流體力學教材

第4章流體動力學基本定理及其應用第2章我們研究了靜止流體中的壓力分布及流體對物體的作用力，但沒有涉及運動問題；第3章我們從幾何的觀點研究了流體的運動，但沒有討論運動發(fā)生的原因。本章將應用力學基本定律建立流體運動的動力學方程，從而揭示流體的運動和力之間的關(guān)系。4.1輸運公式在介紹運輸公式之前先說明系統(tǒng)和控制體的概念。4.1.1系統(tǒng)和控制體系統(tǒng)由確定的流體質(zhì)點組成的流體團或有限的流體體積稱為系統(tǒng)。系統(tǒng)和外界的分界面稱為系統(tǒng)的邊界面。系統(tǒng)具有如下特征：b5E2RGbCAP<1）系統(tǒng)是運動流體質(zhì)點的集合，系統(tǒng)的體積和邊界面的形狀可以隨時間變化；<2）系統(tǒng)邊界上沒有質(zhì)量的輸入和輸出，系統(tǒng)內(nèi)的質(zhì)量不變，但有動量和能量的變化；<3）系統(tǒng)邊界面上有力的相互作用。系統(tǒng)內(nèi)物理量的總和對時間的變化率稱為系統(tǒng)導數(shù)，用 _D表示。Dt例如，系統(tǒng)總質(zhì)量為M= "V，則匕的系統(tǒng)導數(shù)為V(t)DMDxv<4.1.1)Dt Dt v(t)由于系統(tǒng)的體積V（t>隨時間而變，故微分號不能直接移到積分號的內(nèi)部?？刂企w被流體流過的，相對于選定的坐標系固定不變的空間體積稱為控制體?？刂企w的邊界面稱為控制面?？刂企w具有如下特征：p1EanqFDPw<1）控制體的幾何外形和體積相對于選定的坐標系是固定不變的；<2）控制面上可以有流體的流入、流出，有質(zhì)量、動量和能量的交換；<3）控制面上有力的相互作用。控制體內(nèi)某物理量的總和對時間的變化率稱為控制體的局部導數(shù)，用丄表示。例如，控制體內(nèi)的總質(zhì)量為皿= "V，則它的局部導V數(shù)為DXDiTa9E3ddV'dV<4.1.2）-tV V:t由于控制體的體積V與時間無關(guān)，故微分號可直接移到積分號的內(nèi)4.1.2輸運公式我們知道，經(jīng)典力學定律是建立在固定對象上的，因此流體力學中這些定律應建立在系統(tǒng)上。但是，由于流體的流動性，系統(tǒng)的體積和邊界面形狀不斷變化，不利于實際應用。為此，需要將建立在系統(tǒng)上的定律方程轉(zhuǎn)換到具有固定體積的控制體上，這就是下面要介紹的輸運公式。RTCrpUDGiT定理任一瞬時系統(tǒng)內(nèi)物理量q隨時間的變化率等于該瞬時同形狀、同體積控制體內(nèi)物理量的變化率與通過控制面S的輸運量之和5PCzVD7HxA-hiQd^亠dV：Q(vmdS*1.3)DtV(t) V：t S圖4.1.1通過控制體的流動這就是系統(tǒng)導數(shù)的Euler表達式，通常稱它為輸運公式。等號右端第二項積分為物理量通過控制面的輸運量。q可以是標量也可以是

矢量。當*時表示單位時間內(nèi)通過S的質(zhì)量；當Q=卡v時表示單位時間內(nèi)通過s的動量。jLBHrnAlLg證明如圖4.1.1所示，t時刻體積為V(t＞的系統(tǒng)經(jīng)歷t時間后運動到新的位置，系統(tǒng)邊界面S(t＞變?yōu)镾(trt)，體積變?yōu)閂(t+t＞=V(t＞+V(t＞，其中‘V(t＞為體積變化量。根據(jù)系統(tǒng)導數(shù)定義有XHAQX74J0X<4.1.4)lim—\fffQ(r,t+At)dV- Q(r,t)dV<4.1.4)TOC\o"1-5"\h\z3出卜(；孔 V；tL) 一將上式右端第一項的積分域分解為V(t＞和「V(t＞兩部分,然后與第二項積分相加得D 1 1QdV二lim [Q(r,t ：t)-Q(r,t)]dV啊 Q(r,t ：t)dVDtV(t) ””V(t)"t .EtV(t)；:Q 1rdV啊0〒川.Q(r,t ：t)dVV(t)江 … .V(t)<4.1.5)上式等號右端第二項「V(t＞是Y時間內(nèi)系統(tǒng)體積的變化，也就是t和t」時刻系統(tǒng)邊界面變化引起的體積變化。若設(shè) t時刻邊界面S(t)＜即流體質(zhì)點)的運動速度為V，則經(jīng)過過時間面積S(t)上的微元面積ds運動引起的體積變化為 LDAYtRyKfEdV=(dV=(vn) ：tdS(4.1.6>其中n為微元面積的法向量。當vn0時，dV0；當v 0時,dV：：0。將上式代入＜4.1.5）式就把體積分轉(zhuǎn)化成了面積分，然后求極限，即證得輸運公式＜4.1.3）。Zzz6ZB2Ltk需要指出，系統(tǒng)和控制體分別是Lagrange和Euler表示法的概念，輸運公式正是將Lagrange型的系統(tǒng)導數(shù)表示成Euler型，在表達形式上與質(zhì)點導數(shù)相類似。dvzfvkwMI1下面首先在系統(tǒng)上建立動力學平衡方程，給出流體力學的 Euler運動微分方程，揭示流體運動速度和壓力之間的變化規(guī)律，然后利用輸運公式，給出控制體上的動力學平衡方程，即流體力學的動量方程。rqyn14ZNXI4.2歐拉運動微分方程n歐拉vEuler）運動微分方程是牛頓第二定律應用于理想流體運動的方程，它是理想流體運動的基本微分方程。nEmxvxOtOcoEuler運動微分方程如圖421所示，在理想流體中任取一系統(tǒng)，其體積為v，邊界面積為S,n為S的單位外法向量。該系統(tǒng)受到的質(zhì)量力和壓力合力分別為SixE2yXPq5in'fdV,-pndsV S根據(jù)牛頓第年二定律，作用于系統(tǒng)上的外力等于系統(tǒng)的質(zhì)量與加速度之積hi!-：DvdV：hi：fdV-..pnds＜421）vDt v s利用Gauss公式，將上式中關(guān)于壓力的面積分轉(zhuǎn)化為體積分 pnds■■S二v'PdV，則＜421）式為vLDLfW由于體積V具有任意性，上式成立的充要條件是被積函數(shù)恒等于零,即敦=f_1\.p＜4.2.2a）Dt ?或—（vX）v=f-丄Ip＜4.2.2b）；t這就是理想流體的運動微分方程，稱為 Euler運動微分方程。Euler運動微分方程＜4.2.2b）中的每一項都表示單位質(zhì)量的某種力，從左向右依次為單位質(zhì)量的局部慣性力＜非定常流動引起的）、遷移慣性力＜非均勻場引起的）、質(zhì)量力和壓力合力。Euler運動微分方程表示這些力的平衡。6ewMyirQFL特別地，若流體靜止，即v二0，則＜4.2.2a）式簡化為靜力學基本微分方程式＜2.1.6）

f丄p＜4.2.3）P可見，靜力學基本微分方程是 Euler運動微分方程在靜止流體中的特例。Euler運動微分方程的另一種表示形式Euler方程＜422）中的遷移慣性力項是非線性的，為了研究問題方便，可改寫如下。將向量公式(v人)v-(V)-2v3<424)2代入式＜4.2.2b）得2FG-2…-亠<425)其中3二1\v。該式就是Euler運動微分方程的另一種形式，稱為2蘭姆vLamb運動微分方程。對于理想流體的無旋運動，由于2心、v二0,Lamb方程在形式上較為簡單。kavU42VRUs為應用方便，下面給出Euler方程在直角坐標系＜x,y,z）、柱坐y6v3ALoS89直角坐標系中,z＞和球坐標系（R,y6v3ALoS89直角坐標系中,z＞和球坐標系（R,＞中的表示形式。.:u：：u:u；：uuvw=:v <v <v ：:vuvw二■t ；x ；y :z-:w:w:w :Wuvw=L、 L、-t:x:yzx*:x丄4

P&y1：卩(4.2.6柱坐標系中-：Vr ：：VrV.MVr V柱坐標系中-：Vr ：：VrV.MVr V.:t 汀r旦V仝士昱V.:t；:rr丁恥亠 矽zVr；:t；:r-2:Vr Jjzrz；z：：Vz-vr1：：pf1：:PfPr拠:_丄蘭z一七><4.2.7)球坐標系中2Dvrjv「DtRR1 ；:pr ；:R,<428)吆+聖獨+泄ct日

DtRRCg'1 cpTRsinr廠上式中衛(wèi) vr V V<4.2.9）Dt ;t ；:RR：- Rsinr八理想流體運動微分方程組的封閉性理想流體運動的微分方程組由Euler方程<422）和連續(xù)方程包.工y}"w）“<4210）構(gòu)成,：：t汶 ：:y :z獨立方程數(shù)有4個，而待求的未知數(shù)有u,v,w,fx,fy,fz,p,8個，方程組不封閉。通常質(zhì)量力fx,fy,fz已知，因此要使方程組封閉還需補充一個方程，這個方程就是狀態(tài)方程。下面給出兩種具體情況下的狀態(tài)方程。 M2ub6vSTnP<1）不可壓縮流體=const<4.2.11 )＜2）正壓流體p/ cO＜等溫過程）＜4212）p/k c0＜等熵過程）＜4213）其中k和c0為常數(shù)。由此可見，對于不可壓縮或正壓的理想流體，運動微分方程組是封閉的，再加上邊界條件和初始條件，原則上方程組是可以求解的。但是，由于運動方程中遷移慣性力項是非線性的，通常情況下要給出解讀解是非常困難的，只能得到數(shù)值解。只有在某些特殊情況下，如定常流動或非定常的無旋流動，我們可以直接積分運動方程，得到一些簡單的積分關(guān)系式，這就是下面要討論的著名的伯努利積分。OYujCfmUCw4.3伯努利積分伯努利vBernoulli）積分是在理想流體作定常或非定常無旋運動等簡化條件下關(guān)于Euler運動方程的積分，在工程中有廣泛的應用。eUts8ZQVRd為了對Euler運動微分方程進行積分，需要將方程中的每一項轉(zhuǎn)化為全微分。為此在在＜4.2.5）式的等號兩端同時點乘dl得sQsAEJkW5Tv V2 \p[ () f]dl二2[vco]dl；:t 2 「(4.3.1>可見，只要將上式左端的丄_Pf都寫成梯度的形式，再與dl作點積運算，即可寫成全微分并積分。下面分兩種情況進行討論GMslasNXkA431定常流動的Bernoulli積分對于定常流動，蘭=0。如果質(zhì)量力有勢，引入質(zhì)量力f的勢函數(shù)u，有f=U (432>對于壓力項12，要將其寫成的形式，則要求密度僅是壓力的函數(shù)「「、(p)，即假設(shè)流體是正壓的。引入一個新的標量函數(shù)□二蟲=業(yè) (433>」P」P(P)顯然，n是壓力p的函數(shù)，而p又是空間變量的函數(shù)。因此對上式關(guān)于空間變量求梯度<偏導數(shù))時需應用復合函數(shù)求導法則，即TlrRGchYzg\口=衛(wèi)、p=1\p<4.3.4)cp P將上式和(4.3.2>式代入(4.3.1>式得V2d(VnU)=2v3dl (4.3.5>2若取積分曲線是流線<或渦線)，上式右端項(vw)d\=(dlv) =(wdl)—0，因此，沿流線或渦線積分 V435)式得V nu二c<4-3-6a)2或2V dp U=c<4.3.6b)2 '(P)上式首先由Bernoulli于1783年導出，稱為Bernoulli積分,c是積分常數(shù)，在不同的流線上常數(shù)c的值可能不同。下面寫出Bernoulli積分的幾種常見形式。7EqZcWLZNX1.重力場中不可壓縮流動的Bernoulli方程對于重力場中的不可壓縮流動，取z軸垂直向上，將f--gk，U=gz代入，得2Vpgz=c<437)2這就是重力場中不可壓縮理想流體定常流動時的 Bernoulli方程，它是水動力學中最重要的關(guān)系式之一。方程左邊各項分別表示單位質(zhì)量流體的動能、壓力能和位勢能，方程右邊常數(shù)表示總能量為一常值。因此，Bernoulli方程的物理意義是沿流線機械能守恒。lzq7IGfO2E以重力加速度g除<437)式各項，得單位重量流體的Bernoulli方程V2才Pz=c<4.3.8a)zvpgeqJIhk式中的每一項都表示某種高度。它的幾何意義是： V2.2g表示流體質(zhì)點在真空中以初速V鉛直向上運動能達到的高度，稱為速度高度；p,相當于液柱底面上壓力為p時的高度，稱為壓力高度；z表示質(zhì)點在流線上的位置，稱為位置高度。于是，若在流場中取一流線如圖431,它距參考水平面的高度為z，按照Bernoulli方程，有NrpoJac3v1止旦瞪必 <4.3.8b)2g z12g z2它表示速度高度、壓力高度和位置高度之和沿流線不變，即總高度線為一水平線V2V22g、P；和z分別稱為速度頭、壓力頭和位勢頭，這三項之和稱為總水頭。式＜438）表明理想流體沿流線運動的總水頭線是一水平線。1nowfTG4KI以密度「乘以＜437）式各項，還可以寫出單位體積流體的Bernoulli方程—：?V2pMz=c＜4?3.9）2如果重力可以忽略，＜439）式簡化為—：?V2p=c＜4310）2此式給出了速度和壓力之間的關(guān)系。流速大的地方壓力小，流速小的地方壓力大。利用＜4.3.10）式就可以解釋一些現(xiàn)象。例如兩船在航行時，如果靠得太近就會相互碰撞。這是因為靠近時兩船之間流道變窄，內(nèi)側(cè)流速增大，壓力比外側(cè)的小，在壓差力的作用下兩船可能發(fā)生碰撞。fjnFLDa5Zo2.重力場中可壓縮氣體等熵流動的 Bernoulli方程將狀態(tài)方程＜4.2.13）代入＜4.3.6b）式，得VkPz=c<4311)2gk-1JifJifV〃2g? r1V2/2grH、JLP2/Y1芒hf圖432沿流線機械能損失這就是重力場中氣體等熵運動時的Bernoulli這就是重力場中氣體等熵運動時的Bernoulli方程，它是氣體動力學中最常用的方程之一。粘性流體的Bernoulli方程根據(jù)能量守恒定律，可以將理想流體的Bernoulli方程推廣到粘性流體。如圖432所示，當粘性流體沿流線從1點流到2點的過程中，由于粘性摩擦或旋渦等原因，將有一部分機械能耗損并轉(zhuǎn)化為熱能，這種能量轉(zhuǎn)化是不可逆的。設(shè)單位重量粘性流體從1點流到2點損失的機械能為hf,對1、2兩點應用能量守恒定律，有tfnNhnE6e5Pi2gZPi2g<4.3.12)圖4.3.2這就是粘性流體沿流線成立的 Bernoulli方程。432無旋場的Bernoulli積分如果理想流體的運動無旋、非定常、質(zhì)量力有勢，且流體正壓或不可壓縮，我們?nèi)钥蓪uler運動微分方程<431)進行積分。因為無旋運動時3八v=0，存在速度勢?：,—v，這時方程中2v①項消失，而左端非定常項可以寫成HbmVN777sL竺八—)<4.3.13)

:t將上式及<432)和<434)式代入<431)式得d(—nu)=0<4314)；:t 2積分得2—-nu=f(t)<4.3.15);:t 2該式稱為Lagrange積分，亦稱Bernoulli積分。積分常數(shù)f(t)為時間t的函數(shù)，與空間坐標無關(guān)，即f(t>在全流場中為同一常數(shù)。V7l4jRB8Hs對于重力場中的不可壓縮理想流體，□二pi,u二gz,Lagrange方程成為空衛(wèi)z=f(t)<4.3.16)：：t2 「顯然，對于定常的無旋流動，上式與 <437)式在形式上完全相同，但它在全流場任意兩點都成立，并不限于沿流線。 83ICPA59W94.3.3動坐標系中的Bernoulli積分

如圖433所示，oxyz為絕對靜止的大地坐標系，oxyz為相對于oxyz作任意運動的動坐標系，設(shè)空間任意一點 M處流體旋的。無旋運動的速度勢甲既可以表示為（x,y,z,t）的函數(shù)，也可以表的絕對速度表示為V。現(xiàn)在我們希望在動坐標系下來討論流體的絕對運動。因為同一個參數(shù)可以用不同的坐標系來表示，故絕對速度V不因坐標系的不同而改變，既可以用靜坐標系旋的。無旋運動的速度勢甲既可以表示為（x,y,z,t）的函數(shù)，也可以表示為（x：y：z：t）的函數(shù)ORjBnOwcEdx,y,z,t><4.3.18 )2MiJTy0dTT由于質(zhì)點導數(shù)與坐標系的選取無關(guān)，因此靜坐標系和動坐標系下速度勢「之間變化的關(guān)系可通過質(zhì)點導數(shù)來建立，即D?（x,y,z,t）_D^（x',y',z,t）<4.3.19）Dt Dt

D■'=Dt.D■'=Dt.:t2 丄v，'<4320)Dt ：：t其中v?是M點流體質(zhì)點相對于動坐標系oxyz的相對速度。我們知道，梯度與坐標系的選取無關(guān)，即i(x,y,z,t>x',y,z,t> ，將上述關(guān)系式代入<4.3.19)式得gliSpiue7A卩晉-(…用=聲-vev<4321)式中ve=v-vi0+3r稱為動系的牽連速度。這里v0是動系的原點o相對于靜系的平移速度，3是動系的旋轉(zhuǎn)角速度，r?是所考察點M相對于動系的向徑。將上式代入<4315)式，即得動坐標系中無旋運動的Bernoulli方程uEh0U1Yfmh「’(x',y',z,t)一vevX二U二f(t)<4322).:t 2如果動坐標系以常速度Ue沿x軸方向運動，而x軸與x軸平行,這時ve=iUe,Bernoulli方程為沙(x：y：z：t) 蘭+丄呼2+口+?f(t)<4323)蛙 汶2對重力場中的不可壓縮流體，□二pi,u二gz,Bernoulli積分為卻(x',y,z',t)卻(x',y,z',t)+)研究船舶在波浪中以等速直線航行時的受力及運動時，通常取平移坐標系，得到「后由上式求解船體周圍的壓力分布。IAg9qLsgBX434Bernoulli積分的應用Brnoulli積分有著廣泛的應用，根據(jù)它的原理可以設(shè)計出多種測量流速或流量的儀器。下面介紹兩種常用的測速計：文丘里管和皮托管，并給出幾個有工程背景的例題。 WwghWvVhPESi學圖4.3.4文丘里管1.文丘里Si學圖4.3.4文丘里管文丘里管用于測量管路中的流速或流量。在管路中加接一段截面收縮的管子，并與壓力計相連如圖434所示。選取沿管軸的一條流線及流線上的兩點A和B,對應的管子截面分別為Si、S2,流速為v1、v2，設(shè)1、 2分別為管路和U形管中流體的重度。若測量出壓力計的高度差h值，即可得到管路中的流速或流量值。由流管的連續(xù)方程<3.4.5）得ooeyYZTjjlS1v1=S2v2<4.3.25）根據(jù)重力場中不可壓縮定常流動的 Bernoulli方程得22P1.V1_P2.V212g「12g因Pj-P2=2h，則TOC\o"1-5"\h\z対 2 22 v2 —■vih=i 2g將＜4325）式代入上式得2g[(t)2-1)]由此得流速和流量:_2gh2<4326)J(Sl)2i'i(2)_12gh.2<4327)111S廠S2上式是在理想流體假設(shè)基礎(chǔ)上的理論公式，，實際流體都是有粘性的，因此引入修正系數(shù) ，以修正理論計算與實際流量之間的誤差，其數(shù)值由實驗確定。BkeGulnkxl2.皮托vPitot）管皮托管用于測量流體的速度。最常使用的皮托管也稱總壓-靜壓管，其工作原理如圖435所示。它由球形頭部與內(nèi)外兩層套管聯(lián)結(jié)組成，頭部開一小孔“1”與內(nèi)管相通，側(cè)壁開有一個或多個小孔“2”與套管的環(huán)形空間相通，兩通道的另一端分別與U形壓力計相連。U形壓力計中液體＜通常為水銀、水或酒精）的重度為1。測量速度時,

將皮托管頭部正對來流，管體軸線與來流方向平行，讀出 U形壓力計的壓差h，就可算出來流速度。PgdOOsRIMo有在同一條流線上A、B兩點各放一根管子和U形壓力計相聯(lián),如圖435所示。I管的管口截面與流線平行，對流動沒有影響。設(shè)A點流體速度為v，壓力為pA，則與I管相連的U形管液面壓力即為pA。"管的管口截面垂直于流線，故b點的速度等于零。則沿流線列Bernoulli方程3cdXwckm152Pa V_Pb1_g2Pa V_Pb1_g因PB=PA.2h，得A點的流速g(PB-Pa)v=匕j_gh^_<4.3.28)修正系數(shù)由實驗來標定。實際使用的皮托管都是做成一根管子,結(jié)構(gòu)緊湊，使用方便。例4-1孔口出流一盛水大容器旁邊有一小孔，水從此孔流出，如圖 436所示求水從孔口出流的速度v

解選取一條從水面流向孔口中心的流線AB,雖然這一流線的具圖436孔口出流體位置不一定能確定，但它是存在的。液面及孔口處的壓力為大氣壓pO,液面距孔口高度z0=h。由于大容器截面積比孔口截面積大的多，所以液面下降速度極小，忽略不計，而孔口出流速度為 v圖436孔口出流這樣在一定的時間范圍內(nèi)，可假設(shè)流動是（準〉定常的。沿A、B列Bernoulli方程h8c52WOngM2p0 p0vh 0 0=0 0Y Y2g解得=j2gh可見，孔口出流速度與自由落體的速度一樣，同樣都是位能轉(zhuǎn)變?yōu)閯幽?。?-2噴霧器如圖437所示，已知噴管中心線距液面高度為_嘲-=噴管直徑di=2mm，與液體相連的小管內(nèi)徑d2=3mm徑D=20mm,移動速度v0=1m/s，流體不可壓縮，液體1=8434N/m3，空氣重度為 2=12.06N/m3。試求液體噴出量。v4bdyGious解：首先求直徑為d1的截面速度v1，由質(zhì)量守衡定律有1二D2V。4 4Vi22D務1=100m/sVi22D務1=100m/s2V0d12取噴霧器軸線為流線,在噴管處與 B相鄰點氣體的壓力為pi,無窮遠點的壓力為大氣壓pO，速度為零，列Bernoulli方程J0bm4qMpJ92P1 V1P0c--00Y22g2P 11206…-尹”3105工貢他2?1104Pa再考慮分叉管內(nèi)的流動速度。取流線I，假設(shè)容器很大，液面下降的速度為零，壓力為大氣壓pO降的速度為零，壓力為大氣壓pO，B點的速度為v2,壓力為p2=pi，以自由面為參考面，沿流線Ipi，以自由面為參考面，沿流線I列Bernoulli方程XVauA9grYP12g1得液體流速5 422（5 422（P0-P1-H）2（「°1310一9?10V284340.05）9.89.88434=14.31<m/s）2液體的流出量為代入已知條件代入已知條件x=y=0 ，v=0，得g（t＞=0，有1 1QdH3.143210- 14.31=1.0710-m3/s4 4從上式求解過成可以看出，噴霧器的原理是高速氣流使噴管處形成低壓區(qū)，將流體“吸”進來，與氣體混合后噴出。顯然，通過調(diào)節(jié)活塞速度v0和液柱高度H,可以調(diào)節(jié)液體的流量。bR9C6TJscw例4-3理想不可壓縮流體平面無旋流動的分速度u二yt-x若x=y=0處，v=0,p=p0 。試求：<1)t=0時過<1，1)點的流線；＜2）流場的壓力分布。pN9LBDdtrd解由不可壓縮流體的連續(xù)方程；u ::v_：(yt-x) ::v_0:x ；:y ；:x :y得一1丸，積分可得v=dyf(x,t)=yf(x,t)<a)因流動無旋i八蘭-二=0，將u=yt-x和＜a）式代入，可得excy-0：：(yf(x,t)) ：：(yt--0.x ;y：：：：f(x,t)t

.x=0積分之得f(x,t)=tdxg(t)=xtg(t)<b)將vb）式代入＜a）式得分速度v=xtyg(t)<c)vv=xty<d)我們由流函數(shù)求流線方程，流函數(shù)為-(xty)dx(yt-x)dy」-(xty)dx(yt-x)dy」tx221ty22-xy則流線方程為則流線方程為1.212 <e)txty-xy=cd丿22,得所求流線方程為代入已知條件t=0,,得所求流線方程為xy=1由于流動為非定常無旋流動，可由重力場中不可壓縮流體無旋運動的Bernoulli方程求流場的壓力分布。為此，先求出勢函數(shù)DJ8T7nHuGT(yt-x)dx(xty)dy(yt-x)dx(xty)dy=-1y22xyt將其代入<4316)式有1212-(xyxyt) 2 22 2 p.(yt-x)(xty)=.:tP 2 _ ().:txyE*[(yt-x)2(xt y)2]=f(t)<f)由已知條件x=y=0處，p=p0確定積分常數(shù)f(t)二皿。于是流'7p場的壓力分布為P=Po-xy-￡'[(yt-x)2(xty)2]例4-4兩平板組成收縮渠道如圖438所示，已知流體理想、不B圖438收縮渠道B圖438收縮渠道兩平板延長線的交點Q設(shè)0A=1m，OB=2m.,A點的流速為vA=2m/s。試求沿壁面的壓力分布及流體對AB壁面的作用力。QF81D7bvUA解取平面極坐標系如圖所示。在壁面上任取一點 C,其半徑為r，設(shè)速度為v,壓力為p,假設(shè)無窮遠點的壓力p0為一個大氣壓，速度為零，列Bernoulli方程得4B7a9QFw9h2二上2g由于過C點和過A的過流斷面上流體的體積流量相等vAOA=v6vAOA=v6JT-r6將其代入＜a）式得壁面上的壓力分布為Po-寫<b)r沿壁面AB對壓力積分得流體對壁面的作用力2F2F「（P。-2?若平板外側(cè)也受到大氣壓po的作用，流體對壁面作用力的合力為圖圖441 成負號表示合力指向流體。如果我們向豎直放置的兩張紙中吹氣，兩張紙相吸就是這個道理。4.4動量方程、動量矩方程及其應用Bernoulli積分聯(lián)系了壓力和速度之間的關(guān)系，知道了流場的速度分布，就可以給出流場的壓力分布，進而求出流場中物體受到的合力。但有些流動十分復雜，很難給出其中的壓力分布，也就無法求出流體對物體的合作用力。解決這類問題可以借助于動量方程。ix6iFA8xoX4.4.1動量方程某一時刻t，在流體中任取一體積為V,邊界面為S的系統(tǒng)，n為S的單位外法向量，設(shè)系統(tǒng)受到的合外力為 P，如圖441所示。則系統(tǒng)內(nèi)流體的動量以及動量對時間的變化率分別為 wt6qbkCyDEin':vdV，rvdV<4.4.1)…V(t) Dt…V(t)合外力n根據(jù)牛頓第二定律ma=F，系統(tǒng)動量的變化率等于作用在系統(tǒng)上的合外力nit 加vdV=p<4-4.2)利用輸運公式<4.1.3)并令q=v，則上式等改寫出v^t^dVIvvnds<4.4.3）這就是建立在控制體上的Euler型動量方程。它表示控制體內(nèi)流體動量對時間的變化率與單位時間內(nèi)凈流出控制面的動量之和等于外界作用在控制體和控制面上的合力。方程中 vr=vn為控制面上流體速度的法向分量，流體流入控制體時 vn<0，流出控制體時vn>0。合外力P包括質(zhì)量力和表面力：p：hi卜fdV亠11pndS，這里V Spn是應力。Kp5zH46zRk若流動定常，：：（Wo，則<4.4.3）式簡化為II；vnvds二P<4.4.4）S這是定常流動的動量方程。記P=Pxi+Pyj+Pzk ，上式可寫成直角坐標系中的分量形式魁sPvnUdS=Px[Jvnvds=Py<4.4.5）iishnWdS=Pz需要指出，動量方程用于求解物體與流體間的相互作用，是一個積分形式的方程，它既適合于理想流體，也適合于粘性流體，對于理想流體，應力pn「pn。應用中為了得到簡化的結(jié)果，往往引入一些假設(shè)。例如：壁面無摩擦<或理想流體），忽略質(zhì)量力f、進出口流動均勻等。另外，動量方程是一個矢量方程，所以應合理的選取坐標系和控制體?？刂泼娴倪x取一般遵循如下規(guī)則： <1）速度和壓力為已知的面；＜2）物面或流面。因物面或流面上沒有流體的進出,vn=0，舟PvndS=O，而物面往往就是要求的受力面。 丫l4HdOAA61S4.4.2動量矩方程對于控制體而言，動量矩方程可以敘述為：控制體內(nèi)關(guān)于某一點的動量矩的變化率與單位時間內(nèi)流出控制面的動量矩之和等于外in''(r'V)dV (rv)(vn)ds=M<4.4.6)V :-t界作用在控制體上的力關(guān)于同一點的矩。ch4PJx4BII其中r為參考點到作用點的矢徑，m= r（rf）dV? （rpn）ds為控--- -"Sv制體上外力關(guān)于參考點的矩。在直角坐標系中，定常流動動量矩方程的分量形式為qd3YfhxCzo9J(yw-zv)Pvnds=MxS列(zu-xw)Pvnds=My卜S(447>ii〔xv-yuHVnds=MS圖442平板沖擊4.4.3動量及動量矩方程的應用E836L11DO5例4-5在大氣中流體對平板的斜沖擊如圖442所示。設(shè)寬為b0的二元流束以速度v0向平板AB沖擊，平板和流速的夾角為，不計粘性，求流體對平板的作用力。S42ehLvE3M解取坐標系oxy及控制體如圖所示，控制面S的三個端面應取在足夠遠，這樣三個端面上的流速可認為是常數(shù)。設(shè)P為流體對平板的沖擊力＜方向如圖），bl和b2分別為流束沖擊平板后分為上下兩流束的寬度。設(shè)除平板AB表面外，S上其余部分上的壓力為大氣壓p0沿x方向和y方向列動量方程有501nNvZFis<a)：訕初"（"咫「（-v0）（v0cosv）b0<a)0r（-vo）（-v°sin"b。沿流束上下表面分別列Bernoulli方程得v1=v2=v0＜b）由流管的連續(xù)方程知v°b0=vrbr*v?b2＜c）合并以上二式，得b^b1-b2＜d）將＜b）、＜c）式代入＜a）式,可得P=內(nèi)馬。sin&b1=^^b0》ve）2, 1-cos^,b^— b°2’P就是流體對平板的沖擊力，它的方向與圖示方向相同，指向平板F面應用動量矩方程求沖擊力作用點f的位置。以坐標原點o為力矩中心by b?V2b1v1 b2v2=eP22其中e為沖擊力P偏離坐標原點的距離of。將＜d）、＜e）兩式代入上式，整理得e=一b0ctg：負號表式f點在x軸的負向圖443明渠水流作用于閘門上的力例4—6明渠水流經(jīng)閘門的流動如圖443所示。假定水流是理想流體，流動是平面定常的，上游 1-1和下游2-2截面上流速均勻,壓力分布與靜水情況相同。如果已知h1,h2和水的密度。試求流體作用于單位寬度閘門上力f。jW1viftGw9解取控制體＜虛線）及坐標系oxz如圖所示。明渠和閘門處于大氣中，在自由面和閘門右側(cè)面上受到大氣壓力pa的作用。而在閘門左側(cè)，大氣壓力通過運動水流傳遞并作用在閘門上，因此，大氣作用在閘門上的合力為零。xSODOYWHLP設(shè)1-1和2-2截面上的流速分別為乂和V，由連續(xù)性方程知Vihi=V2h2<a)沿自由面流線列伯努利方程22Yk.Pa.h^=V^-pah2<b)TOC\o"1-5"\h\z2g 12g 2為了建立閘門受力與運動水流的關(guān)系，沿 x方向列動量方程hl h2-F亠IPjdz-p2dz=「V22h2乂筑<c)0 0又根據(jù)已知條件，1-1和2-2截面上的壓力分布分別為p^(h^-z)和p2二(h2-z)，代入上式得h1 h22 2F=(hi-z)dz-(h2-z)dz-：'V2h2-Mho o <d)y=-h2-h；廠「M2h1-沖2即2聯(lián)立<a)<b)<d)式解得流體作用于單位寬度閘門上合力的大小為A-h2F=2gh2方向指向右。上式表明，在理想流體的假定下，得到上下游的水深，便可算出閘門所受水流動力4.5旋渦運動基本定理■■r'v(r ,tdt)l--!v(r,t)l<4.5.3)4.5.1開爾文vKelvin)定理定理1如果質(zhì)量力有勢，流體理想且正壓，則沿由某些確定流體質(zhì)點所組成的封閉流體線的速度環(huán)量 不隨時間而變，即LOZMklqlOw卩0<4.5.1)DtKelvin定理又稱為湯姆遜vThomson定理。證明為證明這一定理，先證明如下公式—vdl DVdl<4.5.2)Dt 丨Dt如圖4.5.1所示，如圖4.5.1所示，l(t>為速度環(huán)量。設(shè)經(jīng)過時間dt為t時刻的圭寸閉流體線，，該流體線隨流體質(zhì)點移動到(t+dt> ，速度環(huán)量為設(shè)則兩個時刻速度環(huán)量差為t)ZKZUQsUJed其中r為流體質(zhì)點經(jīng)dt時間的位移。由圖可見，封閉流體線I和l上的微分弧長J和j之間有關(guān)系式』二|(v+dv)dt-vdt+O(dt2)，將它代入<4.5.3)式并略去高階小量，得dGY2mcoKtT丨「-| (r、r,tdt)(-\vdt)-v(r,t)、I“Jv(r r,tdt)-v(r,t)]、l亠iv(r、r,tdt)vdt<4.5.4)于是，I(t> 上速度環(huán)量的質(zhì)點導數(shù)為珂忸舟(r r,tdt)-v(r,t))、I亠iv(r r,tdt)、vdt]<4.5.5)因為v(r+:r,t+dt> -v(r,t> 是流體質(zhì)點的速度增量v，故<4.5.5)式等號右端第一項積分的被積函數(shù)是流體質(zhì)點的加速度Dy。rCYbSWRLIADt而第二項積分vv=|】d(V2)=0。當dt-；0時既證得公式<4.5.2)。下面證明Kelvin定理。由于質(zhì)量力有勢，f=u，流體正壓，5二空，將它們代入理想流體的Euler運動微分方程<424)得pFyXjoFIMWhDy=-<4.5.6)Dt將上式代入<4.5.2)式得cUI二)dI二一jd(U二)=0DtKelvin 定理反映了流體在運動過程中旋渦強度的保持性，該定理的三個條件通常稱為Kelvin條件。下面介紹Kelvin定理的幾個推論。TuWrUpPObX4.5.2拉格朗日定理-渦量不生不滅定理定理2:如果質(zhì)量力有勢，流體理想且正壓，若某一時刻流場無旋，則在以后的流動中流場始終無旋。證明：設(shè)t時刻流場無旋，則流場中處處有qvv=0,因此通過流場中任意曲面的渦通量 qnds=0。昇s由Stokes速度環(huán)量定理（3.6.5＞可知，沿該曲面的封閉邊界流體線的速度環(huán)量。又由Kelvin定理＜4.5.1）可知，沿該圭寸閉流體線的環(huán)量將始終為零，也就是說，t以后的任意時刻通過任意曲面的渦通量等于零，即流場始終無旋。7qWAq9jPqE拉格朗日定理說明，如果質(zhì)量力有勢，流體理想且正壓，本來是無旋運動就不可能變?yōu)橛行\動，或相反，本來具有旋渦就不會消失，旋渦不會憑空產(chǎn)生，也不會憑空消失。同時，由拉格朗日定理的前提條件也說明了旋渦產(chǎn)生的起因：＜1）流體的粘性＜非理想流體），如無旋的均勻來流經(jīng)過物體時邊界層內(nèi)流體運動是有旋的；＜2）非正壓流場，如大氣和海洋中的密度分層可以形成旋渦； ＜3）非有勢力場，如地球上的氣流由于哥氏力的作用可以生成旋渦，在極端情況下，可以形成很強烈的旋風。另外，流場的間斷 <非連續(xù)）也可以形成旋渦，如高速均勻氣流經(jīng)曲面激波后就會形成有旋流動。IIVIWTNQFk4.5.3亥姆霍茲<Helmholtz）定理-渦線和渦管保持定理定理3如果質(zhì)量力有勢，流體理想且是正壓，則組成渦線的流體質(zhì)點永遠組成此渦線。渦線可看成兩個渦面的交線，因此，只需證明了渦面的保持性渦線的保持性就得以證明。t時刻在流體中任取一渦面S,則渦面上處處（Iv）n二0。由速度環(huán)量定理可知，此渦面上任意封閉流體線 C的速度環(huán)量等于零。在以后的任意時刻，曲面S運動到新的曲面S，封閉流體線C也隨曲面S運動到新的流體線C，根據(jù)Kelvin定理，流體線C'的速度環(huán)量仍等于零，即新曲面S上處處cv）n=0，仍為渦面。yhUQsDgRT1設(shè)渦線C是兩個渦面S1和S2的交線。由渦面保持定理可知，這兩個渦面在t后任意時刻始終由原來的流體質(zhì)點所構(gòu)成，因此它們的交線也始終是相同流體質(zhì)點組成的渦線。MdUZYnKS8I定理4如果質(zhì)量力有勢，流體理想且正壓，則組成渦管的流體質(zhì)點始終組成此渦管，并且渦管的強度不隨時間而變。即渦管及渦管強度保持定理。因渦管表面就是渦面，渦面具有保持性，因此渦管也具有保持性。在渦管表面上任取一圍繞渦管的封閉流體線，則此流體線的速度環(huán)量等于同一瞬時渦管的渦通量。由 Kelvin定理可知,該封閉流體線的速度環(huán)量不隨時間而變，因此該渦管的渦通量也不隨時間而變。09T7t6eTno綜上所述，Kelvin定理、拉格朗日定理及亥姆霍茲定理全面地描述了理想正壓流體在有勢場中運動時渦量演化的基本規(guī)律。這些定理表明，若質(zhì)量力有勢，流體理想且正壓，則無旋運動永遠是無旋運動，有旋運動永遠是有旋運動；若不滿足Kelvin條件的任一條，則運動過程中會產(chǎn)生新的旋渦，無旋變成有旋；渦線、渦面、渦管及渦管強度具有保持性。e5TfZQIUB54.5.4畢奧—沙伐Biot—Savart定理一渦線的誘導速度我們知道，電流在磁場中會誘導磁場強度，類似地，渦線在流場中會誘導速度。電學、磁學和

這種不同性質(zhì)的物理現(xiàn)象存在的這種關(guān)系稱為比擬。下面由電流誘導磁感應強度的畢奧一沙代vBiot-Savart）定理比擬給出渦線的誘導速度表達式。sISovAcVQM圖4.5.2渦線誘導速度如圖4.5.2圖4.5.2渦線誘導速度線上任取一微元弧長dl，M為渦線外流場中任意一點,r為微元弧長dl到M點的矢經(jīng)。由物理中的Biot-Savart定理得渦線微元弧長dI在M點誘導的速度<稱為誘導速度）為GXRw1kFW5s」rdHrdv 「加r<4.5.7）dHr=dlrsin^(4.5.8>將其代入< ）式得誘導速度dv的大小為<4.5.9)對無限長直渦線， 對無限長直渦線， 「7,〉[=0，代入＜4.5.10）式得當渦線是任意曲線時，整個渦線在M產(chǎn)生的誘導速度是各微元弧長誘導速度的矢量和。當渦線是直線時，各微元弧長在同一點上產(chǎn)生的誘導速度方向相同，因此直渦線產(chǎn)生的合誘導速度值是各微元弧長誘導速度的代數(shù)和。下面由＜4.5.9）式給出直渦線的誘導速度公式。UTREx49Xj9設(shè)直渦線的長度為L,點M距直渦線＜或其延長線）的距離為R，渦量門的方向與-z軸的正向一致，速度環(huán)量丨與渦量門之間符合右手定則。由圖4.5.2可見8PQN3NDYyPjiz=Rtg()=-Rctg：2yr圖4.5.4平面點渦誘導速度dl=dz=Rcse:dyr圖4.5.4平面點渦誘導速度r二Rsec(-3)=Rcse將這些關(guān)系式代入＜4.5.14）式沿直線I積分，得誘導速度的大小為V生孚 sin：d：[4兀r2 4兀(4.5.10>r(4.5.