矩陣的基本運算

關(guān)于矩陣的基本運算第1頁，講稿共28頁，2023年5月2日，星期三例如為同型矩陣.

同型矩陣與矩陣相等的概念1.兩個矩陣的行數(shù)相等,列數(shù)相等時,稱為同型矩陣.

2.兩個矩陣為同型矩陣,并且對應(yīng)的元素相等,即則稱矩陣A與矩陣B相等，記作1、運算定義&運算規(guī)則第2頁，講稿共28頁，2023年5月2日，星期三

設(shè)有兩個mn矩陣A(aij)和B(bij)

矩陣A與B的和記為AB

規(guī)定為AB(aijbij

)

即

矩陣的加法注

只有當兩個矩陣是同型矩陣時,才能進行加法運算.第3頁，講稿共28頁，2023年5月2日，星期三矩陣加法的運算規(guī)律

設(shè)A

B

C都是mn矩陣則

(1)ABBA

(2)(AB)CA(BC)

設(shè)矩陣A(aij)

記A(aij)A稱為矩陣A的負矩陣；另，把元全為零的矩陣稱為零矩陣，記作O；由此，規(guī)定矩陣的減法為ABA(B)，例如

(3)A=A+O=O+A

第4頁，講稿共28頁，2023年5月2日，星期三矩陣的數(shù)乘矩陣相加與數(shù)乘矩陣合起來,統(tǒng)稱為矩陣的線性運算.矩陣數(shù)乘的運算規(guī)律第5頁，講稿共28頁，2023年5月2日，星期三矩陣乘法把此乘積記作

是一個s×n矩陣,

那么規(guī)定矩陣A與矩陣B的乘積是一個m×n

矩陣其中

設(shè)是一個m×s矩陣,例如

第6頁，講稿共28頁，2023年5月2日，星期三求AB.例

若解第7頁，講稿共28頁，2023年5月2日，星期三注只有當?shù)谝粋€矩陣的列數(shù)等于第二個矩陣的行數(shù)時，兩個矩陣才能相乘.例如不存在.乘積AB維的關(guān)系=——A可左乘B的可相乘條件.第8頁，講稿共28頁，2023年5月2日，星期三練習

計算下列矩陣的乘積，并觀察結(jié)果.注兩個矩陣相乘,乘積有可能是一個數(shù).第9頁，講稿共28頁，2023年5月2日，星期三第10頁，講稿共28頁，2023年5月2日，星期三第11頁，講稿共28頁，2023年5月2日，星期三結(jié)論兩個n

階對角陣之積仍為n階對角陣.

結(jié)論兩個n階上（下）三角陣之積仍為n階上（下）三角陣.

第12頁，講稿共28頁，2023年5月2日，星期三注

矩陣乘法不滿足交換律,即(左乘分配律)(右乘分配律)矩陣乘法的運算規(guī)律例如

設(shè)則

兩個非零矩陣的乘積可能是零矩陣第13頁，講稿共28頁，2023年5月2日，星期三問題矩陣不滿足交換律，可能有哪幾種情形？(1)AB有意義，但BA沒意義；(2)AB與BA都有意義，但可能不是同階方陣；(3)兩者都有意義，且為同階方陣，但仍有可能不相等.結(jié)論

在矩陣的乘法中必須注意矩陣相乘的順序“左乘”&“右乘”但也有例外，比如設(shè)則有定義

滿足AB=BA的矩陣稱為可交換的.結(jié)論

兩個同階對角矩陣是可交換的.第14頁，講稿共28頁，2023年5月2日，星期三EA=AE=A結(jié)論

n階單位矩陣與任意n階矩陣是可交換的.即證明設(shè)為任意n階矩陣,則有第15頁，講稿共28頁，2023年5月2日，星期三注

矩陣乘法不滿足消去律，即例如

設(shè)有則但是注

該例也說明注

此例表明單位矩陣在矩陣乘法中的地位與數(shù)1在數(shù)的乘法中的地位相當.

即第16頁，講稿共28頁，2023年5月2日，星期三并且若A是n

階方陣,則Ak為A的定義

(方陣的冪次)的k次冪,即

定義

(方陣的多項式)注

顯然只有方陣的冪才有意義

第17頁，講稿共28頁，2023年5月2日，星期三解例

由此歸納出第18頁，講稿共28頁，2023年5月2日，星期三用數(shù)學歸納法證明:假設(shè)k=n時成立,則k=n+1

時,例

解歸納出第19頁，講稿共28頁，2023年5月2日，星期三所以對于任意的k都有第20頁，講稿共28頁，2023年5月2日，星期三轉(zhuǎn)置矩陣（transpose）把矩陣A的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣,叫做A的轉(zhuǎn)置矩陣,記作例轉(zhuǎn)置矩陣的運算規(guī)律轉(zhuǎn)置運算對乘積的去括號法則第21頁，講稿共28頁，2023年5月2日，星期三解1例

已知解2第22頁，講稿共28頁，2023年5月2日，星期三定義

(對稱陣)設(shè)A為n階方陣,如果滿足

，那么A稱為對稱陣.即注

對稱陣的元素以主對角線為對稱軸對應(yīng)相等.

由此可知，反對稱矩陣的對角元必為零，即

aii=0

是3階反對稱矩陣.例如第23頁，講稿共28頁，2023年5月2日，星期三證例

設(shè)列矩陣滿足第24頁，講稿共28頁，2023年5月2日，星期三例證

命題得證.顯然C為對稱矩陣,B為反對稱矩陣.第25頁，講稿共28頁，2023年5月2日，星期三2、矩陣應(yīng)用舉例例（坐標變換）平面解析幾何中，若坐標系Oxy繞原點O經(jīng)逆時針方向轉(zhuǎn)過角α后成為Ox'y'(如圖)，任一向量在這兩個坐標系中的坐標分別為和,它們有如下關(guān)系：xOx′y′yAα寫成矩陣形式，記為過渡矩陣第26