2011高考數(shù)學(xué)第一輪選考4-2矩陣與變換素材理蘇教版

選考4-2知識體系二階矩陣與平面向量幾種常見的平面變換矩陣與變換變換的復(fù)合與矩陣的乘法逆變換與逆矩陣特征值與特征向量矩陣的簡單運用最新考綱二階矩陣與平面向量了解矩陣的有關(guān)概念，掌握二階矩陣與平面列向量的乘法.幾種常見的平面變換理解矩陣對應(yīng)的變換，把平面上的直線變成直線，即A(λια+λ2β)=λ1Aα+λ2Aβ.理解幾種常見的平面變換：恒等變換、伸壓變換、反射變換、旋轉(zhuǎn)變換、投影變換、切變變換；了解單位矩陣.矩陣的復(fù)合與矩陣的乘法掌握二階矩陣的乘法，理解矩陣乘法的簡單性質(zhì)(不滿足交換律、滿足結(jié)合律、不滿足消去律).逆變換與逆矩陣?yán)斫饽婢仃嚨囊饬x，掌握二階矩陣存在逆矩陣的條件.理解逆矩陣的唯一性和(AB)ι=BT41等簡單性質(zhì)，并了解其在變換中的意義.會從幾何變換的角度求出AB的逆矩陣.了解二階行列式的定義,會用二階行列式求逆矩陣.了解用變換與映射的觀點解二元線性方程組的意義.會用系數(shù)矩陣的逆矩陣解二元線性方程組.理解二元線性方程組解的存在性、唯一性.特征值與特征向量掌握二階矩陣特征值與特征向量的意義.會求二階矩陣的特征值與特征向量(只要求特征值是兩個不同實數(shù)的情形).會用二階矩陣的特征值、特征向量解決簡單的問題.了解三階或高階矩陣.了解矩陣的簡單應(yīng)用.基礎(chǔ)熱身.矩陣的相關(guān)概念（1）矩陣定義：在數(shù)學(xué)中，我們把形如809086883m-24這樣的2323陣列稱為矩陣.同一橫排中按原來次序排列的一行數(shù)（或字母）叫做矩陣的，同一豎排中按原來次序排列的一列數(shù)（或字母）叫做矩陣的，而組成矩陣的每一個數(shù)（或字母）稱為矩陣的.（2）上述三個矩陣分別是2×1矩陣，2X2矩陣（二階矩陣），2X3矩陣，注意行的個數(shù)在刖.（3）矩陣相等：行數(shù)、列數(shù)分別,對應(yīng)的元素也分別的兩個矩陣，此時記作A=B.a（4）行矩陣：［a11,a12］（僅有一行），列矩陣：11（僅有一列）.12 aL21」X（5）向量a=（x,y），平面上的點P（x,y）都可以看成行矩陣［x,y］或列矩陣 ，規(guī)定所有Ly」的平面向量均寫成向量Xy的形式.⑹重點在于對矩陣概念的理解，二階矩陣與平面列向量的乘法運算.明確一個二階矩陣和一個平面向量的乘法對應(yīng)著一個變換，它把平面上的一個向量變成另一個向量..二階矩陣與平面向量的乘法（I）定義：規(guī)定行矩陣tαιι"I?］與列矩陣/H的乘法規(guī)則為Lu21a]12bJ=b21a二階矩陣11aL21a「X]a12與列向量0的乘法規(guī)則為11a22y0a21a12a22X0y0」,（2）由矩陣M確定的變換T通常記作T，要求能夠熟練地進行矩陣的乘法形式與坐標(biāo)形M式之間的轉(zhuǎn)換，并能從幾何的角度理解這種變換..二階矩陣與線性變換101012（1）一些常見的基本的變換矩陣，如：cosθsinθ-sinθ

sinθ0-1-100-11010 0110 0110-100-1,0110 0-1-10 01-100-1111101100102001000111等，理解這些變換的幾何意義.（2）二階矩陣對于平面向量所實施的變換，都是，即有M（λ1α+λ2β）=λ1Mα+λ2Mβ,這樣，我們在研究多邊形以及直線在矩陣的變換作用下所形成的圖形時，只須考慮端（頂）點的變化結(jié)果即可，這也是后面運用特征值與特征向量求解問題的依據(jù).(3)伸壓、反射、切變變換這三種幾何變換稱為，對應(yīng)的變換矩陣稱為..變換的復(fù)合、矩陣的乘法以及矩陣乘法的簡單性質(zhì)(1)數(shù)乘平面向量：由矩陣的乘法可以看出，矩陣的乘法對應(yīng)于變換的復(fù)合，一一對應(yīng)的平面變換都可以看作這三種初等變換的一次或的復(fù)合.a(2)矩陣的乘法：一般地，對于矩陣11a21a12a22b√1b21b產(chǎn)，規(guī)定乘法法則為b22a a Ilb b\o"CurrentDocument"11 12 S廣a aIlb b21 22 21 22a×b+a×b11 11 21 21a×b+a×b21 11 22 21a×b+a ×b I11 12 12 22a ×b+a ×b I21 12 22 22⑶性質(zhì)：設(shè)A、B、C為三個不相等的非零矩陣，則①AB≠BA(即矩陣不滿足交換律).②A(BC)=(AB)C(即矩陣滿足結(jié)合律).③若AB=AC，但B≠C(即矩陣不滿足消去律)..二階行列式與逆矩陣、逆矩陣與二元一次方程組(1)逆矩陣的定義:對于二階矩陣A，B，若有AB=BA=—，則稱A是可逆的，B稱為A的.逆矩陣是唯一的.(2)性質(zhì)：①若二階矩陣A，B均存在逆矩陣，則AB也存在逆矩陣，且(AB)-1=.②已知人，B，C為二階矩陣，且AB=AC，若矩陣A存在逆矩陣，則.(3)行列式定義：我們把ab稱為 ，它的運算結(jié)果是一個 ，記為cddet(A)=a"=ad—bc.cd.特征值與特征向量(1)定義：設(shè)A是一個二階矩陣，如果對于實數(shù)入，存在一個向量a，使Aa=λa.那么稱為A的一個特征值，而a稱為A的屬于特征值λ的一個.la(2)特征多項式：設(shè)A=CbId是一個二階矩陣,λ∈R,我們把行列式λ—a —b2-C X-稱為A的特征多項式.基礎(chǔ)達標(biāo)1.1<3Tl3]l10] l—10]2.點M(1,3)在矩陣0_1作用下變換得到點M1，點M1在矩陣0_1作用下變換得到點此，則此的坐標(biāo)是.1 「0Γ.曲線y」Og%在M= 作用下變換的結(jié)果是曲線方程.? ?v√^12]Γ2.已知方程AX=B,其中A=,B= ,則X=乙J ?Γ-1-25.已知向量CL1二3,α=， 2,ɑ=1—4，若αFα]+nCL2，則m,n的值分別為互動學(xué)案典例分析XX1110X【例1】（1）已知變換（2）已知變換,試將它寫成坐標(biāo)變換的形式;—X-y,試將它寫成矩陣乘法的形式.XX分析對矩陣變換的基礎(chǔ)知識，首先要理解二階矩陣與平面向量的乘法對應(yīng)著平面向量之間的變換，并掌握這種變換的坐標(biāo)形式與矩陣乘法的形式.解（1）T：(2)T：x'—X-y-100-1XXχ+yXXy舉一反三1.向量-4在矩陣1-2作用下變換得到的向量是α=321【例2】計算下列各式，并從變換角度說明其幾何意義.105015(1)-12；(2)01021-15分析120運用二階矩陣與平面向量的乘法法則進行計算，通過比較變換前后的點的坐標(biāo)說明其幾何意義.解1055(1)0-12-2,顯然變換前后點的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)相反，這是關(guān)于X軸對稱的反射變換.O15 2(2)[02=5'變換前后點的橫、縱坐標(biāo)交換，這是關(guān)于直線y=χ對稱的反射變換.(3)-111×5+(-1)×2

0×5+l×23-,此變換保持點的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)按縱坐1O52標(biāo)的一倍減少，這是沿X軸負方向的切變變換.舉一反三^oΓ2.直線y=3x在矩陣M=?0作用下變換得到的圖形是.3x-y=5【例3】按要求解方程組CQ[x+2y=-3(1)用行列式求解；(2)用逆矩陣求解.分析用行列式求解二元一次方程組，就是求相應(yīng)的D,Dχ,Dy,而運用矩陣解方程組，首先要把方程組改寫為AX=B的形式，再由X=A-歸求解.解(1)因為D二3-1=3×2-(-l)×1=7,125-1Dx==5×2-(-l)×(-3)=7,—3235Dy=-3=3×(-3)-5×1=-14,1所以X=≤,=Z=1Dq,即y二J上7x=l>=—2'即原方程組的解為x=l)=—23(2)設(shè)A=,,B=-3則方程組可以表示為AX=B的形式，因為25yA所以X=AT工5+1x(-3)7 7(1\ 3/、--X5+—x(-3)I7) 7-2Ix=1則原方程組的解為《CI）=-21,舉一反三3.利用逆矩陣解下列方程組.IX+2y=3 I3X+y=8⑴《 ；（2）《∣4x-y=3， ∣2x-3y=3【例4】求下列矩陣的特征值和特征向量.（1）0-1-1

0（2）124分析常規(guī)方法應(yīng)是根據(jù)矩陣寫出特征多項式六人），由f（λ）=0求出特征值，代入方程Aα=λα求出相應(yīng)的特征向量，但若矩陣變換有明顯的幾何意義，則可根據(jù)變換特點寫出特征值與特征向量.解（1）從變換的幾何意義來看，矩陣01 01的作用是關(guān)于直線y=-x的反射變換，因此，與直線y=-x平行的向量保持變換前后的大小與方向都不變，有特征值λ1=1及相應(yīng)的特征向量（1，-1）；又與直線y=-x垂直的向量保持變換前后大小不變而方向相反，故有特征值λ2=-1及相應(yīng)的特征向量（1,1）.(2)特征多項式f(λ)=λ-11-2λ-4=λ2-5λ+6.由f（λ）=0，解得λ1=2,λ2=3.當(dāng)λ1=2時λ2=3時，（2-I）X-2y=0 JX=2X+（2-4）y=0 [y=1（3-1）X-2y=0 JX=1X+（3-4）y=0=[y=1綜上所述，矩陣-14有特征值λ1=2及相應(yīng)的特征向量(2，1)；特征值λ2=3及相應(yīng)的特征向量(1，1).舉一反三4.設(shè)矩陣A=-1的一個特征值為-1，則X的值是X22—X【例5】為了保證信息安全傳輸，設(shè)計一種密碼系統(tǒng)，其加密、解密原理如下圖:明文X-加密T密文Y一發(fā)送一密文Y解密》明文X現(xiàn)在加密方式為：把發(fā)送的數(shù)字信息X寫為“a11a21a12a22”的形式，先左乘矩陣A=6525411，-22再左乘矩陣B=14飛，得到密文Y，現(xiàn)在已知接收方得到的密文是4,12,32,64,試破解85該密碼.分析加密的過程經(jīng)過了兩次矩陣變換，可以先運用矩陣的乘法求出其變換的復(fù)合，再求其逆矩陣破解密碼.65解由題意，BA=1425851-241「22648一1(BA%1214(BA)X=321264X=(BA%尸123264-11232644,3412214008即發(fā)送的數(shù)據(jù)信息是2008.舉一反三5.當(dāng)兔子和狐貍處于同一棲息地時，若忽略其他因素，只考慮兔子數(shù)量和狐貍數(shù)量的相互影響，兩個種群的變化有如下規(guī)律：①由于自然繁殖，兔子數(shù)每年增長10%，狐貍數(shù)每年減少15%；②由于狐貍吃兔子，兔子數(shù)每年減少狐貍數(shù)的0.15倍，狐貍數(shù)每年增加兔子數(shù)的0.1倍；③第n年時，兔子數(shù)量用Rn表示，狐貍數(shù)量用Fn表示；④初始時刻（即第0年），兔子數(shù)量有R0=100只，狐貍數(shù)量有F0=30只.請用所學(xué)知識解決如下問題：（1）列出兔子與狐貍的生態(tài)模型；（2）求出Rn、Fn關(guān)于n的關(guān)系式；（3）討論：當(dāng)n越來越大時，兔子與狐貍的數(shù)量是否能達到一個穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，說明你的理由.易錯警示20【例1】求AB的逆矩陣,其中A=B=01，1004120錯解(ABKAB=20錯解分析運用公式(AB)1=B-1A-1求出AB的逆矩陣，而“錯解”中錯將公式記憶成(AB)-1=A-1B1正解,??A-1=20??.(AB)-1=B-1A-1=1B1=052【例2】求矩陣4-2的特征值和特征向量.錯解特征多項式f(λ)=X-5-4-2

λ+2=λ2-3λ+2.0，110014011001401401,412001120014由f(λ)=0，解得λι=1,λ2=2.錯解分析行列式的運算公式運用錯誤導(dǎo)致特征值求錯.常規(guī)方法應(yīng)是根據(jù)矩陣寫出特征多項式f(λ),由f(λ)=0求出特征值，代入方程Aα=λα求出相應(yīng)的特征向量.正解特征多項式f(λ)=λ-5-4-2

λ+2=λ2-3λ-18.由f(λ)=0,解得λ1=6,λ2=-3.[(6-5)X-2y=0

當(dāng)λ1=6時，1]-4X+(6+2)y=0IX=2n]y=1當(dāng)λ2=-3時，(-3-5)X-2y=0 JX=1-4X+(-3+2)y=0n[y=-452綜上所述，矩陣有特征值λ1=6及相應(yīng)的特征向量(2,1)；特征值λ2=-3及相應(yīng)的特-征向量(1,-4).考點演練「21 「11?向量。=-4在矩陣221作用下變換得到的向量是,2.如果矩陣113.計算1O4.5.6.7.8.9.α2O1把點A變成點B(3,1),則點A的坐標(biāo)是O-32522-311522已知點P(χ,y)在矩陣M的作用下變換為點)(-y,-x),則矩陣g若43X23X=x,則X=曲線X2+4xy+2>2:l在矩陣已知矩陣M=若N421a31b1O1-1O-32,N=2-11OO-1,貝IJN=,則的作用下變換成曲線炒-2牛=1,則a+b=(MN);已知二階矩陣A有特征值λ1=3及對應(yīng)特征向量10.11.12.1α111-1,則矩陣A=已知A=O234,B=1O-2-3研究函數(shù)y=2sinx在矩陣M=已知矩陣M=3212α=,若AX=B,則X=O9O33,B，特征值入2=T及對應(yīng)特征向量對應(yīng)的變換作用下的結(jié)果.39,求跖a,MB?參考答案

選考4-2基礎(chǔ)梳理（1）矩形數(shù)字（或字母）（3）相等相等（1）[a11×b11+a12×b21]行列元素a×X11 0a×X21 0+a×12+a×22yy0」3.(2)4.(1)線性變換（3）初等變換初等變換矩陣多次5.(1)E逆矩陣⑵B-1A-1B=C（3）二階行列式數(shù)值6.(1)非零λ特征向量(2)λ2-(a+d)λ+ad-bc基礎(chǔ)達標(biāo)-21.2.3.2√3解析:1（-1，3）解析:10-布］「1110111×1+√3×1+1×√3—101-2一2幣-1—13—30—1—3—3y=2X解析：由TM：Xy」T01X10」y」，即Tm：XyTXy,yX，顯然TM實施的是關(guān)于直線y=x的對稱變換，曲線y=logX關(guān)于直線y=x對稱的方程是y=22X—414.X=A-1B=—35.解析:AX=B得X=A-1B.因為A=—4由α=mα1+nα2得<,3m+n=—43」所以A-1—3—1」31222—151由31221，22,即2，5解析:m—n=2解得41m=——25n=——2舉一反三11L2解析:12-213-4"1×3+(-2)×(-4)^∣Γ11^2×3+1×(-4)21 「02.y=-3χ解析：由IX二y即有r,n,y二XX二yy二XXXX10yyX知飛Tyy,yX所以x'=-3y',1即y':-3χ’.12Xy333.(1)設(shè)A=X=，B=則方程組可表示為AX=B,11又A4A，IX二1即原方程組的解為《1Iy=1（2）設(shè)A=1-3X=,B=則方程組可表示為AX=B，32yX83\o"CurrentDocument"3 1又A-1二11 11工-上L11 11則X=A即原方程組的解為K27X二一117y二?111±√6 解析：矩陣A的特征多項式為f(λ)=λ2-(x+2-x)λ+x(2-x)+2=0，所以f(-1)=1+2+x(2-x)+2=0，整理得X2-2x-5=0，解得x二1±√6.[R=1.1R-0.15F(I)IFn=0.1Rn-1+0.85Fnτ(n≥1).n n-1 n-1「R1(2)設(shè)αn=Fn,M=1.10.1—0.150.85n.?.αn=Mαn-1=M(Mαn-2)=…=Mnα0?又矩陣M的特征多項式X—1.1 0.15f(λ)= CL=λ2-1.95λ+0.95=(λ-1)(λ-0.95).—0.1λ—0.85令,(入)=0,得λ1=1,λ2=0.95.特征值入1=1對應(yīng)的一個特征向量α1=3一2，11特征值入2=0.95對應(yīng)的一個特征向量為α2=0=10030二70—110；=7001-110,且α32α2，.?.αn=Mnα0=70λnα1-110λnCL21 23=70-110X0.95n211210—110X0.95n140—110X0.95n.[R=210-110X0.95n?F=140-110X0.95nn⑶當(dāng)n越來越大時，0.95n越來越接近于0,Rn,Fn分別趨向于常量210,140.即隨著時間的增加，兔子與狐貍的數(shù)量逐漸增加，當(dāng)時間充分長后，兔子與狐貍的數(shù)量將達到一個穩(wěn)定的平衡狀態(tài).考點演練1?2?3.—60(2,1)—310解析:12212—4解析：設(shè)A(x,y)11解析：10,-1x2+2X(—4)-

=2X2+1x(—4)=則有01「—32JL511x01y—60x+)y31,所以<X+y=3y=1nx=2y=11x(—3)+0X50x(-3)+2X5—310\o"CurrentDocument"11x(—3)+-×5211-x(-3)+-×52 2114.0-1-10\o"CurrentDocument"a a解析：設(shè)M= 11 12\o"CurrentDocument"a a21 22X由題意得M

y-y—Xa即11

a21a x12a y22-y—X,即Jax+ay=-y11 12 nax+ay=-x21 22a=0a??=-1〈12Ja=-121a=022M=0-1-10x25.-2或3解析：3X=X2-6.由X2-6=x,得X2-χ-6=0,解得x=-2或x=3.1a6?2解