雙直線二次曲線系方程的幾個應(yīng)用實例

雙直線二次曲線系方程的幾個應(yīng)用實例具體可以參考中等數(shù)學(xué)2009年第8期文章《二次曲線中點弦、切線、切點弦及雙切線方程》華東師大《奧數(shù)教程》高二分冊，本文為原創(chuàng)，如有雷同，純屬巧合！大家都知道解析幾何里有一個重要的工具：曲線系。靈活用好曲線系，可以一定程度上減少計算量，甚至收獲意想不到的效果。不管是參加高考還是聯(lián)賽，都有必要了解一下設(shè)曲線系一些基本思路。一、首先要了解的是二次曲線的三條線：1、過曲線上一點與曲線相切的直線,稱為切線。2、過曲線外一點引兩條切線,得到兩個切點，這兩個切點連成的直線，稱為切點弦。3、過曲線內(nèi)一點任作兩條弦,與曲線有四個相異的交點，與兩條弦相異的兩組點連成的兩條直線的交點的軌跡。（特別地，當(dāng)這兩條弦重合時，即過該點作一條弦與曲線交于兩點時， 對應(yīng)的交點為過這兩點的切線的交點，稱為虛切線。 ）2 2二、二次曲線一般形式為 Ax+Bxy+Cy+Dx+Ey+F=0夕和c不同日寸為。）。注：上述二次曲線方程可以表示：圓，橢圓，拋物線，雙曲線（圓錐曲線）；兩條相交直線；兩條平行直線（可以通過因式分解得到）；一條直線（直線一般式方程平方即可得到）；一個點（例如點圓，在圓的方程中令r為0即可）。三、貫穿本文的一個基本原理是：過二次曲線f（x,y）和g（x,y）的交點的二次曲線系，可以記為： 入f（x,y）+g（x,y）=0.目錄第一題：2008全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試解析幾何題第二題：2010全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽A卷一試解析幾何題第三題：比較常見的高考解析幾何題第四題：2012版天利38套，太原市高三模擬考試（一）第五題：2012版天利38套，太原市高三年級調(diào)研考試第六題：2010全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽B卷一試解析幾何題第一題：(2008全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試， 改編)P(2t2,2t)是拋物線y2=2x上的動點，點B,C在設(shè)是圓/+/-2；r=I段于點P的一條切點弦。其方程為:+2的一卜+2/)=U即—l]x+2?2*=0TOC\o"1-5"\h\z將其升華為二次曲線:[僅產(chǎn)—1卜十期’— '-0所以雙直線/邛，「方程可以表示為：r? 1 p廠+if-21+A[2t^-1jj*+2如一一I)把點P代入求得入=-二 于是：1h \ Pz2+tf-21 [2t2-1)￡+母+一2產(chǎn)-04/卜 ，當(dāng)，=(的，求得%〃「=乙1Xtjrju2即BC=上一產(chǎn)一1第二題：（2010全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽A卷一試）【解答過程】t 9 2作斜率為1的直線/與橢圓。：啜+4=1交于45兩點（如圖所示）,3 3d4目尸（3及在直線的左上方口證明tAP4硒內(nèi)切圓的圓心在一條定直線上。設(shè)f"—：切十m=（）. 又過點唯切線方程為四十?=112 4m：而+-i2=（k所以設(shè)雙直線卬」%方程為：-12—3g+ -~——11=0注意到此方程中修的系數(shù)為零。所以當(dāng)上式可以分解為：（4靂+8陰+。，（乩/+ +C）=。時，必再：A烏+耳4-。?:當(dāng)兒為不同的點時，pa尸。均不與上軸垂直.?洞除以44gL1-圖=-%即PL關(guān)于，=人歷諭。AHW的內(nèi)切圓的圓心就在此對稱軸上口【總結(jié)】過圓錐曲線上任意一點作兩條斜率互為相反數(shù)的直線，那么兩條直線與曲線的兩個交點連線的斜率為定值。第三題:【解答過程】已知拋物線獷=2e及定點工(L1).仇-L0)』/是拋物線上的點口設(shè)直線4M和8V與拋物線交于不同于M的點AqM2求證：當(dāng)點M在變動時直線過彗°設(shè)M(對2入則嬴—⑵？—12—1),而(2/+L2t)法向量[—(1一洱2產(chǎn)一。%-(—2士⑵'+1)直線力匕+⑵*-1加+2(-加=0BM:(-2/k+⑵，+1加—2f=0雙=[(1.2i>+(2f-l)g+才一2白[(一2)]+(2/+l)y—2/=0.設(shè)。出y)=凡工M+刖木正⑼…① 其中『也力二才一2.r.令g(心力含有因子』為，力(：H工.,力=0為過W的切線方程)故設(shè)心=3：-25+2/心洲120r+Htf+或21…②1J-2上啕時②中劃項的系數(shù)。得3=1-k二于是直線AJ,■(—2^)(1—21)工“+(1—2^")y+2，—2=0.當(dāng)『和，的系數(shù)同為0.得此打,過定點RL2)這就完成了證明。第四題:【解答過程】已知中心在原點。的橢圓<十1-L過點小3.。）的直線與橢圓相交于P.Q兩點罰"舊L求直線PQ的方程.反向延長。PQQ與橢圓交于匕Q「則△OPQ與A0電送于O成中心對稱，故有PQII時.且牛%交上軸于（-工。）.設(shè)4居"率為此則：APikxy3k=0 :kxi/APikxy3k=0 :kxi/+3A：=0故雙直線P7QQ方程可以設(shè)為：考察兩條過原點且互相垂直的直線之性質(zhì)，設(shè)一條斜率為，”\mr-yj 1 =00-；r方程①應(yīng)與②有相同的特征.首先，常數(shù)項為零.=>A=其次，M與，的系數(shù)互為相反數(shù).05*=1-&-士三.由此可計算加的值.問題獲得解決.第五題:【解答過程】7已知橢圓方程為彳十=l(fl>b>0)過點M(oR分別作直線AUMD交橢圓于aU兩點，設(shè)兩直線的斜率分別為加%目&+K=3求證：直線49定點，并求出直線」加斜率4的取值范圍.設(shè)M4:5苫+?/—1=0MB*kt￡+y—1=0過點時的切線方程顯然為："-1=。.記為/則雙直線的方程可以設(shè)為：伏產(chǎn)+〃-1)［澗;+y-lj4-AI/-1=。…*■J上面方程左邊的多項式必有因子1二0因此當(dāng)$=1時，*對任意工e國恒成立.得大二—3怩設(shè)J/X方程為：,1」+%+C=。則雙直線/1/1，：(4工+H獷+tj(v—l)=u…②上班①②中聞的系數(shù)得A二k+A;比較①②中)的系數(shù)得B=13k內(nèi)上眼①②中的常數(shù)項得「——1—3A,人/-/防程|可+門卜+(1—3卜/jg—1—3勺&=0取不=「V=】即可.(下面的收尾工作略去前五題已經(jīng)解答完成了，總結(jié)一下：第一，都沒有使用韋達(dá)定理。韋達(dá)定理是個經(jīng)典的不能再經(jīng)典的工具，固然強(qiáng)大，但聯(lián)立方程計算易錯，兩根和，兩根積， 一般是一摞一摞的分式，在卷面上總是有點那什么呢。第二，利用曲線系方程，實際上把計算難度轉(zhuǎn)移到直線方程系數(shù)比較上。但是，比較系數(shù)，直觀，不易錯，原理也不難理解。調(diào)整兩個多項式恒等，其對應(yīng)系數(shù)必須都相等。第三，設(shè)出來的曲線系含有待定的系數(shù) ’入"或者"u’；有些時候我們需要先計算出待定系數(shù)的值，再去比較系數(shù)。更多的時候設(shè)而不求，因為這個待定系數(shù)對整個多項式的 x,y,xy沒有貢獻(xiàn)。第四，要聯(lián)系幾何意義，知道它表示什么曲線。要表示這種曲線，就必須滿足什么條件。由此得到系數(shù)間的一些關(guān)系。第五，話不能說絕了，這種方法有它缺點。參見下面的第六題。第六題：知4（工]，4m1%M（4，%）是拋物線爐=2px（p>o）上不同的三點.△444有兩邊所在的直線與拋物線/=2qy（q>。片目切.證明：對不同的仃W{123},?/*打+gj為定值.設(shè)44,44是。2：￡=2以切線中點4（2pt:2p,雙直線心的方程可設(shè)為：入卜”一2g句+—q僅十2"=0同時過點4僅*aw），入卜2pF『-2（i-2pt+12時?2pt2-2q-2pd=0A二4『於4P汨h0—4p2f1）（——2卿）+ +2P4=0上面方程看成以4（24.28）為中心的雙直線，則設(shè)在&上以a為切點的切線方程為：2pty= +2P產(chǎn)1即：2ty=x+2pf=>x—2ty+2pt，=0設(shè)34的方程為：月竄+By+c=0 記上式為r則雙直線A4/的曲線系方程可設(shè)為：口小成4“中）（/-2qy\+\2pt'：rr/[//+2"）|+ 2”）=*孝式中必定含有因子：x-2ty+2pt'=。與4/+Bfy+O'=0其中41+8,+Cf=0與+Bn+C=。表示的是同一條直線.其對應(yīng)系數(shù)成比例,因此對于確定的。數(shù)組(4區(qū)。)是唯一的.*中常數(shù)項為：(一2］磔丫=4?六泮2.則0，=嚕二=2Pd取C=G'=2p/,成為(r—2ty+2pt2^Ax+By+2p，)=口…。因此*和。兩個方程左邊對應(yīng)的多項式恒等.比較*和口中"r”的系數(shù)。得:4pqt-4p2f1+4p2tl=4pqt=AA=4pg/比較*和口中“咽哨系練得：—■Ipqt=B—2/A代入力=4Pqi.1,B—?4pg產(chǎn)+Spqt;i=4/咐產(chǎn) 13=4pqt2在上面確定系數(shù)4辦時，利用了多項式恒等定理。其中在“式，待定的系數(shù)〃對八通力以及常數(shù)項無貢獻(xiàn)。，從4方程得到確定。即：4A:4pqh:+-lpqt2y+2p『=0對給定的f.確定點4(2娟2叫同時確定了直線A6，令與c兩方程聯(lián)立,為方便仍以4江。表示相關(guān)系數(shù),得:Ax+By+C=0y2=2px=>4/-2pAj;aAif—2p[—By-C)fA/+2pBif+2pC=。又系數(shù)A應(yīng)不為零2nB、Cc今J+2p-t/+2p-=0由此得到一個關(guān)于y的一元二次方程.由題干中的幾何意義,點兒必對應(yīng)一個八4