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2022-2023學(xué)年高一上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的,請(qǐng)將正確答案涂在答題卡上.)1.直線的傾斜角為().A. B.C. D.2.已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn),則A. B.C. D.3.下列函數(shù)中,既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是()A. B.C. D.4.下列函數(shù)中,為偶函數(shù)的是()A. B.C. D.5.某食品的保鮮時(shí)間(單位:小時(shí))與儲(chǔ)存溫度(單位:)滿足函數(shù)關(guān)系(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),為常數(shù))若該食品在的保鮮時(shí)間是384小時(shí),在的保鮮時(shí)間是24小時(shí),則該食品在的保險(xiǎn)時(shí)間是()小時(shí)A.6 B.12C.18 D.246.為了抗擊新型冠狀病毒肺炎,保障師生安全,學(xué)校決定每天對(duì)教室進(jìn)行消毒工作,已知藥物釋放過程中,室內(nèi)空氣中含藥量y()與時(shí)間t(h)成正比();藥物釋放完畢后,y與t的函數(shù)關(guān)系式為(a為常數(shù),),據(jù)測(cè)定,當(dāng)空氣中每立方米的含藥量降低到0.5()以下時(shí),學(xué)生方可進(jìn)教室,則學(xué)校應(yīng)安排工作人員至少提前()分鐘進(jìn)行消毒工作A.25 B.30C.45 D.607.已知,,c=40.1,則()A. B.C. D.8.sin210°·cos120°的值為()A. B.C. D.9.已知集合,,則()A. B.C. D.10.設(shè),則()A. B.aC. D.11.函數(shù)的零點(diǎn)一定位于區(qū)間()A. B.C. D.12.已知函數(shù)f(x)=,若f(a)=f(b)=f(c)且a<b<c,則ab+bc+ac的取值范圍為()A. B.C. D.二、選擇題(本大題共4小題,每小題5分,共20分,將答案寫在答題卡上.)13.過點(diǎn)且在軸,軸上截距相等的直線的方程為___________.14.當(dāng)一個(gè)非空數(shù)集G滿足“如果,則,,,且時(shí),”時(shí),我們稱G就是一個(gè)數(shù)域,以下關(guān)于數(shù)域的命題:①0和1都是任何數(shù)域的元素;②若數(shù)域G有非零元素,則;③任何一個(gè)有限數(shù)域的元素個(gè)數(shù)必為奇數(shù);④有理數(shù)集是一個(gè)數(shù)域;⑤偶數(shù)集是一個(gè)數(shù)域,其中正確的命題有______________.15.在中,若,則的形狀一定是___________三角形.16.已知函數(shù),若時(shí),恒成立,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_____.三、解答題(本大題共6個(gè)小題,共70分。解答時(shí)要求寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。)17.已知函數(shù),若函數(shù)的圖象過點(diǎn),(1)求的值;(2)若,求實(shí)數(shù)的取值范圍;(3)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.18.在直角坐標(biāo)平面中,角α的始邊為x軸正半軸,終邊過點(diǎn)(-2,y),且tana=-,分別求y,sinα,cosα的值19.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)是奇函數(shù).(1)求的值;(2)用函數(shù)單調(diào)性的定義證明在上是減函數(shù).20.如圖,已知正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為2,側(cè)棱長(zhǎng)為,點(diǎn)E在側(cè)棱上,點(diǎn)F在側(cè)棱上,且(1)求證:;(2)求二面角的大小21.對(duì)于在區(qū)間上有意義的函數(shù),若滿足對(duì)任意的,,有恒成立,則稱在上是“友好”的,否則就稱在上是“不友好”的.現(xiàn)有函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),判斷函數(shù)在上是否“友好”;(2)若關(guān)于x的方程的解集中有且只有一個(gè)元素,求實(shí)數(shù)a的取值范圍22.蘆薈是一種經(jīng)濟(jì)價(jià)值很高的觀賞、食用植物,不僅可以美化居室、凈化空氣,又可以美容保健,因此深受人們歡迎,在國內(nèi)占有很大的市場(chǎng),某人準(zhǔn)備進(jìn)入蘆薈市場(chǎng)栽培蘆薈,為了解行情,進(jìn)行市場(chǎng)調(diào)研,從4月1日起,蘆薈的種植成本Q(單位:元/10kg)與上市時(shí)間t(單位:天)的數(shù)據(jù)情況如下表:上市時(shí)間(t)50110250種植成本(Q)150108150(1)根據(jù)上表數(shù)據(jù),從下列函數(shù)中選取一個(gè)最能反映蘆薈種植成本Q與上市時(shí)間t的變化關(guān)系并求出函數(shù)關(guān)系式.;;;(2)利用你得到的函數(shù)關(guān)系式,求蘆薈種植成本最低時(shí)上市天數(shù)t及最低種植成本
參考答案一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的,請(qǐng)將正確答案涂在答題卡上.)1、B【解析】設(shè)直線的傾斜角為∵直線方程為∴∵∴故選B2、D【解析】由任意角的三角函數(shù)定義列式求解即可.【詳解】由角終邊經(jīng)過點(diǎn),可得.故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了任意角三角函數(shù)的定義,屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】根據(jù)基本初等函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的定義判斷可得;【詳解】解:對(duì)于A:定義域?yàn)椋?,即為偶函?shù),且在上單調(diào)遞增,故A正確;對(duì)于B:定義域?yàn)?,且,即為偶函?shù),在上單調(diào)遞減,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C:定義域?yàn)?,定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,故為非奇非偶函數(shù),故C錯(cuò)誤;對(duì)于D:定義域?yàn)?,但是,故為非奇非偶函?shù),故D錯(cuò)誤;故選:A4、D【解析】利用函數(shù)的奇偶性的定義逐一判斷即可.【詳解】A,因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)椋海?,所以為奇函?shù),故錯(cuò)誤;B,因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)椋篟,,而,所以函數(shù)為非奇非偶函數(shù),故錯(cuò)誤;C,,因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)椋篟,,而,所以函數(shù)為非奇非偶函數(shù),故錯(cuò)誤;D,因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)椋篟,,所以函數(shù)為偶函數(shù),故正確;故選:D.5、A【解析】先閱讀題意,再結(jié)合指數(shù)運(yùn)算即可得解.【詳解】解:由題意有,,則,即,則,即該食品在的保險(xiǎn)時(shí)間是6小時(shí),故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)冪的運(yùn)算,重點(diǎn)考查了解決實(shí)際問題的能力,屬基礎(chǔ)題.6、C【解析】計(jì)算函數(shù)解析式,取計(jì)算得到答案.【詳解】∵函數(shù)圖像過點(diǎn),∴,當(dāng)時(shí),取,解得小時(shí)分鐘,所以學(xué)校應(yīng)安排工作人員至少提前45分鐘進(jìn)行消毒工作.故選:C.7、A【解析】利用指對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷指對(duì)數(shù)式的大小.【詳解】由,∴.故選:A.8、A【解析】直接誘導(dǎo)公式與特殊角的三角函數(shù)求解即可.【詳解】,故選:A.9、B【解析】化簡(jiǎn)集合A,由交集定義直接計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】化簡(jiǎn)可得,又所以.故選:B.10、C【解析】由求出的值,再由誘導(dǎo)公式可求出答案【詳解】因?yàn)?,所以,所以,故選:C11、C【解析】根據(jù)零點(diǎn)存在性定理,若在區(qū)間有零點(diǎn),則,逐一檢驗(yàn)選項(xiàng),即可得答案.【詳解】由題意得為連續(xù)函數(shù),且在單調(diào)遞增,,,,根據(jù)零點(diǎn)存在性定理,,所以零點(diǎn)一定位于區(qū)間.故選:C12、D【解析】畫出函數(shù)的圖象,根據(jù),,互不相等,且(a)(b)(c),我們令,我們易根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),及,,的取值范圍得到的取值范圍【詳解】解:作出函數(shù)的圖象如圖,不妨設(shè),,,,,,由圖象可知,,則,解得,,則,解得,,的取值范圍為故選.【點(diǎn)睛】本題主要考查分段函數(shù)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)以及利用數(shù)形結(jié)合解決問題的能力,解答的關(guān)鍵是圖象法的應(yīng)用,即利用函數(shù)的圖象交點(diǎn)研究方程的根的問題,屬于中檔題.二、選擇題(本大題共4小題,每小題5分,共20分,將答案寫在答題卡上.)13、或【解析】當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)設(shè)截距式方程;當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)設(shè),分別將點(diǎn)代入即可【詳解】由題,當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)設(shè),則,所以,則直線方程為,即;當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)設(shè),則,所以,則直線方程為,即,故答案為:或【點(diǎn)睛】本題考查求直線方程,考查截距式方程的應(yīng)用,截距相同的直線問題,需注意過原點(diǎn)的情況14、①②③④【解析】利用已知條件中數(shù)域的定義判斷各命題的真假,題目給出了對(duì)兩個(gè)實(shí)數(shù)的四種運(yùn)算,要滿足對(duì)四種運(yùn)算的封閉,只有一一驗(yàn)證.【詳解】①當(dāng)時(shí),由數(shù)域的定義可知,若,則有,即,,故①是真命題;②因?yàn)椋?,則,則,,則2019,所以,故②是真命題;③,當(dāng)且時(shí),則,因此只要這個(gè)數(shù)不為就一定成對(duì)出現(xiàn),所以有限數(shù)域的元素個(gè)數(shù)必為奇數(shù),所以③是真命題;④若,則,且時(shí),,故④是真命題;⑤當(dāng)時(shí),,所以偶數(shù)集不是一個(gè)數(shù)域,故⑤是假命題;故答案為:①②③④【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:理解數(shù)域就是對(duì)加減乘除封閉的集合,是解題的關(guān)鍵,一定要讀懂題目再入手,沒有一個(gè)條件是多余的,是難題.15、等腰【解析】根據(jù)可得,利用兩角和的正弦公式展開,再逆用兩角差的正弦公式化簡(jiǎn),結(jié)合三角形內(nèi)角的范圍可得,即可得的形狀.【詳解】因,,所以,即,所以,可得:,因?yàn)椋?,所以所以,即,故是等腰三角?故答案為:等腰.16、【解析】當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,又,如圖所示:當(dāng)時(shí),在處取得最大值,且,令,則數(shù)列是以1為首項(xiàng),以為公比的等比數(shù)列,∴,∴,若時(shí),恒成立,只需,當(dāng)上,均有恒成立,結(jié)合圖形知:,∴,∴,令,,當(dāng)時(shí),,∴,∴,當(dāng)時(shí),,,∴,∴最大,∴,∴.考點(diǎn):1.函數(shù)圖像;2.恒成立問題;3.數(shù)列的最值.三、解答題(本大題共6個(gè)小題,共70分。解答時(shí)要求寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。)17、(1).(2).(3).【解析】(1)由函數(shù)過點(diǎn),代入函數(shù)即可得的值;(2)由可得的取值范圍;(3)由函數(shù)的大致圖象即可得的取值范圍.試題解析:(1),,,.(2),,.(3)當(dāng)時(shí),是減函數(shù),值域?yàn)?偶函數(shù),時(shí),是增函數(shù),值域?yàn)?,函?shù)有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí),.點(diǎn)睛:已知函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)(方程根的個(gè)數(shù))求參數(shù)值(取值范圍)的方法(1)直接法:直接求解方程得到方程的根,再通過解不等式確定參數(shù)范圍;(2)分離參數(shù)法:先將參數(shù)分離,轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決;(3)數(shù)形結(jié)合法:先對(duì)解析式變形,在同一平面直角坐標(biāo)系中,畫出函數(shù)的圖象,然后數(shù)形結(jié)合求解,對(duì)于一些比較復(fù)雜的函數(shù)的零點(diǎn)問題常用此方法求解.本題中在結(jié)合函數(shù)圖象分析得基礎(chǔ)上還用到了方程根的分布的有關(guān)知識(shí)18、.【解析】利用直接求出y的值;然后直接構(gòu)造直角三角形利用即可得解【詳解】解:∵角α的始邊為x軸正半軸,終邊過點(diǎn)(-2,y),且tana=-=,∴y=1,∴sinα==,cosα==-【點(diǎn)睛】如果在單位圓中,可直接得出,在非單位圓則是,為圓的半徑19、(1)(2)詳見解析【解析】(1)既可以利用奇函數(shù)的定義求得的值,也可以利用在處有意義的奇函數(shù)的性質(zhì)求,但要注意證明該值使得函數(shù)是奇函數(shù).(2)按照函數(shù)單調(diào)性定義法證明步驟證明即可.【詳解】解:(1)解法一:因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù),所以,即,整理得,所以,所以.解法二:因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù),所以,即,解得.當(dāng)時(shí),.因?yàn)?,所以?dāng)時(shí),函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù).(2)由(1)得.對(duì)于任意的,且,則.因?yàn)?,所以,則,而,所以,即.所以函數(shù)在上是減函數(shù).【點(diǎn)睛】已知函數(shù)奇偶性求參數(shù)值的方法有:(1)利用定義(偶函數(shù))或(奇函數(shù))求解.(2)利用性質(zhì):如果為奇函數(shù),且在處有意義,則有;(3)結(jié)合定義利用特殊值法,求出參數(shù)值.定義法證明單調(diào)性:(1)取值;(2)作差(作商);(3)變形;(4)定號(hào)(與1比較);(5)下結(jié)論.20、(1)證明見解析;(2).【解析】(1)根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征,可以為坐標(biāo)原點(diǎn),分別為軸和軸建立空間直角坐標(biāo)系,寫出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo).(1)證明即即可;(2)分別求出平面的一個(gè)法向量為和側(cè)面的一個(gè)法向量為,根據(jù)求出的法向量的夾角來求二面角的大小.試題解析:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則由已知可得(1)證明:,所以.(2),設(shè)平面的一個(gè)法向量為,由,得,即,解得,可取設(shè)側(cè)面的一個(gè)法向量為,由,及可取.設(shè)二面角的大小為,于是由為銳角可得所以.即所求二面角的大小為.考點(diǎn):空間向量證明直線與直線垂直及求解二面角.21、(1)當(dāng)時(shí),函數(shù)在,上是“友好”的(2)【解析】(1)當(dāng)時(shí),利用函數(shù)的單調(diào)性求出和,由即可求得結(jié)論;(2)化簡(jiǎn)原方程,然后討論的范圍和方程的解即可得答案【小問1詳解】解:當(dāng)時(shí),,因?yàn)閱握{(diào)遞增,在單調(diào)遞減,所以在上單調(diào)遞減,所以,,因?yàn)?,所以由題意可得,當(dāng)時(shí),函數(shù)在上是“友好”的;【小問2詳解】解:因?yàn)?,即,且,①所以,即,②?dāng)時(shí),方程②的解為,代入①成立;當(dāng)時(shí),方程②的解為,代入①不成立;當(dāng)且時(shí),方程②的解為或?qū)⒋擘?,則且,解得且,將代入①,則,且,解得且所以要使方程的解集中有且只有一個(gè)元素,則,綜上,的取值范圍為22、(1)應(yīng)選擇二次函數(shù);(2)
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