三角形內(nèi)角和定理-獲獎(jiǎng)?wù)n件

5三角形內(nèi)角和定理第2課時(shí)1.了解三角形外角的概念.2.掌握三角形內(nèi)角和定理的兩個(gè)推論及其證明.3.引導(dǎo)學(xué)生從內(nèi)和外、相等和不等的不同角度對(duì)三角形的角作全面的思考，體會(huì)幾何中簡(jiǎn)單不等關(guān)系的證明.1.證明命題的一般步驟:(1)理解題意:分清命題的條件(已知),結(jié)論(求證);(2)根據(jù)題意,畫出圖形;(3)結(jié)合圖形,用符號(hào)語言寫出“已知”和“求證”;(4)分析題意,探索證明思路(由“因”導(dǎo)“果”,執(zhí)“果”索“因”.);(5)依據(jù)思路,運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)和數(shù)學(xué)語言條理清晰地寫出證明過程;(6)檢查表達(dá)過程是否正確,完善.2.三角形內(nèi)角和定理：三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°.△ABC中,∠A+∠B+∠C=180°.∠A+∠B+∠C=180°的幾種變形:∠A=180°–(∠B+∠C).∠B=180°–(∠A+∠C).∠C=180°–(∠A+∠B).∠A+∠B=180°-∠C.∠B+∠C=180°-∠A.∠A+∠C=180°-∠B.這里的結(jié)論,以后可以直接運(yùn)用.ABC如圖.∠1是△ABC的一個(gè)外角,∠1與圖中的其他角有什么關(guān)系?∠1+∠4=180°；∠1>∠2；∠1>∠3；∠1=∠2+∠3.ABCD1234證明:∵∠2+∠3+∠4=180°(三角形內(nèi)角和定理),∠1+∠4=180°(平角的定義),∴∠1=∠2+∠3.(等量代換).∴∠1>∠2,∠1>∠3(和大于部分).用文字表述為:三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角.在這里,我們通過三角形的內(nèi)角和定理直接推導(dǎo)出兩個(gè)新定理.像這樣,由一個(gè)基本事實(shí)或定理直接推出的定理,叫做這個(gè)基本事實(shí)或定理的推論.推論可以當(dāng)做定理使用.三角形內(nèi)角和定理的推論:定理:

三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.定理:

三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角.ABCD1234ABCD1234△ABC中:

∠1=∠2+∠3;∠1>∠2,∠1>∠3.這個(gè)結(jié)論以后可以直接運(yùn)用.例1已知:如圖,在△ABC中,AD平分外角∠EAC,∠B=∠C.求證:AD∥BC.分析:要證明AD∥BC,只需要證明“同位角相等”或“內(nèi)錯(cuò)角相等”或“同旁內(nèi)角互補(bǔ)”.證明:∵∠EAC=∠B+∠C(三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和),∠B=∠C(已知),∴∠C=∠EAC(等式的性質(zhì)).∵AD平分∠EAC(已知).∴∠DAC=∠EAC(角平分線的定義).∴∠DAC=∠C(等量代換).∴AD∥BC(內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行).ACDBE例題是運(yùn)用了定理“內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行”得到了證實(shí).【例題】例1已知:如圖,在△ABC中,AD平分外角∠EAC,∠B=∠C.求證:AD∥BC.分析:要證明AD∥BC,只需要證明“同位角相等”或“內(nèi)錯(cuò)角相等”或“同旁內(nèi)角互補(bǔ)”.證明:推理可得:∠DAC=∠C(已證),∵∠BAC+∠B+∠C=180°(三角形內(nèi)角和定理).∴∠BAC+∠B+∠DAC=180°(等量代換).∴AD∥BC(同旁內(nèi)角互補(bǔ),兩直線平行).總結(jié)這里是運(yùn)用了定理“同旁內(nèi)角互補(bǔ),兩直線平行”得到了證實(shí).ACDBE例2已知:如圖,在△ABC中,∠1是它的一個(gè)外角,E為邊AC上一點(diǎn),延長(zhǎng)BC到D,連接DE.求證:∠1>∠2.CABF1345ED2【例題】證明:∵∠1是△ABC的一個(gè)外角(已知),∴∠1>∠3(三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角).∵∠3是△CDE的一個(gè)外角(外角定義).∴∠3>∠2(三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角).∴∠1>∠2(不等式的性質(zhì)).把你所悟到的證明一個(gè)真命題的方法,步驟,書寫格式以及注意事項(xiàng)轉(zhuǎn)化為一種方法.ABCD1.已知:如圖所示,在△ABC中,外角∠DCA=100°,∠A=45°.求:∠B和∠ACB的大小.【跟蹤訓(xùn)練】【解析】∵∠DCA是△ABC的一個(gè)外角(已知),∠DCA=100°(已知),∠A=45°(已知),∴∠B=100°-45°=55°.(三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和).又∵∠DCA+∠BCA=180°(平角定義).∴∠ACB=80°(等式的性質(zhì)).2.已知:國(guó)旗上的正五角星形如圖所示.求:∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數(shù).分析:設(shè)法利用外角把這五個(gè)角“湊”到一個(gè)三角形中,運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理來求解.ABCDEF1H2【解析】∵∠1是△BDF的一個(gè)外角(外角的定義),∴∠1=∠B+∠D(三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和).又∵∠2是△EHC的一個(gè)外角(外角的定義),∴∠2=∠C+∠E(三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和).又∵∠A+∠1+∠2=180°(三角形內(nèi)角和定理).∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°(等式的性質(zhì)).3.已知:如圖所示.求證:∠BDC>∠A.證明:(1)∵∠BDC是△DCE的一個(gè)外角(外角定義),∴∠BDC>∠CED(三角形的一個(gè)外角大于和它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角).∵∠DEC是△ABE的一個(gè)外角(外角定義),∴∠DEC>∠A(三角形的一個(gè)外角大于和它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角).∴∠BDC>∠A.（不等式的性質(zhì)）BCADE1.（河北·中考）如圖，在△ABC中，D是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，∠B=40°，∠ACD=120°，則∠A等于()A.60°B.70°C.80°D.90°【解析】選C.根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得，∠ACD=∠B+∠A，所以∠A=∠ACD-∠B=120°-40°=80°.2.如圖，AB∥CD，則下列說法正確的是()A.∠3=2∠1+∠2B.∠3=2∠1-∠2C.∠3=∠1+∠2D.∠3=180°-∠1-∠2【解析】選C.∵AB∥CD，∴∠1=∠BCD，∠3是△COD的外角，∴∠3=∠2+∠BCD=∠2+∠1.3.如圖，直線a∥b,則∠ACB=_______.【解析】延長(zhǎng)BC交直線a于點(diǎn)D，∵直線a∥b,∴∠ADC=∠B=50°.∵∠ACB是△ACD的外角，∴∠ACB=∠A+∠ADC=28°+50°=78°.答案：78°4.如圖，已知CE為△ABC外角∠ACD的平分線，CE交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，求證：∠BAC＞∠B.【證明】∵CE平分∠ACD∴∠1=∠2∵∠BAC＞∠1∴∠BAC＞∠2∵∠2＞∠B∴∠BAC＞∠B理解幾何命題證明的方法,步驟,格式及注意事項(xiàng).三角形內(nèi)角和定理.

三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°.△ABC中,∠A+∠B+∠C=180°.推論1:

三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.推論2:

三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角.要做一個(gè)善于辭令的人，只有一種辦法，就是學(xué)會(huì)聽人家說話?！锼?認(rèn)識(shí)二元一次方程組第五章二元一次方程組1.了解二元一次方程、二元一次方程組及其解等有關(guān)概念，并會(huì)判斷一組數(shù)是不是某個(gè)二元一次方程組的解.2.通過討論和練習(xí)，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生觀察、比較、分析的能力.3.通過對(duì)實(shí)際問題的分析，使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的有效數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí).1.什么叫方程？含有未知數(shù)的等式叫做方程.2.什么叫一元一次方程？

在一個(gè)方程中，只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的指數(shù)都是1，這樣的方程叫做一元一次方程.如：2x+3=5,

x+y=8.如：2x+3=5,

y+6=8.3.解下列方程：（1）3x＋2＝14

(2)2x-4=14-x累死我了！你還累?這么大的個(gè)，才比我多馱了2個(gè).哼，我從你背上拿來1個(gè)，我的包裹數(shù)就是你的2倍！真的?！它們各馱了多少包裹呢?你還累?這么大的個(gè)，才比我多馱了2個(gè).我從你背上拿來1個(gè)，我的包裹數(shù)就是你的2倍！【解析】設(shè)老牛馱了x個(gè)包裹,小馬馱了y個(gè)包裹.老牛的包裹數(shù)比小馬的多2個(gè),由此你能得到怎樣的方程呢?若老牛從小馬的背上拿來1個(gè)包裹,這時(shí)它們各有幾個(gè)包裹?由此你又能得到怎樣的方程呢?x－y＝2x＋1＝2(y－1)昨天，我們8個(gè)人去看電影買電影票花了34元每張成人票5

元，每張兒童票3

元，他們到底去了幾個(gè)成人，幾個(gè)兒童呢?設(shè)他們中有x個(gè)成人,y個(gè)兒童.你能得到怎樣的方程?【解析】8個(gè)人去看電影每張成人票5元每張兒童票3元買票花了34元x＋y＝85x＋3y＝34上面所列方程各含有幾個(gè)未知數(shù)?含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)是多少?答：2個(gè)未知數(shù)答：次數(shù)是1

含有兩個(gè)未知數(shù),并且所含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的方程叫做二元一次方程.x－y＝2x＋y＝8x＋1＝2(y－1)5x＋3y＝34

定義：下列方程中哪些是二元一次方程(1)x+y+z=9(2)x=6(3)2x+6y=14(4)xy+y=7(5)7x+6y+4=16(6)x2+y=6√√【跟蹤訓(xùn)練】x,y所代表的對(duì)象分別相同,因而x,y必須同時(shí)滿足方程x＋y＝8和5x＋3y＝34,把它們聯(lián)立起來,得:

像這樣共含有兩個(gè)未知數(shù)的兩個(gè)一次方程所組成的一組方程，叫做二元一次方程組.注意：方程組各方程中同一字母必須代表同一個(gè)量.x＋y＝85x＋3y＝34下列哪些是二元一次方程組xy－x＝4x＋y＝5(1)(3)x+y+z＝93x-2y＝6(2)x-y＝2x+1＝2(y-1)√【跟蹤訓(xùn)練】（1）x＝6,y＝2適合方程x＋y＝8嗎?x＝5,y＝3呢?x＝4,y＝4呢?

你還能找到其他x,y的值適合方程x＋y＝8嗎?(2)x＝5,y＝3適合方程5x＋3y＝34嗎?x＝2,y＝8呢?

適合一個(gè)二元一次方程的一組未知數(shù)的值,叫做這個(gè)二元一次方程的一個(gè)解.例如:x＝6,y＝2是方程x＋y＝8的一個(gè)解,記作x＝6y＝2x＝5,y＝3是否為方程x＋y＝8的一個(gè)解?x＝5,y＝3是否為方程5x＋3y＝34的一個(gè)解?二元一次方程組中各個(gè)方程的公共解,叫做這個(gè)二元一次方程組的解.x＋y＝85x＋3y＝34

的解｛就是二元一次方程組x＝5y＝3例如｛【例】檢驗(yàn)下列各對(duì)數(shù)是不是方程組的解.(1)(2)(3)

解:(1)把x=2,y=1分別代入方程①,②,發(fā)現(xiàn)不滿足②,所以不是原方程組的解;(2)把x=3，y=-1代入方程①,②,發(fā)現(xiàn)不滿足①,所以不是原方程組的解；【例題】(3)把x=4，代入方程①,②,發(fā)現(xiàn)能使方程①,②左右兩邊相等，所以是原方程組的解.

把下列方程組的解和相應(yīng)的方程組用線段連起來：x=1，y=2.x=3，y=-2.x=2，y=1.y=3-x，3x+2y=8.y=2x，x+y=3.y=1-x，3x+2y=5.【跟蹤訓(xùn)練】D.x=４y=３x=3y=６x=２y=４x=４y=2A.B.C.1.二元一次方程組

的解是()x+2y=10y=2xC2.下列各式是二元一次方程的是()A.x=3y B.2x+y=3zC.x2+x-y=0 D.3X+2=5Ax+=1y+x=23.下列不是二元一次方程組的是(

)A.x+y=3x-y=1B.C.x=1y=1D.6x+4y=9y=3x+4B4.（嘉興·中考）根據(jù)以下對(duì)話，可以求得小紅所買的筆和筆記本的價(jià)格分別是（）哦……我忘了！只記得先后買了兩次，第一次買了5支筆和10本筆記本花了42元錢，第二次買了10支筆和5本筆記本花了30元錢．小紅，你上周買的筆和筆記本的價(jià)格是多少??？DA.0.8元/支，2.6元/本B.0.8元/支，3.6元/本C.1.2元/支，2.6元/本D.1.2元/支，3.6元/本5.已知2x+3y=4，當(dāng)x=y時(shí)，x，y的值為_____，當(dāng)x+y=0時(shí),x=_____，y=______.6.已知是方程2x-4y+2a=3的一個(gè)解，則a=______.7.若方程2x2m+3+3y3n-7=0是關(guān)于x,y的二元一次方程，則m=______，n=______.-44x=-3y=-2-19.下列4組數(shù)值中,哪些是二元一次方程2x+y=10的解?(4)x=-2y=6x=3y=4x=4y=3x=6y=-2(1)(2)(3)8.已知二元一次方程3x-2y=5,若y=0,則x=

.答案：√√1.含有兩個(gè)未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的方程叫做二元一次方程．2.共含有兩個(gè)未知數(shù)的兩個(gè)一次方程所組成的一組方程，叫做二元一次方程組.3.適合一個(gè)二元一次方程的一組未知數(shù)的值，叫做這個(gè)二元一次方程的一個(gè)解．4.二元一次方程組中各個(gè)方程的公共解，叫做這個(gè)二元一次方程組的解．

數(shù)學(xué)，科學(xué)的女皇；數(shù)論，數(shù)學(xué)的女皇.——C?F?高斯1認(rèn)識(shí)二元一次方程組第五章二元一次方程組1.了解二元一次方程、二元一次方程組及其解等有關(guān)概念，并會(huì)判斷一組數(shù)是不是某個(gè)二元一次方程組的解.2.通過討論和練習(xí)，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生觀察、比較、分析的能力.3.通過對(duì)實(shí)際問題的分析，使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的有效數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí).1.什么叫方程？含有未知數(shù)的等式叫做方程.2.什么叫一元一次方程？

在一個(gè)方程中，只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的指數(shù)都是1，這樣的方程叫做一元一次方程.如：2x+3=5,

x+y=8.如：2x+3=5,

y+6=8.3.解下列方程：（1）3x＋2＝14

(2)2x-4=14-x累死我了！你還累?這么大的個(gè)，才比我多馱了2個(gè).哼，我從你背上拿來1個(gè)，我的包裹數(shù)就是你的2倍！真的?！它們各馱了多少包裹呢?你還累?這么大的個(gè)，才比我多馱了2個(gè).我從你背上拿來1個(gè)，我的包裹數(shù)就是你的2倍！【解析】設(shè)老牛馱了x個(gè)包裹,小馬馱了y個(gè)包裹.老牛的包裹數(shù)比小馬的多2個(gè),由此你能得到怎樣的方程呢?若老牛從小馬的背上拿來1個(gè)包裹,這時(shí)它們各有幾個(gè)包裹?由此你又能得到怎樣的方程呢?x－y＝2x＋1＝2(y－1)昨天，我們8個(gè)人去看電影買電影票花了34元每張成人票5

元，每張兒童票3

元，他們到底去了幾個(gè)成人，幾個(gè)兒童呢?設(shè)他們中有x個(gè)成人,y個(gè)兒童.你能得到怎樣的方程?【解析】8個(gè)人去看電影每張成人票5元每張兒童票3元買票花了34元x＋y＝85x＋3y＝34上面所列方程各含有幾個(gè)未知數(shù)?含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)是多少?答：2個(gè)未知數(shù)答：次數(shù)是1

含有兩個(gè)未知數(shù),并且所含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的方程叫做二元一次方程.x－y＝2x＋y＝8x＋1＝2(y－1)5x＋3y＝34

定義：下列方程中哪些是二元一次方程(1)x+y+z=9(2)x=6(3)2x+6y=14(4)xy+y=7(5)7x+6y+4=16(6)x2+y=6√√【跟蹤訓(xùn)練】x,y所代表的對(duì)象分別相同,因而x,y必須同時(shí)滿足方程x＋y＝8和5x＋3y＝34,把它們聯(lián)立起來,得:

像這樣共含有兩個(gè)未知數(shù)的兩個(gè)一次方程所組成的一組方程，叫做二元一次方程組.注意：方程組各方程中同一字母必須代表同一個(gè)量.x＋y＝85x＋3y＝34下列哪些是二元一次方程組xy－x＝4x＋y＝5(1)(3)x+y+z＝93x-2y＝6(2)x-y＝2x+1＝2(y-1)√【跟蹤訓(xùn)練】（1）x＝6,y＝2適合方程x＋y＝8嗎?x＝5,y＝3呢?x＝4,y＝4呢?

你還能找到其他x,y的值適合方程x＋y＝8嗎?(2)x＝5,y＝3適合方程5x＋3y＝34嗎?x＝2,y＝8呢?

適合一個(gè)二元一次方程的一組未知數(shù)的值,叫做這個(gè)二元一次方程的一個(gè)解.例如:x＝6,y＝2是方程x＋y＝8的一個(gè)解,記作x＝6y＝2x＝5,y＝3是否為方程x＋y＝8的一個(gè)解?x＝5,y＝3是否為方程5x＋3y＝34的一個(gè)解?二元一次方程組中各個(gè)方程的公共解,叫做這個(gè)二元一次方程組的解.x＋y＝85x＋3y＝34

的解｛就是二元一次方程組x＝5y＝3例如｛【例】檢驗(yàn)下列各對(duì)數(shù)是不是方程組的解.(1)(2)(3)

解:(1)把x=2,y=1分別代入方程①,②,發(fā)現(xiàn)不滿足②,所以不是原方程組的解;(2)把x=3，y=-1代入方程①,②,發(fā)現(xiàn)不滿足①,所以不是原方程組的解；【例題】(3)把x=4，代入方程①,②,發(fā)現(xiàn)能使方程①,②左右兩邊相等，所以是原方程組的解.

把下列方程組的解和相應(yīng)的方程組用線段連起來：x=1，y=2.x=3，y=-2.x=2，y=1.y=3-x，3x+2y=8.y=2x，x+y=3.y=1-x，3x+2y=5.【跟蹤訓(xùn)練】D.x=４y