某大學(xué)2022年《1076常微分方程》期末考試真題及答案（共2套）

試卷代號(hào):1076

國家開放大學(xué)202I年秋季學(xué)期期末統(tǒng)一考試

常微分方程試題

2022年1月

ー、單項(xiàng)選擇題（每小題3分,本題共15分）

1.ー階線性微分方程メ;+p（x）y=式町的積分因子是（）.

A.握=e7q&）dxB.M=efqMdx

C.“=e"P（x）dxD.〃=ePa）dx

2.若"スメ）在全平面上連續(xù)且對(duì)ア滿足李普希茲條件,那么方程れーノaメ）的任一解的存在

區(qū)間（）.

A.必為（-8,〇）B.因解而定

C.必為（-8,+00）D.必為（0,+8）

dY1

3.線性非齊次方程組れ="（x）y+“MY=Si，…%）的所有解（）.

A.構(gòu)成一個(gè)れ維線性空間B,構(gòu)成一個(gè)n+1維線性空間

C,不是線性空!同D.構(gòu)成一個(gè)無電,維線性空間

4.已知方程り”+ダ=4久的ー個(gè)特解為公,又對(duì)應(yīng)齊次方程孫“+プ=。有一個(gè)特解為"X,

則原方程的通解為（）.

222

Ay=Cxx+C2lnx+xy=Ctx+C2lnx+x

232

Cy=g+C2lnx+Xpy=Cxx+C2lnx+x

5.平面自治系統(tǒng)在相平面上的一條軌線,對(duì)應(yīng)（）積分曲線.

A.無窮多條B.一條

C.兩條D,三條

二、填空題（每小題3分,本題共15分）

6.微分方程yy-X（ダ）3+2cosx=°是階微分方程.

7.方程芝れーxsin（x+y）滿足解的存在惟一性定理?xiàng)l件的區(qū)域是.

8.常微分方程的ー個(gè)不可延展解的存在區(qū)間一定是一區(qū)間.

9.二階方程y+xy+メ丫=〇的等價(jià)方程組是.

10.純量方程dy=數(shù)中，當(dāng)a<°時(shí),其零解是穩(wěn)定的.

三、計(jì)算題（每小題8分,本題共40分）

求下列方程的通解或通積分:

H,求變量可分離方程れーアびー"的通積分.

12,求ー階線性非齊次方程お+2X7二叔的通積分。

13.求全微分方程（が+盯2+x2）dx+x2ydy=0的通積分.

14.求克萊洛方程y=町'+2（y'）3的通解.

15.求恰當(dāng)導(dǎo)數(shù)方程yy”+（力ユ+3%2=0的通積分,

四、計(jì)算題（本題共15分）

16.求下列常系數(shù)線性微分方程組的通解:

fdx

—=2%-3y

dt

dy?

[di=x-2y

五、證明題（本題共15分）

17.設(shè)/（y）在（-8,+8）上連續(xù)可微,求證:對(duì)任意的與€（-8,+8）,僅〇|<1,方

程

，=（/_1）/（y）

dx

滿足初值條件y（/）=y。,。的解必在（ー%+8）上存在.

試卷代號(hào):1076

國家開放大學(xué)2022年春季學(xué)期期末統(tǒng)一考試

常微分方程試題

2022年7月

ー、單項(xiàng)選擇題(每小題3分,本題共15分)

1

1.微分方程x2y'-y=x"e'的通解為y=().

A,X2(X+C)B.e、(x+C)

c.e"x+C)D,eFx+C)

2.方程れーベ'y+1的奇解（）.

A.ー個(gè)也沒有B.有無數(shù)個(gè)

C.只有一個(gè)D.只有兩個(gè)

（IYr

3.一階線性非齊次方程組五=A（x）y+F（x）,y=（3,…，yn）的任一解的圖像是n+1維

空間（x，yi，…，yn）中的（）.

A.ー個(gè)曲面B,一條曲線

C.一族曲線D.一族曲面

4.向量函數(shù)組在區(qū)間I上的朗斯基行列式火ス）=〇是它們線性相關(guān)的（）條件.

A.必要B.充分

C.充分必要D.即非充分也非必要

（dxっ

產(chǎn),

5.平面系統(tǒng)し;=3*+4y的奇點(diǎn)（0，〇）的類型是（）.

A.鞍點(diǎn)B.不穩(wěn)定焦點(diǎn)

C.不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)D.穩(wěn)定焦點(diǎn)

二、填空題（每小題3分,本題共15分）

6.方程（y+l）dx+（x+l）dy=。所有常數(shù)解是.

dy_2

7.方程れ=*+cosy滿足解的存在惟一性定理?xiàng)l件的區(qū)域是

8.n階線性齊次微分方程的所有解構(gòu)成一個(gè)維線性空間.

9.二階方程y"+xy'+x2y=0的等價(jià)方程組是ー______________.

10.純量方程豎=一メ中‘當(dāng)a<0時(shí),其零解是穩(wěn)定的.

三、計(jì)算題（每小題8分,本題共40分）

求下列方程的通解或通積分:

11.求變量可分離方程れー2けー丄ノ的通解.

12.求ー階線性非齊次方程dx+3y=e的通解.

13.求全微分方程（ギ+xy2+x2）dx+x2ydy=。的通積分.

14.求克萊洛方程y="y'+y+（『產(chǎn)的通解.

は求恰當(dāng)導(dǎo)數(shù)方程yy"+（y'）2=°的通積分,

四、計(jì)算題（本題共15分）

16.求二階常系數(shù)線性微分方程丫ー5y=sin5x的通解.

五、證明題（本題共15分）

^.在方程五二ハ乃ジ0^中,已知f（x），w'（y）在（-8,+8）上連續(xù),且。（±1）=〇,

求證:對(duì)任意X。和ワ。1〈1,滿足初值條件y（xo）=y。的解y（x）的存在區(qū)間必為（一

8,+oo）.

試卷代號(hào):1076

國家開放大學(xué)2021年秋季學(xué)期期末統(tǒng)一考試

常微分方程試題答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)

（供參考）

2022年1月

一、單項(xiàng)選擇題（每小題3分,本題共15分）

1.D2.B3.C4.C5.A

二、填空題（每小題3分,本題共15分）

6.二

7.全平面

8.開

9-,

I”'=—め1—X2y

10.漸進(jìn)

三、計(jì)算題（每小題8分,本題共40分）

11.解當(dāng)y（y—1）關(guān)〇時(shí),分離變量,得,1dy=d2（3分）

—1）

積分,得［’（1_一dy=fda-+Ct（5分）

J—1）J

通積分為!nIy—1|—InIy|=4-Ci,即2----=Ce1（8分）

y

12.解對(duì)應(yīng)的齊次方程*+2zy=0

的通解為"=Ce-r（4分）

令非齊次方程解為:y=C（j-）e-?

代入原方程,得C（^）=2e7+C

原方程通解為:）1=Cel'+2（8分）

注:直接用通解公式正確求出方程通解,參照給分.

13.解因?yàn)槎?2スッ=丁,所以原方程是全微分方程.（3分）

dydJC

?。殻?，y。）=（0,0）,通積分為

f（ザ+xy2+J-2）d.r=C

（6分）

Jo

即ナパ+!ザザ+;ザ=〇

（8分）

（1076號(hào)）常微分方程答案第1頁（共2頁）

14.解原方程是克萊洛方程,通解為

ヽ=0+2（ジ（8分）

15,解原方程是恰當(dāng)導(dǎo)數(shù)方程,可寫成

（處'+パ）’=0

即ガ十エコ“（4分）

分離變量解此方程?通積分為

行ザ=C|ユーうボ+c

2（8分）

四、計(jì)算題（本題共15分）

2-X—3

16.解特征方程丨A-XE|=(AH-1)(X—1)=0（5分）

1-2-X

特征根為A]=1,ス2=—1（7分）

31

X,和A,對(duì)應(yīng)的特征向量分別是和（12分）

11J

3e‘e

原方程組的通解是+C2（15分）

yee

五、證明題（本題共15分）

17.證明該方程在全平面上滿足解的存在惟一性定理及解的延展定理.

乂、=±1是該方程的兩個(gè)常數(shù)解.（5分）

現(xiàn)取工（>e（―8,+8）,|y0|<1,記過點(diǎn)（Ho,y0）的解為y（H）.一方面該解可向平面的無窮遠(yuǎn)無限

延展,另一方面又不能上下穿越y(tǒng)=±1,否則將破壞解的惟ー性.因此.該解只能在區(qū)域G=｛（了,y丨丨y|<

1,よG（―8,+8）｝內(nèi)沿ア軸兩側(cè)無限延展,顯然其定義區(qū)間必是（一8,+〇〇）.（15分）

（1076號(hào)）常微分方程答案第2頁（共2頁）

試卷代號(hào):1076

國家開放大學(xué)2022年春季學(xué)期期末統(tǒng)一考試

常微分方程試題答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)

（供參考）

2022年7月

ー、單項(xiàng)選擇題（每小題3分,本題共15分）

1.D2.A3.B4.A5.C

二、填空題（每小題3分,本題共15分）

6y==

7.全平面

8.n

,ダ=%

9.必=-xyx-xy

10.漸進(jìn)

三、計(jì)算題（每小題8分,本題共40分）

11.解當(dāng)yW土1時(shí),分離變量積分得

,ラア=出+G（く分）

財(cái)局つ+ら貂=シ（8分）

_1+Cex

解得通解,丁あ（4分）

12.解齊次方程的通解為:，y=Ce-3x（4分）

令非齊次方程的特解為:y=C{x}e-3x

代人原方程,確定出C（x）=*s“+C

原方程的通解為:y-。e+5e（8分）

注:直接用通解公式求出方程通解,同樣給分.