等差數(shù)列前項(xiàng)和公式推導(dǎo)

關(guān)于等差數(shù)列前項(xiàng)和公式推導(dǎo)第1頁，講稿共14頁，2023年5月2日，星期三一、復(fù)習(xí)：１、等差數(shù)列：ａｎ－ａｎ－１＝ｄ（ｎ≧２，ｎ∈Ｎ＋）２、等差數(shù)列通項(xiàng)式：ａｎ＝ａ１＋（ｎ－１）ｄ第2頁，講稿共14頁，2023年5月2日，星期三小故事：高斯是偉大的數(shù)學(xué)家，天文學(xué)家。１０歲時(shí)一次老師說：現(xiàn)在給大家出道題：１＋２＋…＋１００＝？過了兩分鐘，正當(dāng)大家在：１＋２＝３；３＋３＝６…算的不亦樂乎時(shí)，高斯站起來回答說：１＋２＋…＋１００＝５０５０．老師問他怎樣計(jì)算的，他回答說：1+100=101；2+99=101；…５０＋５１＝１０１，所以１０１×５０＝５０５０．第3頁，講稿共14頁，2023年5月2日，星期三這個(gè)故事告訴我們求等差數(shù)列前ｎ項(xiàng)和的一種很重要的思想方法，就是我們要介紹的“倒序相加”法。第4頁，講稿共14頁，2023年5月2日，星期三二、等差數(shù)列前ｎ項(xiàng)和公式１：對等差數(shù)列ａ１，ａ２，…，ａｎ前ｎ項(xiàng)求和，得Ｓｎ＝ａ１＋ａ２＋ａ３＋…＋ａｎ，Ｓｎ＝ａｎ＋ａｎ－１＋ａｎ－２＋．．．＋ａ２＋ａ１，第5頁，講稿共14頁，2023年5月2日，星期三上面兩式相加得：２Ｓｎ＝（ａ１＋ａｎ）＋（ａ２＋ａｎ－１）＋（ａ３＋ａｎ－２）＋．．．＋（ａｎ＋ａｎ）

因?yàn)閍1+an=a2+an-1=a3+an-2=…，所以2Sn=n(a1+an)

Sn=（1）第6頁，講稿共14頁，2023年5月2日，星期三2、等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式2

Sn=用上述公式（1）要求Sn必備三個(gè)條件：n,a1,an,但an=a1+(n-1)d，帶入公式（1）即得（2）第7頁，講稿共14頁，2023年5月2日，星期三公式（2）又可化為Sn=當(dāng)d≠0時(shí)，這是一個(gè)常數(shù)項(xiàng)為零的關(guān)于n的二項(xiàng)式.第8頁，講稿共14頁，2023年5月2日，星期三三、講解例題：例1、一堆放鉛筆的V型架的最下層放一支鉛筆，往上每一層都比它下一層多放一支，最上層放120支，問：這個(gè)V型架上共放多少支鉛筆？解：由題意知，這個(gè)V型架上共放120層鉛筆且自下而上各層的鉛筆成等差數(shù)列，記為{an}其中a1=1,a120=120,根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式得:S120=

=7260（支）答：V型架上共有7260支鉛筆。第9頁，講稿共14頁，2023年5月2日，星期三例2、等差數(shù)列-10，-6，-2，2，…前多少項(xiàng)的和是54？解：設(shè)題中的等差數(shù)列為{an}，前n項(xiàng)和為Sn，則：a1=-10,d=(-6)-(-10)=4,Sn=54,有公式（2）可得：第10頁，講稿共14頁，2023年5月2日，星期三

解之得：n1=9,n2=-3（舍）所以等差數(shù)列-10，-6，-2，2，…前9項(xiàng)和是54.第11頁，講稿共14頁，2023年5月2日，星期三四、鞏固練習(xí)1、求集合M={m/m=7n,n∈N＋且m＜100}的元素個(gè)數(shù)，并求這些元素的和。2、已知一個(gè)等差數(shù)列的前100項(xiàng)和是310，前20項(xiàng)的和是1220，求其前n項(xiàng)和公式.第12頁，講稿共14頁，2023年5月2日，星期三五、課后作業(yè)已知等差