2022-2023學(xué)年福建省福州市福清三山中學(xué)高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試卷含解析

2022-2023學(xué)年福建省福州市福清三山中學(xué)高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.函數(shù)零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是（

）A.（-2，-1） B.（-1,0） C.（0,1） D.（1,2）參考答案：B【分析】先判斷函數(shù)的單調(diào)性和連續(xù)性，再根據(jù)零點(diǎn)定理判斷零點(diǎn)所在區(qū)間?！驹斀狻坑深}，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增且連續(xù)，，，f(0)=1>0，由零點(diǎn)定理得，零點(diǎn)所在區(qū)間是（-1,0），故選B。【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)定理，屬于基礎(chǔ)題。2.已知sin（﹣α）=，則sin（﹣2α）=（）A． B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】GQ：兩角和與差的正弦函數(shù)．【分析】由已知利用誘導(dǎo)公式，二倍角的余弦函數(shù)公式即可計(jì)算得解．【解答】解：∵sin（﹣α）=cos[﹣（﹣α）]=cos（+α）=，∴sin（﹣2α）=cos[﹣（﹣2α）]=cos[2（+α）]=2cos2（+α）﹣1=2×﹣1=﹣．故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查了誘導(dǎo)公式，二倍角的余弦函數(shù)公式在三角函數(shù)化簡求值中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．3.已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A．

B．

C．

D．參考答案：B

4.函數(shù)在下列哪個(gè)區(qū)間為增函數(shù). （

） A．

B．

C．

D．參考答案：A略5.（5分）函數(shù)y=kx+b與函數(shù)y=在同一坐標(biāo)系中的大致圖象正確的是（） A． B． C． D． 參考答案：B考點(diǎn)： 函數(shù)的圖象．專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析： 根據(jù)一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可判斷．解答： 解：當(dāng)kb＞0時(shí)，函數(shù)y=的圖象過一三象限，當(dāng)k＞0，b＞0時(shí)，函數(shù)y=kx+b的圖象過一二三象限，當(dāng)k＜0，b＜0時(shí)，函數(shù)y=kx+b的圖象過二三四象限，故排除CD，當(dāng)kb＜0時(shí)，函數(shù)y=的圖象過二四象限，當(dāng)k＞0，b＜0時(shí)，函數(shù)y=kx+b的圖象過一三四象限，當(dāng)k＜0，b＞0時(shí)，函數(shù)y=kx+b的圖象過一二四象限，故排除A，故選：B點(diǎn)評： 本題一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．6.已知集合P={x∈R|0≤x≤3}，Q={x∈R|x2≥4}，則P∩（?RQ）=（）A．[0，3] B．（0，2] C．[0，2） D．（0，3]參考答案：C【考點(diǎn)】交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算．【分析】化簡集合Q，根據(jù)交集和補(bǔ)集的定義寫出運(yùn)算結(jié)果即可．【解答】解：集合P={x∈R|0≤x≤3}，Q={x∈R|x2≥4}={x|x≤﹣2或x≥2}，則?RQ={x|﹣2＜x＜2}，∴P∩（?RQ）={x|0≤x＜2}=[0，2）．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了集合的化簡與運(yùn)算問題，是基礎(chǔ)題目．7.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是

A．

B．

C．

D．參考答案：C略8.若集合，，則=A．

B．

C．

D．參考答案：D略9.若(a－2i)i=b－i，其中a、b∈R，i是虛數(shù)單位，則a2+b2等于（

）

(A)0

(B)2

(C)

(D)5

參考答案：答案：D10.已知函數(shù)滿足:①定義域?yàn)镽;

②,有;③當(dāng)時(shí),,則方程在區(qū)間[-10,10]內(nèi)的解個(gè)數(shù)是（）A．20 B．10 C．11 D．12參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.理：已知集合，，則

.參考答案：；12.函數(shù)的最小正周期是_________．參考答案：略13.如圖放置的正方形，,、分別在軸、軸的正半軸（含原點(diǎn)）上滑動(dòng)，則的最大值為_________________參考答案：214.如圖所示，正方體ABCD﹣A′B′C′D′的棱長為1，E、F分別是棱AA′，CC′的中點(diǎn)，過直線EF的平面分別與棱BB′、DD′交于M、N，設(shè)BM=x，x∈[0，1]，給出以下四個(gè)命題：①平面MENF⊥平面BDD′B′；②當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí)，四邊形MENF的面積最??；③四邊形MENF周長l=f（x），x∈0，1]是單調(diào)函數(shù)；④四棱錐C′﹣MENF的體積v=h（x）為常函數(shù)；以上命題中真命題的序號為．參考答案：①②④【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用；棱柱、棱錐、棱臺的體積；平面與平面垂直的判定．【專題】空間位置關(guān)系與距離．【分析】①利用面面垂直的判定定理去證明EF⊥平面BDD′B′．②四邊形MENF的對角線EF是固定的，所以要使面積最小，則只需MN的長度最小即可．③判斷周長的變化情況．④求出四棱錐的體積，進(jìn)行判斷．【解答】解：①連結(jié)BD，B′D′，則由正方體的性質(zhì)可知，EF⊥平面BDD′B′，所以平面MENF⊥平面BDD′B′，所以①正確．②連結(jié)MN，因?yàn)镋F⊥平面BDD′B′，所以EF⊥MN，四邊形MENF的對角線EF是固定的，所以要使面積最小，則只需MN的長度最小即可，此時(shí)當(dāng)M為棱的中點(diǎn)時(shí)，即x=時(shí)，此時(shí)MN長度最小，對應(yīng)四邊形MENF的面積最?。寓谡_．③因?yàn)镋F⊥MN，所以四邊形MENF是菱形．當(dāng)x∈[0，]時(shí)，EM的長度由大變?。?dāng)x∈[，1]時(shí)，EM的長度由小變大．所以函數(shù)L=f（x）不單調(diào)．所以③錯(cuò)誤．④連結(jié)C′E，C′M，C′N，則四棱錐則分割為兩個(gè)小三棱錐，它們以C′EF為底，以M，N分別為頂點(diǎn)的兩個(gè)小棱錐．因?yàn)槿切蜟′EF的面積是個(gè)常數(shù)．M，N到平面C'EF的距離是個(gè)常數(shù)，所以四棱錐C'﹣MENF的體積V=h（x）為常函數(shù)，所以④正確．故答案為：①②④．【點(diǎn)評】本題考查空間立體幾何中的面面垂直關(guān)系以及空間幾何體的體積公式，本題巧妙的把立體幾何問題和函數(shù)進(jìn)行的有機(jī)的結(jié)合，綜合性較強(qiáng)，設(shè)計(jì)巧妙，對學(xué)生的解題能力要求較高．15.(幾何證明選做題)如圖，過點(diǎn)作圓的割線與切線，為切點(diǎn)，連接，的平分線與分別交于點(diǎn)，若，則

；

參考答案：16.若一個(gè)正方體的表面積為，其外接球的表面積為，則____________.參考答案：設(shè)正方體棱長為，則正方體表面積為，其外接球半徑為正方體體對角線長的，即為，因此外接球表面積為，則.17.若存在實(shí)常數(shù)k和b，使得函數(shù)和對其公共定義域上的任意實(shí)數(shù)x都滿足：和恒成立，則稱此直線為和的“隔離直線”，已知函數(shù)，，（e為自然對數(shù)的底數(shù)），有下列命題：①在內(nèi)單調(diào)遞增；②f(x)和g(x)之間存在“隔離直線”，且b的最小值為－4；③f(x)和g(x)之間存在“隔離直線”，且k的取值范圍是[－4,1]；④f(x)和g(x)之間存在唯一的“隔離直線”.其中真命題的序號為

．（請?zhí)顚懻_命題的序號）參考答案：①②④解析：①，，，，在內(nèi)單調(diào)遞增，故①正確；②，③設(shè)的隔離直線為，則對任意恒成立，即有對任意恒成立.由對任意恒成立得.若則有符合題意;若則有對任意恒成立,又則有，，即有且，，，同理，可得，所以，，故②正確，③錯(cuò)誤；④函數(shù)和的圖象在處有公共點(diǎn)，因此存在和的隔離直線，那么該直線過這個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)隔離直線的斜率為，則隔離直線方程為，即，由恒成立，若，則不恒成立.若，由恒成立，令，在單調(diào)遞增，，故不恒成立.所以，可得，當(dāng)恒成立，則，只有，此時(shí)直線方程為，下面證明，令，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，取到極小值，極小值是，也是最小值，，則，函數(shù)和存在唯一的隔離直線，故④正確，故答案為①②④．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=|x﹣a|﹣|x﹣3|．（1）若a=﹣1，解不等式f（x）≥2；（2）若存在實(shí)數(shù)x，使得成立，試求a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)恒成立問題；絕對值不等式的解法．【分析】（1）若a=﹣1，則f（x）=|x+1|﹣|x﹣3|，運(yùn)用函數(shù)的零點(diǎn)分區(qū)間，討論當(dāng)x≥3時(shí)，當(dāng)﹣1≤x＜3時(shí)，當(dāng)x＜﹣1時(shí)，化簡不等式求解，最后求并集即可；（2）由題意知這是一個(gè)存在性的問題，須求出不等式左邊的最大值，可運(yùn)用絕對值不等式的性質(zhì)可得最大值，再令其大于等于，即可解出實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解答】解：（1）若a=﹣1，則f（x）=|x+1|﹣|x﹣3|，若x≥3，由f（x）≥2，得（x+1）﹣（x﹣3）≥2不等式顯然成立，若﹣1≤x＜3，由f（x）≥2，得（x+1）+（x﹣3）≥2，解得x≥2．又﹣1≤x＜3，∴2≤x＜3．若x＜﹣1，由f（x）≥2，得﹣（x+1）+（x﹣3）≥2不等式不成立．∴不等式f（x）≥2的解集為{x|x≥2}．綜上所述，不等式f（x）≥2的解集為{x|x≥2}；（2）不等式即|x﹣a|﹣|x﹣3|．|x﹣a|﹣|x﹣3|≥﹣|（x﹣a）﹣（x﹣3）|=﹣|a﹣3|，若a＞3，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)x≥3，若a=3，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)x∈R，若a＜3，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)x≤3．∴﹣|a﹣3|，即|a﹣3|，若a≥3，則（a﹣3），解得a≥6．若a＜3，則﹣（a﹣3），解得a≤2．∴a的取值范圍是（﹣∞，2]∪[6，+∞）．綜上所述，a的取值范圍是（﹣∞，2]∪[6，+∞）．19.（2015?南昌校級模擬）已知函數(shù)f（x）=lnx+，其中a＞0．（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，求a的取值范圍；（2）0＜a≤2時(shí)，求f（x）在x∈[1，2]上的最小值；（3）求證：對于任意的n∈N*時(shí)，都有l(wèi)nn＞++…+成立．參考答案：【考點(diǎn)】：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【專題】：計(jì)算題；證明題；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】：求導(dǎo)，（1）由題意得f′（x）≥0對x∈[1，+∞）恒成立，再轉(zhuǎn)化為最值問題即可，（2）結(jié)合（1）及導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)性分2≥a≥1，，三種情況討論函數(shù)的單調(diào)性，從而求函數(shù)的最小值；（3）由函數(shù)可證明對n∈N*，且n＞1恒成立，再寫lnn=[lnn﹣ln（n﹣1）]+[ln（n﹣1）﹣ln（n﹣2）]+…+[ln3﹣ln2]+[ln2﹣ln1]，從而證明．解：，（1）由題意得f′（x）≥0對x∈[1，+∞）恒成立，即對x∈[1，+∞）恒成立；∵x∈[1，+∞）時(shí)，，∴a≥1，即a的取值范圍為[1，+∞）；（2）當(dāng)2≥a≥1時(shí)，由（1）知，f′（x）＞0對x∈（1，2）恒成立，此時(shí)f（x）在[1，2]上為增函數(shù)，∴[f（x）]min=f（1）=0；當(dāng)時(shí)，f′（x）＜0對x∈（1.2）恒成立，此時(shí)f（x）在[1，2]上為減函數(shù)，∴；當(dāng)時(shí)，令f′（x）=0，得∈（1，2），若，則f′（x）＜0；若，則f′（x）＞0，∴．（3）由（1）知函數(shù)在[1，+∞）上為增函數(shù)，當(dāng)n＞1時(shí)，∵，∴，即對n∈N*，且n＞1恒成立，∴l(xiāng)nn=[lnn﹣ln（n﹣1）]+[ln（n﹣1）﹣ln（n﹣2）]+…+[ln3﹣ln2]+[ln2﹣ln1]．【點(diǎn)評】：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及恒成立問題，同時(shí)考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想及數(shù)學(xué)證明，屬于難題．20.在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).(1)求曲線的直角坐標(biāo)方程及曲線的普通方程；(2)設(shè)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，曲線與曲線交于、兩點(diǎn)，求的值.參考答案：（1）依題意得，曲線的直角坐標(biāo)方程為，曲線的普通方程為；--5分（2）點(diǎn)P的直角坐標(biāo)仍為在圓內(nèi)，直線過點(diǎn)P且與圓交于A，B兩點(diǎn)，則,又圓心到直線的距離為，則。21.（本小題滿分10分）選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為（t為參數(shù)，a＞0）．在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：ρ=4cosθ.（I）說明C1是哪一種曲線，并將C1的方程化為極坐標(biāo)方程；（II）直線C3的極坐標(biāo)方程為θ=α0，其中α0滿足tanα0=2，若曲線C1與C2的公共點(diǎn)都在C3上，求a．參考答案：解：（I）消去參數(shù)t得到C1的普通方程x2+(y－1)2=a2.C1是以(0,1)為圓心，a為半徑的圓.將x=ρcosθ,y=ρsinθ代入C1的普通方程中，得到C1的極坐標(biāo)方程為ρ2－2ρsinθ+1－a2=0.（II）曲線C1，C2的公共點(diǎn)的極坐標(biāo)滿足方程組若ρ≠0，由方程組的16cos2θ－8sinθcosθ+1－a2=0，由已知tanθ=2，可得16cos2θ－8sinθcosθ=0，從而1－a2=0，解得a=－1(舍去)，a=1.a=1時(shí)，極點(diǎn)也為C1，C2的公共點(diǎn)，在C3上.所以a=1.22.已知函數(shù)f(x)=(1﹣k)x+．（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）當(dāng)k=0時(shí)，過點(diǎn)A（0，t）存在函數(shù)曲線f（x）的切線，求t的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論k的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（Ⅱ）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（x0，y0），求出切線方程，將A（0，t）代入得，令，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出t的范圍即可．【解答】解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)镽，所以，①當(dāng)k≥1時(shí)，f'（x）＜0恒成立，所以f（x）在（﹣∞，+∞）為減函數(shù)，②當(dāng)k＜1時(shí)，令f'（x）=0，則x=﹣ln（