專題四數(shù)列數(shù)學理科全國卷地區(qū)專用

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數(shù)列、等差數(shù)列﹑等比數(shù)列

第11講

數(shù)列求和及數(shù)列的簡單應用專題四

數(shù)列第10講數(shù)列、等差數(shù)列﹑等比數(shù)列核心知識聚焦返回目錄考點考向探究第10講數(shù)列、等差數(shù)列﹑等比數(shù)列核心知識聚焦返回目錄1．[2015·陜西卷]

中位數(shù)為1010

的一組數(shù)構成等差數(shù)列，其末項為

2015，則該數(shù)列的首項為

．[答案]

5[解析]

設首項為

a1，則

a1＋2015＝2×1010，解得

a1＝5.第10講數(shù)列、等差數(shù)列﹑等比數(shù)列核心知識聚焦返回目錄2．[2014·福建卷改編]

等差數(shù)列{an}的前

n

項和為

Sn，若a1＝2，S3＝12，則

a6＝

．[答案]

12[解析]

設等差數(shù)列{an}的公差為

d，由等差數(shù)列的前

n項和公式，得

S3＝3×2＋3×2

＝12，解得

d＝2，則

a6＝2

da1＋（6－1）d＝2＋5×2＝12.第10講數(shù)列、等差數(shù)列﹑等比數(shù)列核心知識聚焦返回目錄3．[2014·北京卷]

若等差數(shù)列{an}滿足

a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，則當

n＝

時，{an}的前

n

項和最大．[答案]

8[解析]a7＋a8＋a9＝3a8>0，即a8>0.a8＋a9＝a7＋a10<0，即a9<－a8<0，所以當n＝8

時，{an}的前n

項和最大.第10講數(shù)列、等差數(shù)列﹑等比數(shù)列核心知識聚焦返回目錄4．[2015·全國卷Ⅱ]

設

Sn

是數(shù)列{an}的前

n

項和，且

a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，則

Sn＝

．1[答案]

－n[解析]

因為

a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，所以

S1＝－1，Sn＋1－Sn＝SnSn＋1，所以

1

1Sn

1

Sn＋1

Sn—

＝－1，所以數(shù)列

是首Sn項為－1，公差為－1

的等差數(shù)列，所以

1

＝－n，所以1Sn＝－n.第10講數(shù)列、等差數(shù)列﹑等比數(shù)列核

5．[2014·廣東卷]

設數(shù)列{an}的前

n

項和為Sn，滿足

Sn＝2nan心

＋1－3n2－4n，n∈N*，且

S3＝15，則

a1，a2，a3

的值分別是知

．識聚焦[答案]3,5,7返回目錄[解析]S1＝a1＝2a2－3－4，由題意有S2＝a1＋a2＝4a3－12－8，解得S3＝a1＋a2＋a3＝15，a1＝3，a2＝5，a3＝7.第10講 數(shù)列、等差數(shù)列﹑等比數(shù)列核心知識聚焦6．[2015·全國卷Ⅰ]

在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn

為{an}的前

n

項和．若

Sn＝126，則

n＝

．[答案]

6[解析]

由

a1＝2，an＋1＝2an

可知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，公比為2，所以Sn＝2（1－2n）1－2＝126，得n＝6.返回目錄第10講數(shù)列、等差數(shù)列﹑等比數(shù)列核心知識聚焦返回目錄7．[2015·山東卷改編]

設數(shù)列{an}的前

n

項和為

Sn，已知

2Sn＝3n＋3，則{an}的通項公式是

．[答案]

an＝3，n＝1，3n－1，n>1所以an＝[解析]

因為

2Sn＝3n＋3，所以

2a1＝3＋3，故

a1＝3.當

n>1

時，2Sn－1＝3n

1＋3，—此時

2an＝2Sn－2Sn－1＝3n－3n

1＝2×3n

1，即

an＝3n

1，－

－

－3，n＝1，3n－1，n>1.第10講 數(shù)列、等差數(shù)列﹑等比數(shù)列核心知識聚焦返回目錄8．[2015·福建卷改編]若a，b

是函數(shù)f(x)＝x2－px＋q(p＞0，q＞0)的兩個不同的零點，且

a，b，－2

這三個數(shù)可適當排序后成等差數(shù)列，也可適當排序后成等比數(shù)列，則

p＋q

的值等于

．[答案]

9[解析]

不妨設

a>b，由韋達定理得

a＋b＝p>0，ab＝q>0則

a>b>0，所以－2，b，a

成等差數(shù)列，a，－2，b

成等比數(shù)列，所以解得2b＝a－2，

a＝4，ab＝4，

b＝1或a＝－2，b＝－2（舍去），所以p＝5，q＝4，所以p＋q＝9.第10講數(shù)列、等差數(shù)列﹑等比數(shù)列——基礎知識必備——返回目錄錄返回目第10講數(shù)列、等差數(shù)列﹑等比數(shù)列考點考向探究第10講數(shù)列、等差數(shù)列﹑等比數(shù)列考點考向探究例

1

(1)[2015·廣東卷]

在等差數(shù)列{an}中，若

a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，則

a2＋a8＝

．(2)已知在等比數(shù)列{an}中，a2a3a7＝8，則

a4＝(

)A．1

B．4C．2

D．2

2返回目錄第10講數(shù)列、等差數(shù)列﹑等比數(shù)列[答案](1)10(2)C考點考向探究返回目錄[解析]

（1）因為

a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝25，所以

a5＝5，于是a2＋a8＝2a5＝10.4（2>因為a2a3a7＝a3a4a5＝a3＝8，所以a4＝2.第10講數(shù)列、等差數(shù)列﹑等比數(shù)列[小結]

涉及求等差、等比數(shù)列的通項、某一項問題時，常用到等差、等比數(shù)列的基本性質．等差數(shù)列{an}中，m＋n＝p＋q?am＋an＝ap＋aq，m＋n＝2p?am＋an＝2ap；等比數(shù)列{an}中，m＋n＝p＋q?aman＝apaq，m

＋

n

＝

2p?amanp＝a2.考點考向探究返回目錄變式題

在等比數(shù)列{an}中，a1＝2，前

n

項和為

Sn，若數(shù)列{an＋1}也是等比數(shù)列，則

Sn

等于(

)A．2n＋1－2

B．3nC．2n

D．3n－1考點考向探究返回目錄第10講數(shù)列、等差數(shù)列﹑等比數(shù)列考點考向探究返回目錄[答案]C第10講數(shù)列、等差數(shù)列﹑等比數(shù)列[解析]

設等比數(shù)列{an}的公比為

q，由于{an＋1}也是等比數(shù)2列，所以（a2＋1）2＝（a1＋1）（a3＋1），即a2＋2a2＋1＝a1a3＋a1＋a3＋1，即2a2＝a1＋a3，即2q＝1＋q2，解得q＝1，所以數(shù)列{an}是常數(shù)數(shù)列，所以Sn＝2n.第10講數(shù)列、等差數(shù)列﹑等比數(shù)列考點考向探究返回目錄第10講數(shù)列、等差數(shù)列﹑等比數(shù)列例

2

已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，且

a1＝1，an＋1an＋an＋1－an＝0(n∈N*)．1an(1)設bn＝，求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列

an

n＋1的前n

項和Sn.考點考向探究返回目錄第10講 數(shù)列、等差數(shù)列﹑等比數(shù)列考點考向探究解：（1）證明：因為an＋1an＋an＋1－an＝0（n∈N*），n＋1nan＋11n所以

b

－b

＝

1

－

＝aan＋1an1n－a

＝1，1

1a1又

b

＝

＝1，所以數(shù)列

bn

是首項為1，公差為1

的等差數(shù)列.1（2>由（1）知bn＝n，所以an＝n.令cn＝n＋1，則cn＝an

11

1n（n＋1）＝n－n＋1，Sn＝c1＋c2＋…n＋c

＝1－2＋1

1

12

3—

＋…＋1n—1n＋1＝1－1

nn＋1

n＋1＝

.返回目錄第10講數(shù)列、等差數(shù)列﹑等比數(shù)列[小結]等差數(shù)列的判定與證明有以下四種方法：①定義法，即an－an－1＝d(d

為常數(shù)，n∈N*，n≥2)?{an}為等差數(shù)列；②等差中項法，即2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)?{an}為等差數(shù)列；③通項公式法，即an＝an＋b(a，b

是常數(shù)，n∈N*)?{an}為等差數(shù)列；④前n

項和公式法，即Sn＝an2＋bn(a，b

是常數(shù)，n∈N*)?{an}為等差數(shù)列．等比數(shù)列的判定與證明有以下三種方法：①定義法，即

an

＝q(q

為常an－1數(shù)且q≠0，n∈N*，n≥2)?{an}為等比數(shù)列；②等比中項法，n＋即

a2

1＝anan＋2(an≠0，n∈N*)?{an}為等比數(shù)列；③通項公式法，即an＝a1qn－1(其中a1，q

為非零常數(shù)，n∈N*)?{an}為等比數(shù)列．考點考向探究返回目錄考點考向探究返回目錄變式題

若{an}是各項均不為零的等差數(shù)列，公差為

d，Sn

為其前

n2*n

2n－1

n

n項和，且滿足

a

＝S

，n∈N

.數(shù)列{b

}

滿足

b

＝

1

，Tn

為數(shù)列{bn}的前n

項和．a(chǎn)n·an＋1(1)

求

an

和

Tn.(2)

是否存在正整數(shù)

m，n(1<m<n)，使得

T1，Tm，Tn

成等比數(shù)列？若存在，求出所有m，n

的值；若不存在，請說明理由．第10講數(shù)列、等差數(shù)列﹑等比數(shù)列第10講數(shù)列、等差數(shù)列﹑等比數(shù)列考點考向探究解：（1）∵{an}是等差數(shù)列，∴a1＋a2n－12＝an，∴S2n－1＝a1＋a2n－12×（2n－1）＝（2n－1）an，2n由a

＝S2n－12n，得a

＝（2nn

n

n∵bn＝1an·an＋1＝1

11（2n－1）（2n＋1）＝2（

n－12—－1）a

，又a

≠0，∴a

＝2n－1.12n＋1>返回目錄∴Tn＝1×（1－

＋

－

＋2

3

3

51

1

1

…＋

1

－

1

2n－1

2n＋1）＝21×（1－

1

n

2n＋1）＝

n

12＋

.第10講 數(shù)列、等差數(shù)列﹑等比數(shù)列考點考向探究（2）假設存在正整數(shù)m，n（1<m<n），使得

T1，Tm，Tn

成m等比數(shù)列，則T1·Tn＝T2

.∵T1·Tn＝6n＋3n

1n6＋3

6＝

<1，2m∴T

＝

m2m＋12＝m224m

＋4m＋11<6，

62

＜m＜1＋2

，又∵m∈N

且m∴2m2－4m－1＜0，∴1－

6＞1，22∴m＝2，則T

＝4251

n.令T

·T

＝n6n＋325＝

4

，得n＝12，返回目錄∴當且僅當m＝2，n＝12

時，T1，Tm，Tn

成等比數(shù)列.第10講數(shù)列、等差數(shù)列﹑等比數(shù)列考點考向探究返回目錄考點考向探究例3

(1)數(shù)列{an}的前n

項和Sn＝2n2－3n(n∈N*)，若p－q＝5，則

ap－aq＝(

)A．10C．－5B．15D．20n

n(2)已知等比數(shù)列{a

}的前n

項和S

＝a·2n－116＋，則a

的值為(

)1

1

1A．—3

B.3

C．－2

D.12第10講返回目錄數(shù)列、等差數(shù)列﹑等比數(shù)列第10講數(shù)列、等差數(shù)列﹑等比數(shù)列考點考向探究返回目錄[解析]（1）當n≥2

時，an＝Sn－Sn－1＝2n2－3n－[2（n－1）

2－3（n－1）]＝4n－5；當n＝1時，a1＝S1＝－1，符合上式.所以an＝4n－5，于是ap－aq＝4（p－q）＝20.—（2>當

n≥2

時，an＝Sn－Sn

1＝a·2n－1－a·2n－2＝a·2n－2；當1

16n＝1時，a

＝S

＝a＋.因為

an1

1

a6

2是等比數(shù)列，所以a＋＝，1求得a＝－3.[答案]（1）D（2）A第10講數(shù)列、等差數(shù)列﹑等比數(shù)列[小結]

數(shù)列{an}中，an

與

Sn

的關系為：當

n≥2

時，an＝Sn－Sn－1(*)，當n＝1

時，a1＝S1.若a1＝S1

滿足(*)，則an

＝Sn

－Sn

－1(n∈N*)；若a1

＝S1

不滿足(*)，則an

＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.考點考向探究返回目錄考點考向探究返回目錄變試題已知數(shù)列{an}的前n

項和為Sn，且滿足4(n＋1)·(Sn＋1)＝(n＋2)2an，則數(shù)列{an}的通項公式為(

)A．(n＋1)3

B．(2n＋1)2C．8n2

D．(2n＋1)2－1第10講數(shù)列、等差數(shù)列﹑等比數(shù)列[答案]

A考點考向探究第10講數(shù)列、等差數(shù)列﹑等比數(shù)列[解析]

當

n＝1

時，4×（1＋1）×（a1＋1）＝（1＋2）2a1，解得a1＝8.當n≥2

時，4（Sn＋1）＝（n＋2）2ann＋1，4（Sn－1＋1）＝（n＋1）2an－1n，兩式相減，得4an

＝（n＋2）2ann＋1—（n＋1）2an－1n，即

an

＝（n＋1）3n3，所以

an＝

·an－1

an－1

an－2

an

an－1

a2a1·…·

·a1＝（n＋1）3n3×

n3

×…×33×8

n

1

.

n

1（n－1）3

23

＝（

＋

）3

檢驗知 ＝ 也返回目錄符合該式，所以an＝（n＋1）3.考點考向探究高考易失分題

9

根據(jù)含

an

的關系式求

Sn﹑推理與證明范例

已知在數(shù)列{an}中，a1＝1，當

n≥2

時，其前

n

項和Sn返回目錄2n

n

n

n滿足S

－a

S

＋2a

＝n0，b

＝2—n

1.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)若數(shù)列

1

S

b

n

n的前n

項和為Tn，求證：Tn<3.第10講數(shù)列、等差數(shù)列﹑等比數(shù)列第10講數(shù)列、等差數(shù)列﹑等比數(shù)列考點考向探究解：（1）因為當n≥2

時，an＝Sn－Sn－1，n所以由S2－anSn＋2an＝0，2n得S

－（n

n－1

nS

－S

）S

＋2（S

－Sn

n－1n

n－1）＝0，即

S

S

＝2Sn（Sn－1－Sn），所以

－1

1

1Sn－12

1

Sn＝

，所以數(shù)列

為等差數(shù)列1

1

1其首項為S1＝a1＝1，公差為2，1

1所以Sn＝1＋2（n－1）＝n＋12

2

，所以Sn＝n＋1.當n≥2

時，an＝Sn－Sn－1＝2

2

2n＋1－n＝－

（n＋1）n，返回目錄第10講數(shù)列、等差數(shù)列﹑等比數(shù)列考點考向探究1（n＝1），所以

an＝－

2n（n＋1）（n≥2，n∈N*）.（2>證明：因為1Snbn2n＝（n＋1）·1

，S1b1所以

Tn＝

1

＋1S2b2＋…＋1Sn－1bn－1＋1Snbn，即

Tn＝

1

1

1

1

2×2＋3×22＋4×23＋…＋（n＋1）·2n，①222

23

24

2n2n＋11Tn＝2×

1

＋3×

1

＋4×

1

＋…＋n·1

＋（n＋1）·

1

，②返回目錄第10講數(shù)列、等差數(shù)列﹑等比數(shù)列考點考向探究①－②得1n231

1

1

12

2

2

2412nT

＝2×

＋

＋

＋

＋…＋

－（n＋1）·12n＋1＝12＋221－

12n＋111－2－（n＋1）·2＋n

11

1212n＝

＋1－

－（n＋121

3）·

n＋1＝2－2n1

－（n＋1）·

132n＋1＝2－

2n＋1n＋3，返回目錄所以Tn＝3－n＋3

2n<3.第10講數(shù)列、等差數(shù)列﹑等比數(shù)列失分分析本題用錯位相減法求和時，在等式“Tn＝2×1222

231

1＋3×

1

＋4×

1

＋…＋(n＋1)· ”的等號兩邊同時乘后，應2n

22注意將兩式“錯項對齊”，以便下一步準確寫出“Tn－1Tn”2n＋1的解析式，并且要注意最后還有一項是“－(n＋1)·

1

”．考點考向探究返回目錄考點考向探究返回目錄1高考預測

已知數(shù)列{an}的前

n

項和

Sn＝－2n2＋kn＋1(k∈N*)，且Sn

的最大值為9.(1)確定常數(shù)k

的值，并求數(shù)列{an}的通項公式；(2)求數(shù)列9－2an

2

n的前n

項和Tn.第10講數(shù)列、等差數(shù)列﹑等比數(shù)列第10講數(shù)列、等差數(shù)列﹑等比數(shù)列考點考向探究解：（1）由題易知當n＝k∈N*時，Sn1＝－2n2＋kn＋1

取得最21大值9，即9＝－

k2＋k2＋1，21解得k＝4（舍去負值），所以Sn＝－

n2＋4n＋1.9

9當n＝1

時，a1＝S1＝2；當n≥2

時，an＝Sn－Sn－1＝－n＋2.返回目錄綜上可知，an＝92，n＝1，9－n＋2，n≥2.第10講數(shù)列、等差數(shù)列﹑等比數(shù)列考點考向探究（2>由（1）可知9－2an2n0，n＝1，＝2n2n

，n≥2.T1＝0，當n≥2

時，Tn＝4×

1

＋6×

1

＋…＋2n×

1

，①22

23

2n223

24

2n2n＋11Tn＝4×

1

＋6×

1

＋…＋2（n－1）×

1

＋2n× 1 ，②①－②

1

1

1

1

1

1 得2Tn＝4×22＋2×（23＋24＋…＋2n）－2n×2n＋1，n2n－1所以T

＝3－n＋2.返回目錄n＋2又T1

符合該式，所以Tn＝3－2n－1

.第10講數(shù)列、等差數(shù)列﹑等比數(shù)列考點考向探究返回目錄第10講數(shù)列、等差數(shù)列﹑等比數(shù)列例

4

[2015·天津卷]

已知數(shù)列{an}滿足

an＋2＝qan(q

為實數(shù)，且

q≠1)，n∈N*，a1＝1，a2＝2，且

a2＋a3，a3＋a4，a4＋a5

成等差數(shù)列．(1)求q

的值和{an}的通項公式；n(2)設b

＝log

a2

2na2n－1*n，n∈N

，求數(shù)列{b

}的前n

項和．考點考向探究返回目錄第10講 數(shù)列、等差數(shù)列﹑等比數(shù)列考點考向探究返回目錄解：（1）由已知，有（a3＋a4）－（a2＋a3）＝（a4＋a5）－（a3＋a4），即a4－a2＝a5－a3，所以a2（q－1）＝a3（q－1）.又因為q≠1，故a3＝a2＝2，由a3＝a1·q，得q＝2.n

2k－1當

n＝2k－1（k∈N*）時，a

＝a

＝2—k

1＝2n－12；當n＝2k（k∈N*）時，an＝a2k＝2k＝

n.22

n－122

，n為奇數(shù)，所以{an}的通項公式為

an＝

n

22

，n為偶數(shù).第10講 數(shù)列、等差數(shù)列﹑等比數(shù)列考點考向探究a2n－12n－1（2>由（1）得

bn＝log2a2n＝

n

.設{bn}的前n

項和為Sn，則20

21

222n－2

2n－1Sn＝1×

1

＋2×

1

＋3×

1

＋…＋（n－1）×

1

＋n×

1

，1

11

1

1

12Sn＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋（n－1）×2n－1＋n×2n，1

1

1

1

n上述兩式相減，得2Sn＝1＋2＋22＋…＋2n－1－2n＝1－

12n1－2

n1

－2n2

nn＋2＝2－2n－2n，整理得，Sn＝4－2n－1

.n所以數(shù)列{b

}的前n

項和為4－n＋22n－1

，返回目錄n∈N*.第10講數(shù)列、等差數(shù)列﹑等比數(shù)列[小結]

在等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合問題中，通過列方程

(組)求基本量是基本而重要的方法．在數(shù)列的最值問題中，如果使用函數(shù)的方法，要充分考慮數(shù)列中的自變量是正整數(shù)．考點考向探究返回目錄第10講數(shù)列、等差數(shù)列﹑等比數(shù)列

a

n1例

1（配例

1

使用）（1）已知數(shù)列

為等差數(shù)列，且a

＋a7＋a13＝π，則

tan（a2＋a12）的值為（

）A.

3

B.－

3C.

3D.－

3返回目錄3

3（2）已知數(shù)列{an}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，若

a2＝22a3＋a4＝16，則

a5＝（

）A.4

B.8C.16

D.32——教師備用例題——第10講數(shù)列、等差數(shù)列﹑等比數(shù)列（1）B

（2）C[答案][解析]π（1>在等差數(shù)列{an}中，a1＋a7＋a13＝π，則a7＝3，則a2＋a12＝2a7＝2π3，所以

tan（a2＋a12）＝－

3.返回目錄（2>設數(shù)列{an}的公比為q，則q>0.2a1q2＋a1q3＝16，由題意得，

解得a1q＝2，

a1＝1，q＝2或a11＝－2，q＝－4（舍），所以a5＝a1q4＝16.第10講返回目錄數(shù)列、等差數(shù)列﹑等比數(shù)列例2（配例2，例3

使用）已知二次函數(shù)f（x）＝x2－ax＋2（x∈R，a<0），關于x

的不等式f（x）≤0

的解集有且只

ann*有一個元素，設數(shù)列 的前

n

項和

S

＝f（n）（n∈N

）.

an（1）求數(shù)列 的通項公式.n（2）若b

＝f（n）－2nn（n∈N*），則數(shù)列{b

}中是否存在不同的三項，使之能組成等比數(shù)列？請說明理由.第10講 數(shù)列、等差數(shù)列﹑等比數(shù)列解：（1）因為關于x

的不等式f（x）≤0

的解集有且只有一個元素，所以二次函數(shù)f（x）＝x2－ax＋2（x∈R）的圖像與x

軸只有一個交點，則Δ＝（－a）2－4×2＝0，又a<0，所以a＝－2

2，從而f（x）＝x2＋2

2x＋2＝（x＋2）2，

a

nn所以數(shù)列

的前

n

項和

S

＝（n＋

2）2（n∈N*）.

an所以數(shù)列

n

的通項公式為

a

＝當n≥2，n∈N*時，an＝Sn－Sn－1＝（n＋2）2－[（n－1）＋2]2＝2n＋2

2－1；當

n＝1

時，a1＝S1＝（1＋

2）2＝3＋2

2，不適合上式.3＋2

2，n＝1，2n＋2

2－1，n≥2，n∈N*.返回目錄第10講數(shù)列、等差數(shù)列﹑等比數(shù)列（2）由（1）知bn＝f（n）－2n＝n＋2

2.

bnp

q

r假設數(shù)列

中存在三項

b

，b

，b（正整數(shù)

p，q，r

互不相等）q成等比數(shù)列，則

b2＝bpbr，即（q＋2

2）2＝（p＋2

2）（r＋2

2），整理得

pr－q2＋2

2（p＋r－2q）＝0.因為p，q，r

都是正整數(shù)，所以pr－q2＝0，p＋r－2q＝0，

2p＋r于是

pr－

2＝0，即（p－r）2＝0，從而

p＝r

與

p≠r

矛盾.返回目錄

bn故數(shù)列 中不存在不同的能組成等比數(shù)列的三項.第10講返回目錄數(shù)列、等差數(shù)列﹑等比數(shù)列

a

n1例

3（配例

4

使用）已知等比數(shù)列

的首項a

＝2，公比q>1，且an，45an＋＋1，an

2

成等差數(shù)列（n∈N*）.（1>求數(shù)列

a

n的通項公式；

bnn n n2（2>記

b

＝na

，數(shù)列

的前

n

項和為

S

，若（n－1）

≤m（Sn－n－1）對于n≥2，n∈N*恒成立，求實數(shù)m

的取值范圍.第10講 數(shù)列、等差數(shù)列﹑等比數(shù)列5an解：（1）由

an，4

1，an

2

成等差數(shù)列，可得

an＋an＋

＋

＋2＝52an＋1.

a

n又 是等比數(shù)列，所以252n

n

nna

＋q

a

＝

qa

，又因為a

≠0，所以2q2－5q＋2＝0，因為q>1，所以q＝2.

an1

nn又

a

＝2，所以數(shù)列 的通項公式為

a

＝2

.（2>因為bn＝nan＝n·2n，所以Sn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，2Sn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋（n－1）·2n＋n·2n＋1，所以Sn＝－（2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1）＝－（2－2n＋11－2—返回目錄n·2n＋1）＝（n－1）·2n＋1＋2.第10講 數(shù)列、等差數(shù)列﹑等比數(shù)列因為（n－1）2≤m（Sn－n－1）對于n≥2，n∈N*恒成立，所以（n－1）2≤m[（n－1）·2n＋1＋2－n－1]恒成立，即（n－1）2≤m（n－1）（2n＋1－1）恒成立，2n＋1－1于是問題轉化為

m≥

n－1

對于

n≥2，n∈N*恒成立.2n＋1－1令

f（n）＝

n－1

，n≥2，則

f（n＋1）－f（n）＝nn－1—2n＋2－1

2n＋1－1（2－n）·2n＋1－1＝（2n＋2－1）（2n＋1－1）<0，所以當n≥2，n∈N*時，f（n＋1）<f（n），即f（n）單調遞

減，返回目錄1

1則f（n）≤f（2）＝7，所以

m≥7.1故實數(shù)m

的取值范圍為7，＋∞.第11講數(shù)列求和及數(shù)列的簡單應用核心知識聚焦返回目錄考點考向探究第11講數(shù)列求和及數(shù)列的簡單應用核心知識聚焦返回目錄—1＋121．[2015·安徽卷]

已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝an(n≥2)，則數(shù)列{an}的前

9

項和等于

．[答案]

27－11【解析】由

an＝an

＋2（n≥2）得，數(shù)列{an}是以

1

為首項以1

9×8

12為公差的等差數(shù)列，因此

S9＝9×1＋

2

×2＝27.第11講數(shù)列求和及數(shù)列的簡單應用核心知識聚焦返回目錄2．[2013·重慶卷]

已知{an}是等差數(shù)列，a1＝1，公差

d≠0，Sn

為其前

n

項和，若

a1，a2，a5

成等比數(shù)列，則

S8＝

．[答案]

64【解析】設數(shù)列{an}的公差為

d，則（1＋d）2＝1·（1＋

4d），解得

d＝2

或

d＝0（舍去），所以

S8

＝8×1＋8×（8－1）2×2＝64.第11講 數(shù)列求和及數(shù)列的簡單應用核心知識聚焦返回目錄3．[2015·上海卷改編]

已知數(shù)列{an}與{bn}滿足

an＋1－an＝2(bn＋1－bn)，n∈N*.若

bn＝3n＋5，且

a1＝1，則數(shù)列{an}的前

10

項和

S10＝

．[答案]

280[解析]an＋1－an＝2（bn＋1－bn）＝6，故數(shù)列{an}是首項為1、公差為6

的等差數(shù)列，所以S10＝10×1＋10×92×6＝280.第11講數(shù)列求和及數(shù)列的簡單應用核心知識聚焦4．[2013·浙江卷改編]

在數(shù)列{an}中，an＝11－n，則數(shù)列{|an|}的前

n

項和為

．[答案]21

21－2n

＋

2

n（n≤11），122n

－212n＋110（n≥12）.返回目錄第11講數(shù)列求和及數(shù)列的簡單應用核心知識聚焦[解析]

設數(shù)列{an}的前

n

項和為

Sn.當

n≤11

時，|a1|＋|a2|1

21＋|a3|＋…＋|an|＝－2n2＋

2

n，1

2

3

n

n

11當

n≥12

時，|a

|＋|a

|＋|a

|＋…＋|a

|＝－S

＋2S

2n＝1

2－212n＋110.綜上所

述

，

|a1|

＋

|a2|

＋

|a3|

＋

…

＋

|an|

＝2－1

212n

＋

2

n（n≤11），返回目錄122n

－212n＋110（n≥12）.第11講數(shù)列求和及數(shù)列的簡單應用核心知識聚焦n已知a

＝13－3n，則數(shù)列

1

a

an

n＋1的前n5．[2014·全國卷改編]項和

Tn＝

．[答案]

n

10（10－3n）[解析]111—1＝anan＋1

310－3n

13－3n，13所以Tn

＝

[7－1

1

＋1

110

4

7—

＋…＋110－3n—1]＝113－3n

3110－3n10—

1

＝n10（10－3n）.返回目錄第11講 數(shù)列求和及數(shù)列的簡單應用核心知識聚焦返回目錄6．[2014·江西卷改編]

已知數(shù)列{an}的通項公式是

an＝(2n－1)3n－1，則數(shù)列{an}的前

n

項和

Sn＝

．[答案]（n－1）3n＋1[解析]Sn＝1·30＋3·31＋5·32＋…＋（2n－1）·3n－1，3Sn＝1·31＋3·32＋5·33＋…＋（2n－1）·3n，相減得：－2Sn＝1＋2（31＋32＋…＋3n－1）－（2n－1）·3n＝－2－（2n－2）3n，所以Sn＝（n－1）3n＋1.第11講數(shù)列求和及數(shù)列的簡單應用核心知識聚焦7．[2012·湖南卷改編]某公司一下屬企業(yè)從事某種高科技產(chǎn)品的生產(chǎn)．該企業(yè)第一年年初有資金2000

萬元，將其投入生產(chǎn)，到當年年底資金增長了50%.預計以后每年資金年增長率與第一年的相同．公司要求企業(yè)從第一年開始，每年年底上繳資金d

萬元，并將剩余資金全部投入下一年生產(chǎn)．設第n＋年年底企業(yè)上繳資金后的剩余資金為

an

萬元，則

an 1

與

an

的關系式是

．＋1[答案]

an

＝23an－d返回目錄＋[解析]

an

1＝an（1＋50%）－d3＝2an－d.第11講數(shù)列求和及數(shù)列的簡單應用核心知識聚焦返回目錄8．[2015·江蘇卷]

設數(shù)列{an}滿足

a1＝1，且

an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，則數(shù)列

1

an前

10

項的和為

．[答案][解析]2011因為an＝（an－an－1）＋（an－1－an－2）＋…＋（a2－a1）＋a1＝n＋（n－1）＋…＋2＋1＝n（n＋1）2，所以

1

2

1

1

111a

＝

＝2（n－

），故10a

＝2[（1－2）＋（2n

n（n＋1）

n＋1

n＝1n－1）＋…

1

1

）]

20.3

＋（10－11

＝11第11講數(shù)列求和及數(shù)列的簡單應用——基礎知識必備——返回目錄錄返回目第11講數(shù)列求和及數(shù)列的簡單應用考點考向探究考點考向探究返回目錄例

1

已知函數(shù)

f(n)＝n2，n為奇數(shù)，2－n

，n為偶數(shù)，且an＝f(n)＋第11講數(shù)列求和及數(shù)列的簡單應用f(n＋1)，則

a1＋a2＋a3＋…＋a100＝(

)A．0

B．100

C．－100

D．10200[答案]

B[解析]

由題意可得，a1＋a2＋a3＋…＋a100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002

＋1012＝－（1＋2）＋（3＋2）－…－（99＋100）＋（101＋100）＝－（1＋2＋…＋99＋100）＋（2＋3＋…＋100＋101）＝－1＋101＝100.第11講數(shù)列求和及數(shù)列的簡單應用[小結]

數(shù)列的項如果具有奇偶性、周期性，則可使用分組轉化法求和．考點考向探究返回目錄考點考向探究變式題

設數(shù)列{an}的前

n

項和為

Sn，且

S1＝2，Sn＋1＝2Sn＋2(n∈N*)，bn＝Sn＋2.(1)求證：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；

(2)求數(shù)列{an}的通項公式；(3)若數(shù)列{n

nc

}滿足c

＝2＋＋…＋1

2

na

－1

a

－1

a

－122

2n*返回目錄(n∈N

)，求數(shù)列{cn}的前n

項和Tn.第11講 數(shù)列求和及數(shù)列的簡單應用考點考向探究返回目錄解：（1）證明：由Sn＋1＝2Sn＋2，可得Sn＋1＋2＝2（Sn＋2），即bn＋1＝2bn，又b1＝4，

b

n所以數(shù)列

是以

4

為首項，以

2

為公比的等比數(shù)列.（2>由（1）可得，bn＝4×2n－1＝2n＋1，所以Sn＝bn－2＝2n＋1－2.—當

n≥2時，an＝Sn－Sn

1＝（2n＋1－2）－（2n－2）＝2n；a1＝S1＝2，代入上式也成立.所以an＝2n.第11講數(shù)列求和及數(shù)列的簡單應用考點考向探究（3）因為an－12n＝1－

1n，所以cn＝a1－12

2＋a2－122＋…＋an－12n1＝n－

＋

11

12

2 2

2*2＋…＋

n＝n＋

n－1（n∈N

），12

21

1

2

則

Tn＝（1＋2＋…＋n）＋

＋2＋…＋n－n＝（n＋1）n2＋×1－1

1

22n11－2－n＝n2－n＋221－2n.返回目錄第11講數(shù)列求和及數(shù)列的簡單應用第11講數(shù)列求和及數(shù)列的簡單應用考點考向返回目探究錄考點考向探究例

2

[2015·湖北卷]

設等差數(shù)列{an}的公差為

d，n前n項和為Sn，等比數(shù)列{bn}的公比為q.已知b1＝a1，b2＝2，q＝d，S10＝100.

(1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；anbnn返回目錄n(2)當

d>1

時，記

c

＝ ，求數(shù)列{c

}的前n

項和

T

.第11講數(shù)列求和及數(shù)列的簡單應用第11講數(shù)列求和及數(shù)列的簡單應用考點考向探究返回目錄解：（1）由題意有，10a1＋45d＝100，a1d＝2，即2a1＋9d＝20，a1d＝2，解得a1＝1，d＝2或a1＝9，2d＝9.故an＝2n－1，bn＝2n－1或a1n＝9（2n＋79），nb

＝9·

92

n－1.第11講數(shù)列求和及數(shù)列的簡單應用考點考向探究n（2>由d>1，知a

＝n2n－1，b

＝2—n

1n，故c

＝2n－12n－1，于返回目錄是n3

5

7

92n－1T

＝1＋2＋22＋23＋24＋…＋

2n－1

，①21T

1

3

5

7

9n＝2＋22＋23＋24＋25＋…＋2n－1

2n.

②①－②可得1

1

1

1 2Tn＝2＋2＋22＋…＋2n－2－2n－1

2n＝3－2n＋3

2n，2n＋3故

Tn＝6－

2n－1

.第11講數(shù)列求和及數(shù)列的簡單應用[小結]錯位相減求和法適用于一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列對應項相乘后得出的數(shù)列的求和，但要特別注意兩種情況：(1)第1

項到第n

項組成等比數(shù)列；(2)第1

項到第n項不能組成等比數(shù)列，但第2

項到第n

項能組成等比數(shù)列．考點考向探究返回目錄變式題已知各項均不為零的數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝a1(an－1)．求數(shù)列{an}的通項公式；設數(shù)列{bn}滿足anbn＝log2an，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.考點考向探究返回目錄第11講數(shù)列求和及數(shù)列的簡單應用第11講數(shù)列求和及數(shù)列的簡單應用考點考向探究返回目錄1解：（1）當n＝1

時，a1＝S1＝a1（a1－1）＝a2－a1，因為a1≠0，所以a1＝2；當n≥2時，Sn＝a1（an－1），①Sn－1＝a1（an－1－1），②①－②，得an＝a1（an－an－1）＝2an－2an－1，即an＝2an－1.

annn所以數(shù)列 是首項為

2，公比為

2

的等比數(shù)列，故

a

＝2

.第11講數(shù)列求和及數(shù)列的簡單應用考點考向探究（2>因為b

nn＝2n，所以T1

2

3n＝21＋22＋23＋…＋n－1n2n－1

＋2n，返回目錄21T

12

3n－1n＝22＋23＋24＋…＋

2n

＋

n

2n＋1，1221

1

122

232n兩式相減，得

Tn＝

＋

＋

＋…＋

－1

n

2n＋111

2×1－2n11－2＝

－

n

n＋2n＋22n＋1＝1－

2n＋1

，所以

Tn＝2－

2n

.錄返回目第11講數(shù)列求和及數(shù)列的簡單應用考點考向探究考點考向探究例3

設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，對任意正整數(shù)n都有6Sn＝1－2an.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；n2(2)設b

＝log

an，求Tn＝2122b

－1 b

－11

1

1

12nb

－1＋

＋…＋

.返回目錄第11講數(shù)列求和及數(shù)列的簡單應用第11講數(shù)列求和及數(shù)列的簡單應用考點考向探究解：（1）由已知可得6Sn＝1－2an，6Sn－1＝1－2an－1（n≥2），—4—返回目錄兩式相減，得

6an＝2an 1－2an（n≥2），即

an＝1an 1（n≥2）.1由6S1＝1－2a1，得a1＝8，

an1814所以數(shù)列

是首項為

，公比為

的等比數(shù)列，18則

an＝×

41n－1＝

212n＋1.第11講數(shù)列求和及數(shù)列的簡單應用考點考向探究（2>因為

an＝

212n＋1，所以bn＝2n＋1，從而nb2－1＝1

14n1n＋1＝11－

，所

以

Tn

＝4n（n＋1）

1

1b2－1＋

1

2b2－1＋

…

＋

1

nb2－1＝141

1

12

2

311－

＋

－

＋…＋n－1n＋1＝返回目錄1

1

n

41－n＋1＝4（n＋1）.

第11講數(shù)列求和及數(shù)列的簡單應用[小結]裂項相消求和的基本思想是把數(shù)列的通項分解為兩項的差，即an＝bn＋1－bn的形式，這樣在求數(shù)列{an}的前

n

項和時就出現(xiàn)了可以相互抵消的項，最后的結果是兩項

(或者四項)的和差．考點考向探究返回目錄考點考向探究返回目錄變式題

已知數(shù)列{an}中，a1＝3，且對任意正整數(shù)n都有a －a

＝2，數(shù)列{b

}的前n

項和

S

＝n2＋a

.n＋1

n

n

n

n(1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；

1

bnbn＋1(2)求數(shù)列

的前n

項和

Tn.第11講數(shù)列求和及數(shù)列的簡單應用第11講數(shù)列求和及數(shù)列的簡單應用考點考向探究返回目錄解：（1）因為對任意正整數(shù)n，數(shù)列{an}滿足an＋1－an＝2，所以{an}是公差為2

的等差數(shù)列，又因為a1＝3，所以an＝2n＋1.由題可知Sn＝n2＋2n＋1，當n＝1

時，b1＝S1＝4；當n≥2

時，－1

2n

＋2n＋12－[（n－1）

＋2（n－1）＋1]＝2nbn＝Sn－Sn

＝＋1.b1＝4

不滿足該式，所以數(shù)列{bn}的通項公式為bn＝4（n＝1），2n＋1（n≥2）.第11講數(shù)列求和及數(shù)列的簡單應用考點考向探究（2>由（1）知當n＝1時，T1＝

11b1b2＝20；bnbn＋1當

n≥2

時，

＝1

1（2n＋1）（2n＋3）＝1122n＋1—12n＋3，n所以T

＝

1

20

2

5

71

1

1

1

17

9＋[（－）＋（－

）＋…＋（

1

1

2n＋1

2n

3—

＋

）]＝111＋5－1120

2

2n＋3

20n－110n＋15＝

＋

.返回目錄當n＝1

時上式仍成立.

1

所以數(shù)列b

b

n

n＋1n的前n項和T

＝

1

20＋

n－1

10n＋15.考點考向探究高考易失分題10求和問題中涉及的最值、不等式問題范例

已知等比數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，且滿足

a2＋a3＋a4＝28，a3＋2

是a2，a4

的等差中項．

(1)求數(shù)列{an}的通項公式；n

n12n

n

1

2

n

n返回目錄(2)若b

＝a

log

a，S

＝b＋b＋…＋b，求使S

＋n·2n＋1>50成立的正整數(shù)n的最小值．第11講數(shù)列求和及數(shù)列的簡單應用第11講數(shù)列求和及數(shù)列的簡單應用考點考向探究返回目錄解：（1）設等比數(shù)列{an}的公比為q.依題意有

2（a3＋2）＝a2＋a4，代入a2＋a3＋a4＝28，求得a3＝8，所以a2＋a4＝20，即解得a1q＋a1q3＝20，

q＝2，a1q2＝8，

a1＝2q1或

＝2，

1a

＝32.又因為數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，所以q＝2，a1＝2，所以an＝2n.第11講數(shù)列求和及數(shù)列的簡單應用考點考向探究n1（2>由題意知bn＝2

log22n＝－n·2n，所以－Sn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n·2n，①－2Sn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋（n－1）·2n＋n·2n＋1，②①－②，得Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1＝2（1－2n）1－2—返回目錄n·2n＋1＝2n＋1－n·2n＋1－2.Sn＋n·2n＋1>50

即2n＋1－2>50，即2n＋1>52.又當n≤4

時，2n＋1≤32<52；當n≥5

時，2n＋1≥26＝64>52，于是使Sn＋n·2n＋1>50

成立的正整數(shù)n

的最小值為5.第11講數(shù)列求和及數(shù)列的簡單應用考點考向探究返回目錄失分分析本題的易失分之處為：一是求數(shù)列bn＝－n·2n的前n

項和Sn，這里用錯位相減法時等式兩邊應同時乘“－

1”，否則容易出錯；二是解不等式“Sn＋n·2n＋1>50”時，將不等式化為“2n＋1>52”后，要通過討論才能得出正整數(shù)n

的最小值，否則解答不嚴謹