數(shù)之和不小于4也不超過6”。

試寫出事件A,B,C,D包含的結果。【解】A={(1,1)}；B={(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)}；C={(4,6),(5,5),(6,4),(5,6),(6,5),(6,6)};D={(1,3),(1,4),(1,5),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(5,1)}【例2】設A，B，C為三個隨機事件，試表示以下事件：(1)A，B，C都發(fā)生；(2)A，B發(fā)生但C不發(fā)生；(3)A，B，C都不發(fā)生；(4)A，B，C中至少有一個發(fā)生.【解】(1)A,B,C都發(fā)生可表示為ABC；(2)A,B發(fā)生但C不發(fā)生可表示為ABC=AB-C；(3)A,B,C都不發(fā)生可表示為ABC；(4)A,B,C中至少有一個發(fā)生可表示A∪B∪C.§1.3隨機事件的概率頻率（Frequency）：描述n次試驗中事件發(fā)生的頻繁程度概率：表征事件在一次試驗中發(fā)生的可能性大小從直觀上來看，事件A的概率是指事件A發(fā)生的可能性的大小，用P(A)表示。?P(A)應具有何種性質？1.3.1概率的古典定義古典概率模型簡稱古典概型，通常是指具有下列兩個特征的隨機試驗模型。隨機試驗只有有限個可能的結果，即有限個樣本點(有限性)；(2)每一個樣本點發(fā)生的可能性相等(等可能性)。古典概型又稱為等可能性概型。在概率論產生和發(fā)展的過程中，它是最早的研究對象，在實際應用中它也是最常用的一種概率模型。對于古典概型，以Ω={ω1,…,ωn}表示樣本空間，ωi(i=1,2,…,n)表示樣本點，對于任一隨機事件A={ωi1,…,ωin},下面給出古典概型的定義。定義1.1(概率的古典概型定義)對于給定的古典概型，若樣本空間中有n個樣本點，事件A含有m個樣本點，則事件A的概率為性質1.1(古典概率的性質)對于任意事件A，0≤P(A)≤1；(2)P(Ω)=1,P(?)=0；(3)若A1，A2，…，An是兩兩互不相容的事件，則P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)【例1】某種產品共有30件，其中含正品23件，次品7件，從中任取5件.試求被取出的5件中恰好有2件是次品的概率.【解】設A=“被取出的5件中恰好有2件是次品”.由題設“從中任取5件”應理解為“一次取出5件”，故樣本點總數(shù).事件A包含的樣本點數(shù),則所求概率為【例2】一批同類產品共N件，其中次品M件.現(xiàn)從中隨機抽取n件(取后不放回)，問這n件中恰有k(k≤M)件次品的概率是多少？【解】設A={恰取到k件次品}，由于A并不涉及抽取產品的次序，故可將試驗設想成從N件編上號的產品中一次取出n件,每一種取法構成一個基本事件，總共有

種取法,A發(fā)生意味著取到k件次品和n-k件正品，k件次品和n-k件正品的取法分別為及

種.由乘法原理，構成A的基本事件數(shù)為,故【例3】某口袋中有6只球，其中4只白球，2只紅球，從袋中取球兩次，每次隨機地取一只.考慮兩種取球方式.①第一次取一只球，觀察其顏色后放回袋中，攪勻后再取一球,這種取球方式叫做有放回取球.②第一次取一只球不放回袋中，第二次從剩余的球中再取一只球,這種取球方式叫做無放回取球.試分別就上面兩種情況求：(1)取到的兩只球都是白球的概率；(2)取到的兩只球顏色相同的概率.【解】(1)令A1表示事件“取到的兩只球都是白球”，則有放回取球：P(A1)=無放回取球：P(A1)=

(2)令A2表示事件“取到的兩只球顏色相同”，則有放回取球：P(A2)=無放回取球：P(A2)=【例4】袋中有a只白球、b只紅球，依次將球一只只摸出，不放回.求第k次摸到白球的概率(1≤k≤a+b).【解】設A={第k次摸到白球}，由于并不關心第k次以后的取球結果，可設想將球編號，一只只抽取直至取出第k只球為止.則基本事件總數(shù)是從a+b只編上號的球中選出k只球進行排列的排列種數(shù)，即,A發(fā)生意味著第k次取到白球.此白球可能是a只白球中的任一只；而前k-1次取的球則可能是除此白球之外的其余a+b-1只中的任k-1只，故由乘法原理得，m=.所以對本題也可給出另一種解法.設想將a+b只球編上號，每次試驗將a+b只球逐一摸出并依次排列在a+b個位置上，則基本事件總數(shù)為n=(a+b)!,kA=·(a+b-1)!,故有注意到P(A)與k無關，即無論第幾次摸球，摸到白球的概率都是.這一結果表明抽簽、摸彩與先后次序無關，機會是均等的.【例5】有n個人，每個人都以同樣的概率1/N被分配在N(n≤N)間房中的任一間中，試求下列各事件的概率：(1)某指定的n間房中各有一人；(2)恰有n間房，其中各有一人；(3)某指定的一間房中恰有m(m≤n)人.【解】先求樣本空間中所含樣本點的個數(shù).首先，把n個人分到N間房中去共有Nn種分法；其次，求每種情形下事件所含的樣本點個數(shù).某指定的n間房中各有一人，所含樣本點的

個數(shù)，即可能的分法為n!；(2)恰有n間房中各有一人，所有可能的分法為?n!；(3)某指定的一間房中恰有m人，可能的分法為.于是可以得到三種情形下事件的概率分別如下：(1)(2)(3)在上述分房問題中，若令N=365，n=30,m=2則可演化為生日問題.全班有學生30人，求下列事件的概率：(1)某月指定為30天，每位學生生日各占一天；(2)全班學生生日各不相同；(3)全年某天，恰有兩個學生同一天出生.利用上述結論可得到概率分別如下：(1)(2)(3)1.3.2概率的統(tǒng)計定義定義1.2(頻率的定義)若在同一條件組下將試驗E重復N次，事件A發(fā)生了m次，則稱比值m/N為事件A在N次重復試驗中發(fā)生的頻率，記為fN(A),即定義1.3(概率的統(tǒng)計定義)在觀察某一隨機事件A的隨機試驗中，隨著試驗次數(shù)n的增大，事件A發(fā)生的頻率fn(A)會越來越穩(wěn)定地在某一常數(shù)p附近擺動，這時就以常數(shù)p作為事件A的概率，并稱其為統(tǒng)計概率，記作：P(A)=p由頻率和概率的統(tǒng)計定義，可以得到統(tǒng)計概率的性質：（1）非負性：0≤P(A)≤1;（2）規(guī)范性：P(Ω)=1；（3）有限可加性：若事件A1，A2,…,An互不相容，則【例6】某市衛(wèi)生管理部門對該市60歲以上老人患高血壓的情況進行調查，從4個區(qū)各分別調查了80人，90人，100人，100人，其中患病人數(shù)分別為23，27，33，30.試估計該市60歲以上老人高血壓的患病率p.【解】以4組調查結果頻率的平均值來估計p，結果為1.3.3概率的性質根據(jù)隨機事件概率的定義，可得到隨機事件的概率具有以下性質：性質1P(?)=0,即不可能事件的概率為零.證明Ω=Ω+?+?+?+…

P(Ω)=P(Ω)+P(?)+P(?)+…

因此，P(?)=0性質2若A1,A2,…,An是兩兩互不相容的事件，則證明性質3證明

性質4若BA,則P(A-B)=P(A)-P(B)，且P(B)≤P(A)證明由于A=AB+(A-B)，

所以P(A)=P(AB)+P(A-B)若BA,則AB=B，故P(A-B)=P(A)-P(B)此外，注意到P(A-B)≥0，故在BA下，

有P(B)≤P(A)性質5對于任意事件A、B，P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB).證明A∪B=A∪(B-AB),且A(B-AB)=?，則P(A∪B)=P(A)+P(B-AB)=P(A)+P(B)-P(AB)【例7】設有100件產品，其中有95件合格品，5件次品,從中任取5件，試求其中至少有一件次品的概率.【解法1】設Ak表示“5件產品中有k件次品”，這里k=0,1,2,3,4,5;A表示“其中至少有一件次品”，則,且A1，A2，…，A5互不相容，

于是，由性質2可得【解法2】事件A比較復雜，而其對立事件則比較簡單，且于是，由性質3可得第2種解法顯示了對立事件概率的性質在計算事件概率時的作用.一般地，當所要求概率的事件較復雜時，常?？紤]先求出其對立事件的概率.【例8】袋中有紅、黃、白色球各一個，每次任取一個，有放回地取三次，求“取到的三球里沒有紅球或沒有黃球”的概率.【解】設A={沒有紅球}，B={沒有黃球}，C={沒有紅球或沒有黃球}，則C=A∪B,

故【例9】設事件A，B的概率分別為1/2和1/3，求下列條件下事件AB的概率.(1)AB;(2)P(AB)=14;(3)A,B互斥.【解】(1)因為AB，所以B=B-A,故由概率的性質4有P(B)=P(B-A)=P(B)-P(A)=1/2-1/3=1/6(2)因為B=B-A=B-AB，故由概率的性質4有P(B)=P(B-AB)=P(B)-P(AB)=1/2-1/4=1/4(3)因為A，B互斥，故BB=B,于是P(B)=P(B)=1/2§1.4條件概率1.4.1條件概率在解決許多概率問題時，往往需要在有某些附加信息（條件）下求事件的概率。如在事件B已經發(fā)生的條件下求事件A發(fā)生的概率，將此概率記作P(A|B)。一般P(A|B)≠P(A)【例1】考慮有兩個孩子家庭(假定男、女出生率相同).設A={一男一女}={(男，女)，(女，男)}；B={至少有一女}={(女，女)，(男，女)，(女，男)}.則Ω={(男，男)，(男，女)，(女，女)，(女，男)}，P(A)=1/2,P(B)=3/4,P(AB)=2/4【解】現(xiàn)在考慮：已知事件B發(fā)生的條件下，A發(fā)生的概率，則為事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率，簡稱條件概率.條件概率具有以下性質：(1)若A，B為隨機事件，且P(B)＞0，則0≤P(A|B)≤1;(2)若P(B)＞0，則P(Ω|B)=1,P(?|B)=0;(3)若A1，A2，…，An是兩兩互不相容的事件，P(B)＞0，則(4)若P(B)＞0，則P(|B)=1-P(A|B).【例2】設某種動物由出生算起活10年以上的概率為0.9，活20年以上的概率為0.3.現(xiàn)有一只10歲的這種動物，問它能活20歲以上的概率是多少？【解】設A={能活10年以上}，B={能活20年以上}，依題意，P(A)=0.9,P(B)=03.由于BA,所以AB=B.因此P(AB)=P(B)=0.3.于是1.4.2乘法公式若已知P(B)，P(A|B)，也可以求P(AB).這就是概率的乘法公式.定理1.1設P(B)＞0，則有P(AB)=P(B)?P(A|B)(1-1)設P(A)＞0，則有P(AB)=P(A)?P(B|A)(1-2)(1-1)式、(1-2)式稱為概率的乘法公式.概率的乘法公式可以推廣到任意n個事件的情形.若事件A1，A2，…，An滿足P(A1A2…An-1)＞0,則【例3】從含有3只次品的10只產品中無放回地取2次，每次任取一只.(1)求2次都取到正品的概率；(2)求第2次才取到正品的概率.【解】設Ai={第i次取到正品}(i=1,2),B={兩次都取到正品}，C={第2次才取到正品}.(1)顯然有B=A1A2，依題意有故

(2)“第2次才取到正品”也即“第一次取到次品而第2次取到正品”，即故【例4】設有甲、乙、丙三個小朋友，甲得病的概率是0.05，在甲得病的條件下乙得病的概率是0.40,在甲、乙兩人均得病的條件下丙得病的條件概率是0.80，試求甲、乙、丙三人均得病的概率.【解】用A表示“甲得病”，B表示“乙得病”，C表示“丙得病”，則P(A)=0.05,P(B|A)=0.4,P(C|AB)=0.8所求概率為P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)=0.05×0.4×0.8=0.0161.4.3全概率公式定理1.2(全概率公式)若A1，A2，…，An(n有限或無限)是兩兩互不相容的事件，P(Ai)＞0，i=1,2,…,n,事件,則對于事件B，有(1-3)(1-3)式稱為全概率公式.證明因為所以且由P(Ai)＞0知P(B|Ai)存在，故由概率的有限可加性及乘法公式，有【例5】有一批產品，其中甲車間占60%，乙車間產品占40%，甲車間產品的合格率是95%，乙車間產品的合格率是90%，求從這批產品中隨機抽取一件為合格品的概率.【解】設A=“抽取的一件是甲車間產品”，則A=“抽取的一件是乙車間產品”.又設B=“抽取的一件是合格品”，依題意有由全概率公式得1.4.4貝葉斯公式定理1.3(貝葉斯公式)設A1，A2，…，An(n有限或無限)是兩兩互不相容的事件，P(Ai)＞0,i=1,2,…,n,事件則有(1-4)(1-4)式稱為貝葉斯(Bayes)公式(或逆概率公式，后驗概率公式)，它是由英國科學家貝葉斯建立的.P(Ai|B)是在試驗得到結果“B發(fā)生”后求得的關于Ai的概率，我們稱P(Ai)為先驗概率，P(Ai|B)為后驗概率.貝葉斯公式具有非常廣泛的應用.【例6】在例5中，如果從這批產品中隨機抽取一件發(fā)現(xiàn)是合格品，求這件合格品是甲車間生產的概率.【解】由題意得,要求的概率為P(A|B)，由貝葉斯公式得【例7】四位工人生產同一種零件，產量分別占總產量的35%、30%、20%和15%，且四個人生產產品的不合格率分別為2%、3%、4%和5%.今從這批產品中任取一件，問：(1)它是不合格品的概率；(2)發(fā)現(xiàn)是不合格品，它是由第一個人生產的概率.【解】設B=“任取一件產品為不合格品”，Ai=“任取一件產品是第i個人生產的產品”(i=1,2,3,4),則P(A1)=0.35,P(A2)=0.30,P(A3)=0.20,P(A4)=0.15,P(B|A1)=0.02，P(B|A2)=0.03,P(B|A3)=0.04,P(B|A4)=0.05；

于是(1)由全概率公式得(2)由貝葉斯公式得§1.5事件的獨立性1.5.1相互獨立事件一般情況下，條件概率P(B|A)與P(B)是不同的,但在某些特殊情況下，條件概率P(B|A)等于無條件概率P(B),這時事件B發(fā)生與否不影響事件A的概率.這表明事件A與事件B之間存在某種獨立性.定義1.5設A與B為兩事件，若P(AB)=P(A)P(B)成立，則稱事件A與事件B相互獨立.由定義1.5，可以推出如下定理和性質成立.定理1.4設A、B為兩事件，且P(A)＞0，則A與B相互

獨立的充要條件是P(B|A)=P(B).證明設A、B相互獨立，即P(AB)=P(A)P(B)，則P(B|A)=P(AB)/P(A)=P(A)P(B)/P(A)=P(B);反之，設P(B|A)=P(B)，則P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B)顯然，當P(B)＞0時，定理1.4中的充要條件可改為P(A|B)=P(A).而當P(A)、P(B)至少有一個為零時，由ABA及ABB易知，此時仍有P(AB)=P(A)P(B)成立.這表明，概率為零的事件與任一事件相互獨立.性質1.2(1)不可能事件與任何事件獨立；(2)若事件A、B相互獨立，則A與B，A與B，A與B分別相互獨立.證明(1)是顯然成立的；(2)由于A=AB+AB則P(A)=P(AB)+P(AB)由A與B的獨立性，知P(A)=P(A)P(B)+P(AB)則P(AB)=P(A)-P(A)P(B)=P(A)[1-P(B)]=P(A)P(B)從而A與B相互獨立，類似可證明其他結論.下面給出三個事件獨立性的定義.定義1.6對于隨機事件A1，A2，A3，若下列4個等式成立，則稱A1，A2，A3是相互獨立的.P(A1A2)=P(A1)P(A2)P(A2A3)=P(A2)P(A3)(1-5)P(A1A3)=P(A1)P(A3)P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)(1-6)若前三個等式成立,即式1-5成立,則稱A1,A2,A3是兩兩獨立的.上述三個事件相互獨立的定義中要求4個等式同時成立，缺一不可【例1】若有一個均勻正八面體，其1、2、3、4面被染成了紅色，1、2、3、5面被染成了白色，1、6、7、8面被染成了黑色，用A，B，C表示投擲一次正八面體出現(xiàn)紅、白、黑色的事件，則P(A)=P(B)=P(C)=4/8=1/2P(ABC)=1/8=P(A)P(B)P(C)但P(AB)=3/8≠1/4=P(A)P(B)我們可以將相互獨立概念推廣到任意n個事件的情形.定義1.7設有n個事件A1，A2，…，An.如果對于任意正整數(shù)k(2≤k≤n)以及1≤i1＜i2＜

…

＜ik≤n有P(Ai1Ai2

…

Aik)=P(Ai1)P(Ai2)…P(Aik)成立，則稱事件A1，A2，

…

，An是相互獨立的.從定義1.7不難看出，n個事件相互獨立的條件十分苛求，=2n-n-1個等式必須同時成立.

而n個事件中兩兩獨立的條件是C2n個式子P(AiAj)=P(Ai)P(Aj)(i≠j;i,j=1,

…,n)成立.可見由多個事件相互獨立可以推出它們兩兩獨立.反之，由多個事件兩兩獨立不一定能推出它們相互獨立.【例2】有兩門高射炮獨立地射擊一架敵機，設甲炮擊中敵機的概率為0.8，乙炮擊中敵機的概率為0.7.試求敵機被擊中的概率.【解】設A表示“甲炮擊中敵機”，B表示“乙炮擊中敵機”，那么敵機被擊中這一事件是A∪B.由于A，B相互獨立，故P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=0.8+0.7-0.8×0.7=0.94【例3】加工某一零件共需經過三道工序，設第一、二、三道工序的次品率分別為2%，3%，5%.假定各道工序是互不影響的，問加工出來的零件的次品率是多少？【解】設A={加工出來的零件為次品}，Ai={第i道工序出次品}(i=1,2,3)，則有A=,且A1，A2，A3相互獨立，故有P(A)=P(A1∪A2∪A3)=1-=1-(1-0.02)(1-0.03)(1-0.05)=0.09693【例4】假設每個人血清中含有肝炎病毒的概率為0.4%.混合100個人的血清，試求該血清中含有肝炎病毒的概率.【解】設Ak表示“第k個人血清中含有肝炎病毒”(k=1,2,…,100)，則可以認為諸Ak相互獨立，且P(Ak)=0.004(k=1,2,…,100).于是所求概率為1.5.2獨立試驗序列概型定理1.5設在一次試驗中事件A發(fā)生的概率為p(0＜p＜1),則在n重伯努利試驗中A恰好發(fā)生k次的概率為證明設Ai(i=1,2,…,n)表示“事件A在第i次試驗中發(fā)生”，則P(Ai)=p,P(Ai)=1-p=q(i=1,2,

…,n).事件A在其中某k次，如第i1,i2,

…,ik次發(fā)生；在其余n-k次，如第j1,j2,

…,jn-k次中不發(fā)生的概率為P(Ai1Ai2…Aik

j1

j2…

jn-k)由于諸結果相互獨立，所以有又由于事件A發(fā)生的k次試驗在n次試驗中的位置共有

種，每種位置對應的事件互不相容，且由前面的計算知，概率均為,因此事件A在n次試驗中出現(xiàn)k次的概率為【例5】電燈泡使用壽命在1000h以上的概率為0.2,試求3個燈泡在使用1000h后，最多有1個損壞的概率.【解】設A表示“燈泡在使用1000h后未損壞”，則P(A)=0.2.P()=0.8.本例可以視為3重伯努利概型(觀察一個燈泡可以視為一次試驗，每次試驗只有兩個可能結果：A表示“燈泡未損壞”與

表示“燈泡已損壞”，且各燈泡是否損壞互不影響，因而試驗相互獨立).由定理1.5知，所求概率為P3(2)+P3(3)=0.22×0.81+0.23×0.80=0.104【例6】一大批某型號的電子管，已知其一級品率為0.3，現(xiàn)從中隨機地抽查20只，問其中有一級品的概率是多少？【解】由于這批電子管的總量很大，而抽取的只數(shù)(20只)相對很小，故可將抽查20只電子管近似地看作有放回抽樣.將“抽查一只”作為一次試驗，則“抽查20只”為20重伯努利概型.設A={其中有一級品}，由伯努利公式并利用逆事件關系得P(A)=1-P()=1-P20(0)=1-0.300.720=1-0.720=1-0.0007979≈0.9992在本例中，所抽20只中不含一級品的概率P()=0.0007979,不到萬分之八.實踐表明，這種“概率很小的事件在一次試驗中幾乎不可能發(fā)生”.這一事實稱為小概率事件的實際不可能原理.它是數(shù)理統(tǒng)計中進行統(tǒng)計推斷的主要依據(jù).【例7】一個人開門，他共有n把鑰匙，其中僅有一把鑰匙能打開這扇門，他隨機地選取一把鑰匙開門，即每次每把以1/n的概率被選中，求該人在第k次打開門的概率.【解】令Bk表示“第k次打開門”的事件，則

第1章小結

本章由六個概念(隨機試驗、隨機事件、概率、條件概率、獨立性)，四個公式(加法公式、乘法公式、全概率公式、貝葉斯公式)和一個概型(等可能概型)組成。概率論與數(shù)理統(tǒng)計第2章一維隨機變量及其分布§2.1一維隨機變量§2.2離散型隨機變量§2.3隨機變量的分布函數(shù)§2.4連續(xù)型隨機變量§2.5一維隨機變量函數(shù)的概率分布基本要求：了解隨機變量的定義、分布函數(shù)、條件分布、隨機變量的相互獨立性，熟練掌握隨機變量函數(shù)的概率分布。重點：隨機變量的定義、分布函數(shù)、隨機變量函數(shù)的概率分布難點：隨機變量函數(shù)的概率分布§2.1一維隨機變量1、有些試驗結果本身與數(shù)值有關（本身就是一個數(shù)）.例如:擲一顆骰子面上出現(xiàn)的點數(shù)；每天從北京下火車的人數(shù)；昆蟲的產卵數(shù)；八月份武漢的最高溫度；…

2、在有些試驗中，試驗結果看來與數(shù)值無關，但我們可以引進一個變量來表示它的各種結果.也就是說，把試驗結果數(shù)值化.

正如裁判員在運動場上不叫運動員的名字而叫號碼一樣，二者建立了一種對應關系.再如：將一枚硬幣拋擲三次，觀察出現(xiàn)正面和反面的情況，則樣本空間是Ω={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT}。令X表示三次投擲得到正面H的總數(shù)，那么X是定義在Ω上的一個實單值函數(shù)。

稱這種定義在樣本空間上的實值函數(shù)為隨量機變定義2.1設隨機試驗E，它的樣本空間Ω={ω}.若對任一ω∈Ω,都有實數(shù)X(ω)與之對應，則稱X(ω)為隨機變量.簡記為X.隨機變量分離散型和非離散型兩大類.離散型隨機變量是指其所有可能取值為有限或可列無窮多個的隨機變量.非離散型隨機變量是對除離散型隨機變量以外的所有隨機變量的總稱，范圍很廣，而其中最重要且應用最廣泛的是連續(xù)型隨機變量.§2.2離散型隨機變量2.2.1離散型隨機變量的概率分布定義2.2如果隨機變量X只能取有限個或可列無窮多個數(shù)值，則稱X為離散型隨機變量.定義2.3設xk(k=1,2,…)為離散型隨機變量X所有可能取值，pk(k=1,2,…)是X取值xk時相應的概率，即

P{X=xk}=pk,(k=1,2,…)

(2-1)則式(2-1)叫做離散型隨機變量X的概率分布，其中pk≥0且∑pk=1.離散型隨機變量X的概率分布也可以用表2-1的形式來表示，稱其為離散型隨機變量X的分布律.【例1】某男生投籃的命中率為0.8,現(xiàn)在他不停地投籃,直到投中為止,求投籃次數(shù)X的概率分布.【解】顯然當X=1時,p1=0.8.當X=2時,意味著第一次投籃未中,而第二次命中.由于兩次投籃是相互獨立的,故p2=0.2×0.8=0.16.當X=k時,則前k-1次均未投中,所以

pk=(0.2)k-1×0.8于是X的概率分布為

P{X=k}=pk=(0.2)k-1×0.8,(k=1,2,…)2.2.2幾種常見的離散型隨機變量的概率分布1.兩點分布(0-1分布)如果隨機變量X只取0,1兩個值,即其分布律為其中0＜p＜1,q=1-p,則稱X服從參數(shù)為p的兩點分布或(01)分布,記為X~B(1,p).【例2】一批產品共100件,其中有3件次品.從這批產品中任取一件,以X表示“取到的次品數(shù)”，即

求X的分布律.【解】因為

故X的分布律為2.二項分布如果隨機變量X為n重伯努利試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的可能取值為0，1，…，n,在n次試驗中A發(fā)生k次的概率為

pk=P{X=k}=顯然pk≥0,且

=(p+q)n=1如果隨機變量X的概率分布為

P{X=k}=

(k=0,1,2,…,n)

(2-2)其中0＜p＜1,q=1-p,則稱X服從參數(shù)為n,p的二項分布，記作X~B(n,p).特別地，當n=1時的二項分布就是兩點分布.【例3】某大樓有兩部電梯，每部電梯因故障不能使用的概率均為0.02.設某時不能使用的電梯數(shù)為X，求X的分布律.【解】因為X~B(2，0.02),所以

P{X=k}=

(0.02)k(1-0.02)2-k

(k=0,1,2)于是X的分布律為【例4】某人獨立射擊10次，每次命中率為0.8，求命中次數(shù)X的分布律.【解】X的可能取值為0，1，2，…，10

P{X=k}=

0.8k

0.210-k,

k=0,1,2,…,10

由結果看出，隨機變量X~B(10,0.8).3.泊松(Poisson)分布如果隨機變量X的概率分布為

P{X=k}=

(k=0,1,2,…)

(2-3)其中λ＞0,則稱X服從參數(shù)為λ的泊松分布，記為X~P(λ).

泊松分布常見于所謂“稠密性”問題,在實際生活中已發(fā)現(xiàn)許多取值為非負整數(shù)的隨機變量都服從泊松分布.【例5】某城市每天發(fā)生火災的次數(shù)X服從參數(shù)為λ=0.8的泊松分布，求該城市內一天發(fā)生火災的次數(shù)大于等于3的概率.【解】由概率的性質知

P{X≥3}=1-P{X＜3}

=1-P{X=0}-P{X=1}-P{X=2}

=1-e-0.8(1+)

≈0.0474【例6】設隨機變量X服從參數(shù)為λ的泊松分布，且已知P{X=1}=P{X=2},

試求(1)參數(shù)λ;

(2)P{X=3}.【解】(1)因為X~P(λ),故由P{X=1}=P{X=2}，

知有

易解得λ=2.

(2)P{X=3}=

≈0.1804定理2.1(泊松定理)設隨機變量Xn(n=1,2,…)服從參數(shù)為n,pn的二項分布，即有

P(Xn=k)=

(1-pn)n-k,

k=0,1,2,…,n

若limnpn=λ＞0,則有

limP(Xn=k)=

e-λ證明

記λn=npn,則

P(Xn=k)

對固定的k有故有顯然，定理的條件

(常數(shù))意味著當n很大時，pn必定很小.因此，泊松定理表明當n很大,p很小時有以下近似式

(2-4)其中λ=np.在實際計算時，若X~B(n,p),當n≥10，p≤0.1時，均可以用泊松分布近似計算其概率；當n≥100且np≤10時效果更佳.【解】設X表示未來一年里，2000名投保者中死亡的人數(shù)，則X~B(2000，0.005).(1)恰有15人死亡的概率為P{X=15}=b(15;2000,0.005).因為n=2000,p=0.005,所以根據(jù)泊松定理，X近似服從參數(shù)為λ=np=10的泊松分布.從而

P{X=15}≈

=0.9513-0.9165=0.034(2)同理可得，死亡人數(shù)不低于1人的概率為P{X≥1}=1-P{X=0}=1-

≈1-e-10≈1【例7】在參加人壽保險的某一年齡組中，每人每年死亡的概率為0.005.現(xiàn)有屬于這一年齡組的2000人參加了人壽保險.試求在未來一年里，投保者中，(1)恰有15人死亡的概率；(2)死亡人數(shù)不低于1人的概率.二項分布的泊松近似常常應用于稀有事件的概率計算，所謂稀有事件即小概率事件.小概率事件在一次試驗中發(fā)生的概率p很小，但當獨立重復試驗的次數(shù)n很大時，小概率事件的發(fā)生幾乎是可以肯定的.4.幾何分布定義2.4如果隨機變量X的概率分布為

P{X=k}=p(1-p)k-1

(k=1,2,…)

(2-5)

則稱X服從參數(shù)為p的幾何分布，記為X~G(p).幾何分布描述如下概型：在事件A發(fā)生的概率為p的多重伯努利試驗中，若以X表示A首次發(fā)生時的試驗次數(shù)，則X服從參數(shù)為p的幾何分布.例如，接連對同一目標進行射擊，首次命中目標所需射擊的次數(shù)；自動生產線上首次出現(xiàn)不合格品時已生產產品的件數(shù)；一次一次進行還原隨機抽樣，首次抽到具有某種特征的元素所需抽樣的次數(shù)等，都服從幾何分布.【例8】某射手向某目標射擊，命中率為0.8.現(xiàn)連續(xù)射擊直到擊中為止，求射擊次數(shù)X的分布.【解】X的可能取值為1，2，3，…，用Ak表示“該射手第k次命中”這一事件，

k=1,2,…

P{X=k}=P(

)

=0.2k-10.8,

k=1,2,…5.超幾何分布定義2.5如果隨機變量X的分布概率為

P{X=k}=

(k=0,1,…,l)

(2-6)其中n,M,N皆為正整數(shù)，且M＜N，n≤N,l=min(M,n),則稱X為服從參數(shù)為n,M,N的超幾何分布，記為X~H(n,M,N).

因比較等式(1+x)M(1+x)N-M=(1+x)N兩端xn的系數(shù)，可得等式從而知超幾何分布在產品質量的檢驗和控制等問題中很有用處.在產品抽樣檢驗中，二項分布是用來描述有放回地抽樣，而超幾何分布是用來描述無放回地抽樣.雖然兩者抽樣方式不同，但可以證明：當產品總數(shù)N很大，抽檢的產品數(shù)n又不太大時，超幾何分布可以用二項分布近似代替，即有

(k=0,1,…,n)

其中p=M/N.因此，在實際工作中產品抽樣檢驗多采用無放回抽樣.【例9】已知一批產品共200件，其中有4件次品.現(xiàn)抽取5件進行檢查，試求其中次品不多于1件的概率.【解】設X表示抽出的5件產品中的次品數(shù)，則X~H(5,4,200),于是所求概率為§2.3隨機變量的分布函數(shù)2.4.1分布函數(shù)的定義定義2.7設X是一個隨機變量，對任何實數(shù)x，令

F(x)=P{X≤x}(-∞＜x＜∞)稱F(x)是隨機變量X的分布函數(shù)，也稱為累積分布函數(shù).

分布函數(shù)以全體實數(shù)為定義域，以事件{X≤x}的概率為函數(shù)值，從而分布函數(shù)是一個普通的函數(shù).由概率的性質及分布函數(shù)的定義易知，對任意實數(shù)x1＜x2,有P{x1＜X≤x2}=P{X≤x2}-P{X≤x1}=F(x2)-F(x1)分布函數(shù)F(x)具有以下性質：(1)(單調遞增性)若x1＜x2,則

F(x1)≤F(x2)

事實上，F(xiàn)(x2)-F(x1)=P(x1＜X≤x1)≥0,

x1＜x2(2)(有界性)0≤F(x)≤1,且

F(-∞)=

F(x)=0

F(+∞)=

F(x)=1

據(jù)分布函數(shù)定義即知0≤F(x)≤1;對后兩式只給出直觀解釋：由于F(-∞)相當于事件P(X＜-∞)的概率，而{X＜-∞}是不可能事件，故有F(-∞)=0.類似地，P(X＜+∞)是必然事件，故有F(+∞)=1.(3)(右連續(xù)性)F(x+0)=F(x)2.4.2離散型隨機變量的分布函數(shù)設離散型隨機變量X的分布律為

P(X=xk)=pk,

k=1,2,…則由概率的可列可加性得X的分布函數(shù)為

F(x)=P(X≤x)=

P(X=xk)即

F(x)=

Pk

其中和式是對滿足xk≤x的一切k求和.離散型隨機變量的分布函數(shù)是分段函數(shù)，F(xiàn)(x)的間斷點就是離散型隨機變量X的各可能取值點，并且在其間斷點處右連續(xù).離散型隨機變量X的分布函數(shù)F(x)的圖形是階梯形曲線.F(x)在X的一切有(正)概率的點xk，皆有一個跳躍，其躍度正好為X取值xk的概率pk，而在分布函數(shù)F(x)的任何一個連續(xù)點x上，X取值x的概率皆為零.§2.4連續(xù)型隨機變量2.3.1連續(xù)型隨機變量及其密度函數(shù)定義2.6對于隨機變量X，如果存在非負可積函數(shù)

f(x)(-∞＜x＜+∞),對于任意的實數(shù)a,b(a＜b),都有

P{a＜X≤b}=

f(x)dx

(2-7)則稱X為連續(xù)型隨機變量，f(x)稱為X的概率密度函數(shù)，簡稱概率密度或密度函數(shù).有時也可用其他函數(shù)符號如p(x)等表示.如果f(x)是隨機變量X的密度函數(shù)，則必有如下性質：(1)f(x)≥0(-∞＜x＜+∞)(2)

f(x)dx=P{-∞＜X＜+∞}=1如果給出了隨機變量的概率密度，那么它在任何區(qū)間取值的概率就等于概率密度在這個區(qū)間上的定積分.在直角坐標系中畫出的密度函數(shù)的圖像，稱為密度曲線.如圖2-2所示，密度曲線位于x軸的上方，且密度曲線與x軸之間的面積恒為1；X落在任一區(qū)間(a,b)內取值的概率等于以該區(qū)間為底，以密度曲線為頂?shù)那吿菪蔚拿娣e.由式(2-7)及概率的性質可以推出P{X=a}=0(a為任一常數(shù))，即連續(xù)型隨機變量在某一點取值的概率為零，從而有P{a＜X＜b}=P{a＜X≤b}=P{a≤X＜b}=P{a≤X≤b}

=即區(qū)間端點對求連續(xù)型隨機變量的概率沒有影響.概率密度f(x)不表示隨機變量X取值為x的概率，而是表示隨機變量X在點x附近取值的密集程度，就像線密度一樣，某一點的線密度并不代表物質在這一點的質量.【例1】設某連續(xù)型隨機變量的概率密度為

0＜x＜2求：(1)常數(shù)k;(2)P{1＜X＜2};(3)P{X＞1}.【解】(1)根據(jù)密度函數(shù)性質有解得k=3/8(2)(3)【例2】設連續(xù)型隨機變量X的分布函數(shù)為試求:(1)系數(shù)A,B;(2)P{-1≤X≤2};(3)X的概率密度f(x).【解】(1)由分布函數(shù)的性質,有又因為連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù),從而應有2.3.2幾種常用的連續(xù)型隨機變量的分布1.均勻分布如果連續(xù)型隨機變量X的概率密度為

(2-8)(其中a＜b為有限數(shù)),則稱X在區(qū)間[a,b]上服從均勻分布,記為X~U[a,b].容易驗證:f(x)滿足概率密度的兩條性質.由連續(xù)型隨機變量的定義,可以求得X的分布函數(shù)為f(x)與F(x)的圖形如圖2-2所示.

圖2-2易見,對于在區(qū)間[a,b]上均勻分布的隨機變量,X落在任一長度為l的子區(qū)間(c,d)(a≤c＜d≤b)上的概率為該概率與子區(qū)間的長度成正比,而與子區(qū)間的起始點無關.【例3】設某一時間段內的任意時刻,乘客到達公共汽車站是等可能的.若每隔3min來一趟車,則乘客等車時間X服從均勻分布.試求X的概率密度及等車時間不超過2min的概率.【解】因為X~U［0,3］,所以X的密度函數(shù)為等車時間不超過2min的概率為2.指數(shù)分布如果連續(xù)型隨機變量X的密度函數(shù)為則稱X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布,記作X~E(λ).【例4】已知某種機器無故障工作時間X(單位：小時)服從參數(shù)為12000的指數(shù)分布.(1)試求機器無故障工作時間在1000小時以上的概率；(2)如果某機器已經無故障工作了500小時，試求該機器能繼續(xù)無故障工作1000小時的概率.【解】3.正態(tài)分布如果連續(xù)型隨機變量X的概率密度函數(shù)為其中σ＞0為常數(shù)，則稱X服從以μ,σ2為參數(shù)的正態(tài)分布，記作X~N(μ,σ2).特別地，當μ=0，σ=1時，稱X服從標準正態(tài)分布，并分別以(x)及Φ(x)記標準正態(tài)分布的密度函數(shù)和分布函數(shù).正態(tài)密度函數(shù)f(x)的圖形(見圖2-3)具有以下特點：(1)以直線x=μ為對稱軸，并在x=μ處有最大值f(μ)=(2)在x=μ±σ處各有一個拐點；(3)當x→±∞時，以x軸為漸近線；

圖2-3(4)當固定σ而變動μ時，圖形形狀不變地沿x軸平行移動(見圖2-4).當固定μ而變動σ時，隨著σ的變大，圖形的高度下降，形狀變得平坦；隨著σ的變小，圖形的高度上升，形狀變得陡峭(見圖2-5).

圖2-4圖2-5若X~N(μ,σ2),則X的分布函數(shù)為

(2-9)其圖形如圖2-6所示.

圖2-6對于標準正態(tài)分布函數(shù)

(2-10)的值,已編制成表可供查用(見附錄Ⅰ).由于標準正態(tài)密度函數(shù)

(2-11)的圖形關于y軸對稱,從而有

(2-12)所以,附錄Ⅰ只給出了x≥0時Φ(x)的數(shù)值表.一般正態(tài)分布N(μ,σ2)與標準正態(tài)分布N(0,1)有如下關系:定理2.2設隨機變量X~N(μ,σ2),分布函數(shù)設為F(x),則對每個x∈R,有

(2-13)證明由分布函數(shù)的定義,知

令

則得由此可得如下推論:推論2.1若X~N(μ,σ2),則

(2-14)

推論2.2若X~N(μ,σ2),對每個a,b∈R(a＜b),有§2.5一維隨機變量函數(shù)的概率分布2.5.1離散型隨機變量函數(shù)的概率分布定理2.3設隨機變量X的概率分布如表2-4所示

表2-4

X的分布律

則Y=f(X)的概率分布如表2-5所示

表2-5

Y=f(X)的分布律【例1】設隨機變量X的概率分布為

試求下列隨機變量函數(shù)的概率分布

(1)Y=2X+1；(2)Y=X2.【解】(1)當Y=2X+1時概率分布為(2)當Y=X2時

所以Y=X2的概率分布為2.5.1離散型隨機變量函數(shù)的概率分布1.分布函數(shù)法【例2】設隨機變量X~U[1，3]，求Y=4X-1的分布函數(shù)Fy(y)及概率密度函數(shù)fY(y).【解】首先，求Y的(一般)分布函數(shù)與概率密度函數(shù).依題意,有FY(y)=P{Y≤y}=P{4X-1≤y}=P{X≤

}=FX（）對y求導得再求X服從[1，3]上均勻分布時Y的具體對應分布函數(shù)及概率密度函數(shù).因為類似于例2的這種解題方法，人們通常稱之為“分布函數(shù)法”.對于已知隨機變量X的概率密度函數(shù)為fX(x),X的函數(shù)Y=g(X),求Y的概率密度函數(shù)fY(y)的一般步驟可以歸納為：(1)確定Y的值域R(Y)；(2)對任意y∈R(Y),求出Y的分布函數(shù)

FY(y)=P{g(X)≤y}=P{X∈G(y)}=∫G(y)fX(x)dx

(其中G(y)由不等式g(X)≤y解得)；(3)關于y求導：若F′Y(y)存在，fY(y)=F′Y(y);

若F′Y(y)不存在

fY(y)=0

(2-15)(4)歸納合并，最后得到所求概率密度函數(shù)fY(y).利用積分轉化法求一維隨機變量函數(shù)Y=g(X)的概率密度fY(y)的主要計算步驟如下：(1)將g(x)及f(x)的具體表達式代入式(-16)的被積函數(shù)

中；(2)作代換g(x)=y;(3)反解出x=G(y)并代入f(x)中；(4)整理合并，依式(2-16)最后寫出所求概率密度fY(y)

的表達式.2.積分轉化法設隨機變量X的概率密度為fX(x),g(x)為(分段)連續(xù)或(分段)單調函數(shù)，Y=g(X).若對任何非負連續(xù)函數(shù)h(x),成立

(2-16)則隨機變量Y的概率密度為【例4】設隨機變量X的概率密度為試求隨機變量Y=eX的概率密度fY(y).【解】因為所以

第2章小結

本章由隨機變量的定義、分布函數(shù)、條件分布、隨機變量的相互獨立性，隨機變量函數(shù)的概率分布組成。概率論與數(shù)理統(tǒng)計第3章多維隨機變量及其分布§3.1二維隨機變量及其分布§3.2二維離散型隨機變量§3.3二維連續(xù)型隨機變量§3.4二維隨機變量函數(shù)的概率分布基本要求：了解二維隨機變量的定義及其分布，熟練掌握二維離散型隨機變量的分布率、獨立性。重點：二維隨機變量的定義、分布率難點：二維隨機變量函數(shù)的概率分布§3.1二維隨機變量3.1.1聯(lián)合分布函數(shù)定義3.1設隨機試驗E,它的樣本空間Ω={ω}.設X=X(ω)和Y=Y(ω)是定義在Ω上的隨機變量,由它們構成的一個有序組(X,Y)稱為二維隨機向量或二維隨機變量.定義3.2設(X,Y)為二維隨機變量,對于任意實數(shù)x,y,二元函數(shù)F(x,y)=P(X≤x,Y≤Y)(3-1)稱為二維隨機變量(X,Y)的分布函數(shù),或稱為隨機變量X與Y的聯(lián)合分布函數(shù).式中{X≤x,Y≤y}表示{X≤x}與{Y≤y}這兩個事件的積{X≤x}∩{Y≤y},故F(x,y)的幾何意義是隨機點(X,Y)落入以(x,y)為頂點而位于該點左下方的無窮矩形區(qū)域(見圖3-1)的概率.圖3-1從以上幾何解釋及概率性質得隨機點(X,Y)落入矩形區(qū)域{x1＜X≤x2,y1＜Y≤y2}的概率為(見圖3-2)P(x1＜X≤x2,y1＜Y≤y2,)=P(X≤x2,Y≤y2)-P(X≤x1,Y≤y2)-P(X≤x2,Y≤y1)+P(X≤x1,Y≤y1)=F(x2,y2)-F(x1,y2)-F(x2,y1)+F(x