六年級數學思維階梯講義

第一周定義新運算

知識要點5

定義新運算是指運用某種特殊符號來表示特定的意義，從而解答某些特殊算式的

一種運算。

解答定義新運算，關鍵是要正確地理解新定義的算式含義，然后嚴格按照新定義

的計算程序，將數值代入，轉化為常規(guī)的四則運算算式進行計算。

定義新運算是一種人為的、臨時性的運算形式，它使用的是一些特殊的運算符號，

如：*、等，這是與四則運算中的“△、#、*、?”不同的。

新定義的算式中有括號的，要先算括號里面的。但它在沒有轉化前，是不適合于

各種運算定律的。

______________________________________________________________________

思維

思維①階

假設a*b=(a+b)+(a-b),求13*5和13*(5*4)。

【思維導航】

13*5=(13+5)+(13-5)=18+8=26

5*4=(5+4)+(5-4)=10

13*(5*4)=13*10=(13+10)+(13-10)=26

【思維發(fā)散1】

L.將新運算“*”定義為：a*b=(a+b)X(a-b).求27*9。

2.設a*b=a2+2b,那么求10*6和5*(2*8)。

3.設a*b=3a—；Xb,求(25*12)*(10*5)。

乙

思維②階

設P、q是兩個數，規(guī)定：pAq=4Xq-(p+q)-?2求3/\(4z^6).

【思維導航】

3A(4A6).

=3A[4X6-(4+6)4-2]

=3A19

=4X19—(3+19)4-2

=76-11

=65

【思維發(fā)散2】

1、設p、q是兩個數，規(guī)定pz^q=4Xq—(p+q)4-2,求54(6A4)O

2、設p、q是兩個數，規(guī)定pZ\q=p''+(p—q)X20求30A(5A3)O

、幾口力人w,miMN41

3、設M、N是兩個數,規(guī)定|3二N+k求10*20-

思維③階

如果1*5=1+11+111+1111+11111,2*4=2+22+222+2222,3*3=3+33+333,

4*2=4+44o那么7*4=?,210*2=?

【思維導航】

7*4=7+77+777+7777=8638

210*2=210+210210=210420

【思維發(fā)散3】

1、如果1*5=1+11+111+1111+11111,2*4=2+22+222+2222,3*3=3+33+333,….

那么，4*4=?,18*3=?

2

2、規(guī)定a*b=a+aa+aaa+aaa+aaaa.....a,刃口么8*5=?(b-l)個a

3、如果2*1=；,3*2=與，4*3=￡,那么(6*3)+(2*6)=?。

乙OO444

思維④階

規(guī)定②=1X2X3,③=2X3X4,④=3X4X5,⑤=4X5X6,

能得XA,那么A是幾？

【思維導航】

11、111、…⑦6X7X83

A=（z⑥飛）F（z⑥-豆）*⑦遹7H詬-1=5

【思維發(fā)散4】

1、規(guī)定：②=1X2X3,③=2X3X4,④=3X4X5,⑤=4X5X6,....

如果看一看得義人，那么A=?。

2、規(guī)定：③=2X3X4,④=3X4X5,⑤=4X5X6,⑥=5X6X7,….

如果看+一皿那么口=?。

3、如果1派2=1+2,2派3=2+3+4,….5X6=5+6+7+8+9+10,那么xX3=

54中，x=?

3

思維⑤階

設a0b=4a-2b+Tab,求X。(401)=34中的未知數x。

【思維導航】

401=4X4-2X14X4X1=16

乙

1

XO16=4x-2X16+-XxX16

=12x-32

X=5.5

【思維發(fā)散5】

1、設aG)b=3a-2b,已知x。(401)=7求X。

2、對兩個整數a和b定義新運算“▽"：aVb=———,求6V4+9

(a+b)X(a-b)

▽8°

3、對任意兩個整數x和y定于新運算，“*"：x*y=/*(其中m是一個

mx+3y

確定的整數)。如果1*2=1,那么3*12=?

4

第二周簡便運算(一)

知識要點〉

根據算式的結構和數的特征，靈活運用運算法則、定律、性質和某些公式，可以

把一些較復雜的四則混合運算化繁為簡，化難為易。

思維II階梯

思維①階

計算：4.75-9.63+(8.25-1.37)

【思維導航】

原式=4.75+8.25-9.63-1.37

=13-(9.63+1.37)

=13-11

=2

【思維發(fā)散1】

計算下面各題。

89、

1.6.73-2—+(3.27-1—)

717

3.14.15-(7--6—)-2.125

o20

思維②階

計算：333387；X79+790X66661；

Lt4

【思維導航】

原式=333387.5X79+790X66661.25

=(33338.75+66661.25)X790

5

=100000X790

=79000000

【思維發(fā)散2】

計算下面各題：

114、槨

1、3.5X1-+125%+1-4--2975X0.25+X76-9.75

425

、

39~X425+4.254-^r4、0.9999X0.7+0.1111X2.7

560

思維③階

計算：36X1.09+1.2X67.3

【思維導航】

原式=1.2X30X1.09+1.2X67.3

=1.2X(32.7+67.3)

=1.2X100

=120

【思維發(fā)散3】

計算：

1、45X2.08+1.5X37.62、52X11.1+2.6X778

3、48X1.08+1.2X56.84、72X2.09-1.8X73.6

思維④階

計算：3|X25|+37.9X6|

6

【思維導航】

32

325

5-5-(25.4+12.5)X6.4

+25.4X6.4+12.5X6.4

=(3.6+6.4)X25.4+12.5X8X0.8

=254+80

=334

【思維發(fā)散4】

計算下面各題：

1371

U6.8X16.8+19.3X3.22、139X—+137X—

looloo

3、4.4X57.8+45.3X5.6

思維⑤階

計算81.5X15.8+81.5X51.8+67.6X18.5

【思維導航】

原式=81.5X(15.8+51.8)+67.6X18.5

=81.5X67.6+67.6X18.5

=(81.5+18.5)X67.6

=100X67.6

=6760

【思維發(fā)散5】

1、53.5X35.3+53.5X43.2+78.5X46.5

2、235X12.1+235X42.2-135X54.3

3

3、3.75X735--X5730+16.2X62.5

O

第三周簡便運算(二)

知識要點/〉

計算過程中，我們先整體地分析算式的特點，然后進行一定的轉化，創(chuàng)造條件運

用乘法分配律來簡算，這種思考方法在四則運算中用處很大。

思維①階

計算：1234+2341+3412+4123

【思維導航】

注意到題中共有4個四位數，每個四位數中都包含有1、2、3、4這幾個

數字，而且它們都分別在千位、百位、十位、個位上出現了一次，根據位值計數

的原則，可作如下解答：

原式=1X1111+2X1111+3X1111+4X1111

=(1+2+3+4)X1111

=10X1111

=11110

【思維發(fā)散1】

1、23456+34562+45623+56234+62345

2、45678+56784+67845+78456+84567

3、124.68+324.68+524.68+724.68+924.68

思維②階

4

計算：2-X23.4+11.1X57.6+6.54X28

8

【思維導航】

原式=2.8X23.4+2.8X65.4+11.1X8X7.2

=2.8X(23.4+65.4)+88.8X7.2

=2.8X88.8+88.8X7.2

=88.8X(2.8+7.2)

=88.8X10

=888

【思維發(fā)散2】

1、99999X77778+33333X66666

2、34.5X76.5-345X6.42-123X1.45

3、77X13+255X999+510

思維③階

g1993X1994-1

0^1993+1992X1994

【思維導航】

(1992+1)X1994—1

原式―1993+1992X1994

1992X1994+1994-1

1993+1992X1994

=1

【思維發(fā)散3】

計算下面各題:

362+548X361

,362X548-186

9

1988+1989X1987

1988X1989—1

204+584X1991

1992X584-380

思維④階

有一串數1,4,9,16,25,36…….它們是按一定的規(guī)律排列的,那么其

中第2000個數與2001個數相差多少？

【思維導航】

20012-20002=2001X2000-2000^+2001

=2000X(2001-2000)+2001

=2000+2001

=4001

【思維發(fā)散4】

計算：

1.19912-199022.99992+199993.999X274+6274

思維⑤階

255

l\-lz+

計算：（9y+79-z-x7-9-

【思維導航】

55

6-5lz-+-

原式=（y+9x79

=[65X（"+；）]?[5X（X）〕

10

=654-5

=13

【思維發(fā)散5】

計算下面各題:

1、（9+17）+哈444)

79

7195+妝）

2、(3n+1n)+(由

13

3、畸+36^)4-(32薨+聯)

(oZo/ozb

11

第四周簡便運算（三）

知識要點;〉

在進行分數運算時，除了牢記運算定律、性質外，還要仔細審題，仔細觀察運算

符號和數字特點，合理地把參加運算的數拆開或者合并進行重新組合，使其變成符合

運算定律的模式，以便于口算，從而簡化運算。

思維①階

4415

計算：（1）—X37（2）27X—

【思維導航】

15

(1)原式=(1—77)X37(2)原式=(26+1)X

4b26

=26Xi15

X37H--

-1X37--47526

3715

=15^—

=37-石26

=36A15

45=15詬

【思維發(fā)散口

用簡便方法計算下面各題:

14八211

1.-X82.X1263.35X

102536

&73Xm5,—X1999

12

思維②階

計算：73mX-

【思維導航】

1

X

原式=(72+H)8-

1

116X-

=72X8*西8

八2

=9+一

15

【思維發(fā)散2】

計算下面各題:

1

-

11222X-

64x2

Ln920

111314

3.7X57-4.41-X-+51-X-

思維③階

13

計算：-X27+-X41

55

【思維導航】

33

原式=]X9+|X41

55

3

=二X(9+41)

5

13

=二X50

5

=30

【思維發(fā)散3】

計算下面各題：

1.7X39+?X2715

2.~X35+TX17

4466

151

工XO

8-8-8-

思維④階

55256

*I臬X-X-

+一+

VT6一9-

131813

【思維導航】

152565

原式X+X+-X-

-6一9-

13131813

1265

/++-XX-

-X(6_9-ZJ

1813

_135

X13

18

5

18

【思維發(fā)散4】

計算下面各題:

451133161

X+-X1X+X1+X

-__--一-

992>74767

17112

14

c5c16cli553171cl

xX3

3、-X79-+50X-+-X-4、n8+訪X證+所2

思維⑤階

計算：(1)166g4-411998

(2)1998?1998再

【思維導航】

解：⑴原式=(164+2*)4-411998X1999+1998

(2)原式=1998-

1999

41=1998^1998X2000

=1644-41+—4-41

.1999

1998X19"

=4+-=

201998X2000

11999

=4-

202000

【思維發(fā)散5】

計算下面各題:

223811

1、54-4-172、2384-238—3、163—4-41—

01o<5y

15

第五周簡便運算（四）

知識要點:

前面我們介紹了運用定律和性質以及數的特點進行巧算和簡算的一些方法，下面

再向同學們介紹怎樣用拆分法（也叫裂項法、拆項法）進行分數的簡便運算。

運用拆分法解題主要是使拆開后的一些分數互相抵消，達到簡化運算的目的。一

般地，形如XJ+1、的分數可以拆成1-4?；形如xJ+、的分數可以拆成工

x（i-4-），形如R的分數可以拆成14等等。同學們可以結合例題思考其

aa+naxbab

中的規(guī)律。

思維①階

“殲1X22X33X499X100

【思維導航】

1111111

X+/\+zX+z)

一

一

-J|--7(-一I(

2Z\23x34Z+?\1

99X00

1111111

-1------H--------------H--------------+???+-----------------

2233499100

1

—1-------

100

99

-100

【思維發(fā)散口

計算下面各題：

1111

1.------4------4--------+???.+----------

4X55X66X739X40

16

11111

H-------------H---------------++

10X1111X1212X1313X1414X15

111111

工+++++

2-6-

11221031042

425672

1

人1+++

1-61

思維②階

計算：-■-H-—+…..+

2X44X66X848X50

【思維導航】

1

一,2222X

原式=(----+-----+----+…+------21

方3'2X44X66X8-48X50

111

+z-1X

\(-12-

4850

=——]X-

zoUZ

6

=25

【思維發(fā)散2】

計算下面各題：

1111

1.------------H--------.+----------------

3X55X77X997X99

17

-I----------H---------------.+

1X44X77X1097X100

---H-----H------+???,.+-------

1X55X99X1333X37

1111

生++++

4-2-O8-

2870

思維③階

7315

計算:4

1220304256

【思維導航】

原式=1；11

+-)-(7+8)

67

11111111111

==1-----+-+---+-+

33445566778

=14

7

8

【思維發(fā)散3】

計算下面各題:

1579119111315

1、1-+-----------2、_|------------H---------------

2612203020304256

18

199819981998199819989cli

3、---------4~-----------++H----------4、6義訪—X6+—X6

1X22X33X44X55X62030

思維④階

11111

巢

計++++

2--4-8

3264

【思維導航】

原式=(-+-+-+—+—+—+—)---

回八'2481632646464

_63

-64

【思維發(fā)散4】

11

L+11

-2-4—+.....+---

8256

22

N-+-222

39H-----4-------4----------

2781243

3.9.6+99.6+999.6+9999.6+99999.6

思維⑤階

11111111

計算：(1+―+—+-)X(~+—+~+-)—(1+-+-+-)x(-+-

導23423452345234)

19

【思維導航】

1

+Xb

a5-

=ab+=a—ab-Tb

55

=：(a—b)

5

【思維發(fā)散5】

1111111111

++++++

2-3-5-2-3-4-5-6_4-5-

1

一

一

3X1十++-X++-++

、2999222

20000020000000

11111

+++X++

2-2-922-

20000020)09900000

20

第六周轉化單位"1"（一）

知識要電

把不同的數量當作單位“1”，得到的分率可以在一定的條件下轉化。

如果甲是乙的;，乙是丙的三，則甲是丙的甥；如果甲是乙的［，則乙是甲的2；

bababa

如果甲林等于乙紇，則甲是乙的公*=前，乙是甲的LEF。

__________________________________________________________________________A

思維師帝

思維①階

乙數是甲數的2鼻，丙數是乙數的4尚，丙數是甲數的兒分之兒？

35

【思維導航】

2v4__8_

3X5-15

【思維發(fā)散1】

1、乙數是甲數的一，丙數是乙數的三，丙數是甲數的兒分之兒？

45

2、一根管子，第一次截去全長的;，第二次截去余下的g,兩次共截去全

長的幾分之幾？

3、一個旅客從甲城坐火車到乙城，火車行了全程的一半時旅客睡著了。他

醒來時，發(fā)現剩下的路程是他睡著前所行路程的;o想一想，剩下的路程是全程

的兒分之兒？他睡著時火車行了全程的兒分之兒？

21

思維②階

14

修一條8000米的水渠，第一周修了全長的彳，第二周修的相當于第一周的￡,

45

第二周修了多少米？

【思維導航】

14

解一：8000X-X-=1600（米）

14

解二：8000X（-X-）=1600（米）

答：第二周修了1600米。

【思維發(fā)散2】

用兩種方法解答下面各題：

1、一堆黃沙30噸，第一次用去總數的:，第二次用去的是第一次的17倍、

54

第二次用去黃沙多少噸？

17

2、大象可活80年，馬的壽命是大象的弓，長頸鹿的壽命是馬的￡,長頸鹿

No

可活多少年？

3、倉庫里有化肥30噸，第一次取出總數的!，第二次取出余下的J,第二

53

次取出多少噸？

思維③階

19

晶晶三天看完一本書，第一天看了全書的1,第二天看了余下的￡,第二天

45

22

比第一天多看了15頁，這本書共有多少頁？

【思維導航】

191

解：154-[(1--)X---]=300(頁)

454

答:這本書有300頁。

【思維發(fā)散3】

1Q

1、有一批貨物，第一天運了這批貨物的彳，第二天運的是第一天的三，還

45

剩90噸沒有運。這批貨物有多少噸？

2、修路隊在一條公路上施工。第一天修了這條公路的;，第二天修了余下

2

的鼻，已知這兩天共修路1200米，這條公路全長多少米？

24

3、加工一批零件，甲先加工了這批零件的胃,接著乙加工了余下的《。已

59

知乙加工的個數比甲少200個，這批零件共有多少個？

思維④階

男生人數是女生人數的￡4,女生人數是男生人數的幾分之幾？

5

【思維導航】

46

解：把女生人數看作單位“1”。14--=-

54

把男生人數看作單位“1"。5+4=7

23

【思維發(fā)散4】

3

1、停車場里有小汽車的輛數是大汽車的1，大汽車的輛數是小汽車的兒分

之幾？

2、如果山羊的只數是綿羊的T,那么綿羊的只數是山羊的兒分之兒？

3、如果花布的單價是白布的/倍，則白布的單價是花布的幾分之幾？

5

思維⑤階

甲數的:等于乙數的;，甲數是乙數的幾分之幾，乙數是甲數的幾倍？

o4

【思維導航】

.w.—1，一1=—31—工1一=,1］一

腳.4?343?43

31

答：甲數是乙數的彳，乙數是甲數的1-o

【思維發(fā)散5】

32

1、甲數的彳等于乙數的￡,甲數是乙數的幾分之幾？乙數是甲數的幾分之

40

兒？

24

95

2、甲數的1-倍等于乙數的A,甲數是乙數的幾分之幾？乙數是甲乙兩數和

36

的幾分之幾？

3、甲數是丙數的彳，乙數是丙數的E，甲數是乙數的幾分之幾？乙數是甲

45

數的幾分之幾？（想一想：這題與第一題有什么不同？）

25

第七周轉化單位“1"(二)

知識要點J

我們必須重視轉化訓練。通過轉化訓練，既可理解數量關系的實質，又可拓展我

們的解題思路，提高我們的思維能力。

思維麻帽

思維①階

93

甲數是乙數的弓，乙數是丙數的］，甲、乙、丙的和是216,甲、乙、丙各

Ox

是多少？

【思維導航】

391

解法一：把丙數看所單位“1”那么甲數就是丙數的7X---,

D乙

332

丙：216+(1+-+-X-)=96

3

乙：96X-=72

4

2

甲：72X-=48

O

34

解法二：可將“乙數是丙數的z”轉化成“丙數是乙數的鼻”，把乙數看作

xO

單位“1”。

24

乙：216+(-+1+-)=72

OO

E2

甲：72X-=48

o

丙：724-7=96

4

26

93

解法三：將條件“甲數是乙數的鼻”轉化為“乙數是甲數的5”，再將條件

O乙

34

“乙數是丙數的彳”轉化為“丙數是乙數的鼻”，以甲數為單位“1”。

4o

334

甲：216+(1+-+-X-)=48

乙乙o

3

乙：48X-=72

4

丙：72X-=96

O

答：甲數是48,乙數是72,丙數是96。

【思維發(fā)散1】

下面各題怎樣計算簡便就怎樣計算：

1、甲數是乙數的3，乙數是丙數的彳，甲、乙、丙三個數的和是152,甲、

64

乙、丙三個數各是多少？

21

2、橘子的千克數是蘋果的彳，香蕉的千克數是橘子的￡,香蕉和蘋果共有

220千克，橘子有多少千克？

9

3、某中學的初中部三個年級中，初一的學生數是初二學生數的言，初二的

學生數是初三學生數的1；倍，這個學校里初三的學生數占初中部學生數的兒分

之兒？

27

思維②階

紅、黃、藍氣球共有62只，其中紅氣球的三3等于黃氣球的9彳，藍氣球有24

只，紅氣球和黃氣球各有多少只？

【思維導航】

39

解法一：將條件“紅氣球的］等于黃氣球的彳”轉化為“黃氣球的只數是紅

53

39Q

氣球的（|--=）”。先求紅氣球的只數，再求出黃氣球的只數。

5310

32

紅氣球：（62—24）+（1+-4--）=20（只）

53

黃氣球：62-24-20=18（只）

39

解法二：將條件“紅氣球的1等于黃氣球的鼻”轉化為“紅氣球的只數是黃

□6

9310

氣球的（-^-=）V"。先求黃氣球的只數，再求出紅氣球的只數。

359

93

黃氣球：（62—24）+（1+-4--）=18（只）

35

紅氣球：62-24-18=20（只）

答：紅氣球有20只，黃氣球有18只。

【思維發(fā)散2】

9S

1、甲數的;等于乙數的、，甲、乙兩數的和是162,甲、乙兩數各是多少？

36

2

2、今年8月份，甲所得的獎金比乙少200元，甲得的獎金的彳正好是乙得

4

獎金的7,甲、乙兩人各得獎金多少元？

28

3、商店運來香蕉、蘋果和梨子共900千克,香蕉重量的;等于蘋果重量的|，

4o

梨子的重量是200千克。香蕉和蘋果各多少千克？

思維③階

23

已知甲校學生數是乙校學生數的三，甲校的女生數是甲校學生數的行，乙

510

校的男生數是乙校學生數的21會，那么兩校女生總數占兩校學生總數的幾分之

幾？

【思維導航】

解法一：把乙校學生數看作單位“1”。

232121

”xw+(1-^5"1=5

解法二：把甲校學生數看作單位“i”

55213、.，5、1

(-X—H)—(1H"—)=一

22501022

答：甲、乙兩校女生總數占兩校學生總數的1O

【思維發(fā)散3】

1、在一座城市中，中學生數是居民的!，大學生是中學生數的J