《三角形的證明》復(fù)習(xí)鞏固基礎(chǔ)提高知識(shí)點(diǎn)講解及練習(xí)題解析

PAGE《三角形的證明》全章復(fù)習(xí)與鞏固（基礎(chǔ)）【鞏固練習(xí)】選擇題1.△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC邊于點(diǎn)D，∠BDC=75°，則∠A的度數(shù)是（） A． 35° B． 40° C． 70° D． 110°2．三角形的三個(gè)內(nèi)角中，銳角的個(gè)數(shù)不少于（） A． 1個(gè) B． 2個(gè) C． 3個(gè) D． 不確定3．用兩個(gè)全等的直角三角形拼下列圖形：①平行四邊形（不包含菱形、矩形、正方形）；②矩形；③正方形；④等腰三角形，其中一定可以拼成的圖形的是（） A． ①②③ B． ②③④ C． ①③④ D． ①②④4．如圖，D在AB上，E在AC上，且∠B=∠C，那么補(bǔ)充下列一個(gè)條件后，仍無(wú)法判定△ABE≌△ACD的是（） A． AD=AE B． ∠AEB=∠ADC C． BE=CD D． AB=AC5．（2015?青島）如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E，DE=1，則BC=（）A． B．2 C．3 D．+26．等腰三角形的一邊為4，另一邊為9，則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為（） A． 17 B． 22 C． 13 D． 17或227．有兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形（） A． 必定全等 B． 必定不全等 C． 不一定全等 D． 以上答案都不對(duì)8．面積相等的兩個(gè)三角形（） A． 必定全等 B． 必定不全等 C． 不一定全等 D． 以上答案都不對(duì)填空題9.如果等腰三角形的一個(gè)底角是80°，那么頂角是_________度．10.△ABC中，∠A是∠B的2倍，∠C比∠A+∠B還大12°，那么∠B=_________度．11．（2015秋?洛陽(yáng)校級(jí)月考）如果a，b，c為三角形的三邊，且（a﹣b）2+（a﹣c）2+|b﹣c|=0，則這個(gè)三角形是．12．如圖，△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分別為D、E，AD、CE交于點(diǎn)H，請(qǐng)你添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件：_________，使△AEH≌△CEB．13．等腰直角三角形一條邊長(zhǎng)是1cm，那么它斜邊上的高是_________．14．在△ABC和△ADC中，下列論斷：①AB=AD；②∠BAC=∠DAC；③BC=DC，把其中兩個(gè)論斷作為條件，另一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出一個(gè)真命題：_________．15．在△ABC中，邊AB、BC、AC的垂直平分線相交于P，則PA、PB、PC的大小關(guān)系是_________．16．已知△ABC中，∠A=90°，角平分線BE、CF交于點(diǎn)O，則∠BOC=_________．解答題17.（2015秋?定州市期中）如圖，四邊形ABCD中，∠B=90°，AB∥CD，M為BC邊上的一點(diǎn)，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC．求證：（1）AM⊥DM；（2）M為BC的中點(diǎn)．18.如圖，△ABC中，∠C=Rt∠，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，BD：DC=2：1，BC=7.8cm，求D到AB的距離．19.如圖，D，E是△ABC邊上的兩點(diǎn)，且BD=DE=EC=AD=AE，求∠BAC的度數(shù)．20.（2015春?建昌縣期末）已知：如圖，有一塊Rt△ABC的綠地，量得兩直角邊AC=8m，BC=6m．現(xiàn)在要將這塊綠地?cái)U(kuò)充成等腰△ABD，且擴(kuò)充部分（△ADC）是以8m為直角邊長(zhǎng)的直角三角形，求擴(kuò)充后等腰△ABD的周長(zhǎng)．（1）在圖1中，當(dāng)AB=AD=10m時(shí)，△ABD的周長(zhǎng)為；（2）在圖2中，當(dāng)BA=BD=10m時(shí)，△ABD的周長(zhǎng)為；（3）在圖3中，當(dāng)DA=DB時(shí)，求△ABD的周長(zhǎng)．【答案與解析】一.選擇題1.【答案】B；【解析】解：設(shè)∠A的度數(shù)是x，則∠C=∠B=，∵BD平分∠ABC交AC邊于點(diǎn)D∴∠DBC=，∴++75=180°，∴x=40°.∴∠A的度數(shù)是40°.故選B．2．【答案】B；【解析】解：由三角形內(nèi)角和為180度可知：三角形的三個(gè)內(nèi)角中，銳角的個(gè)數(shù)不少于2個(gè)．故選B．3.【答案】D；【解析】解：兩個(gè)全等的直角三角形，一定可以拼成平行四邊形（直角邊重合，兩直角不鄰），等腰三角形（直角邊重合，兩直角相鄰），以及矩形（斜邊重合）；若為等腰直角三角形，則可拼成正方形；所以①②④一定可以拼接而成，③不一定拼成．4.【答案】B；【解析】解：A、根據(jù)AAS（∠A=∠A，∠C=∠B，AD=AE）能推出△ABE≌△ACD正確，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、三角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形不一定全等，錯(cuò)誤，故本選項(xiàng)正確；C、根據(jù)AAS（∠A=∠A，∠B=∠C，BE=CD）能推出△ABE≌△ACD，正確，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、根據(jù)ASA（∠A=∠A，AB=AC，∠B=∠C）能推出△ABE≌△ACD，正確，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；5.【答案】C；【解析】解：∵AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=DE=1，又∵直角△BDE中，∠B=30°，∴BD=2DE=2，∴BC=CD+BD=1+2=3．故選C．6.【答案】B；【解析】解：當(dāng)腰長(zhǎng)為4時(shí)，則三角形的三邊長(zhǎng)為：4、4、9；∵4+4＜9，∴不能構(gòu)成三角形；因此這個(gè)等腰三角形的腰長(zhǎng)為9，則其周長(zhǎng)=9+9+4=22．7.【答案】A;【解析】解：有兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等，符合“角角邊”判定方法，所以，兩個(gè)三角形必定全等．8.【答案】C;【解析】解：因?yàn)閮蓚€(gè)面積相等的三角形，也就是底乘高相等；但是一個(gè)數(shù)可以有許多不同的因數(shù)，所以說這兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)高不一定相等；故面積相等的兩個(gè)三角形不一定全等．二、填空題9．【答案】20；【解析】解：∵三角形是等腰三角形，∴兩個(gè)底角相等，∵等腰三角形的一個(gè)底角是80°，∴另一個(gè)底角也是80°，∴頂角的度數(shù)為180°﹣80°﹣80°=20°．10．【答案】28；【解析】解：設(shè)∠B=x，則∠A=2x，∠C=3x+12°，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴x+2x+3x+12°=180°，解得x=28°．故答案為：28．11.【答案】等邊三角形；【解析】解：∵（a﹣b）2+（a﹣c）2+|b﹣c|=0，∴a﹣b=0，a﹣c=0，b﹣c=0，∴a=b，a=c，b=c，∴a=b=c，∴這個(gè)三角形是等邊三角形；故答案為：等邊三角形．12.【答案】AH=CB或EH=BE或AE=CE；【解析】解：∵AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分別為D、E，∴∠BEC=∠AEC=90°，在Rt△AEH中，∠EAH=90°﹣∠AHE，又∵∠EAH=∠BAD，∴∠BAD=90°﹣∠AHE，在Rt△AEH和Rt△CDH中，∠CHD=∠AHE，∴∠EAH=∠DCH，∴∠EAH=90°﹣∠CHD=∠BCE，所以根據(jù)AAS添加AH=CB或EH=BE；根據(jù)ASA添加AE=CE．可證△AEH≌△CEB．13.【答案】cm或cm；【解析】解：（1）當(dāng)1cm是斜邊，則其高就是斜邊1的一半是cm；（2）當(dāng)其直角邊是1cm時(shí)，根據(jù)勾股定理得其斜邊是cm，再根據(jù)其高是斜邊的一半得高是cm；所以它斜邊上的高是cm或cm．14.【答案】在△ABC和△ADC中，如果AB=AD，∠BAC=∠DAC，那么BC=DC．【解析】解：把①②作為條件③作為結(jié)論，∵AB=AD，∠BAC=∠DAC，又∵AC=AC，∴△ABC≌△ADC，∴BC=BD．故答案為：在△ABC和△ADC中，如果AB=AD，∠BAC=∠DAC，那么BC=DC．15.【答案】PA=PB=PC;【解析】∵邊AB的垂直平分線相交于P，∴PA=PB，∵邊BC的垂直平分線相交于P，∴PB=PC，∴PA=PB=PC．16.【答案】135°;【解析】解：∵∠A=90°，∴∠ABC+∠ACB=90°，∵角平分線BE、CF交于點(diǎn)O，∴∠OBC+∠OCB=45°，∴∠BOC=180°﹣45°=135°．故答案為135°．三、解答題17.【解析】解：（1）∵AB∥CD，∴∠BAD+∠ADC=180°，∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，∴2∠MAD+2∠ADM=180°，∴∠MAD+∠ADM=90°，∴∠AMD=90°，即AM⊥DM；（2）作NM⊥AD交AD于N，∵∠B=90°，AB∥CD，∴BM⊥AB，CM⊥CD，∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，∴BM=MN，MN=CM，∴BM=CM，即M為BC的中點(diǎn)．18.【解析】解：如圖，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，∵BD：DC=2：1，BC=7.8，∴CD=×7.8=2.6，∵AD平分∠BAC，∴DE=CD=2.6(cm).即D到AB的距離2.6cm．19.【解析】解：因?yàn)锳D=DE=AE，所以∠ADE=∠DEA=∠DAE=60°，所以∠ADB=120°，∠AEC=120°．因?yàn)锽D=AD，AE=EC，所以∠B=∠BAD=（180°﹣∠ADB）=（180°﹣120°）=30°，∠C=∠CAE=（180°﹣∠AEC）=（180°﹣120°）=30°．所以∠BAC=∠BAD+∠DAE+∠CAE=30°+60°+30°=120°．20．【解析】解：（1）如圖1，∵AB=AD=10m，AC⊥BD，AC=8m，∴DC==6（m），則△ABD的周長(zhǎng)為：10+10+6+6=32（m）．故答案為：32m；（2）如圖2，當(dāng)BA=BD=10m時(shí)，則DC=BD﹣BC=10﹣6=4（m），故AD==4（m），則△ABD的周長(zhǎng)為：AD+AB+BD=10+4+10=（20+4）m；故答案為：（20+4）m；（3）如圖3，∵DA=DB，∴設(shè)DC=xm，則AD=（6+x）m，∴DC2+AC2=AD2，即x2+82=（6+x）2，解得；x=，∵AC=8m，BC=6m，∴AB=10m，故△ABD的周長(zhǎng)為：AD+BD+AB=2（+6）+10=（m）．

《三角形的證明》全章復(fù)習(xí)與鞏固（基礎(chǔ)）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.經(jīng)歷回顧與思考的過程，深刻理解和掌握定理的探索和證明.2.結(jié)合具體實(shí)例感悟證明的思路和方法，能運(yùn)用綜合、分析的方法解決有關(guān)問題.3.能正確運(yùn)用尺規(guī)作圖的基本方法作已知線段的垂直平分線和角的平分線，以及繪制特殊三角形.【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、等腰三角形1.三角形全等的性質(zhì)及判定全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角也相等.判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.2.等腰三角形的判定、性質(zhì)及推論性質(zhì)：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（等邊對(duì)等角）判定：有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形（等角對(duì)等邊）推論：等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合（即“三線合一”）3.等邊三角形的性質(zhì)及判定定理性質(zhì)定理：等邊三角形的三個(gè)角都相等，并且每個(gè)角都等于60°；等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，有3條對(duì)稱軸.判定定理：有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形；三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形.4.含30°的直角三角形的邊的性質(zhì)定理：在直角三角形中，如果一個(gè)角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.要點(diǎn)詮釋：等邊三角形是中考中?？嫉闹R(shí)點(diǎn)，并且有關(guān)它的計(jì)算也很常見，因此對(duì)于等邊三角形的特殊數(shù)據(jù)要熟記于心，比如邊長(zhǎng)為a的等邊三角形它的高是，面積是；含有30°的直角三角形揭示了三角形中邊與角的關(guān)系，打破了以往那種只有角或邊的關(guān)系，同時(shí)也為我們學(xué)習(xí)三角函數(shù)奠定了基礎(chǔ).要點(diǎn)二、直角三角形1.勾股定理及其逆定理定理：直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.逆定理：如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形.2.命題與逆命題命題包括題設(shè)和結(jié)論兩部分；逆命題是將原命題的題設(shè)和結(jié)論交換位置得到的；3.直角三角形全等的判定定理定理：斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（HL）.要點(diǎn)詮釋：①勾股定理的逆定理在語(yǔ)言敘述的時(shí)候一定要注意，不能說成“兩條邊的平方和等于斜邊的平方”，應(yīng)該說成“三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方”.②直角三角形的全等判定方法，還有SSS,SAS,ASA,AAS,HL一共有5種判定方法.要點(diǎn)三、線段的垂直平分線1.線段垂直平分線的性質(zhì)及判定性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.判定：到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上.2.三角形三邊的垂直平分線的性質(zhì)三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.3.如何用尺規(guī)作圖法作線段的垂直平分線分別以線段的兩個(gè)端點(diǎn)A、B為圓心，以大于AB的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)M、N；作直線MN，則直線MN就是線段AB的垂直平分線.要點(diǎn)詮釋：①注意區(qū)分線段的垂直平分線性質(zhì)定理和判定定理,注意二者的應(yīng)用范圍；②利用線段的垂直平分線定理可解決兩條線段的和距離最短問題.要點(diǎn)四、角平分線1.角平分線的性質(zhì)及判定定理性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等；判定：在一個(gè)角的內(nèi)部，且到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上.2.三角形三條角平分線的性質(zhì)定理性質(zhì)：三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三條邊的距離相等.3.如何用尺規(guī)作圖法作出角平分線要點(diǎn)詮釋：①注意區(qū)分角平分線性質(zhì)定理和判定定理,注意二者的應(yīng)用范圍；②幾何語(yǔ)言的表述，這也是證明線段相等的一種重要的方法.遇到角平分線時(shí)，要構(gòu)造全等三角形.【典型例題】類型一、三角形的證明1.已知：點(diǎn)D是△ABC的邊BC的中點(diǎn)，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分別為E，F(xiàn)，且BF=CE．求證：△ABC是等腰三角形．【思路點(diǎn)撥】欲證△ABC是等腰三角形，又已知DE⊥AC，DF⊥AB，BF=CE，可利用三角形中兩內(nèi)角相等來(lái)證明．【答案與解析】證明：∵D是BC的中點(diǎn)，∴BD=CD，∵DE⊥AC，DF⊥AB，∴△BDF與△CDE為直角三角形，在Rt△BDF和Rt△CDE中，∴Rt△BFD≌Rt△CED（HL），∴∠B=∠C，∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形．【總結(jié)升華】考查等腰三角形的判定方法及全等三角形的判定及性質(zhì)；充分利用條件證明三角形全等是正確解答本題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】（2015秋?江陰市校級(jí)期中）已知：如圖，△AMN的周長(zhǎng)為18，∠B，∠C的平分線相交于點(diǎn)O，過O點(diǎn)的直線MN∥BC交AB、AC于點(diǎn)M、N．求AB+AC的值．【答案】解：∵M(jìn)N∥BC，∴∠BOM=∠OBC，∠CON=∠OCB，∵∠B，∠C的平分線相交于點(diǎn)O，∴∠MBO=∠OBC，∠NCO=∠OCB，∴∠MBO=∠BOM，∠NCO=∠CON，∴BM=OM，CN=ON，∵△AMN的周長(zhǎng)為18，∴AM+MN+AN=AM+OM+ON+AN=AM+BM+CN+AN=AB+AC=18．【變式2】如圖，在△ABC中，AB=AC，D、E在BC上，且AD=AE，求證：BD=CE．【答案】證明：∵AB=AC，AD=AE，∴∠B=∠C，∠ADE=∠AED，∵∠ADE=∠B+∠BAD，∠AED=∠C+∠EAC，∴∠BAD=∠CAE，∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE．類型二、直角三角形2.如圖，已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，沿過B點(diǎn)的一條直線BE折疊這個(gè)三角形，使C點(diǎn)與AB邊上的一點(diǎn)D重合．（1）當(dāng)∠A滿足什么條件時(shí)，點(diǎn)D恰為AB的中點(diǎn)寫出一個(gè)你認(rèn)為適當(dāng)?shù)臈l件，并利用此條件證明D為AB的中點(diǎn)；（2）在（1）的條件下，若DE=1，求△ABC的面積．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)：△BCE≌△BDE，BC=BD，當(dāng)點(diǎn)D恰為AB的重點(diǎn)時(shí)，AB=2BD=2BC，又∠C=90°，故∠A=30°；當(dāng)添加條件∠A=30°時(shí)，由折疊性質(zhì)知：∠EBD=∠EBC=30°，又∠A=30°且ED⊥AB，可證D為AB的中點(diǎn)；（2）在Rt△ADE中，根據(jù)∠A及ED的值，可將AE、AD的值求出，又D為AB的中點(diǎn)，可得AB的長(zhǎng)度，在Rt△ABC中，根據(jù)AB、∠A的值，可將AC和BC的值求出，代入S△ABC=AC×BC進(jìn)行求解即可．【答案與解析】解：（1）添加條件是∠A=30°．證明：∵∠A=30°，∠C=90°，所以∠CBA=60°，∵C點(diǎn)折疊后與AB邊上的一點(diǎn)D重合，∴BE平分∠CBD，∠BDE=90°，∴∠EBD=30°，∴∠EBD=∠EAB，所以EB=EA；∵ED為△EAB的高線，所以ED也是等腰△EBA的中線，∴D為AB中點(diǎn)．（2）∵DE=1，ED⊥AB，∠A=30°，∴AE=2．在Rt△ADE中，根據(jù)勾股定理，得AD=，∴AB=2，∵∠A=30°，∠C=90°，∴BC=AB=．在Rt△ABC中，AC==3，∴S△ABC=×AC×BC=．【總結(jié)升華】考查圖形的翻折變換，解題過程中應(yīng)注意折疊是一種對(duì)稱變換，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變．3.小林在課堂上探索出只用三角尺作角平分線的一種方法：如圖，在已知∠AOB的兩邊上分別取點(diǎn)M，N，使OM=ON，再過點(diǎn)M作OB的垂線，過點(diǎn)N作OA的垂線，垂足分別為C、D，兩垂線交于點(diǎn)P，那么射線OP就是∠AOB的平分線．老師當(dāng)場(chǎng)肯定他的作法，并且表?yè)P(yáng)他的創(chuàng)新．但是小林不知道這是為什么．①你能說明這樣做的理由嗎？也就是說，你能證明OP就是∠AOB的平分線嗎？②請(qǐng)你只用三角板設(shè)法作出圖∠AOB的平分線，并說明你的作圖方法或設(shè)計(jì)思路．【思路點(diǎn)撥】①在Rt△OCM與Rt△ODN中，依據(jù)ASA得出OC=OD;在Rt△OCP與Rt△ODP中，因?yàn)镺P=OP，OC=OD得出Rt△OCP≌Rt△ODP（HL），所以∠COP=∠DOP，即OP平分∠AOB．②可作出兩個(gè)直角三角形，利用HL定理證明兩角所在的三角形全等．【答案與解析】①證明：在Rt△OCM和Rt△ODN中，∴△OCM≌△ODN（AAS），∴OC=OD，在△OCP與△ODP中，∵∴Rt△OCP≌Rt△ODP（HL），∴∠COP=∠DOP，即OP平分∠AOB；②解：①利用刻度尺在∠AOB的兩邊上分別取OC=OD；②過C，D分別作OA，OB的垂線，兩垂線交于點(diǎn)E；③作射線OE，OE就是所求的角平分線．∵CE⊥OA，ED⊥OB，∴∠OCE=∠ODE=90°，在Rt△OCE與Rt△ODE中，∵，∴Rt△OCE≌Rt△ODE（HL），∴∠EOC=∠EOD，∴OE為∠AOB的角平分線．【總結(jié)升華】主要考查了直角三角形的判定，利用全等三角形的性質(zhì)得出∠EOC=∠EOD是解題關(guān)鍵．類型三、線段垂直平分線4.（2015秋?麻城市校級(jí)期中）如圖所示：在△ABC中，AB＞BC，AB=AC，DE是AB的垂直平分線，垂足為D，交AC于E．（1）若∠ABE=50°，求∠EBC的度數(shù)；（2）若△ABC的周長(zhǎng)為41cm，邊長(zhǎng)為15cm，△BCE的周長(zhǎng)．【思路點(diǎn)撥】（1）由DE是AB的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可得AE=BE，繼而求得∠A的度數(shù)，又由AB=AC，即可求得∠ABC的度數(shù)，則可求得答案；（2）由△BCE的周長(zhǎng)=AC+BC，然后分別從腰等于15cm與底邊等于15cm去分析求解即可求得答案．【答案與解析】解：（1）∵DE是AB的垂直平分線，∴AE=BE，∴∠ABE=∠A=50°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=65°，∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=15°；（2）∵AE=BE，∴△BCE的周長(zhǎng)=BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC；∵△ABC的周長(zhǎng)為41cm，∴AB+AC+BC=41