偏導(dǎo)數(shù)-教學(xué)講解課件

第二節(jié)一、偏導(dǎo)數(shù)概念及其計(jì)算二、高階偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)

第九章一、偏導(dǎo)數(shù)定義及其計(jì)算法引例:研究弦在點(diǎn)x0

處的振動(dòng)速度與加速度,就是中的x固定于求一階導(dǎo)數(shù)與二階導(dǎo)數(shù).x0處,關(guān)于

t

的將振幅定義1.在點(diǎn)存在,的偏導(dǎo)數(shù)，記為的某鄰域內(nèi)則稱此極限為函數(shù)極限設(shè)函數(shù)注意:同樣可定義對(duì)y

的偏導(dǎo)數(shù)若函數(shù)z=f(x,y)在域D

內(nèi)每一點(diǎn)

(x,y)處對(duì)x則該偏導(dǎo)數(shù)稱為偏導(dǎo)函數(shù),也簡(jiǎn)稱為偏導(dǎo)數(shù)

,記為或

y

偏導(dǎo)數(shù)存在,例如,三元函數(shù)u=f(x,y,z)在點(diǎn)(x,y,z)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上的函數(shù).偏導(dǎo)數(shù)定義為(請(qǐng)自己寫出)二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義:是曲線在點(diǎn)M0處的切線對(duì)x

軸的斜率.在點(diǎn)M0處的切線是曲線對(duì)y軸的斜率.函數(shù)在某點(diǎn)各偏導(dǎo)數(shù)都存在,顯然例如,注意：但在該點(diǎn)不一定連續(xù).在上節(jié)已證f(x,y)在點(diǎn)(0,0)并不連續(xù)!例1.求解法1:解法2:在點(diǎn)(1,2)處的偏導(dǎo)數(shù).例2.設(shè)證:例3.

求的偏導(dǎo)數(shù).(P65例4)解:求證偏導(dǎo)數(shù)記號(hào)是一個(gè)例4.已知理想氣體的狀態(tài)方程求證:證:說明:(R為常數(shù)),不能看作分子與分母的商!此例表明,整體記號(hào),二、高階偏導(dǎo)數(shù)設(shè)z=f(x,y)在域D

內(nèi)存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)若這兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)仍存在偏導(dǎo)數(shù)，則稱它們是z=f(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù)

.按求導(dǎo)順序,有下列四個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù):類似可以定義更高階的偏導(dǎo)數(shù).例如，z=f(x,y)關(guān)于x的三階偏導(dǎo)數(shù)為z=f(x,y)關(guān)于x的n–1階偏導(dǎo)數(shù),再關(guān)于y

的一階偏導(dǎo)數(shù)為例5.求函數(shù)解

:注意:此處但這一結(jié)論并不總成立.的二階偏導(dǎo)數(shù)及例如,二者不等例6.證明函數(shù)滿足拉普拉斯證：利用對(duì)稱性,有方程則定理.例如,對(duì)三元函數(shù)u=f(x,y,z),說明:本定理對(duì)n

元函數(shù)的高階混合導(dǎo)數(shù)也成立.函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的,故求初等函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)可以選擇方便的求導(dǎo)順序.因?yàn)槌醯群瘮?shù)的偏導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù),當(dāng)三階混合偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)(x,y,z)連續(xù)時(shí),有而初等(證明略)證:令則則定理.令同樣在點(diǎn)連續(xù),得內(nèi)容小結(jié)1.偏導(dǎo)數(shù)的概念及有關(guān)結(jié)論

定義;記號(hào);幾何意義

函數(shù)在一點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)在此點(diǎn)連續(xù)

混合偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)與求導(dǎo)順序無關(guān)2.偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法

求一點(diǎn)處偏導(dǎo)數(shù)的方法先代后求先求后代利用定義

求高階偏導(dǎo)數(shù)的方法逐次求導(dǎo)法(與求導(dǎo)順序無關(guān)時(shí),應(yīng)選擇方便的求導(dǎo)順序)練習(xí)解答提示:P130題5總習(xí)題P130題5,6即x＝y(tǒng)＝0時(shí),P130題6(1)(2)作業(yè)P691（4）,（6）,（8）；3；5；

6（3）；7；8；9（2）

第九章*二、全微分在數(shù)值計(jì)算中的應(yīng)用應(yīng)用第三節(jié)一元函數(shù)y=f(x)的微分近似計(jì)算估計(jì)誤差本節(jié)內(nèi)容:一、全微分的定義全微分一、全微分的定義定義:如果函數(shù)z=f(x,y)在定義域D

的內(nèi)點(diǎn)(x,y)可表示成其中A,B不依賴于

x,

y,僅與x,y有關(guān)，稱為函數(shù)在點(diǎn)(x,y)的全微分,記作若函數(shù)在域D

內(nèi)各點(diǎn)都可微,則稱函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微，處全增量則稱此函數(shù)在D

內(nèi)可微.yBxAD+D(2)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)下面兩個(gè)定理給出了可微與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系:(1)函數(shù)可微函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微由微分定義:得函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)可微即定理1(必要條件)若函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微,則該函數(shù)在該點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)同樣可證證:由全增量公式必存在,且有得到對(duì)x的偏增量因此有反例:函數(shù)易知

但因此,函數(shù)在點(diǎn)(0,0)不可微.注意:定理1的逆定理不成立.偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)不一定可微!即:定理2(充分條件)證：若函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)則函數(shù)在該點(diǎn)可微分.所以函數(shù)在點(diǎn)可微.注意到,故有推廣:類似可討論三元及三元以上函數(shù)的可微性問題.例如,三元函數(shù)習(xí)慣上把自變量的增量用微分表示,記作故有下述疊加原理稱為偏微分.的全微分為于是例1.計(jì)算函數(shù)在點(diǎn)(2,1)處的全微分.解:例2.計(jì)算函數(shù)的全微分.解:

可知當(dāng)*二、全微分在數(shù)值計(jì)算中的應(yīng)用1.近似計(jì)算由全微分定義較小時(shí),及有近似等式:(可用于近似計(jì)算;誤差分析)(可用于近似計(jì)算)半徑由20cm增大解:

已知即受壓后圓柱體體積減少了

例3.有一圓柱體受壓后發(fā)生形變,到20.05cm

,則高度由100cm減少到99cm

,體積的近似改變量.

求此圓柱體例4.計(jì)算的近似值.解:設(shè),則取則yfxffyxD+D+?)2,1()2,1()2,1(分別表示x,y,z的絕對(duì)誤差界,2.誤差估計(jì)利用令z的絕對(duì)誤差界約為z的相對(duì)誤差界約為則特別注意類似可以推廣到三元及三元以上的情形.乘除后的結(jié)果相對(duì)誤差變大很小的數(shù)不能做除數(shù)例5.利用公式求計(jì)算面積時(shí)的絕對(duì)誤差與相對(duì)誤差.解：故絕對(duì)誤差約為又所以S的相對(duì)誤差約為計(jì)算三角形面積.現(xiàn)測(cè)得例6.在直流電路中,

測(cè)得電壓U=24伏,解:由歐姆定律可知(歐)所以R

的相對(duì)誤差約為0.3+0.5R

的絕對(duì)誤差約為0.8

0.3;定律計(jì)算電阻R

時(shí)產(chǎn)生的相對(duì)誤差和絕對(duì)誤差.相對(duì)誤差為測(cè)得電流I=6安,相對(duì)誤差為0.5,=0.032(歐)=0.8

求用歐姆小結(jié)1.微分定義:2.重要關(guān)系:函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)可微偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)3.微分應(yīng)用?近似計(jì)算?估計(jì)誤差絕對(duì)誤差相對(duì)誤差練習(xí)1.P130題1(總習(xí)題九)函數(shù)在可微的充分條件是()的某鄰域內(nèi)存在;時(shí)是無窮小量;時(shí)是無窮小量.2.選擇題

答案:也可寫作:當(dāng)x=2,y=1,△x=0.01,△y=0.03

時(shí)△z=0.02,dz=0.03

3.P130題74.設(shè)解:利用輪換對(duì)稱性,可得(L.P245例2)注意:x,y,z

具有輪換對(duì)稱性

答案:

作業(yè)

P75題1(3),(4);3;5.已知在點(diǎn)(0,0)可微.備用題