數(shù)分相關(guān)大一下十四復(fù)習(xí)

正項(xiàng)級(jí)數(shù)⒈比較法：設(shè)$N

,當(dāng)n

>N時(shí),0

￡

an

￡

Abn

,(A

>0常數(shù)）則￥

￥￥

￥若nn=1

n=1nn=1

n=1b

發(fā)散.a

發(fā)散，則若

bn收斂，則

an收斂.２.比較法極限形式：a如lim

n

=

l,則nfi

￥

bn￥

￥①

若0

<l

<+￥

,則

an與

bn同斂散;n=1

n=1②￥

￥對(duì)兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)

an和bn

,n=1

n=1￥

￥若l

=

0,

則bn收斂

an收斂;n=1

n=1￥

￥③

若l

=

+￥

,

則

bn發(fā)散

an發(fā)散.n=1

n=1３.Cauchy

積分判別法設(shè)x

?1時(shí),f

(x)?0且遞減,1與無(wú)窮積分+￥f

(x)dx同斂散.￥n=1則無(wú)窮級(jí)數(shù)

f

(n)￥r

?1發(fā)散.r

<1收斂,n=1⑴

等比級(jí)數(shù)

r

n

,1￥,

p

￡

1發(fā)散,

p

>

1收斂.nn=1p⑶1,,

￥￥n=kpn=2pn

ln

n(ln

ln

n)n(ln

n)１⑵P級(jí)數(shù)則

a

n收斂；一、Cauchy

判別法（根值判別法）⒈

設(shè)an

?

0,若$0

<

q

<

1,

使n

>

N時(shí)有n

an

￡

q

<

1.nfi

￥設(shè)an

?

0,且lim

sup

n

an

=

q,

則q

>1,

an發(fā)散⒉

極限形式q

<1,

an收斂D'Alembert判別法設(shè)an

>

0,

n

=

1,2,.nnnfi

￥則

a

收斂.a若lim

sup

an+1

=

q

<

1,①②

若lim

infnfi

￥則

an發(fā)散.n+1

=

q'>

1,ana⒊⒈n

a

收斂n=1"e

>0,

$N

?

N*

,當(dāng)n

>N時(shí)，"

p

?

N*

,n+

pk

=n+1恒有

ak

<

e.一般項(xiàng)級(jí)數(shù)￥(-1)￥nn=1nn-1a

,

a

>

0,設(shè)交錯(cuò)級(jí)數(shù)則￥(-1)n=1nn-1a

收斂.若{an

}遞減趨于0,2.⒉Sk

有界；３.Dirichlet判別法設(shè){an

},{bn

}是兩個(gè)數(shù)列,

Sk

=

a1

+

a2

+

+

ak

,￥如果它們滿足：⒈{bn

}單調(diào)fi

0;則

ak

bk收斂.k

=1４.阿貝爾（Ａbel）判別法￥k

=1設(shè){ak

},{bk

}滿足

1.

{bk

}單調(diào)有界

2.

ak收斂，￥則

ak

bk收斂.k

=1絕對(duì)收斂與條件收斂一、函數(shù)列的一致收斂"e

>0,$N

(x0

,e)>0,當(dāng)n

>N

(x0

,e)時(shí),fn

(

x0

)

-

f

(

x0

)

<

enfi

￥⒈

{fn

}定義于[a,b],"x0

?

[a,b],{fn

(x0

)}收斂稱{fn

}在[a,b]上收斂或逐點(diǎn)收斂.⒉

設(shè)fn在[a,b]逐點(diǎn)收斂于f

,即lim

fn

(

x0

)

=

f

(

x0

),

"

x0

?

[a,

b].⒊一致收斂定義：設(shè){fn

}在點(diǎn)集I上逐點(diǎn)收斂于f

,

若"

e

>

0,nfi

￥lim

bn

=

0定理1.{fn

}在I上一致收斂于fx?

I$

與x無(wú)關(guān)N

(e),

s.t

當(dāng)n

>

N時(shí),

對(duì)一切x

?

I

,都有fn

(x)-f

(x)<e,稱{fn

}在I上一致收斂于f

.幾何意義:

…….記:

bn

=

sup

fn

(

x)

-

f

(

x)定理2.

(Cauchy收斂原理)設(shè){fn

}定義于I

,{fn

}在I上一致收斂"e

>0,

$N

(e),當(dāng)n

>N

(e)時(shí),"x

?

I

,"p

?

N*

,都有fn+p

(x)-fn

(x)<e.二、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂￥

n1.定義:

un

(

x)定義于I

,

Sn

(

x)

=

uk

(

x),n=1

k

=1￥若Sn

(x)在I上一致收斂于S(x),則稱級(jí)數(shù)

un

(x)在I上一致收斂于S(x).n=12.柯西收斂原理:￥

un

(x)在I上一致收斂于S(x)"

e

>

0,

$N

(e),n=1n

>

N

(e)時(shí),

"

x

?

I

,"

p

?

N*

,

u

(

x)

+

+

u

(

x)

<

e.n+1

n+

p三、一致收斂的判別1.Weierstrass判別法(M

—判別法,控制判別法)若存在收斂的正項(xiàng)級(jí)數(shù)

an

,使得對(duì)"x

?

I

,都有un

(x)￡

an

,則

un

(x)在I上一致收斂.2.Dirichlet判別法￥n=1￥則an

(x)bn

(x)在I上一致收斂.n=1￥n=1⒈{bn

(x)}對(duì)固定的x單調(diào),一致收斂于0.⒉

an

(x)的部分和在I上一致有界.

an

(

x)bn

(

x)4.Abel判別法設(shè)

1.

{bn

(

x)}對(duì)固定x,單調(diào),在I上一致有界;￥n=1￥2.

an

(x)在I上一致收斂.則

an

(x)bn

(x)在I上一致收斂.n=1bn

(

x)

￡

M

,"

x

?

I

.一、連續(xù)性三、逐項(xiàng)求導(dǎo)二、逐項(xiàng)積分2.收斂半徑與收斂區(qū)間定義：R稱為冪級(jí)數(shù)

an

x

的收斂半徑，nlimn

|

an

|1nfi

￥R

=(-R,R)稱為收斂區(qū)間,考慮端點(diǎn)的收斂性,可得收斂域.定理3：收斂半徑公式nfi

￥

an+1anR

=

lim－－Cauchy-Hadamardlim

n

|

an

|1nfi

￥R

=二、冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)￥

￥￥nnn

nn=0

n=0nnna

x

–

b

xn=0(a

–

b

)

x

=在(-R,R)上成立;⑴⑵在c

xb x

的Cauchy乘積a

x

和nnnnn

n

￥n=0￥

￥n=0

n=0記R

=min{Ra

,Rb

}.定理4：(-R,R)上絕對(duì)收斂.￥0

<

R

￡

+￥

.nna

x

的收斂半徑為R，設(shè)n=0則在

(-R,

R)

內(nèi)的任何閉子區(qū)間

[a,b]

上一致收斂.設(shè)冪級(jí)數(shù)￥n=0n

na

x的收斂半徑為R,0

<

R

<

+￥

.若￥n=0nna

R收斂,則;￥￥=n=0nnn=0nnlimxfi

R-0a

Ra

x若￥n=0nna

(-R)收斂,則lim￥￥=n=0nnn=0nnxfi

-

R+0a

(-R)

.a

x3.分析性質(zhì)----連續(xù)、可導(dǎo)、可積定理5：

(Abel第二定理)，設(shè)a x

收斂半徑為R，和函數(shù)為S(x)nn￥n=kn-kn(

k

)S

(

x)

=n(n

-

1)(n

-

k

+

1)a

xn=0則S(x)在(-R,R)內(nèi)連續(xù),而且在(-R,R)中有任意階導(dǎo)數(shù):￥,

k

=

1,2,定理6：￥

￥00n=0n+1n=0xnnxxn

+

1ana

t

dt

=S(t

)dt

=定理7：S(x)在(-R,R)內(nèi)可積,且可逐項(xiàng)積分,即對(duì)"x

?

(-R,R),級(jí)冪展直接法nfi

￥先直接展開(kāi),再證lim

Rn

(x)=0數(shù)開(kāi)間接法從已知的展式出發(fā),通過(guò)變量代換、很少用四則運(yùn)算、逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)積分等方法求得函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展式.用到冪級(jí)數(shù)展開(kāi)的唯一性四、冪級(jí)數(shù)展開(kāi)及應(yīng)用展開(kāi):簡(jiǎn)接法應(yīng)用——四則運(yùn)算（變形）、逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)求積例1.

￥收斂區(qū)間(-￥

,+￥

)n=0

(2n)!x2n2!

3!

n!=

1

+

x

+

+

+

+

+解：ex2

x3

xnxe

=

1

-

x

+

2!

-

3!

+

+

(-1)

n!

+x2

x3

n

xn-

x2e

x

+

e

-

x\(-￥

,+￥

)=

￥n=0

(2n)!x2n定理11.2

(比較審斂法)設(shè)0

￡

f

(

x)

￡

g(

x), (充分大的

x),

那么定理11.1設(shè)f

?

0,

則+￥af

(x)dx收斂F

(A)在[a,+￥

)上有界.+￥

+￥aof

(x)dx收斂g(x)dx收斂1

若+￥a+￥aaog(x)dx

發(fā)散f

(x)dx

發(fā)散2

若廣義積分定理11.3

(比較審斂法的極限形式)xfi

+￥g(

x)設(shè)f

,

g

?

0,

且

lim

f

(

x)

=

l，則+￥+￥aaf

(x)dx與0

<

l

<

+￥

,1+￥+￥aag(x)dx同斂散；f

(x)dx收斂；g(x)dx收斂l＝0，2+￥+￥aaf

(x)dx發(fā)散.g(x)dx

發(fā)散l＝+

￥

,3絕對(duì)收斂定理11.6af

(x)dx收斂+￥af

(x)dx收斂+￥+￥+￥aaf

(

x)dx｜)

dx收斂,稱｜f

(

x如絕對(duì)收斂.收斂,但如+￥+￥aa｜f

(x｜)

dx發(fā)散，f

(

x)dx+￥a稱f

(x)dx

條件收斂.四、Dirichlet判別法f

(x)dx

在(a,+￥

)有界;F

(

A)

=Aa1g

在[a,+￥

)上單調(diào),且

lim

g(

x)

=

0,xfi

+￥2設(shè)f和g滿足下面兩個(gè)條件:則f

(x)g(x)dx收斂.a+￥五、Abel判別法設(shè)f和g滿足下面兩個(gè)條件:f

(x)dx收斂,a+￥g(x)在[a,+￥

)上單調(diào)有界,12則f

(x)g(x)dx收斂.a+￥定理11.3'xfi

a+g(

x)設(shè)f

,

g

?

0,

且lim

f

(

x)

=

l，則同斂散；b

bag(

x)dxf

(x)dx與0

<

l

<

+￥

,ababaf

(x)dx收斂；g(x)dx收斂l＝0，babaf

(x)dx發(fā)散.g(x)dx

發(fā)散l＝+

￥

,123定理11.5'baf

(x)dx收斂對(duì)"e

>0,

$d

>0,只要0

<h

<d,0

<h'<d,總有f

(

x)dx

<

e.a+h

'a+h瑕積分<

h

<

b

-

a$M

>0,

使得對(duì)"01g

在(a,b]上單調(diào),且lim

g(x)=0,xfi

a+2定理11.9'(Dirichlet判別法)設(shè)f和g滿足下面兩個(gè)條件:則f

(x)g(x)dx收斂.ba有|bf

(

x)dx

|<

M;a+h定理11.6'babaf

(x)dx收斂f

(x)dx收斂絕對(duì)收斂

收斂.收斂·

絕對(duì)收斂.(Abel判別法)定理11.10'設(shè)f和g滿足下面兩個(gè)條件:f

(x)dx收斂,bag(x)在(a,b]中單調(diào)有界,12則f

(x)g(x)dx收斂.ba瑕點(diǎn)為積分上限或者中間值時(shí),有類似的結(jié)果.比較審斂法及其極限形式的例子略去

ppp-pp-p=

1(n

=

1,2,)f

(

x)sin

nxdx,b

=

1(n

=

0,1,2,)f

(

x)cos

nxdx,ann

pp00=

1(n

=

1,2,)b

=

1

2p

f

(

x)sin

nxdx,(n

=

0,1,2,)2pf

(

x)cos

nxdx,ann或傅里葉級(jí)數(shù)注意:對(duì)于非周期函數(shù),如果函數(shù)f

(x)只在區(qū)間[-p,p]上有定義,并且滿足收斂定理?xiàng)l件,也可展開(kāi)成傅氏級(jí)數(shù).作法:周期延拓(T

=

2p)

F

(

x)

=

f

(

x)

(-p,

p)2端點(diǎn)處收斂于1[f

(p-0)+f

(-p+0)]2.函數(shù)展開(kāi)成正弦級(jí)數(shù)或余弦級(jí)數(shù)設(shè)f(x)定義在[0,p]上,延拓成以2p為周期的函數(shù)F

(x).-

p

<

x

<

0

g(

x)令F

(x)=

f

(x)0

￡

x

￡

p

,且F

(x

+2p

)=F

(x),常用如下兩種情況偶延拓.奇延拓l-lnll

a=

1f

(

x)cos

npx

dx,

n

=

0,1,2,l-lnll

b

=

1f

(

x)sin

npx

dx,

n

=

1,2,)￥n=1l+

bn

sinl(an

cosa0f

(x)=

2

+npxnpx三、以2L為周期的傅氏級(jí)數(shù)可分離變量的微分方程齊次方程兩端直接積分u

=

y

,一階線性微分方程x分離變量，常數(shù)變異法，固定公式伯努利(Bernoulli)方程令z

=y1-n

,y(

n

)=

f

(

x,

y(

k

)

,,

y(

n-1)

)y(

n)

=

f

(

y,

y',,

y(

n-1)

)=

P(

x)令y(k

)設(shè)

y

=

P(

y)高階線性降階法與常數(shù)變易法常系數(shù)齊次線性方程特征方程常系數(shù)非齊次線性方程特殊類型，待定系數(shù)法歐拉方程變量代換n定義：<x,y

>=

xi

yi

,叫做向量x,y的內(nèi)積.i

=1性質(zhì)：10

<

x,

x

>?

0,當(dāng)x

=

0時(shí)等號(hào)成立.20

<

x,

y

>=<

y,

x

>30

<

x,

y

+

z

>=<

x,

y

>

+

<

x,

z

>40

對(duì)于任何實(shí)數(shù)l有<lx,y

>=l

<x,y

>定義了內(nèi)積的向量空間稱為Euclid

空間簡(jiǎn)稱歐氏空間i任意的e

>0,都存在N，使得當(dāng)i

>N

,便有定義13.1

設(shè){x

}是Rn中的點(diǎn)列，且a

?

Rn

.如果對(duì)xi

-

a

<

e,我們稱a是{xi

}的極限.開(kāi)集，閉集的概念及基本性質(zhì)列緊集，等概念及區(qū)域的概念定義13.15

設(shè)D

Rn，及f:D

fi

R.點(diǎn)a

?

Rn是D的一個(gè)凝聚點(diǎn)，又設(shè)l是一個(gè)數(shù).如果對(duì)于任意的e>0，存在d>0,凡是x?

D且0<

x-a

<d時(shí)，便有f

(

x

)

-