福建寧德市2023屆高一上數(shù)學期末經(jīng)典試題含解析

2022-2023學年高一上數(shù)學期末模擬試卷注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1．函數(shù)的零點個數(shù)為（

）A.1 B.2C.3 D.42．如果，那么下列不等式中，一定成立的是（）A. B.C. D.3．已知直線ax＋4y－2＝0與2x－5y＋b＝0互相垂直，垂足為(1，c)，則a＋b＋c的值為（）A.－4 B.20C.0 D.244．已知，且滿足，則值A(chǔ). B.C. D.5．將整體一分為二，較大部分與整體部分的比值等于較小部分與較大部分的比值，這樣的分割被稱為黃金分割，黃金分割蘊藏著豐富的數(shù)學知識和美學價值，被廣泛運用于藝術(shù)創(chuàng)作、工藝設(shè)計等領(lǐng)域．黃金分制的比值為無理數(shù)，該值恰好等于，則（）A. B.C. D.6．已知全集，集合，，則（）A. B.C. D.7．已知是定義在上的奇函數(shù)且單調(diào)遞增，，則的取值范圍是（）A. B.C. D.8．函數(shù)的部分圖象如圖所示，將的圖象向右平移個單位長度后得到的函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱，則的最小值為（）A. B.C. D.9．設(shè)，，那么等于A. B.C. D.10．下列函數(shù)中，為偶函數(shù)的是（）A. B.C. D.11．已知定義在上的奇函數(shù)滿足，且當時，，則（）A. B.C. D.12．若在上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（）.A. B.C. D.二、填空題（本大題共4小題，共20分）13．已知冪函數(shù)在上為減函數(shù)，則實數(shù)_______14．已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是______15．函數(shù)的零點為______16．某公司在甲、乙兩地銷售同一種品牌的汽車，利潤(單位：萬元)分別為和，其中為銷售量(單位：輛).若該公司在兩地共銷售15輛汽車，則該公司能獲得的最大利潤為_____萬元.三、解答題（本大題共6小題，共70分）17．已知定義在上的函數(shù)為常數(shù)）.（1）求的奇偶性；（2）已知在上有且只有一個零點，求實數(shù)a的值.18．已知集合，或，.（1）求，；（2）求.19．已知全集，集合，.（1）求；（2）若集合，且，求實數(shù)a的取值范圍.20．已知函數(shù)，（其中）（1）求函數(shù)的值域；（2）如果函數(shù)在恰有10個零點，求最小正周期的取值范圍21．已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最大值及相應(yīng)的取值；（2）方程在上有且只有一個解，求實數(shù)的取值范圍；（3）是否存在實數(shù)滿足對任意，都存在，使成立.若存在，求的取值范圍；若不存在，說明理由.22．新冠肺炎期間，呼吸機成為緊缺設(shè)備，某企業(yè)在國家科技的支持下，進行設(shè)備升級，生產(chǎn)了一批新型的呼吸機.已知該種設(shè)備年固定研發(fā)成本為60萬元，每生產(chǎn)一臺需另投入100元，設(shè)該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該設(shè)備萬臺，且全部售完，由于產(chǎn)能原因，該設(shè)備產(chǎn)能最多為32萬臺，且每萬臺的銷售收入（單位：萬元）與年產(chǎn)量（單位：萬臺）的函數(shù)關(guān)系式近似滿足：（1）寫出年利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（萬臺）的函數(shù)解析式.（年利潤=年銷售收入-總成本）；（2）當年產(chǎn)量為多少萬臺時，該公司獲得的利潤最大？

參考答案一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1、B【解析】函數(shù)的定義域為，且，即函數(shù)為偶函數(shù)，當時，，設(shè)，則：，據(jù)此可得：，據(jù)此有：，即函數(shù)是區(qū)間上的減函數(shù)，由函數(shù)的解析式可知：，則函數(shù)在區(qū)間上有一個零點，結(jié)合函數(shù)的奇偶性可得函數(shù)在R上有2個零點.本題選擇B選項.點睛：函數(shù)零點的求解與判斷方法：(1)直接求零點：令f(x)＝0，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點(2)零點存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)＜0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個零點(3)利用圖象交點的個數(shù)：將函數(shù)變形為兩個函數(shù)的差，畫兩個函數(shù)的圖象，看其交點的橫坐標有幾個不同的值，就有幾個不同的零點2、D【解析】取，利用不等式性質(zhì)可判斷ABC選項；利用不等式的性質(zhì)可判斷D選項.【詳解】若，則，所以，，，ABC均錯；因為，則，因為，則，即.故選：D.3、A【解析】由垂直求出，垂足坐標代入已知直線方程求得，然后再把垂僄代入另一直線方程可得，從而得出結(jié)論【詳解】由直線互相垂直可得，∴a＝10，所以第一條直線方程為5x＋2y－1＝0，又垂足(1，c)在直線上，所以代入得c＝－2，再把點(1，－2)代入另一方程可得b＝－12，所以a＋b＋c＝－4.故選：A4、C【解析】由可求得，然后將經(jīng)三角變換后用表示，于是可得所求【詳解】∵,∴,解得或∵,∴∴故選C【點睛】對于給值求值的問題，解答時注意將條件和所求值的式子進行適當?shù)幕?，然后合理地運用條件達到求解的目的，解題的關(guān)鍵進行三角恒等變換，考查變換轉(zhuǎn)化能力和運算能力5、C【解析】根據(jù)余弦二倍角公式即可計算求值.【詳解】∵＝，∴，∴.故選：C.6、D【解析】先求得全集U和，根據(jù)補集運算的概念，即可得答案.【詳解】由題意得全集，，所以.故選：D7、A【解析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性，把不等式轉(zhuǎn)化為，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，列出不等式組，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，則不等式，可得，又因為單調(diào)遞增，所以，解得，故選：.【點睛】求解函數(shù)不等式的方法：1、解函數(shù)不等式的依據(jù)是函數(shù)的單調(diào)性的定義，具體步驟：①將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為的形式；②根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性去掉對應(yīng)法則“”轉(zhuǎn)化為形如：“”或“”的常規(guī)不等式，從而得解.2、利用函數(shù)的圖象研究不等式，當不等式問題不能用代數(shù)法求解但其與函數(shù)有關(guān)時，常將不等式問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)的圖象上、下關(guān)系問題，從而利用數(shù)形結(jié)合求解.8、C【解析】觀察圖象可得函數(shù)的最大值，最小值，周期，由此可求函數(shù)的解析式，根據(jù)三角函數(shù)變換結(jié)論，求出平移后的函數(shù)解析式，根據(jù)平移后函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱，列方程求的值，由此確定其最小值.【詳解】根據(jù)函數(shù)的部分圖象，可得，，∴因，可得，又，求得，故將的圖象向右平移個單位長度后得到的函數(shù)的圖象，因為的圖象關(guān)于直線軸對稱，故，即，故的最小值為，故選：C9、B【解析】由題意得．選B10、D【解析】利用函數(shù)的奇偶性的定義逐一判斷即可.【詳解】A，因為函數(shù)定義域為：，且，所以為奇函數(shù)，故錯誤；B，因為函數(shù)定義域為：R，，而，所以函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，故錯誤；C，，因為函數(shù)定義域為：R，，而，所以函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，故錯誤；D，因為函數(shù)定義域為：R，，所以函數(shù)為偶函數(shù)，故正確；故選：D.11、C【解析】先推導(dǎo)出函數(shù)的周期為，可得出，然后利用函數(shù)的奇偶性結(jié)合函數(shù)的解析式可計算出結(jié)果.【詳解】函數(shù)是上的奇函數(shù)，且，，，所以，函數(shù)的周期為，則.故選：C.【點睛】本題考查利用函數(shù)的奇偶性和周期求函數(shù)值，解題的關(guān)鍵就是推導(dǎo)出函數(shù)的周期，考查計算能力，屬于中等題.12、B【解析】令f（x）＝，由題意得f（x）在上單調(diào)遞增，且f（﹣1），由此能求出a的取值范圍【詳解】∵函數(shù)在上單調(diào)遞減，令f（x）＝，∴f（x）＝在上單調(diào)遞增，且f（﹣1）∴，解得a≤8故選B．【點睛】本題考查實數(shù)值的求法，注意函數(shù)的單調(diào)性的合理運用，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題（本大題共4小題，共20分）13、-1【解析】利用冪函數(shù)的定義列出方程求出m的值，將m的值代入函數(shù)解析式檢驗函數(shù)的單調(diào)性【詳解】∵y=（m2﹣5m﹣5）x2m+1是冪函數(shù)∴m2﹣5m﹣5=1解得m=6或m=﹣1當m=6時，y=（m2﹣5m﹣5）x2m+1=x13不滿足在（0，+∞）上為減函數(shù)當m=﹣1時，y=（m2﹣5m﹣5）x2m+1=x﹣1滿足在（0，+∞）上為減函數(shù)故答案為m=﹣1【點睛】本題考查冪函數(shù)的定義：形如y=xα（其中α為常數(shù)）、考查冪函數(shù)的單調(diào)性與冪指數(shù)的正負有關(guān)14、【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的單調(diào)性，以及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判定方法，求得在上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，再結(jié)合題意，即可求解.【詳解】令，可得拋物線的開口向上，且對稱軸為，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，又由函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判定方法，可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，可得實數(shù)的取值范圍是.故答案：.15、1和【解析】由，解得的值，即可得結(jié)果【詳解】因為，若，則，即，整理得：可解得：或，即函數(shù)的零點為1和，故答案為1和.【點睛】本題主要考查函數(shù)零點的計算，意在考查對基礎(chǔ)知識的理解與應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題16、【解析】設(shè)該公司在甲地銷x輛，那么乙地銷15－x輛，利潤L(x)＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)＝－0.15x2＋3.06x＋30.由L′(x)＝－0.3x＋3.06＝0，得x＝10.2.且當x＜10.2時，L′(x)＞0，x＞10.2時，L′(x)＜0，∴x＝10時，L(x)取到最大值，這時最大利潤為45.6萬元答案：45.6萬元三、解答題（本大題共6小題，共70分）17、（1）偶函數(shù)，證明見解析，（2）【解析】（1）利用定義判斷函數(shù)的奇偶性；（2）利用該函數(shù)的對稱性，數(shù)形結(jié)合得到實數(shù)a的值.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為R，，即，∴為偶函數(shù)，（2）y＝f（x）的圖象關(guān)于y軸對稱，由題意知f（x）＝0只有x＝0這一個零點，把（0，0）代入函數(shù)表達式得：a2+2a﹣3＝0，解得：a＝﹣3，或a＝1，當a＝1時，在上單調(diào)遞增，∴此時顯然符合條件；當a＝﹣3時，，，即，即在上存在零點，知f（x）至少有三個根，不符合所以，符合條件的實數(shù)a的值為1【點睛】本題主要考查函數(shù)零點的概念，要注意函數(shù)的零點不是點，而是函數(shù)f（x）＝0時的x的值，屬于中檔題18、（1）或，（2）【解析】（1）根據(jù)并集和交集定義即可求出；（2）根據(jù)補集交集定義可求.【小問1詳解】因為，或，所以或，；【小問2詳解】或，，所以.19、（1）（2）【解析】（1）先求出集合，再按照并集和補集計算即可；（2）先求出，再由求出a取值范圍即可.【小問1詳解】，，；【小問2詳解】，由題得故.20、（1）（2）【解析】（1）利用兩角和與差的正弦函數(shù)、二倍角公式化簡，將化為只含有一個三角函數(shù)的形式，然后利用三角函數(shù)性質(zhì)求解；（2）將在恰有10個零點變?yōu)樵谠谇∮?0個解的問題，列出相應(yīng)不等式即可求解.【小問1詳解】，由，得，可知函數(shù)的值域為，【小問2詳解】令，即，所以函數(shù)在恰有10個零點，即在在恰有10個解，設(shè)的最小正周期為,則,解得,即最小正周期的取值范圍時.21、（1）2，（2）或（3）存在，【解析】（1）由三角恒等變換化簡函數(shù)，再根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)可求得答案；（2）將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)在上只有一個交點.由函數(shù)的單調(diào)性和最值可求得實數(shù)的取值范圍；（3）由（1）可知，由已知得，成立，令，其對稱軸，分，，討論函數(shù)的最小值，建立不等式，求解即可.【小問1詳解】解：由得.令，解得，∴函數(shù)的最大值為2，此時；【小問2詳解】解：方程在上有且有一個解，即函數(shù)與函數(shù)在上只有一個交點.∵，∴.∵函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，，.∴或；【小問3詳解】解：由（1）可知，∴.實數(shù)滿足對任意，都存在，使得成立，即成立，令，其對