2021-2022學(xué)年湖北省武漢市四美塘中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試卷含解析

2021-2022學(xué)年湖北省武漢市四美塘中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.“”是“直線(xiàn)與圓相切”的(

)A．充分不必要條件

B．必要不充分條件C．充要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：A2.（5分）已知f（x）在R上是奇函數(shù)，且f（x+4）=f（x），當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，f（x）=2x2，則f（7）=（） A． ﹣2 B． 2 C． ﹣98 D． 98參考答案：A考點(diǎn)： 函數(shù)的周期性；奇函數(shù)；函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．分析： 利用函數(shù)周期是4且為奇函數(shù)易于解決．解答： 解：因?yàn)閒（x+4）=f（x），故函數(shù)的周期是4所以f（7）=f（3）=f（﹣1），又f（x）在R上是奇函數(shù)，所以f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2×12=﹣2，故選A．點(diǎn)評(píng)： 本題考查函數(shù)的奇偶性與周期性．3.執(zhí)行如圖2的程序框圖，如果輸入的的值是6，那么輸出的的值是A．15

B．105 C．120

D．720參考答案：B略4.下列命題中不正確的是

（

）

A．若

B．若∥，∥，則∥

C．若，，∥，則∥

D．若一直線(xiàn)上有兩點(diǎn)在已知平面外，則直線(xiàn)上所有點(diǎn)在平面外參考答案：5.定義在R上的偶函數(shù)滿(mǎn)足，且在上是增函數(shù)，若是銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角，則（

）A. B.C. D.參考答案：D【分析】根據(jù)f（x+2）＝f（x），得函數(shù)的周期為2，在[﹣3，﹣2]上是減函數(shù)，可得f（x）在[﹣1，0]上為減函數(shù)，由f（x）為偶函數(shù)，得f（x）在[0，1]上為單調(diào)增函數(shù)．再根據(jù)α，β是銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角，利用三角函數(shù)誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)可得答案．【詳解】由題意：可知f（x+2）＝f（x），∴f（x）是周期為2的函數(shù)，∵f（x）在[﹣3，﹣2]上為減函數(shù)，∴f（x）在[﹣1，0]上為減函數(shù)，又∵f（x）為偶函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)對(duì)稱(chēng)區(qū)間的單調(diào)性相反，∴f（x）在[0，1]上為單調(diào)增函數(shù)．∵在銳角三角形中，π﹣α﹣β∴π﹣α﹣β，即，∴αβ＞0，∴sinα＞sin（）＝cosβ；∵f（x）在[0，1]上為單調(diào)增函數(shù)．所以f（sinα）＞f（cosβ），故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性和周期性的應(yīng)用，以及三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，涉及的知識(shí)點(diǎn)較多．屬于中檔題．6.若＝（）是偶函數(shù)，則的值是（）（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）參考答案：C略7.設(shè)，則

A.

B.

C.

D.

參考答案：A略8.定義在R上的函數(shù)f（x）滿(mǎn)足f（4）=1，f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，已知y=f′（x）的圖象如圖所示，若兩個(gè)正數(shù)a，b滿(mǎn)足則的取值范圍是(

)A． B． C． D．參考答案：C考點(diǎn)：簡(jiǎn)單線(xiàn)性規(guī)劃的應(yīng)用；函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系．專(zhuān)題：壓軸題；圖表型．分析：先根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象判斷原函數(shù)的單調(diào)性，從而確定a、b的范圍得到答案．解答：解：由圖可知，當(dāng)x＞0時(shí)，導(dǎo)函數(shù)f'（x）＞0，原函數(shù)單調(diào)遞增∵兩正數(shù)a，b滿(mǎn)足f（2a+b）＜1，∴0＜2a+b＜4，∴b＜4﹣2a，0＜a＜2，畫(huà)出可行域如圖．k=表示點(diǎn)Q（﹣1，﹣1）與點(diǎn)P（x，y）連線(xiàn)的斜率，當(dāng)P點(diǎn)在A（2，0）時(shí)，k最小，最小值為：；當(dāng)P點(diǎn)在B（0，4）時(shí)，k最大，最大值為：5．取值范圍是C．故選C．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系，即當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減9.已知點(diǎn)是平面區(qū)域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)的最小值為M，若恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是 A． B．

C． D．參考答案：C10.已知P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，,現(xiàn)將一粒黃豆隨機(jī)撒在△ABC內(nèi)，則黃豆落在△PBC內(nèi)的概率是（

）A

B.

C

D

參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.將石子擺成如圖的梯形形狀.稱(chēng)數(shù)列為“梯形數(shù)”.根據(jù)圖形的構(gòu)成,數(shù)列第項(xiàng)

;第項(xiàng)

.參考答案：;12.已知三棱錐A-BCD的棱長(zhǎng)均為6，其內(nèi)有個(gè)小球，球與三棱錐A-BCD的四個(gè)面都相切，球與三棱錐A-BCD的三個(gè)面和球都相切，如此類(lèi)推，…，球與三棱錐A-BCD的三個(gè)面和球都相切（，），則球的表面積等于_______．參考答案：【分析】根據(jù)幾何關(guān)系，求得的半徑，歸納出半徑的通項(xiàng)公式，即可容易求得的表面積.【詳解】不妨設(shè)的半徑為，正四面體的棱長(zhǎng)為，取中點(diǎn)為，球與平面切于點(diǎn)，球與平面切于點(diǎn)，作截面，為△的外心，如下圖所示：容易知，，，因?yàn)椋士傻?，解得；同理由，故可得，解得，以此?lèi)推，總結(jié)歸納可得是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，故可得，則的表面積.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查棱錐內(nèi)切球半徑的求解，涉及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解，屬壓軸題.13.有一個(gè)內(nèi)接于球的四棱錐，若，，，BC＝3，CD＝4，PA＝5，則該球的表面積為_(kāi)_______．參考答案：由∠BCD＝90°知BD為底面ABCD外接圓的直徑，則2r＝＝5.又∠DAB＝90°?PA⊥AB，PA⊥AD，BA⊥AD.從而把PA，AB，AD看作長(zhǎng)方體的三條棱，設(shè)外接球半徑為R，則(2R)2＝52＋(2r)2＝52＋52，∴4R2＝50，∴S球＝4πR2＝50π.14.已知f(x)＝，則＋的值等于

參考答案：315.已知α∈（，π），且sinα=，則tanα的值為

．參考答案：﹣考點(diǎn)：同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系．專(zhuān)題：計(jì)算題．分析：由α的范圍以及sinα的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出cosα的值，即可確定出tanα的值．解答： 解：∵α∈（，π），且sinα=，∴cosα=﹣=﹣，則tanα==﹣．故答案為：﹣點(diǎn)評(píng)：此題考查了同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，熟練掌握基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．16.已知雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)與拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)重合，則該雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)到其漸近線(xiàn)的距離為

。參考答案：

17.已知不等式（ax+3）（x2﹣b）≤0對(duì)任意x∈（﹣∞，0）恒成立，其中a，b是整數(shù)，則a+b的取值的集合為

．參考答案：{4，10}【考點(diǎn)】一元二次不等式的解法．【分析】對(duì)b分類(lèi)討論，當(dāng)b≤0時(shí)，由（ax+3）（x2﹣b）≤0得到ax+3≤0，由一次函數(shù)的圖象知不存在；當(dāng)b＞0時(shí)，由（ax+3）（x2﹣b）≤0，利用數(shù)學(xué)結(jié)合的思想得出a，b的整數(shù)解．【解答】解：當(dāng)b≤0時(shí)，由（ax+3）（x2﹣b）≤0得到ax+3≤0在x∈（﹣∞，0）上恒成立，則a不存在；當(dāng)b＞0時(shí)，由（ax+3）（x2﹣b）≤0，可設(shè)f（x）=ax+3，g（x）=x2﹣b，又g（x）的大致圖象如下，那么由題意可知：再由a，b是整數(shù)得到或因此a+b=10或4．故答案為{4，10}．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.乒乓球單打比賽在甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員間進(jìn)行，比賽采用局勝制（即先勝局者獲勝，比賽結(jié)束），假設(shè)兩人在每一局比賽中獲勝的可能性相同.（Ⅰ）求甲以比獲勝的概率；（Ⅱ）求乙獲勝且比賽局?jǐn)?shù)多于局的概率；（Ⅲ）求比賽局?jǐn)?shù)的分布列.參考答案：（Ⅰ）解：由已知，甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員在每一局比賽中獲勝的概率都是．………………1分記“甲以比獲勝”為事件，則．

………………4分（Ⅱ）解：記“乙獲勝且比賽局?jǐn)?shù)多于局”為事件.

因?yàn)?，乙以比獲勝的概率為，

………………6分

乙以比獲勝的概率為， ………………7分所以．

………………8分（Ⅲ）解：設(shè)比賽的局?jǐn)?shù)為，則的可能取值為．

，

………………9分

，

………………10分

，

………………11分

．

………………12分比賽局?jǐn)?shù)的分布列為：

………………13分略19.已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)是，，點(diǎn)在橢圓上，且．（I）求橢圓的方程．（II）設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，是橢圓上一點(diǎn)，直線(xiàn)和與軸分別相交于點(diǎn)，，為原點(diǎn)．證明：為定值．參考答案：（I） （II）見(jiàn)解析（I）在橢圓中，，∴，代入于中，解出，∴橢圓的方程為．（II）證明：∵、關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，∴，設(shè)，則，，，直線(xiàn)，令，則，∴，直線(xiàn)，令，，∴，∴，，∴為定值．20.（10分）已知斜三棱柱，，，在底面上的射影恰為的中點(diǎn)，又知。（I）求證：平面；（II）求到平面的距離；（III）求二面角余弦值的大小。

參考答案：解析：（I）如圖，取的中點(diǎn)，則，因?yàn)椋?/p>

所以，又平面，

以為軸建立空間坐標(biāo)系，

則，，，，，，，，由，知，

又，從而平面；

（II）由，得。

設(shè)平面的法向量為，，，所以，設(shè)，則

所以點(diǎn)到平面的距離。

（III）再設(shè)平面的法向量為，，，

所以，設(shè)，則，

故，根據(jù)法向量的方向，

可知二面角的余弦值大小為

21.已知函數(shù)f（x）=aex﹣x（a∈R），其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，e=2.71828…（Ⅰ）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并說(shuō)明理由（Ⅱ）若x∈[1，2]，不等式f（x）≥e﹣x恒成立，求a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)恒成立問(wèn)題；函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明．【分析】（Ⅰ）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后對(duì)a分類(lèi)，當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＜0，f（x）=aex﹣x為R上的減函數(shù)；當(dāng)a＞0時(shí)，由導(dǎo)函數(shù)為0求得導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，再由導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)對(duì)定義域分段，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)在各區(qū)間段內(nèi)的符號(hào)得到原函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅱ）x∈[1，2]，不等式f（x）≥e﹣x恒成立，等價(jià)于aex﹣x≥e﹣x恒成立，分離參數(shù)a，可得恒成立．令g（x）=，則問(wèn)題等價(jià)于a不小于函數(shù)g（x）在[1，2]上的最大值，然后利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)g（x）在[1，2]上的最大值得答案．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=aex﹣x，得f′（x）=aex﹣1，當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＜0，f（x）=aex﹣x為R上的減函數(shù)；當(dāng)a＞0時(shí)，令aex﹣1=0，得x=lna，若x∈（﹣∞，﹣lna），則f′（x）＜0，此時(shí)f（x）為的單調(diào)減函數(shù)；若x∈（﹣lna，+∞），則f′（x）＞0，此時(shí)f（x）為的單調(diào)增函數(shù)．綜上所述，當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）=aex﹣x為R上的減函數(shù)；當(dāng)a＞0時(shí)，若x∈（﹣∞，﹣lna），f（x）為的單調(diào)減函數(shù)；若x∈（﹣lna，+∞），f（x）為的單調(diào)增函數(shù)．（Ⅱ）由題意，x∈[1，2]，不等式f（x）≥e﹣x恒成立，等價(jià)于aex﹣x≥e﹣x恒成立，即x∈[1，2]，恒成立．令g（x）=，則問(wèn)題等價(jià)于a不小于函數(shù)g（x）在[1，2]上的最大值．由g（x）==，函數(shù)y=在[1，2]上單調(diào)遞減，令h（x）=，x∈[1，2]，h′（x）=．∴h（x）=在x∈[1，2]上也是減函數(shù)，∴g（x）在x∈[1，2]上也是減函數(shù)，∴g（x）在[1，2]上的最大值為g（1）=．故x∈[1，2]，不等式f（x）≥e﹣x恒成立的實(shí)數(shù)a的取值范圍是[，+∞）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)最值的求法，訓(xùn)練了利用分離變量法求函數(shù)的最值，是中檔題．22.（本小題滿(mǎn)分14分）在中學(xué)生綜合素質(zhì)評(píng)價(jià)某個(gè)維度的測(cè)評(píng)中，分“優(yōu)秀、合格、尚待改進(jìn)”三個(gè)等級(jí)進(jìn)行學(xué)生互評(píng)．某校高一年級(jí)有男生500人，女生400人，為了了解性別對(duì)該維度測(cè)評(píng)結(jié)果的影響，采用分層抽樣方法從高一年級(jí)抽取了45名學(xué)生的測(cè)評(píng)結(jié)果，并作出頻數(shù)統(tǒng)計(jì)表如下：表1：男生

表2：女生等級(jí)優(yōu)秀合格尚待改進(jìn)

等級(jí)優(yōu)秀合格尚待改進(jìn)頻數(shù)155

頻數(shù)153（1）從表二的非優(yōu)秀學(xué)生中隨機(jī)選取2人交談，求所選2人中恰有1人測(cè)評(píng)等級(jí)為合格的概率；（2）由表中統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫(xiě)下邊列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認(rèn)為“測(cè)評(píng)結(jié)果優(yōu)秀與性別有關(guān)