半角模型訓(xùn)練

半角模型半角模型：指的是一個(gè)大角夾著一個(gè)度數(shù)為它一半的角。條件：四邊形ABCD中，E、F分別在BC、CD（或延長(zhǎng)線(xiàn)上），具備下列三個(gè)條件：①AB=AD（共頂點(diǎn)等線(xiàn)段）；②∠BAD=2∠EAF；（共頂點(diǎn)的倍半角）③∠B+∠ADC=180°（或∠BAD+∠BCD=180°）（對(duì)角互補(bǔ)四邊形）結(jié)論：EF=BE+DF（延長(zhǎng)線(xiàn)上為EF=BE-DF）；AE平分∠BEF，AF平分∠EFD。情形一：角內(nèi)含半角（補(bǔ)短）情形二：角外含半角（截長(zhǎng)）模型一：90°夾45°例1、如圖，點(diǎn)E、F分別是正方形BC、CD上的點(diǎn)，∠EAF=45°，求證：（1）DF+BE=EF；（2）AE平分∠BEF，AF平分∠EFD證明：延長(zhǎng)CB至點(diǎn)G，使得BG=DF（在CD上補(bǔ)BE亦可）△ABG≌△ADF（SAS）△AEG≌△AEF（SAS）90°外夾45°例2、如圖，在正方形ABCD中，E、F為CB、DC延長(zhǎng)線(xiàn)上點(diǎn)，且∠EAF=45°，探究線(xiàn)段EF、BE、DF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明。類(lèi)型二、120°角夾60°例3、如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，E，F(xiàn)分別為BC，CD上的點(diǎn)，∠EAF=∠C=60°，求證(1)EF=BE+DF；（2）點(diǎn)A在∠BCD的平分線(xiàn)上.練習(xí)：1.如圖，四邊形ABCD中，∠A=∠BCD=60°，∠ADC=60°，AB=BC，E、F分別在AD、DC延長(zhǎng)線(xiàn)上，且∠EBF=60°，求證：AE=EF+CF例4、在等邊△ABC的兩邊AB、AC所在直線(xiàn)上分別有兩點(diǎn)M、N，D為△ABC外一點(diǎn)，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．探究：當(dāng)M、N分別在直線(xiàn)AB、AC上移動(dòng)時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系及△AMN的周長(zhǎng)Q與等邊△ABC的周長(zhǎng)L的關(guān)系．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)M、N邊AB、AC上，且DM＝DN時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系是；此時(shí)＝；（2）如圖2，點(diǎn)M、N在邊AB、AC上，且當(dāng)DM≠DN時(shí)，猜想（I）問(wèn)的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？若成立請(qǐng)直接寫(xiě)出你的結(jié)論；若不成立請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）如圖3，當(dāng)M、N分別在邊AB、CA的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，探索BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系如何？并給出證明．任意角夾半角例5、已知，如圖，在四邊形ABCD中，∠B+∠D＝180°，AB＝AD，E，F(xiàn)分別是線(xiàn)段BC，CD上的點(diǎn)，且BE+FD＝EF．求證：∠EAF＝∠BAD．練習(xí)（1）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝∠BAD．求證：EF＝BE+FD；（2）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？（3）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分別是邊BC、CD延長(zhǎng)線(xiàn)上的點(diǎn)，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)寫(xiě)出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．例6、（1）如圖1，已知正方形ABCD中，∠MAN＝45°，猜想線(xiàn)段MN、BM與DN之間有怎樣的關(guān)系？并證明．（2）如圖2，已知四邊形ABCD中，AB⊥BC于點(diǎn)B，AD⊥CD于點(diǎn)D，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠MAN＝60°，（1）中線(xiàn)段BM與DN之間的關(guān)系還成立嗎？如果成立，請(qǐng)證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）張大爺有一塊五邊形的土地，如圖3，已知AB＝AE＝6，BC＝4，DE＝3，∠BAE＝2∠CAD，AB⊥BC于點(diǎn)B，AE⊥DE于點(diǎn)E，請(qǐng)你幫助張大爺計(jì)算這塊土地的面積．課后練習(xí)1．如圖，等腰直角三角板的一個(gè)銳角頂點(diǎn)與正方形ABCD的頂點(diǎn)A重合，將此三角板繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使三角板中該銳角的兩條邊分別交正方形的兩邊BC、DC于點(diǎn)E、F，連結(jié)EF．若EF＝5，DF＝2，則BE的長(zhǎng)為．(第1題)(第2題)2．如圖，△ABC為等邊三角形，BD＝CD，∠BDC＝120°，BC＝2，M、N分別在邊AB，AC上，且∠MDN＝60°，則△AMN的周長(zhǎng)等于．3．在四邊形ABCD中，∠B+∠D＝180°，CB＝CD．以點(diǎn)C為頂點(diǎn)的∠ECF在四邊形ABCD的內(nèi)部繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，角的兩邊分別與AB、AD交于點(diǎn)E、F，∠ECF＝∠BCD．（1）若∠BCD＝120°，①如圖1，當(dāng)∠B＝90°，∠BCE＝30時(shí)，求證：EF＝BE+DF；②如圖2，當(dāng)∠B≠90時(shí)，①中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；③在∠ECF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，①中的結(jié)論是否仍然成立，請(qǐng)直接寫(xiě)出你的結(jié)論；（2）如圖3，若∠BCD為任意的一個(gè)角（0°＜∠BCD＜180°），在∠ECF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，①中的三條線(xiàn)段BE，DF，EF之間的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變，請(qǐng)直接寫(xiě)出你的結(jié)論．4．如圖1，四邊形ABCD，將頂點(diǎn)為A的∠EAF繞著頂點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，角的一條邊與DC的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)F，角的另一邊與CB的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)E，連接EF．（1）如果四邊形ABCD為正方形，當(dāng)∠EAF＝45°時(shí)，有EF＝DF﹣BE．請(qǐng)你思考如何證明這個(gè)結(jié)論（只需思考，不必寫(xiě)出證明過(guò)程）；（2）如圖2，如果在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝90°，當(dāng)∠EAF＝∠BAD時(shí)，EF與DF、BE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出它們之間的關(guān)系式（3）如圖3，如果在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠ABC與∠ADC互補(bǔ)，當(dāng)∠EAF＝∠BAD時(shí)，EF與DF、BE之間有怎樣的數(shù)學(xué)關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出它們之間的關(guān)系式并給予證明；（4）在（3）中，若BC＝4，DC＝7，CF＝2，求△CEF的周長(zhǎng)（直接寫(xiě)出結(jié)果即可）．5．已知正方形ABCD，一等腰直角三角板的一個(gè)銳角頂點(diǎn)與A重合，將此三角板繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，兩邊分別交直線(xiàn)BC、CD于M、N．（1）當(dāng)M、N分別在邊BC、CD上時(shí)（如圖1），求證：BM+DN＝MN；（2）當(dāng)M、N分別在邊BC、CD所在的直線(xiàn)上時(shí)（如圖2），線(xiàn)段BM、DN、MN之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)論；（不用證明）（3）當(dāng)M、N分別在邊BC、CD所在的直線(xiàn)上時(shí)（如圖3），線(xiàn)段BM、DN、MN之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)寫(xiě)出結(jié)論并寫(xiě)出證明過(guò)程．6.問(wèn)題背景：如圖1：在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝60°，探究圖中線(xiàn)段BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系．小王同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是，延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG＝BE．連結(jié)AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是；（2）探索延伸：如圖2，若在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝∠BAD，上述結(jié)論是否仍成立，并說(shuō)明理由；（3）實(shí)際應(yīng)用：如圖3，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（點(diǎn)O處）北偏西30°的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等．接到行動(dòng)指令后，艦艇甲向正東方向以45海里/時(shí)的速度前進(jìn)，同時(shí)，艦艇乙沿北偏東50°的方向以60海里/時(shí)的速度前進(jìn)，2小時(shí)后，指揮中心觀察到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)E、F處，且兩艦艇之間的夾角為70°，試求此時(shí)兩艦艇之間的距離．7．如圖，△ABC和△DEF是兩個(gè)等腰直角三角形，∠BAC＝∠DFE＝90°，AB＝AC，F(xiàn)D＝FE