偏導(dǎo)數(shù)-教學(xué)講解課件

第二節(jié)一、偏導(dǎo)數(shù)概念及其計算二、高階偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)

第九章一、偏導(dǎo)數(shù)定義及其計算法引例:研究弦在點x0

處的振動速度與加速度,就是中的x固定于求一階導(dǎo)數(shù)與二階導(dǎo)數(shù).x0處,關(guān)于

t

的將振幅定義1.在點存在,的偏導(dǎo)數(shù)，記為的某鄰域內(nèi)則稱此極限為函數(shù)極限設(shè)函數(shù)注意:同樣可定義對y

的偏導(dǎo)數(shù)若函數(shù)z=f(x,y)在域D

內(nèi)每一點

(x,y)處對x則該偏導(dǎo)數(shù)稱為偏導(dǎo)函數(shù),也簡稱為偏導(dǎo)數(shù)

,記為或

y

偏導(dǎo)數(shù)存在,例如,三元函數(shù)u=f(x,y,z)在點(x,y,z)處對x的偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上的函數(shù).偏導(dǎo)數(shù)定義為(請自己寫出)二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義:是曲線在點M0處的切線對x

軸的斜率.在點M0處的切線是曲線對y軸的斜率.函數(shù)在某點各偏導(dǎo)數(shù)都存在,顯然例如,注意：但在該點不一定連續(xù).在上節(jié)已證f(x,y)在點(0,0)并不連續(xù)!例1.求解法1:解法2:在點(1,2)處的偏導(dǎo)數(shù).例2.設(shè)證:例3.

求的偏導(dǎo)數(shù).(P65例4)解:求證偏導(dǎo)數(shù)記號是一個例4.已知理想氣體的狀態(tài)方程求證:證:說明:(R為常數(shù)),不能看作分子與分母的商!此例表明,整體記號,二、高階偏導(dǎo)數(shù)設(shè)z=f(x,y)在域D

內(nèi)存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)若這兩個偏導(dǎo)數(shù)仍存在偏導(dǎo)數(shù)，則稱它們是z=f(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù)

.按求導(dǎo)順序,有下列四個二階偏導(dǎo)數(shù):類似可以定義更高階的偏導(dǎo)數(shù).例如，z=f(x,y)關(guān)于x的三階偏導(dǎo)數(shù)為z=f(x,y)關(guān)于x的n–1階偏導(dǎo)數(shù),再關(guān)于y

的一階偏導(dǎo)數(shù)為例5.求函數(shù)解

:注意:此處但這一結(jié)論并不總成立.的二階偏導(dǎo)數(shù)及例如,二者不等例6.證明函數(shù)滿足拉普拉斯證：利用對稱性,有方程則定理.例如,對三元函數(shù)u=f(x,y,z),說明:本定理對n

元函數(shù)的高階混合導(dǎo)數(shù)也成立.函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的,故求初等函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)可以選擇方便的求導(dǎo)順序.因為初等函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù),當(dāng)三階混合偏導(dǎo)數(shù)在點(x,y,z)連續(xù)時,有而初等(證明略)證:令則則定理.令同樣在點連續(xù),得內(nèi)容小結(jié)1.偏導(dǎo)數(shù)的概念及有關(guān)結(jié)論

定義;記號;幾何意義

函數(shù)在一點偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)在此點連續(xù)

混合偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)與求導(dǎo)順序無關(guān)2.偏導(dǎo)數(shù)的計算方法

求一點處偏導(dǎo)數(shù)的方法先代后求先求后代利用定義

求高階偏導(dǎo)數(shù)的方法逐次求導(dǎo)法(與求導(dǎo)順序無關(guān)時,應(yīng)選擇方便的求導(dǎo)順序)練習(xí)解答提示:P130題5總習(xí)題P130題5,6即x＝y(tǒng)＝0時,P130題6(1)(2)作業(yè)P691（4）,（6）,（8）；3；5；

6（3）；7；8；9（2）

第九章*二、全微分在數(shù)值計算中的應(yīng)用應(yīng)用第三節(jié)一元函數(shù)y=f(x)的微分近似計算估計誤差本節(jié)內(nèi)容:一、全微分的定義全微分一、全微分的定義定義:如果函數(shù)z=f(x,y)在定義域D

的內(nèi)點(x,y)可表示成其中A,B不依賴于

x,

y,僅與x,y有關(guān)，稱為函數(shù)在點(x,y)的全微分,記作若函數(shù)在域D

內(nèi)各點都可微,則稱函數(shù)f(x,y)在點(x,y)可微，處全增量則稱此函數(shù)在D

內(nèi)可微.yBxAD+D(2)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)下面兩個定理給出了可微與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系:(1)函數(shù)可微函數(shù)z=f(x,y)在點(x,y)可微由微分定義:得函數(shù)在該點連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)可微即定理1(必要條件)若函數(shù)z=f(x,y)在點(x,y)可微,則該函數(shù)在該點偏導(dǎo)數(shù)同樣可證證:由全增量公式必存在,且有得到對x的偏增量因此有反例:函數(shù)易知

但因此,函數(shù)在點(0,0)不可微.注意:定理1的逆定理不成立.偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)不一定可微!即:定理2(充分條件)證：若函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)則函數(shù)在該點可微分.所以函數(shù)在點可微.注意到,故有推廣:類似可討論三元及三元以上函數(shù)的可微性問題.例如,三元函數(shù)習(xí)慣上把自變量的增量用微分表示,記作故有下述疊加原理稱為偏微分.的全微分為于是例1.計算函數(shù)在點(2,1)處的全微分.解:例2.計算函數(shù)的全微分.解:

可知當(dāng)*二、全微分在數(shù)值計算中的應(yīng)用1.近似計算由全微分定義較小時,及有近似等式:(可用于近似計算;誤差分析)(可用于近似計算)半徑由20cm增大解:

已知即受壓后圓柱體體積減少了

例3.有一圓柱體受壓后發(fā)生形變,到20.05cm

,則高度由100cm減少到99cm

,體積的近似改變量.

求此圓柱體例4.計算的近似值.解:設(shè),則取則yfxffyxD+D+?)2,1()2,1()2,1(分別表示x,y,z的絕對誤差界,2.誤差估計利用令z的絕對誤差界約為z的相對誤差界約為則特別注意類似可以推廣到三元及三元以上的情形.乘除后的結(jié)果相對誤差變大很小的數(shù)不能做除數(shù)例5.利用公式求計算面積時的絕對誤差與相對誤差.解：故絕對誤差約為又所以S的相對誤差約為計算三角形面積.現(xiàn)測得例6.在直流電路中,

測得電壓U=24伏,解:由歐姆定律可知(歐)所以R

的相對誤差約為0.3+0.5R

的絕對誤差約為0.8

0.3;定律計算電阻R

時產(chǎn)生的相對誤差和絕對誤差.相對誤差為測得電流I=6安,相對誤差為0.5,=0.032(歐)=0.8

求用歐姆小結(jié)1.微分定義:2.重要關(guān)系:函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)可微偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)3.微分應(yīng)用?近似計算?估計誤差絕對誤差相對誤差練習(xí)1.P130題1(總習(xí)題九)函數(shù)在可微的充分條件是()的某鄰域內(nèi)存在;時是無窮小量;時是無窮小量.2.選擇題

答案:也可寫作:當(dāng)x=2,y=1,△x=0.01,△y=0.03

時△z=0.02,dz=0.03

3.P130題74.設(shè)解:利用輪換對稱性,可得(L.P245例2)注意:x,y,z

具有輪換對稱性

答案:

作業(yè)

P75題1(3),(4);3;5.已知在點(0,0)可微.備用題