伺服系統(tǒng)設計ch04bn

一、MATLAB的基礎知識ⅠMATLAB簡介MATLAB具有以下主要特點：超強的數(shù)值運算功能。在MATLAB里，有超過500種的數(shù)學、統(tǒng)計、科學及工程方面的函數(shù)可供使用，而且使用簡單快捷。由于庫函數(shù)都由本領域的專家編寫，用戶不必擔心函數(shù)的可靠性。語法限制不嚴格，程序設計自由度大。例如，在MATLAB里，用戶無需對矩陣預定義就可使用。程序的可移植性很好，基本上不做修改就可以在各種型號的計算機和操作系統(tǒng)上運行。強大的數(shù)據(jù)可視化功能。在FORTRAN和C語言里，繪圖都很不容易，但在MATLAB里，數(shù)據(jù)的可視化非常簡單。MATIAB還具有較強的編輯圖形界面的能力。豐富的工具箱；由各學科領域內(nèi)學術水平很高的專家編寫的功能強勁的工具箱，使用戶無需編寫自己學科范圍內(nèi)的基礎程序，而直接進行高、精、尖的研究。第四章補充2.MATLAB的工作環(huán)境啟動MATIAB6.x后，顯示的窗口如圖所示。而選中命令窗口中View菜單的“Dockcommand

Window”子菜單又可讓命令窗放回桌面(MATIAB桌面的其他窗口也具有同樣的操作功能)。窗口中的符號“》”，表示MATIAB已準備好，正等待用戶輸入命令。用戶可以在“》”提示符后面輸入命令，實現(xiàn)計算或繪圖功能。在命令窗口中，可使用方向鍵對已輸入的命令行進行編輯，如用“↑”鍵或“↓”鍵回到上一句指令或顯示下一句命令。(3)工作空間窗口“Work-space”工作空間指運行MATLMB程序或命令所生成的所有變量構成的空間。每打開一次MATLAB，MATIAB會自動建立一個工作空間。(4)

命令歷史窗口“Command

History”[例2]

已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)為G(s)=

7(2s

+

3)

s

3

(3s

+1)(s

+

2)2

(5s

3

+

3s

+

8)利用MATLAB將上述模型表示出來。解：其MATLAN命令為：num=7*[2,3];den=conv(conv(conv([1,0,0],[3,1]),conv([1,2],[1,2])),[5,0,3,8]);sys=tf(num,den)運行結果：Transfer

function:14

s

+2115

s^8

+

65

s^7

+

89

s^6

+

83

s^5

+

152

s^4

+

140

s^3

+

32

s^2(2

-1)dtdu(t)+

b2dtdy(t)+

a1+

bnu(t)dt

n-2d

(n-2)u(t)dt

n-1+

an

y(t)

=

b1dt

n-1d

(n-1)

y(t)

d

(n-1)u(t)dt

nd

(n)

y(t)++

bn-1++

an-121(2

-

2)den

(s)num

(s)U

(s)Y

(s)G

(s)

=n

+1=

1

2

n

-1

n

=sn

+

a

sn

-1

+

a

sn

-2

+

ab

sn

-1

+

b

sn

-2

+

+

b s

+

b在MATLAB語言中，可以利用分別定義的傳遞函數(shù)分子、分母多項式系數(shù)向量方便地加以描述。例如對于（2-2）式，系統(tǒng)可以分別定義傳遞函數(shù)的分子、分母多項式系數(shù)向量為：bn

]an-1bn-1

an

]num

=

b1

b2

den

=

[1

a1

a2sys

=

tf

(num,

den)二、數(shù)學模型及其轉換1．微分方程及傳遞函數(shù)的多項式模型[例1]

已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)為s

4

+

3s

3

+

2s

2

+

4s

+

6G(s)=

2s

+

9

利用MATLAB將上述模型表示出來，并將其建立在工作空間中。解:2．傳遞函數(shù)的零極點增益模型(2

-

3)(s

+

p1

)(s

+

p2

)(s

+

zn

)G(s)

=

k

(s

+

z1

)(s

+

z2

)(s

+

zm

)在MATLAB里，用函數(shù)命令zpk()來建立控制系統(tǒng)的零極點增益模型，或者將傳遞函數(shù)模型或者狀態(tài)空間模型轉換為零極點增益模型。zpk()函數(shù)的調(diào)用格式為：sys=zpk([z],[p],[k])z

=

[z1

z2

,

zm

]1

2

np

=

[p

p

,

p

]函數(shù)返回的變量sys為連續(xù)系統(tǒng)的零極點增益模型。[例3]

已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)為，5(s

+

20)G(s)

=s(s

+

4.6)(s

+1)利用MATLAB將上述模型表示出來。解：>>

k=5;>>z=-20;>>

p=[0,-4.6,-1];>>sys=zpk([z],[p],[k])結果：

Zero/pole/gain:5

(s+20)---------------s

(s+4.6)

(s+1)3．狀態(tài)空間模型(2-4)y(t)

=Cx(t)

+Du(t)(a)(b)x(t)

=

Ax(t)

+Bu(t)在MATLAB中，用函數(shù)ss()來建立控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型，或者將傳遞函數(shù)模型與零極點增益模型轉換為系統(tǒng)狀態(tài)空間模型。ss()函數(shù)的調(diào)用格式為：sys=ss(a,b,c,d)函數(shù)的返回變量sys為連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。函數(shù)輸入?yún)?shù)a,b,c,d分別對應于系統(tǒng)的A，B，C，D參數(shù)矩陣。[例4]

已知系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為y

=

[02204

x

+

u0.251.252.252.25-1

-

0.75-

0.25-

0.5

-1.25-1.25-1.25-

0.25-

5-

4.25-

0.5-1.752

0

2]xx

=

利用MATLAB將上述模型表示出來。

P41作業(yè)2-2解：>>a=[2.25,-5,-1.25,-0.5;2.25,-4.25,-1.25,-0.25;0.25,-0.5,-1.25,-1;1.25,-1.75,-0.25,-0.75];>>b=[4;2;2;0];>>c=[0,2,0,2];>>d=0;>>sys=ss(a,b,c,d)三、三種數(shù)學模型之間的轉換表2-1

數(shù)學模型轉換函數(shù)及其功能函數(shù)名函數(shù)功能ss2tf將系統(tǒng)狀態(tài)空間模型轉換為傳遞函數(shù)模型ss2zp將系統(tǒng)狀態(tài)空間模型轉換為零極點增益模型tf2ss將系統(tǒng)傳遞函數(shù)模型轉換為狀態(tài)空間模型tf2zp將系統(tǒng)傳遞函數(shù)模型轉換為零極點增益模型zp2ss將系統(tǒng)零極點增益模型換為狀態(tài)空間模型zp2tf零極點增益模型換為傳遞函數(shù)模型(1)控制系統(tǒng)模型向傳遞函數(shù)或零極點增益形式的轉換1.狀態(tài)方程向傳遞函數(shù)形式的轉換X

=

AX

+

BUY

=

CX

+

DUden(s)G(s)

=

num(s)

=

C(sI

-

A)-1

B

+

D[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,iu)iu用于指輸入量序號，對于單輸入系統(tǒng)iu=1；返回結果

num為傳遞函數(shù)分子多項式系數(shù)，按s的降冪排列；相應的傳遞函數(shù)分母系數(shù)則包含在矩陣den中。為了獲得傳遞函數(shù)的形式，還可以采用下述方式進行，即：G1=ss(A,B,C,D);G2=tf(G1)[例5]

已知連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述如下，求相應的傳遞函數(shù)模型y

=

[02204

x

+

u0.251.252.252.25-1

-

0.75-

0.25-

0.5

-1.25-1.25-1.25-

0.25-

5-

4.25-

0.5-1.752

0

2]xx

=

>>

a=[2.25,-5,-1.25,-0.5;2.25,-4.25,-1.25,-0.25;0.25,-0.5,-1.25,-1;1.25,-1.75,-0.25,-0.75];>>

b=[4;2;2;0];>>

c=[0,2,0,2];>>

d=0;>>

T=1;>>

[num,den]=ss2tf(a,b,c,d,T);>>

sys=tf(num,den)2.模型向零極點形式的轉換其基本格式為：→狀態(tài)方程模型轉換為零極點模型[z,p,k]=ss2zp(A,B,C,D,iu)[z,p,k]=tf2zp(num,den)

→傳遞函數(shù)模型轉換為零極點模型G1=zpk(sys)

→非零極點模型轉換為零極點模型[例6]

已知連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述如下，將其轉換成零極點形式y(tǒng)

=

[02204

x

+

u0.251.252.252.25-

0.75-

0.25-

0.5

-1.25-1.25-1.25

-1

-

0.25-

5-

4.25-

0.5-1.752

0

2]xx

=

(2)系統(tǒng)模型向狀態(tài)方程形式的轉換其基本格式為：[a,b,c,d]=tf2ss(num,den)[a,b,c,d]=zp2ss(z,p,k)G1=ss(sys)[例7]

已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)為利用MATLAB將上述模型轉換成狀態(tài)空間模型。s

4

+

3s

3

+

2s

2

+

4s

+

6G(s)=

2s

+

9

(3)約當規(guī)范狀態(tài)方程的實現(xiàn)在MATLAB中提供給用戶一個規(guī)范實現(xiàn)函數(shù)canon,以進行線性定常系統(tǒng)模型sys的規(guī)范狀態(tài)空間表達式的實現(xiàn).其基本格式：G1=canon(sys,

’modal’)同時，規(guī)范實現(xiàn)函數(shù)canon還可以返回狀態(tài)變換陣T[G1，T]=canon(sys,’modal’)[例8]

《現(xiàn)代控制理論》

教材P46-47試用canon函數(shù)將下列狀態(tài)空間表達式化為約當標準型。00

1

0

0

1x

+

0u

2

3

0

1y

=

[1

0

0]xx

=

0在現(xiàn)代控制理論課程中變換后的狀態(tài)空間表達式為：

0.1111

-

0.1111

0

3

2

3

2

2x?

-1

1-1

0x?

+

-

0.3333u00x?

1

x?

x?

=

0x?

1

x?

3

x?

1

0

1]x?

2

[y]=

[14

12

1

0

1P2

P3

]=

-1

1-

2P

=

[P10.1111-

0.1111-

0.22220.3333

-

0.33330.2222 0.1111

0.8889P

-1

=

0.6667解：>>A=[0,1,0;0,0,1;2,3,0];>>

B=[0;0;1];>>

C=[1,0,0];>>

D=0;>>

sys=ss(A,B,C,D,1);>>

[G1,T]=canon(sys,'modal')(1)iC

dtRi

+

L

di

+

1

idt

=

u四、控制系統(tǒng)建模的基本方法1.

解析法建立數(shù)學模型如：《現(xiàn)代控制理論》[例]試列寫如圖所示RLC的電路方程，建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式。解：根據(jù)電路定律可列寫如下方程：0=

1idt

(2)Cy

=

u(3)121idtC

x

=u

=x

=

i,c

+

1

2

2

1

0

1

0

x2

1]

x

y

=

[0ux

CL

x1

L-

R

1

xL

ix

=

12.

實驗建模法G(

jw

)

=

G(s)

s=

jw

=

G(jw

)e

=

A(w

)ej—

G

(jw

)

jj

(w

)X

(jw

)G(jw

)

=

Y

(jw

)

=輸出正弦曲線與輸入正弦曲線之比X

(

jw

)—G(jw

)=—

Y

(jw

)

=輸出正弦曲線相對于輸入正弦曲線的相移《自動控制原理》P131(1).正弦信號產(chǎn)生器在進行頻率響應實驗時，必須提供適當?shù)恼倚盘柈a(chǎn)生器。對于大時間常數(shù)系統(tǒng)，實驗所需要的頻率范圍約為0.001~10赫茲；對于小時間常數(shù)系統(tǒng)，實驗所需要的頻率范圍約為0.1~1000赫茲。正弦信號必須沒有諧波或波形畸變。(2)．由Bode圖求最小相位系統(tǒng)傳遞函數(shù)為了確定傳遞函數(shù)，首先要畫出實驗得到的對數(shù)幅值曲線的漸進線。漸進線的斜率必須是±20分貝/十倍頻程的倍數(shù)。圖2.2-1表示了0型、Ⅰ型、Ⅱ型系統(tǒng)的對數(shù)幅值曲線，同時也表示了頻率與增益K之間的關系。2.2-1(3)．頻率響應法建立系統(tǒng)傳遞函數(shù)模型舉例[例]

用實驗方法測得某系統(tǒng)的開環(huán)頻率響應數(shù)據(jù)表2-1。試用表中數(shù)據(jù)建立該系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)模型G(s)。[解]a.由已知數(shù)據(jù)繪制該系統(tǒng)的開環(huán)頻率響應的Bode圖。b.±20dB/dec及其倍數(shù)的折線逼近幅頻特性，如圖中折線。得兩個轉折頻率。w

1

=

1rad

/

s

,

w

2

=

2.85rad

/

sT2211=

0.35s=

1求出相應慣性環(huán)節(jié)的時間常數(shù)為：

T

=

1

=

1swwc.由低頻段幅頻特性知道：=0，所以K=1。L(w

)w

fi

0d.由高頻段相頻特性知，相位滯后已超過-1800，且隨著ω增大，相位滯后加大，顯然該系統(tǒng)存在純滯后環(huán)節(jié)e。-tse-tsKe-ts=1G(s)

=(T1

s

+1)(T2

s

+1)

(s

+1)(0.35s

+1)e.設法確定純滯后時間τ值。查圖中而按所求得的傳遞函數(shù)，應有w

=

w

1

=

1rad

/

s時，f(w

1

)?

86

,001800=

-86pf(w

1

)=

-arctan1

-

arctan

0.35

-t1

·解得：τ1=0.37s。再查圖中w

=w

2=

2.85rad

/

s時，f(w

2

)?

-169

,001800=

-169pf(w

2

)=

-arctan

2.85

-

arctan(0.35

·

2.85)

-

2.85t2

·2解得：τ

=0.33s。2=

0.35st

=

t1

+t2f.

最終求得該系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)模型G(s)為：1e-0.35s(T1

s

+1)(T2

s

+1)

(s

+1)(0.35s

+1)G(s)

=

=Ke-ts01800=

-86pf(w

1

)=

-

arctan

T1w

1

-

arctan

T2w

1

-t1w

1

·2=

-1690f(w

2

)=

-

arctan

T1w

2

-

arctan

T2w

2

-

57.3tw3．控制系統(tǒng)建模實例獨輪自行車實物仿真問題

1．問題提出2.3-12.3-2控制理論中把此問題歸結為“一階直線倒立擺問題”（如圖2.3-3所示）。2.3-3G2．解析法建立該系統(tǒng)數(shù)學模型1）根據(jù)牛頓第二定律，在水平x軸方向滿足：d

2

d

2F

=

M x

+

m

x

(1)dt dt

2

G其中：xG

=x

+l

sinq

,xG

為擺桿質(zhì)心水平坐標。

))cosq.q2+

cosq.qx

+

ml(-

sinq.qdt=

(M

+

m)dtd

(dtd

2d

2=(M

+

m)

x

+

mld

2

d

2=(M

+

m)

x

+

ml

sinqdt

dt

2d

2

d

2F

=

M x

+

m

(x

+

l

sinq

)dt

dt

2(2.2

-

2)F

=

(M

+

m)x

-

ml

sinq.q2

+

ml

cosq.qdt=

mx

+

ml(-sinq.q2

+

cosq.q

)=

mx

+

ml

d

(cosq.q)2）擺桿重心的水平運動可描述為：d

2

d

2Fx

=

m

dt

2

xG

=

m

dt

2

(x

+

l

sinq)d

2=

mx

+

ml

sinqdt

22(3)xF

=

mx

-

ml

sinq.q

+

ml

cosq.q3）擺桿重心的垂直方向上的運動可描述為：(l

cosq

)d

2

d

2Fy

-

mg

=

m

dt

2

yG

=

m

dt

2cosq

)dt=

mg

+

ml(-cosq.q2

-

sinq.q

)=

mg

+

ml

d

(-sinq.q)d

2Fy

=

mg

+

ml

(dt

22(4)yF

=

mg

-

ml

cosq.q-

ml

sinq.q4）擺桿繞其重心的轉動方程為：Jq

=

(Fy

sinq)l

-(Fx

cosq)l

(5)2(3)xF

=

mx-

ml

sin

q.q

+

ml

cosq.q2.

(4)yF

=

mg

-

ml

cosq.q-

ml

sinq

q

Jq

=

l

sinq(mg

-

ml

cosq.q2

-

ml

sinq.q

)

-

l

cosq(mx

-

ml

sinq.q2

+

ml

cosq.q

)Jq

=

mglsinq

-ml2

sinqcosq.q2

-ml2

sin2

q.q

-mlcosq.x+ml2

sinqcosq.q2

-ml2

cos2

q.qJq

=

mgl

sinq

-

ml

2

sin

2

q.q

-

ml

cosq.x

-

ml

2

cos2

q.qJq

+

ml

cosq.x

-

ml

2

(sin

2

q

+

cos2

q).q

=

mgl

sinq(6)(J

+

ml

2

)q+

ml

cosq.x

=

mgl

sinq(2)F

=

(M

+

m)x

-

ml

sinq.q2

+

ml

cosq.q整理式（2）和式(6)(7)(J

+

ml

2

)(M

+

m)-

m2l

2

cos2

qq

=(J

+

ml

2

F

+

ml

(J

+

ml

2

sinq.q2

-

m2l

2

g

sinq

cosqx

=ml

cosq.F

+

m2l

2

sinq

cosq.q2

-(M

+

m)m

lgsinqm2l

2

cos2

q

-(M

+

m)(J

+

ml

2

)

3．模型簡化因為擺桿是均質(zhì)細桿,所以可以求其對于質(zhì)心的轉動慣量.設單位長度的質(zhì)量為rl

,取桿上一個微段dx,其質(zhì)量為m

=

rl

dx,則此桿對于質(zhì)心的轉動慣量有:Lll2x

=

r

l

3

/

3J

=

(r

dx)0lm

=

r

l3ml

2J

=①

當小車的質(zhì)量M=1kg；倒立擺的質(zhì)量m=1kg

；倒擺長度2l=0.6m；重力加速度g=10m/s2時得：(8)0.09

cos2

q

-

0.240.12F

+

0.036

sinq.q2

-

0.9

sinq

cosqx

=0.24

-

0.09

cos2

q0.3cosq.F

+

0.09

sinq

cosq.q2

-

6

sinqq

=2