極限存在準(zhǔn)則兩個(gè)重要無(wú)窮小比較

第五節(jié)極限存在準(zhǔn)則和兩個(gè)重要極限第六節(jié)利用等價(jià)無(wú)窮小求極限 則

=xfi口f 且f(x)?0,則

=￥.注意條件:極限存在,0.,0約去極限為0的公因子,0對(duì)￥型,分子分母同除以最大項(xiàng) ￥00￥,￥￥型,0￥型0￥有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小 (準(zhǔn)則1)理1(數(shù)列極限存在 yn￡xn￡ (n=1,

lim =limyn=limzn=nfi nfi

nfi￥證(2),e0,$N1,N2

Nmax{N1,N2},則當(dāng)nN時(shí),2式都成立由條件 a-e<yn￡xn￡zn<a+xnae恒成立,limxnnfi例1.證:利 準(zhǔn)則.

nn2+

+

+

+n2

n2+且2 22

=

1p=nfi￥ +

nfi￥1\limn

+

=nfi

n2+

n2+

n2+np2函數(shù)極限存在

如果(1)當(dāng)x?(x0)時(shí) g(x)￡f(x)￡h((x>X>0)(2)limg(x)=limh(x)=xfi xfi(xfi￥) (xfi￥ f(x)=xfi(xfi￥(與數(shù)列極限 準(zhǔn)則類(lèi)似可證證:0xp時(shí)20<1-cosx=2sin2x<2(x2=x22且lim0= lim

=xfi xfi \lim(1-cosx)=xfi\limcosx=lim[1-(1-cosx)]=xfi xfi3廣義單調(diào)有界數(shù)列必有極限(準(zhǔn)則2)注數(shù)列xn}xn廣義增加;xn廣義減少3單調(diào)有界數(shù)列必有極限(準(zhǔn)則2)注數(shù)列xn}xn單調(diào)增加;xn單調(diào)減少limxn=a(￡Manfia注1.廣義增加有上界的數(shù)列必有極限limxn=b(?mbnfib注2.廣義減少有下界的數(shù)列必有極限證明超剛,不做要求注3.單調(diào)增加有上界的數(shù)列必有極限.注4.單調(diào)減少有下界的數(shù)列必有極限limsinx=xfi 2證x?0p)時(shí)2Box1D 1sinx <1Box1D (0<x

)2 )2cosx<sinx1(0x

x<p 例3.

2sin2

sinx解:原式=lim

lim

x2 xfi x 2xfi t=x2

tfi sint2=1

tfi 注例4.sin解:令t=arctanx,則tsin

x=tan

=tfi0t例5.解:(自算例6.解:(自算lim(1+1)n= e?nfi n (1)數(shù)列{(1+1)n}單增nn數(shù)列{(11n}有上界nn由準(zhǔn)則2數(shù)列{(11n有極限n說(shuō)明:

lim(1+z)zfi

= (1￥1 lim(1+□)□=e(□fi例7. 中n是正整數(shù)解:例8.解:(自算引例

xfi0時(shí),3x,x2sinx都是無(wú)窮小,x sin =0, =xfi03 xfi 3 limsinx=￥xfi x定義.設(shè)a,b是自變量同一變化過(guò)程中的無(wú)窮小若limb0,則稱b是比a高階的無(wú)窮小記作bo(aaa若limbC0,則稱b是a的同階無(wú)窮小alimbC0,k0則稱b是關(guān)于a的k階無(wú)窮小ak若limb1則稱b是a的等價(jià)無(wú)窮小,記作a~b, 例1.證明: 由anbn(ab)(an-1an-2ban-3b2+bn-1=xfi ~定理1.設(shè)則

證定理2.設(shè)則

常用等價(jià)無(wú)窮小~~

~~~~~~~ln(1+x)~x ex-1~x x可理解為例2.limtanxsinx=xfi=

xsin2 原式=limtanx-sin

x-xfi

xfi0xsin2tanx~xtanx~x1-cosx~1x22=lim xfi 注等價(jià)無(wú)窮小乘除可替換 例4.

(1+x)3

-1xfi cosx-解:(自算~~例5.解:(自算ln(1+x)~x ex-1~x理1(數(shù)列極限存在 yn￡xn￡ (n=1,

lim =limyn=limzn=nfi nfi理2(函數(shù)極限存在

nfi￥(1)x?x0時(shí),gx￡fx￡h(x>X>0)(2)limg(x)=limh(x)=xfi xfi(xfi￥ (xfi￥ f(x)=xfi(xfi￥)定理3(廣義)(廣義)單調(diào)增加有上界的數(shù)列必有極限.1(2)lim(1

= (□fi

(1￥ 代表相同的表達(dá)

設(shè)ab為同一變化過(guò)程的無(wú)窮小且ab是a的高階bo(a) b是a的低階無(wú)窮小b是a的同階b是a的等價(jià)limak

C0,k0則稱b~,~

常用等價(jià)無(wú)窮小:~~~~ ~~~~~ln(1+x)~x ex-1~x x可理解為定理1.設(shè)則

定理2.設(shè)則

注: