《數(shù)學(xué)分析2》讀書(shū)報(bào)告3800字

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《數(shù)學(xué)分析2》讀書(shū)報(bào)告課程內(nèi)容框架：本課程的主要內(nèi)容包括：極限理論（數(shù)列和函數(shù)的極限）、實(shí)數(shù)理論（實(shí)數(shù)系的完備公理體系）、一元函數(shù)微積分學(xué)（包括導(dǎo)數(shù)與微分、微分學(xué)中值定理、微分學(xué)基本定理、不定積分、Riemann定積分、可積理論、反常積分）、級(jí)數(shù)理論（數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)、冪級(jí)數(shù)、Fourier級(jí)數(shù)）、多元函數(shù)微積分學(xué)（偏導(dǎo)數(shù)、全微分、含參變量積分、多重積分、曲線積分與曲面積分、隱函數(shù)定理）。要求：在教學(xué)上要求我們學(xué)生能掌握四個(gè)基本方面，即基本概念、基本理論、基本方法和基本技巧。在教學(xué)基本要求上分為三個(gè)檔次，即掌握、理解和了解。理解：對(duì)基本概念一般只要求能從正面理解；對(duì)基本理論一般要求能應(yīng)用和了解如何證明；對(duì)基本方法一般要求能掌握運(yùn)用，但不要求很熟練和技巧性。了解：對(duì)基本理論只要求能用，不要求掌握證明方法（例如隱函數(shù)存在定理、重積分一般變量替換公式和富里埃級(jí)數(shù)收斂性理論按此要求）；對(duì)基本方法一般要求會(huì)做，不要求靈活技巧。正文第十二章數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)要點(diǎn)：級(jí)數(shù)收斂與和的定義，柯西準(zhǔn)則與收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)，正項(xiàng)級(jí)數(shù)比較原則，比式判別法、根式判別法與積分判別法，一般項(xiàng)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂與條件收斂，交錯(cuò)級(jí)數(shù)與萊布尼茨判別法，狄利克雷（Dirichlet）判別法與阿貝爾（Abel）判別法，絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的重排定理。要求：掌握數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的定義和收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)。掌握判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的各種方法，包括比較判別法、比式判別法、根式判別法和積分判別法。掌握條件收斂和絕對(duì)收斂的定義，掌握交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茨判別法。了解一般項(xiàng)級(jí)數(shù)的狄利克雷判別法與阿貝爾判別法，了解絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)。重點(diǎn)：數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性定義和收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)，正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的各種方法，條件收斂和絕對(duì)收斂的定義。難點(diǎn)：應(yīng)用柯西收斂準(zhǔn)則判別級(jí)數(shù)的斂散性，狄利克雷判別法和阿貝爾判別法，絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)。第十三章函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)要點(diǎn)：函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂與一致收斂概念，一致收斂的柯西準(zhǔn)則，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的維爾斯特拉斯（Weierstrass）優(yōu)級(jí)數(shù)判別法，狄利克雷（Dirichlet）判別法與阿貝爾（Abel）判別法，函數(shù)列極限函數(shù)與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和的連續(xù)性、可積性和可微性。要求：掌握函數(shù)序列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性的定義，理解函數(shù)序列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性判別的柯西準(zhǔn)則，掌握函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性的魏爾斯特拉斯判別法。了解函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性的狄利克雷判別法和阿貝爾判別法。掌握一致收斂函數(shù)序列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的連續(xù)性、可積性和可微性。重點(diǎn)：函數(shù)序列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性的定義，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性的魏爾斯特拉斯判別法，一致收斂函數(shù)序列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的連續(xù)性、可積性和可微性。難點(diǎn)：狄利克雷判別法和阿貝爾判別法。一致收斂函數(shù)序列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的連續(xù)性，可積性和可微性的證明。第十四章冪級(jí)數(shù)要點(diǎn)：阿貝爾定理，冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間和收斂域，一致收斂性、連續(xù)性、逐項(xiàng)積分與逐項(xiàng)求導(dǎo)，冪級(jí)數(shù)的四則運(yùn)算，泰勒級(jí)數(shù)、泰勒展開(kāi)的條件，初等函數(shù)的泰勒展開(kāi)，近似計(jì)算，復(fù)變量指數(shù)函數(shù)與歐拉（Euler）公式。要求：熟練掌握阿貝爾定理，掌握冪級(jí)數(shù)收斂半徑和收斂區(qū)間的定義與求法。掌握冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)算。掌握泰勒級(jí)數(shù)和麥克勞林級(jí)數(shù)展開(kāi)式，熟記五種基本初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式。初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)。重點(diǎn)：阿貝爾定理，冪級(jí)數(shù)收斂半徑，冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)算，泰勒級(jí)數(shù)和麥克勞林級(jí)數(shù)展開(kāi)，初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)。難點(diǎn)：阿貝爾定理，用逐項(xiàng)求積和逐項(xiàng)求導(dǎo)的方法展開(kāi)初等函數(shù)。第十五章傅里葉級(jí)數(shù)要點(diǎn)：三角級(jí)數(shù)、三角函數(shù)系的正交性、傅里葉（Fourier）級(jí)數(shù)，以2?為周期的函數(shù)展開(kāi)，傅里葉級(jí)數(shù)的收斂定理，以2l為周期的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)，奇函數(shù)與偶函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)，收斂定理的證明。要求：掌握三角級(jí)數(shù)和傅里葉級(jí)數(shù)定義，掌握三角函數(shù)系的正交性，了解傅里葉級(jí)數(shù)的收斂定理．能夠展開(kāi)比較簡(jiǎn)單的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)。掌握以2l為周期的函數(shù)的展開(kāi)式，偶函數(shù)和奇函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)的展開(kāi)，正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)。了解貝塞爾不等式，黎曼—勒貝格定理。重點(diǎn)：傅里葉級(jí)數(shù)定義，三角函數(shù)系的正交性，傅里葉級(jí)數(shù)的收斂定理，按要求將函數(shù)展開(kāi)為的傅里葉級(jí)數(shù)。第十六章多元函數(shù)的極限與連續(xù)要點(diǎn)：平面點(diǎn)集概念（鄰域、內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)、聚點(diǎn)、孤立點(diǎn)、開(kāi)集、閉集、區(qū)域、連通性），平面點(diǎn)集的基本定理（區(qū)域套定理、聚點(diǎn)原理、有限覆蓋定理），二元函數(shù)概念，二重極限、累次極限，二元函數(shù)的連續(xù)性、有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。要求：了解平面中的鄰域、開(kāi)集、閉集、開(kāi)域和閉域的定義，了解R的完備性，掌握二元及多元函數(shù)的定義．掌握二元函數(shù)的極限的定義，了解重極限與累次極限的區(qū)別與聯(lián)系，理解判別極限存在性的基本方法．掌握二元函數(shù)的連續(xù)性的定義，了解有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。重點(diǎn)：鄰域、開(kāi)集、閉集、開(kāi)域和閉域的定義，二元函數(shù)極限的定義，重極限與累次極限的區(qū)別與聯(lián)系，判別極限存在性的基本方法，二元函數(shù)連續(xù)性的定義。難點(diǎn)：R的完備性定理，重極限與累次極限的區(qū)別與聯(lián)系，有界閉域上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的證明要點(diǎn)。第十七章多元函數(shù)微分學(xué)要點(diǎn)：偏導(dǎo)數(shù)定義及其幾何意義，全微分概念及全微分的幾何意義，全微分存在的充分條件，全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用，復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分，一階微分形式不變性，方向?qū)?shù)與梯度，混合偏導(dǎo)數(shù)與其順序無(wú)關(guān)性，高階導(dǎo)數(shù)與高階微分，二元函數(shù)的泰勒定理，二元函數(shù)的極值。要求：掌握多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)、可微性與全微分的定義，掌握可微的必要條件與充分條件。掌握復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t。理解一階全微分形式不變性。掌握方向?qū)?shù)與梯度的定義與計(jì)算。掌握二元函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù)。理解泰勒公式的定義。掌握二元函數(shù)的極值的必要條件與充分條件。重點(diǎn)：多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)、可微性與全微分的定義，可微的必要條件與充分條件，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t，方向?qū)?shù)與梯度的定義與計(jì)算，二元函數(shù)極值的必要條件與充分條件。22難點(diǎn)：可微的必要條件與充分條件，一階全微分形式不變性，混合偏導(dǎo)數(shù)與求導(dǎo)次序無(wú)關(guān)的定理的證明以及二元函數(shù)的極值的充分條件定理的證明。第十八章隱函數(shù)定理及其應(yīng)用要點(diǎn)：隱函數(shù)概念、隱函數(shù)定理、隱函數(shù)求導(dǎo)，隱函數(shù)組概念、隱函數(shù)組定理、隱函數(shù)組求導(dǎo)，反函數(shù)組與坐標(biāo)變換，函數(shù)行列式，幾何應(yīng)用、條件極值與拉格朗日乘數(shù)法。要求：掌握隱函數(shù)概念，理解隱函數(shù)定理，掌握隱函數(shù)求導(dǎo)法。掌握隱函數(shù)組存在的條件，掌握隱函數(shù)組求導(dǎo)法。掌握用隱函數(shù)和隱函數(shù)組求導(dǎo)法求平面曲線的切線與法線、求空間曲線的切線與法平面、求曲面的切平面與法線。了解拉格朗日乘數(shù)法及用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值。重點(diǎn)：隱函數(shù)概念、隱函數(shù)定理與隱函數(shù)求導(dǎo)法，隱函數(shù)組存在的條件與隱函數(shù)組求導(dǎo)法，隱函數(shù)和隱函數(shù)組求導(dǎo)法求平面曲線的切線與法線、求空間曲線的切線與法平面、求曲面的切平面與法線。拉格朗日乘數(shù)法。難點(diǎn)：隱函數(shù)定理、隱函數(shù)組和反函數(shù)組定理的證明，拉格朗日乘數(shù)法，用條件極值的方法證明或構(gòu)造不等式。第十九章含參量積分要點(diǎn)：含參量正常積分的連續(xù)性、可微性和可積性，含參量反常積分的收斂與一致收斂定義，一致收斂的柯西準(zhǔn)則與維爾斯特拉斯（Weierstrass）判別法，含參量反常積分的連續(xù)性、可積性與可微性。要求：掌握含參量正常積分的連續(xù)性、可微性和可積性定理，掌握含參量正常積分的求導(dǎo)法則。掌握含參量反常積分的一致收斂性概念，含參量反常積分的連續(xù)性、可積性與可微性，掌握含參量反常積分的魏爾斯特拉斯判別法，了解狄里克雷判別法和阿貝爾判別法。重點(diǎn)：含參量正常積分的連續(xù)性、可微性和可積性定理及應(yīng)用，含參量反常積分的一致收斂性概念，含參量反常積分的魏爾斯特拉斯判別法，含參量反常積分的連續(xù)性、可積性與可微性及應(yīng)用。難點(diǎn)：含參量正常積分與反常積分的連續(xù)性、可積性與可微性定理的證明及應(yīng)用，狄里克雷判別法和阿貝爾判別法。第二十章曲線積分要點(diǎn)：第一型曲線積分和第二型曲線積分的定義、性質(zhì)與計(jì)算，兩類曲線積分的聯(lián)系。要求：掌握第一型曲線積分的定義、性質(zhì)和計(jì)算公式。掌握第二型曲線積分的定義和計(jì)算公式。了解第一、二型曲線積分的聯(lián)系。重點(diǎn)：第一型曲線積分的定義和計(jì)算，掌握第二型曲線積分的定義和計(jì)算。難點(diǎn)：第二型曲線積分的定義，兩類曲線積分的聯(lián)系。第二十一章重積分要點(diǎn)：平面圖形的面積，二重積分定義與性質(zhì)，二重積分計(jì)算（化為累次積分），格林（Green）公式，曲線積分與路徑無(wú)關(guān)條件，二重積分的換元法（極坐標(biāo)與一般變換），三重積分定義與計(jì)算，三重積分的換元法（柱坐標(biāo)、球坐標(biāo)與一般變換），重積分應(yīng)用（體積，曲面面積，重心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、引力等），n重積分的定義與計(jì)算，無(wú)界區(qū)域上的二重積分定義及收斂性概念。無(wú)界函數(shù)的二重積分定義及收斂性概念。要求：掌握二重積分的定義和性質(zhì)。掌握直角坐標(biāo)下二重積分的計(jì)算。掌握格林公式以及曲線積分與路線無(wú)關(guān)的條件，理解格林公式以及曲線積分與路線無(wú)關(guān)的條件的定理的證明。理解二重積分的一般的變量變換公式，掌握用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分。掌握三重積分的定義和性質(zhì)，掌握化三重積分為累次積分及用柱面坐標(biāo)變換和球面坐標(biāo)變換計(jì)算三重積分的方法。掌握曲面面積的計(jì)算公式，了解物體重心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和引力的計(jì)算。重點(diǎn)：二重積分的定義和性質(zhì)，直角坐標(biāo)下二重積分的計(jì)算，格林公式以及曲線積分與路線無(wú)關(guān)的條件，二重積分的一般的變量變換公式與極坐標(biāo)變換，化三重積分為累次積分及用柱面坐標(biāo)變換和球面坐標(biāo)變換計(jì)算三重積分的方法。難點(diǎn)：平面點(diǎn)集可求面積的充要條件，二元函數(shù)可積的充要條件，二重積分化為累次積分公式的證明，二重積分的一般的變量變換公式的證明，化三重積分為累次積分。五、教材與參考書(shū)1．華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系．?dāng)?shù)學(xué)分析（上冊(cè)，下冊(cè)）第3版．高等教育出版社，20xx2．陳紀(jì)修等．?dāng)?shù)學(xué)分析（上冊(cè)，下冊(cè)）第２版．高等教育出版社，20xx3．吳良森等．?dāng)?shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)指導(dǎo)書(shū)（上冊(cè)，下冊(cè)）．高等教育出版社，20xx

第二篇：數(shù)學(xué)分析讀書(shū)報(bào)告3500字?jǐn)?shù)學(xué)讀書(shū)報(bào)告對(duì)數(shù)學(xué)分析六個(gè)基本定理的感想課程名稱數(shù)學(xué)文化學(xué)生姓名代廣武學(xué)生學(xué)號(hào)20xx303630____專業(yè)應(yīng)用物理學(xué)所在院系理學(xué)院我的專業(yè)是應(yīng)用物理學(xué)，所以我對(duì)數(shù)學(xué)專業(yè)所學(xué)的數(shù)學(xué)分析具有濃厚興趣，重點(diǎn)研究了數(shù)學(xué)分析的六大基本定理。他們互推互證構(gòu)成的循環(huán)讓我十分驚奇。大體上講，數(shù)學(xué)分析就是研究實(shí)數(shù)范圍內(nèi)微分和積分的數(shù)學(xué)分支。它是在極限理論基礎(chǔ)上，以定義在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的函數(shù)為討論對(duì)象的一門數(shù)學(xué)專業(yè)基礎(chǔ)課。追溯歷史，早在17世紀(jì)，Newton和Lebniz就各自獨(dú)立地發(fā)明了微積分，當(dāng)時(shí)是出于解決具體問(wèn)題的需要。不過(guò)，那時(shí)的理論很不完善，諸如“無(wú)窮小”之類的概念根本沒(méi)有嚴(yán)格的定義，由此引發(fā)出許多問(wèn)題和矛盾。后來(lái)，Cauchy和Weierstrass等人引入嚴(yán)格的分析語(yǔ)言，為分析學(xué)奠定了牢固的根基。他們的工作已經(jīng)成為經(jīng)典，成為數(shù)學(xué)系本科生的入門知識(shí)。再次附上這六個(gè)大名鼎鼎的定理，他們是數(shù)學(xué)分析的邏輯基礎(chǔ)，個(gè)人認(rèn)為要掌握他們難度還是不小的。1.實(shí)數(shù)基本定理的陳述實(shí)數(shù)基本定理以不同的形式刻劃了實(shí)數(shù)的連續(xù)性和完備性，實(shí)數(shù)基本定理是建立與發(fā)展微積分學(xué)的基礎(chǔ)。因此掌握這部分內(nèi)容是十分必要的，特別是可通過(guò)這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)與鉆研，培養(yǎng)嚴(yán)密的邏輯思維能力。為了方便起見(jiàn)，我們先敘述實(shí)數(shù)理論的8個(gè)基本定理。定理1(確界原理)非空有上(下)界數(shù)集，必有上(下)確界。定理2(單調(diào)有界原理)任何單調(diào)有界數(shù)列必有極限。定理3(Cantor區(qū)間套定理)若{[an,bn]}是一個(gè)區(qū)間套,則存在唯一一點(diǎn)?，使得??[an,bn],n?1,2,?。定理4(Heine-Borel有限覆蓋定理)設(shè)[a,b]是一個(gè)閉區(qū)間，?為[a,b]上的一個(gè)開(kāi)覆蓋，則在?中存在有限個(gè)開(kāi)區(qū)間，它構(gòu)成[a,b]上的一個(gè)覆蓋。定理5（Weierstrass聚點(diǎn)原理）直線上的有解無(wú)限點(diǎn)集至少有一個(gè)聚點(diǎn)。定理6（Bolzano致密性定理）有界無(wú)窮數(shù)列必有收斂子列。定理7(Cauchy收斂準(zhǔn)則)數(shù)列{an}收斂?對(duì)任給的正數(shù)?N，使得?m,n?N時(shí)，都有|am?an|??。，總我個(gè)人對(duì)區(qū)間套定理比較熟悉，而且我對(duì)這個(gè)定理也比較感興趣。一．什么是閉區(qū)間：數(shù)軸上任意兩點(diǎn)和這兩點(diǎn)間所有點(diǎn)組成的線段為一個(gè)閉區(qū)間。閉區(qū)間套定理：有無(wú)窮個(gè)閉區(qū)間，第二個(gè)閉區(qū)間被包含在第一個(gè)區(qū)間內(nèi)部，第三個(gè)被包含在第二個(gè)內(nèi)部，以此類推（后一個(gè)線段會(huì)被包含在前一個(gè)線段里面），這些區(qū)間的長(zhǎng)度組成一個(gè)無(wú)窮數(shù)列，如果數(shù)列的極限趨近于0（即這些線段的長(zhǎng)度最終會(huì)趨近于0），則這些區(qū)間的左端點(diǎn)最終會(huì)趨近于右端點(diǎn)，即左右端點(diǎn)收斂于數(shù)軸上唯一一點(diǎn)，而且這個(gè)點(diǎn)是此這些區(qū)間的唯一公共點(diǎn)。（開(kāi)區(qū)間同理）區(qū)間套最后可以確定實(shí)數(shù)軸上唯一的一點(diǎn)，這為研究密度無(wú)窮大的實(shí)數(shù)軸提供了一個(gè)很好的辦法，而且用他可以證明確界原理，單調(diào)有界原理證明其他原理個(gè)人也比較習(xí)慣。這里附上區(qū)間套定理證明其他原理的片段。1.區(qū)間套定理證明單調(diào)有界原理證明：設(shè)數(shù)列?xn?遞增有上界.取閉區(qū)間?a1,b1?，使a1不是數(shù)列?xn?的上界，b1是數(shù)列?xn?的上界.顯然在閉區(qū)間?a1,b1?內(nèi)含有數(shù)列?xn?的無(wú)窮多項(xiàng)，而在?a1,b1?外僅含有數(shù)列?xn?的有限項(xiàng).對(duì)分?a1,b1?，取?a2,b2?，使其具有?a1,b1?的性質(zhì).故在閉區(qū)間?a2,b2?內(nèi)含有數(shù)列?xn?的無(wú)窮多項(xiàng)，而在?a2,b2?外僅含有數(shù)列?xn?的有限項(xiàng).以此方法，得區(qū)間列??an,bn??.*由區(qū)間套定理，?是所有區(qū)間的唯一公共點(diǎn).顯然，在?的任何鄰域內(nèi)有數(shù)列?xn?的無(wú)窮多項(xiàng)，即??＞0，?N?N，當(dāng)n＞N時(shí)，有xn??＜?.所以limxn??定理得證.n??[1]2.區(qū)間套定理證明致密性定理證明：設(shè)?yn?為有界數(shù)列，即存在兩個(gè)數(shù)a,b，使a?yn?b.等分區(qū)間?a,b?為兩個(gè)區(qū)間，則至少有一個(gè)區(qū)間含有?yn?中的無(wú)窮個(gè)數(shù).把這個(gè)區(qū)間記為?a1,b1?，如果兩個(gè)區(qū)間都含有無(wú)窮個(gè)yn，則任取其一作為?a1,b1?.再等分區(qū)間?a1,b1?為兩半，記含有無(wú)窮個(gè)yn的區(qū)間為?a2,b2?.這個(gè)分割手續(xù)可以繼續(xù)不斷的進(jìn)行下去，則得到一個(gè)區(qū)間列?個(gè)區(qū)間列顯然適合下面兩個(gè)條件：（1）?a,b???a1,b1???a2,b2??…（2）bn?an?b?a2n?an,bn??，這?0于是由區(qū)間套定理，必存在唯一點(diǎn)???a,b?使an??,bn??，且???ak,bk?（k?1,2,3…）.每一?ak,bk?中均含有?yn?的無(wú)窮個(gè)元素.在?a1,b1?中任取?yn?的一項(xiàng)，記為yn，即?yn?的第n1項(xiàng).由于?a2,b2?也含有無(wú)窮個(gè)yn，1則它必含有yn以后的無(wú)窮多個(gè)數(shù)，在這些數(shù)中任取其一，記為yn，則n1＜n2.繼續(xù)在每12一?ak,bk?中都這樣取出一個(gè)數(shù)yn，即得?yn?的一個(gè)子列?ynkkk?，其中nk1＜n2＜…＜nk＜…，且ak?yn?bk.令k??，由于ak??,bk??,故yn??.這就是定理所要的結(jié)果.二有限覆蓋定理1.有限覆蓋定理若開(kāi)區(qū)間所組成的區(qū)間集E覆蓋一個(gè)閉區(qū)間[a,b],則總可以從E中選出有限個(gè)區(qū)間，使這有限個(gè)區(qū)間覆蓋[a,b].個(gè)人對(duì)它的直觀理解無(wú)限多個(gè)開(kāi)區(qū)間的并覆蓋了一個(gè)閉區(qū)間則從這無(wú)限個(gè)開(kāi)區(qū)間中，一定能選取出有限個(gè)開(kāi)區(qū)間的并就能覆蓋這個(gè)閉區(qū)間。如果把被覆蓋的改成開(kāi)區(qū)間，則命題不成立比如：（0,1/2）∪(0,1-(1/2)^2)∪（0,1-（1/2)^3)∪（0,1-(1/2)^4）∪......覆蓋了(0,1)但是上述任意有限個(gè)開(kāi)區(qū)間都不能覆蓋(0,1)如果把無(wú)限多個(gè)開(kāi)區(qū)間改成無(wú)限多個(gè)閉區(qū)間，命題也不成立比如：[1,2]∪[0,1/2]∪[0,1-(1/2)^2]∪[0,1-（1/2)^3]∪[0,1-(1/2)^4]∪......覆蓋了[0,2]但是上述任意有限個(gè)閉區(qū)間都不能覆蓋[0,2]從這個(gè)方面理解可以對(duì)此問(wèn)題有一定深入的認(rèn)識(shí)吧。這里附上有限覆蓋定理對(duì)其他部分定理的證明。2.1有限覆蓋定理證明確界定理證明：在這里我們只說(shuō)明定理的上確界部分.設(shè)不為空集的區(qū)間E?R，?x?E,有x?M,任取一點(diǎn)x0?E，假設(shè)E無(wú)上確界，那么?x?[x0,M]:ⅰ)當(dāng)x為E的上界時(shí)，必有更小的上界x1＜x,因而x存在一開(kāi)鄰域?為E的上界，稱其為第一類區(qū)間；ⅱ）當(dāng)x不是E的上界時(shí)，則有x2?E使x2＞x,那么x存在一開(kāi)鄰域?不是E的上界，稱其為第二類區(qū)間.xx，其中每一點(diǎn)均，其中每點(diǎn)均?當(dāng)x取遍[x0,M顯然?x]上每一點(diǎn)找出一個(gè)鄰域?x.不是第一類區(qū)間就是第二類區(qū)間.這些鄰域組成閉區(qū)間[x0,M]的一個(gè)開(kāi)覆蓋，由有限覆蓋定理，必存在有限子區(qū)間覆蓋[x0,M].顯然M所在的開(kāi)區(qū)間應(yīng)為第一類區(qū)間，與其鄰接的開(kāi)區(qū)間?所以?x???x??'xx有公共點(diǎn).xx，x均為E的上界.而與?相鄰接的開(kāi)區(qū)間?'x有公共點(diǎn)，所以，x均為E的上界.依此類推，x0所在的開(kāi)區(qū)間也是第一類區(qū)間，則x0為E的上界.又?x0?E，?E為常數(shù)集.由此矛盾引出.得證.同理，E有下確界.2.2有限覆蓋定理證明致密性定理證明：設(shè)?xn?是一有界數(shù)列，現(xiàn)在證明?xn?有收斂子列.（1）如果?xn?僅由有限個(gè)數(shù)組成，那么至少有一個(gè)數(shù)?要重復(fù)無(wú)限多次，即?=xn?xn?…=xn?…因而子列?xn12kk?收斂于?.（2）如果?xn?是由無(wú)窮多個(gè)數(shù)組成，由有界性知，存在閉區(qū)間?a,b?，使對(duì)一切自然數(shù)n都有a＜xn＜b在?a,b?內(nèi)至少存在一點(diǎn)x0，使對(duì)于任意的正數(shù)?，在?x0??,x0???內(nèi)都含有?xn?中無(wú)窮多個(gè)數(shù).事實(shí)上，倘若不然，就是說(shuō)對(duì)于?a,b?中每一點(diǎn)x，都有?x＞0，在?x??x,x??x?內(nèi)，僅有?xn?中的有限個(gè)數(shù).考慮所有這樣的開(kāi)區(qū)間所成之集：????x??x,x??x??，?完全覆蓋了閉區(qū)間?a,b?，依有限覆蓋定理，存在?中的有限多個(gè)區(qū)間.?1?x1??x1,x1??x1，…，?n?xn??xn,xn??xn，他們也覆蓋了?a,b?，并且在每????一個(gè)?i（i?1,2,…,n）中都只含?xn?中的有限多個(gè)數(shù).因此?xn?也最多是由有限個(gè)數(shù)組成，這與假設(shè)矛盾.我對(duì)其他定理理解不如這兩個(gè)，在中國(guó)科技大學(xué)出版的《高等數(shù)學(xué)導(dǎo)論》中，個(gè)人認(rèn)為對(duì)著兩個(gè)定理的描述比較好，因此我對(duì)這兩個(gè)定理比較喜歡，所以在此一敘?？梢运阕魇菍?duì)這本書(shū)前邊部分的讀書(shū)報(bào)告吧。＋《數(shù)學(xué)分析2》讀書(shū)報(bào)告發(fā)表于：2022.12.12來(lái)自：字?jǐn)?shù)：4174手機(jī)看范文《數(shù)學(xué)分析2》讀書(shū)報(bào)告課程內(nèi)容框架：本課程的主要內(nèi)容包括：極限理論（數(shù)列和函數(shù)的極限）、實(shí)數(shù)理論（實(shí)數(shù)系的完備公理體系）、一元函數(shù)微積分學(xué)（包括導(dǎo)數(shù)與微分、微分學(xué)中值定理、微分學(xué)基本定理、不定積分、Riemann定積分、可積理論、反常積分）、級(jí)數(shù)理論（數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)、冪級(jí)數(shù)、Fourier級(jí)數(shù)）、多元函數(shù)微積分學(xué)（偏導(dǎo)數(shù)、全微分、含參變量積分、多重積分、曲線積分與曲面積分、隱函數(shù)定理）。要求：在教學(xué)上要求我們學(xué)生能掌握四個(gè)基本方面，即基本概念、基本理論、基本方法和基本技巧。在教學(xué)基本要求上分為三個(gè)檔次，即掌握、理解和了解。理解：對(duì)基本概念一般只要求能從正面理解；對(duì)基本理論一般要求能應(yīng)用和了解如何證明；對(duì)基本方法一般要求能掌握運(yùn)用，但不要求很熟練和技巧性。了解：對(duì)基本理論只要求能用，不要求掌握證明方法（例如隱函數(shù)存在定理、重積分一般變量替換公式和富里埃級(jí)數(shù)收斂性理論按此要求）；對(duì)基本方法一般要求會(huì)做，不要求靈活技巧。正文第十二章數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)要點(diǎn)：級(jí)數(shù)收斂與和的定義，柯西準(zhǔn)則與收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)，正項(xiàng)級(jí)數(shù)比較原則，比式判別法、根式判別法與積分判別法，一般項(xiàng)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂與條件收斂，交錯(cuò)級(jí)數(shù)與萊布尼茨判別法，狄利克雷（Dirichlet）判別法與阿貝爾（Abel）判別法，絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的重排定理。要求：掌握數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的定義和收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)。掌握判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的各種方法，包括比較判別法、比式判別法、根式判別法和積分判別法。掌握條件收斂和絕對(duì)收斂的定義，掌握交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茨判別法。了解一般項(xiàng)級(jí)數(shù)的狄利克雷判別法與阿貝爾判別法，了解絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)。重點(diǎn)：數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性定義和收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)，正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的各種方法，條件收斂和絕對(duì)收斂的定義。難點(diǎn)：應(yīng)用柯西收斂準(zhǔn)則判別級(jí)數(shù)的斂散性，狄利克雷判別法和阿貝爾判別法，絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)。第十三章函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)要點(diǎn)：函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂與一致收斂概念，一致收斂的柯西準(zhǔn)則，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的維爾斯特拉斯（Weierstrass）優(yōu)級(jí)數(shù)判別法，狄利克雷（Dirichlet）判別法與阿貝爾（Abel）判別法，函數(shù)列極限函數(shù)與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和的連續(xù)性、可積性和可微性。要求：掌握函數(shù)序列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性的定義，理解函數(shù)序列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性判別的柯西準(zhǔn)則，掌握函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性的魏爾斯特拉斯判別法。了解函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性的狄利克雷判別法和阿貝爾判別法。掌握一致收斂函數(shù)序列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的連續(xù)性、可積性和可微性。重點(diǎn)：函數(shù)序列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性的定義，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性的魏爾斯特拉斯判別法，一致收斂函數(shù)序列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的連續(xù)性、可積性和可微性。難點(diǎn)：狄利克雷判別法和阿貝爾判別法。一致收斂函數(shù)序列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的連續(xù)性，可積性和可微性的證明。第十四章冪級(jí)數(shù)要點(diǎn)：阿貝爾定理，冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間和收斂域，一致收斂性、連續(xù)性、逐項(xiàng)積分與逐項(xiàng)求導(dǎo)，冪級(jí)數(shù)的四則運(yùn)算，泰勒級(jí)數(shù)、泰勒展開(kāi)的條件，初等函數(shù)的泰勒展開(kāi)，近似計(jì)算，復(fù)變量指數(shù)函數(shù)與歐拉（Euler）公式。要求：熟練掌握阿貝爾定理，掌握冪級(jí)數(shù)收斂半徑和收斂區(qū)間的定義與求法。掌握冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)算。掌握泰勒級(jí)數(shù)和麥克勞林級(jí)數(shù)展開(kāi)式，熟記五種基本初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式。初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)。重點(diǎn)：阿貝爾定理，冪級(jí)數(shù)收斂半徑，冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)算，泰勒級(jí)數(shù)和麥克勞林級(jí)數(shù)展開(kāi)，初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)。難點(diǎn)：阿貝爾定理，用逐項(xiàng)求積和逐項(xiàng)求導(dǎo)的方法展開(kāi)初等函數(shù)。第十五章傅里葉級(jí)數(shù)要點(diǎn)：三角級(jí)數(shù)、三角函數(shù)系的正交性、傅里葉（Fourier）級(jí)數(shù)，以2?為周期的函數(shù)展開(kāi)，傅里葉級(jí)數(shù)的收斂定理，以2l為周期的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)，奇函數(shù)與偶函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)，收斂定理的證明。要求：掌握三角級(jí)數(shù)和傅里葉級(jí)數(shù)定義，掌握三角函數(shù)系的正交性，了解傅里葉級(jí)數(shù)的收斂定理．能夠展開(kāi)比較簡(jiǎn)單的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)。掌握以2l為周期的函數(shù)的展開(kāi)式，偶函數(shù)和奇函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)的展開(kāi)，正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)。了解貝塞爾不等式，黎曼—勒貝格定理。重點(diǎn)：傅里葉級(jí)數(shù)定義，三角函數(shù)系的正交性，傅里葉級(jí)數(shù)的收斂定理，按要求將函數(shù)展開(kāi)為的傅里葉級(jí)數(shù)。第十六章多元函數(shù)的極限與連續(xù)要點(diǎn)：平面點(diǎn)集概念（鄰域、內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)、聚點(diǎn)、孤立點(diǎn)、開(kāi)集、閉集、區(qū)域、連通性），平面點(diǎn)集的基本定理（區(qū)域套定理、聚點(diǎn)原理、有限覆蓋定理），二元函數(shù)概念，二重極限、累次極限，二元函數(shù)的連續(xù)性、有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。要求：了解平面中的鄰域、開(kāi)集、閉集、開(kāi)域和閉域的定義，了解R的完備性，掌握二元及多元函數(shù)的定義．掌握二元函數(shù)的極限的定義，了解重極限與累次極限的區(qū)別與聯(lián)系，理解判別極限存在性的基本方法．掌握二元函數(shù)的連續(xù)性的定義，了解有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。重點(diǎn)：鄰域、開(kāi)集、閉集、開(kāi)域和閉域的定義，二元函數(shù)極限的定義，重極限與累次極限的區(qū)別與聯(lián)系，判別極限存在性的基本方法，二元函數(shù)連續(xù)性的定義。難點(diǎn)：R的完備性定理，重極限與累次極限的區(qū)別與聯(lián)系，有界閉域上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的證明要點(diǎn)。第十七章多元函數(shù)微分學(xué)要點(diǎn)：偏導(dǎo)數(shù)定義及其幾何意義，全微分概念及全微分的幾何意義，全微分存在的充分條件，全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用，復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分，一階微分形式不變性，方向?qū)?shù)與梯度，混合偏導(dǎo)數(shù)與其順序無(wú)關(guān)性，高階導(dǎo)數(shù)與高階微分，二元函數(shù)的泰勒定理，二元函數(shù)的極值。要求：掌握多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)、可微性與全微分的定義，掌握可微的必要條件與充分條件。掌握復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t。理解一階全微分形式不變性。掌握方向?qū)?shù)與梯度的定義與計(jì)算。掌握二元函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù)。理解泰勒公式的定義。掌握二元函數(shù)的極值的必要條件與充分條件。重點(diǎn)：多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)、可微性與全微分的定義，可微的必要條件與充分條件，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t，方向?qū)?shù)與梯度的定義與計(jì)算，二元函數(shù)極值的必要條件與充分條件。22難點(diǎn)：可微的必要條件與充分條件，一階全微分形式不變性，混合偏導(dǎo)數(shù)與求導(dǎo)次序無(wú)關(guān)的定理的證明以及二元函數(shù)的極值的充分條件定理的證明。第十八章隱函數(shù)定理及其應(yīng)用要點(diǎn)：隱函數(shù)概念、隱函數(shù)定理、隱函數(shù)求導(dǎo)，隱函數(shù)組概念、隱函數(shù)組定理、隱函數(shù)組求導(dǎo)，反函數(shù)組與坐標(biāo)變換，函數(shù)行列式，幾何應(yīng)用、條件極值與拉格朗日乘數(shù)法。要求：掌握隱函數(shù)概念，理解隱函數(shù)定理，掌握隱函數(shù)求導(dǎo)法。掌握隱函數(shù)組存在的條件，掌握隱函數(shù)組求導(dǎo)法。掌握用隱函數(shù)和隱函數(shù)組求導(dǎo)法求平面曲線的切線與法線、求空間曲線的切線與法平面、求曲面的切平面與法線。了解拉格朗日乘數(shù)法及用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值。重點(diǎn)：隱函數(shù)概念、隱函數(shù)定理與隱函數(shù)求導(dǎo)法，隱函數(shù)組存在的條件與隱函數(shù)組求導(dǎo)法，隱函數(shù)和隱函數(shù)組求導(dǎo)法求平面曲線的切線與法線、求空間曲線的切線與法平面、求曲面的切平面與法線。拉格朗日乘數(shù)法。難點(diǎn)：隱函數(shù)定理、隱函數(shù)組和反函數(shù)組定理的證明，拉格朗日乘數(shù)法，用條件極值的方法證明或構(gòu)造不等式。第十九章含參量積分要點(diǎn)：含參量正常積分的連續(xù)性、可微性和可積性，含參量反常積分的收斂與一致收斂定義，一致收斂的柯西準(zhǔn)則與維爾斯特拉斯（Weierstrass）判別法，含參量反常積分的連續(xù)性、可積性與可微性。要求：掌握含參量正常積分的連續(xù)性、可微性和可積性定理，掌握含參量正常積分的求導(dǎo)法則。掌握含參量反常積分的一致收斂性概念，含參量反常積分的連續(xù)性、可積性與可微性，掌握含參量反常積分的魏爾斯特拉斯判別法，了解狄里克雷判別法和阿貝爾判別法。重點(diǎn)：含參量正常積分的連續(xù)性、可微性和可積性定理及應(yīng)用，含參量反常積分的一致收斂性概念，含參量反常積分的魏爾斯特拉斯判別法，含參量反常積分的連續(xù)性、可積性與可微性及應(yīng)用。難點(diǎn)：含參量正常積分與反常積分的連續(xù)性、可積性與可微性定理的證明及應(yīng)用，狄里克雷判別法和阿貝爾判別法。第二十章曲線積分要點(diǎn)：第一型曲線積分和第二型曲線積分的定義、性質(zhì)與計(jì)算，兩類曲線積分的聯(lián)系。要求：掌握第一型曲線積分的定義、性質(zhì)和計(jì)算公式。掌握第二型曲線積分的定義和計(jì)算公式。了解第一、二型曲線積分的聯(lián)系。重點(diǎn)：第一型曲線積分的定義和計(jì)算，掌握第二型曲線積分的定義和計(jì)算。難點(diǎn)：第二型曲線積分的定義，兩類曲線積分的聯(lián)系。第二十一章重積分要點(diǎn)：平面圖形的面積，二重積分定義與性質(zhì)，二重積分計(jì)算（化為累次積分），格林（Green）公式，曲線積分與路徑無(wú)關(guān)條件，二重積分的換元法（極坐標(biāo)與一般變換），三重積分定義與計(jì)算，三重積分的換元法（柱坐標(biāo)、球坐標(biāo)與一般變換），重積分應(yīng)用（體積，曲面面積，重心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、引力等），n重積分的定義與計(jì)算，無(wú)界區(qū)域上的二重積分定義及收斂性概念。無(wú)界函數(shù)的二重積分定義及收斂性概念。要求：掌握二重積分的定義和性質(zhì)。掌握直角坐標(biāo)下二重積分的計(jì)算。掌握格林公式以及曲線積分與路線無(wú)關(guān)的條件，理解格林公式以及曲線積分與路線無(wú)關(guān)的條件的定理的證明。理解二重積分的一般的變量變換公式，掌握用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分。掌握三重積分的定義和性質(zhì)，掌握化三重積分為累次積分及用柱面坐標(biāo)變換和球面坐標(biāo)變換計(jì)算三重積分的方法。掌握曲面面積的計(jì)算公式，了解物體重心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和引力的計(jì)算。重點(diǎn)：二重積分的定義和性質(zhì)，直角坐標(biāo)下二重積分的計(jì)算，格林公式以及曲線積分與路線無(wú)關(guān)的條件，二重積分的一般的變量變換公式與極坐標(biāo)變換，化三重積分為累次積分及用柱面坐標(biāo)變換和球面坐標(biāo)變換計(jì)算三重積分的方法。難點(diǎn)：平面點(diǎn)集可求面積的充要條件，二元函數(shù)可積的充要條件，二重積分化為累次積分公式的證明，二重積分的一般的變量變換公式的證明，化三重積分為累次積分。五、教材與參考書(shū)1．華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系．?dāng)?shù)學(xué)分析（上冊(cè)，下冊(cè)）第3版．高等教育出版社，20xx2．陳紀(jì)修等．?dāng)?shù)學(xué)分析（上冊(cè)，下冊(cè)）第２版．高等教育出版社，20xx3．吳良森等．?dāng)?shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)指導(dǎo)書(shū)（上冊(cè)，下冊(cè)）．高等教育出版社，20xx

第二篇：數(shù)學(xué)分析讀書(shū)報(bào)告3500字?jǐn)?shù)學(xué)讀書(shū)報(bào)告對(duì)數(shù)學(xué)分析六個(gè)基本定理的感想課程名稱數(shù)學(xué)文化學(xué)生姓名代廣武學(xué)生學(xué)號(hào)20xx303630____專業(yè)應(yīng)用物理學(xué)所在院系理學(xué)院我的專業(yè)是應(yīng)用物理學(xué)，所以我對(duì)數(shù)學(xué)專業(yè)所學(xué)的數(shù)學(xué)分析具有濃厚興趣，重點(diǎn)研究了數(shù)學(xué)分析的六大基本定理。他們互推互證構(gòu)成的循環(huán)讓我十分驚奇。大體上講，數(shù)學(xué)分析就是研究實(shí)數(shù)范圍內(nèi)微分和積分的數(shù)學(xué)分支。它是在極限理論基礎(chǔ)上，以定義在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的函數(shù)為討論對(duì)象的一門數(shù)學(xué)專業(yè)基礎(chǔ)課。追溯歷史，早在17世紀(jì)，Newton和Lebniz就各自獨(dú)立地發(fā)明了微積分，當(dāng)時(shí)是出于解決具體問(wèn)題的需要。不過(guò)，那時(shí)的理論很不完善，諸如“無(wú)窮小”之類的概念根本沒(méi)有嚴(yán)格的定義，由此引發(fā)出許多問(wèn)題和矛盾。后來(lái)，Cauchy和Weierstrass等人引入嚴(yán)格的分析語(yǔ)言，為分析學(xué)奠定了牢固的根基。他們的工作已經(jīng)成為經(jīng)典，成為數(shù)學(xué)系本科生的入門知識(shí)。再次附上這六個(gè)大名鼎鼎的定理，他們是數(shù)學(xué)分析的邏輯基礎(chǔ)，個(gè)人認(rèn)為要掌握他們難度還是不小的。1.實(shí)數(shù)基本定理的陳述實(shí)數(shù)基本定理以不同的形式刻劃了實(shí)數(shù)的連續(xù)性和完備性，實(shí)數(shù)基本定理是建立與發(fā)展微積分學(xué)的基礎(chǔ)。因此掌握這部分內(nèi)容是十分必要的，特別是可通過(guò)這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)與鉆研，培養(yǎng)嚴(yán)密的邏輯思維能力。為了方便起見(jiàn)，我們先敘述實(shí)數(shù)理論的8個(gè)基本定理。定理1(確界原理)非空有上(下)界數(shù)集，必有上(下)確界。定理2(單調(diào)有界原理)任何單調(diào)有界數(shù)列必有極限。定理3(Cantor區(qū)間套定理)若{[an,bn]}是一個(gè)區(qū)間套,則存在唯一一點(diǎn)?，使得??[an,bn],n?1,2,?。定理4(Heine-Borel有限覆蓋定理)設(shè)[a,b]是一個(gè)閉區(qū)間，?為[a,b]上的一個(gè)開(kāi)覆蓋，則在?中存在有限個(gè)開(kāi)區(qū)間，它構(gòu)成[a,b]上的一個(gè)覆蓋。定理5（Weierstrass聚點(diǎn)原理）直線上的有解無(wú)限點(diǎn)集至少有一個(gè)聚點(diǎn)。定理6（Bolzano致密性定理）有界無(wú)窮數(shù)列必有收斂子列。定理7(Cauchy收斂準(zhǔn)則)數(shù)列{an}收斂?對(duì)任給的正數(shù)?N，使得?m,n?N時(shí)，都有|am?an|??。，總我個(gè)人對(duì)區(qū)間套定理比較熟悉，而且我對(duì)這個(gè)定理也比較感興趣。一．什么是閉區(qū)間：數(shù)軸上任意兩點(diǎn)和這兩點(diǎn)間所有點(diǎn)組成的線段為一個(gè)閉區(qū)間。閉區(qū)間套定理：有無(wú)窮個(gè)閉區(qū)間，第二個(gè)閉區(qū)間被包含在第一個(gè)區(qū)間內(nèi)部，第三個(gè)被包含在第二個(gè)內(nèi)部，以此類推（后一個(gè)線段會(huì)被包含在前一個(gè)線段里面），這些區(qū)間的長(zhǎng)度組成一個(gè)無(wú)窮數(shù)列，如果數(shù)列的極限趨近于0（即這些線段的長(zhǎng)度最終會(huì)趨近于0），則這些區(qū)間的左端點(diǎn)最終會(huì)趨近于右端點(diǎn)，即左右端點(diǎn)收斂于數(shù)軸上唯一一點(diǎn)，而且這個(gè)點(diǎn)是此這些區(qū)間的唯一公共點(diǎn)。（開(kāi)區(qū)間同理）區(qū)間套最后可以確定實(shí)數(shù)軸上唯一的一點(diǎn)，這為研究密度無(wú)窮大的實(shí)數(shù)軸提供了一個(gè)很好的辦法，而且用他可以證明確界原理，單調(diào)有界原理證明其他原理個(gè)人也比較習(xí)慣。這里附上區(qū)間套定理證明其他原理的片段。1.區(qū)間套定理證明單調(diào)有界原理證明：設(shè)數(shù)列?xn?遞增有上界.取閉區(qū)間?a1,b1?，使a1不是數(shù)列?xn?的上界，b1是數(shù)列?xn?的上界.顯然在閉區(qū)間?a1,b1?內(nèi)含有數(shù)列?xn?的無(wú)窮多項(xiàng)，而在?a1,b1?外僅含有數(shù)列?xn?的有限項(xiàng).對(duì)分?a1,b1?，取?a2,b2?，使其具有?a1,b1?的性質(zhì).故在閉區(qū)間?a2,b2?內(nèi)含有數(shù)列?xn?的無(wú)窮多項(xiàng)，而在?a2,b2?外僅含有數(shù)列?xn?的有限項(xiàng).以此方法，得區(qū)間列??an,bn??.*由區(qū)間套定理，?是所有區(qū)間的唯一公共點(diǎn).顯然，在?的任何鄰域內(nèi)有數(shù)列?xn?的無(wú)窮多項(xiàng)，即??＞0，?N?N，當(dāng)n＞N時(shí)，有xn??＜?.所以limxn??定理得證.n??[1]2.區(qū)間套定理證明致密性定理證明：設(shè)?yn?為有界數(shù)列，即存在兩個(gè)數(shù)a,b，使a?yn?b.等分區(qū)間?a,b?為兩個(gè)區(qū)間，則至少有一個(gè)區(qū)間含有?yn?中的無(wú)窮個(gè)數(shù).把這個(gè)區(qū)間記為?a1,b1?，如果兩個(gè)區(qū)間都含有無(wú)窮個(gè)yn，則任取其一作為?a1,b1?.再等分區(qū)間?a1,b1?為兩半，記含有無(wú)窮個(gè)yn的區(qū)間為?a2,b2?.這個(gè)分割手續(xù)可以繼續(xù)不斷的進(jìn)行下去，則得到一個(gè)區(qū)間列?個(gè)區(qū)間列顯然適合下面兩個(gè)條件：（1）?a,b???a1,b1???a2,b2??…（2）bn?an?b?a2n?an,bn??，這?0于是由區(qū)間套定理，必存在唯一點(diǎn)???a,b?使an??,bn??，且???ak,bk?（k?1,2,3…）.每一?ak,bk?中均含有?yn?的無(wú)窮個(gè)元素.在?a1,b1?中任取?yn?的一項(xiàng)，記為yn，即?yn?的第n1項(xiàng).由于?a2,b2?也含有無(wú)窮個(gè)yn，1則它必含有yn以后的無(wú)窮多個(gè)數(shù)，在這些數(shù)中任取其一，記為yn，則n1＜n2.繼續(xù)