導數(shù)在經(jīng)濟學中應用與最優(yōu)化問題

高等院校非數(shù)學類本科數(shù)學課程高等數(shù)學（一）教案制作：王志萍4.4

導數(shù)在經(jīng)濟學中的應用與最優(yōu)化問題教學目的：掌握求函數(shù)最大值和最小值的方法，會求解某些簡單的經(jīng)濟應用問題；了解邊際與彈性的概念教學重點：求最值的方法定義1設y

=f(x)是一個經(jīng)濟函數(shù),其導數(shù)f￠(x)稱為f(x)的邊際函數(shù),f￠(x0)稱為f(x)在點x0的邊際函數(shù)值．4.4.1

邊際分析對于經(jīng)濟函數(shù)f

(x),設經(jīng)濟變量x

在點x0

有一個改變量Δx,則經(jīng)濟變量y

在y0

=f(x0)處有相應的改變量Δy

=f

(x0+Δx)-f

(x0).若函數(shù)

f

(x)

在點

x0

可微,

則Δy

≈

dy

|

x

=x0=

f￠(x0)Δx.

假如Δx

=

1,

則Δy

≈

f￠(x0).這說明當

x

在

x0

點改變

“一個單位”

時,

y相應地近似改變

f￠(x0)

個單位．在實際應用中,

經(jīng)濟學家常常略去

“近似”

而直接說

y改變

f￠(x0)個單位,

這就是邊際函數(shù)值的含義．在將成本C、收益R、利潤L僅考慮成產(chǎn)量q的函數(shù)的情況下,成本函數(shù)

C(q)

的導數(shù)

C￠(q)

稱為邊際成本,

記為

MC,即MC

=

C￠(q).收益函數(shù)

R(q)

的導數(shù)

R￠(q)

稱為邊際收益,

記為

MR,即MR

=

R￠(q).利潤函數(shù)

L(q)

的導數(shù)

L￠(q)

稱為邊際利潤,

記為

ML,即ML

=

L￠(q).由于

L(q)

=

R(q)

-

C(q),

所以

L￠(q)

=

R￠(q)

-

C￠(q),即ML

=

MR

-

MC.一般地說,

如果成本

C、收益

R

和利潤

L

都是變量

x

的函數(shù),

即

C

=

C(x),

R

=

R(x),

L

=

L(x),則它們的導數(shù)C

￠(x),R

￠(x),L￠(x)依次稱為對變量x

的邊際成本、邊際收益和邊際利潤．例

1

已知某產(chǎn)品的產(chǎn)量為

q

件時總成本為(百元),解MC

=

1.5,它說明當q

從900

件改變

(增加或減少)

1

件時,

成本要改變

150元.11

200q2C(q)

=

1

500

+求q

=900

件時的邊際成本．1600q,C￠(q)

=600

2C￠(900)

=

900

=

3

=

1.5,例2

設某公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品的總成本函數(shù)C(q)和收益函數(shù)R(q)如圖3-5所示.問公司在q

=100

時是增加還是減少產(chǎn)量可以獲得更大利解

由于圖

3-5

中在

q

=

100潤？處C(q)曲線R

=R(q)的斜率比曲線C

=的斜率大,

即MR(100)

>

MC(100),故ML(100)

=

MR(100)

-

MC(100)

>

0.所以公司在q

=100

時增加產(chǎn)量可以獲得更大利潤．圖3-54.4.2

彈性分析設

y

=

f

(x)

是一個經(jīng)濟函數(shù),

x在

x0

點的改變量為Δx.相應的

y在

y0=f(x0)處的改變量為Δy=f(x0+Δx)-

f(x0),導數(shù)y￠|

x

=

x0

=

f

￠(x0)考慮的是Δy

與Δx

之比的極限．但在經(jīng)濟學中,

常常需要知道的是當

x

在

x0

改變

1

個百分數(shù)時,

y

在

y0

處要改變多少個百分數(shù),

即要求考慮0yDyDx與

x0

之比.定義2

設y

=f(x)是一個經(jīng)濟函數(shù),當經(jīng)濟變量x在點x0

改變Δx

時,經(jīng)濟變量y

相應地在y0

=f(x0)處改變Δy

=f(x0+Δx)-f(x0).如果極限lim

Dy

y0Dxfi

0

Dx

x00Ey存在,

則稱此極限值為

y

=

f

(x)

在

x0

點的彈性,

記為Ex

x=x其中比值Dy

/

y0

=

f

(x0

+

Dx)

-

f(x0

)

x0Dx

/

x0

Dx f

(x0

)稱為y

=f

(x)在點x0

與點x0

+Δx

之間的弧彈性.就存在．由此可見,

只要函數(shù)

y

=

f

(x)

在

x0

點可導,

在

x0

點的彈性

EyEx

x=x0在任意一點x

的彈性,

記為

Ey

,

它作為x

的函數(shù)稱為y

=

f

(x)Ex的彈性函數(shù)．所以=

x

lim

Dy

=

x

dy

=

x

f

￠(x).Ey

=

lim

Dy

/

y0Ex

Dxfi

0

Dx

/

x0

y

dx

yy

Dxfi

0

Dxx0從彈性的定義可知：當Dx

=1%時,y0Ex

x=x0Dy

?

Ey(%

).這說明當自變量

x在點

x0

增加

1%

時,

因變量

y

在

y0

=

f

(x0)近似地改變

Ey

確個百分數(shù),

或簡單地直接說成改變

EyEx

x=x0

Ex

x=x0個百分數(shù),

這就是“彈性”

概念的實際含義．都是相對改變量（Δx,Δy

是x

和y

的絕對改變量）,故它是一種相對變化率,

按百分數(shù)來衡量（百分數(shù)是一種相對的指標,

與變量

x和

y所用的計量單位無關）y對于由

x

的變化所產(chǎn)生的反應的靈敏度的量化指標．x由于

Dx

與

Dyy而

Ey

是這種相對改變量之比的極限,Ex例

3

設

S=S(p)是市場對某一種商品的供給函數(shù),其中

p

是商品價格,

S

是市場的供給量,

則

個百分格從

p

上升

1%

時,

市場供給量從

S(p)增加數(shù)．ES

=

P

S￠(

p)Ep

S稱為供給價格彈性.由于

S

一般隨

p

的上升而增加,

S

(p)

是單調(diào)增加Ep函數(shù),

當Δp

>

0

時ΔS

>

0,

故

ES

?

0.其意義是：當價ESEp例

4

設

D=D(p)是市場對某一商品的需求函數(shù),其中

p

是商品價格,

D

是市場需求量,

則>

0

時ΔD

<

0,

故

D￠(p)

≤

0.

因此義是：當價格從

p

上升

1%

時,

需求量從

D(p)

減少個百分數(shù)；反之,

當價格下降

1%

時,

需求量增加個百分數(shù).ED

=

p

D￠(

p),Ep

D稱為需求價格彈性,

可簡單地記為

Ep.由于需求函數(shù)

D(p)

一般是

p

的單調(diào)減少函數(shù),

當Δp一E般D

為負數(shù).其意EpEDEpEDEp如果

R

=

R(p)

是收益函數(shù),

則

R

=

pD(p).

所以Ep

ED

R￠(

p)

=

D(

p)

+

pD￠(

p)

=

D(

p)

+

D(

p)

ED

=

D(

p)

1

+

.Ep

Ep百分數(shù)（就絕對值而言,

下同）,

故稱為高彈性,

此時

R￠(p)

<

0,從而隨著價格上升收益會減少;可見,

當

ED

<

-1

時,

商品需求量變動的百分數(shù)高于價格變動的Ep故稱為低彈性,

此時

R￠(p)>0,

從而隨著價格上升收益會增加;當

ED

>

-1

時,

商品需求量變動的百分數(shù)低于價格變動的百分數(shù),Ep故稱為單位彈性,

此時

R￠(p)

=

0,

收益相對于價格處于臨界狀態(tài).當

ED

=

-1

時,

商品需求量變動的百分數(shù)等于價格變動的百分數(shù),例5

隨著人們收入的增加,對某種商品的需求量也將發(fā)生變化.設人均收入為M,對該種商品的需求量為Q,則Q

=Q(M)為單調(diào)增加函數(shù),其彈性EQ

=

M

Q￠(M

),EM

Q稱為需求收入彈性．(p:

百2)3例

6

設某商品的市場需求函數(shù)為

D

=

15

-

p元,

D:

臺),

求1)

需求價格彈性函數(shù)ED

;Ep并說明其實際意義;,EDEpp=93解

1)

D￠(

p)

=

-

1

,

于是.ppED

=

p

D￠(

p)

=

-

1=

-Ep

D

3

15

-

p

345

-

p百元,

D:

臺),

求2)解

2)所以當價格

p

從

9

(百元/臺)

上漲

1%

時,

該商品的需求量在

D

(9)

=

12

臺的基礎上下降

0.25% (或價格下所以當價格上漲時收益能夠增加．3例

6

設某商品的市場需求函數(shù)為

D

=

15

-

p

(

p:ED1)

需求價格彈性函數(shù)

;Ep并說明其實際意義;,EDEpp=99EDp=9=

-

=

-=

-

0.25.1Ep

45

-

9

4ED降

1%

時需求量增加0.25%).

由于Epp=9>

-1,(p:

百例

6

設某商品的市場需求函數(shù)為元,

D:

臺),

求3)

時的價格,

并說明這時的收益情況．解則故當時,(百元)為最大收益．3D

=

15

-

pEpED

=

-1Ep3)

若ED

=-1,p45

-

p2=1,于是p

=45

=22.5這時

R￠(p)

=

0.

由于R(

p)

=

pD(

p)

=45p

=24R(

p)=

=3

2

213

3p215

p

-

=(45

p

-

p

)1

45

245

2

=

3

2-

p

-

2

,

1

45

2

6754.4.3

增長率定義

3

設

y

=

f

(x)

是一個可微的經(jīng)濟函數(shù),

如果極限=

f

(x

+

Dx)

-

f

(x)

f

'(x)f

(x)

Dx f

(x)rf

=

limDxfi

0存在,

則稱此極限值為

y

=

f

(x)

在

x0

點的增長率。p108在工程技術(shù)和生產(chǎn)實踐中,

常常需要考慮在一定條件下,

怎樣才能使用料最少、費用最省,

而效率和效益最高等問題.

這些問題反映到數(shù)學上就是最優(yōu)化問題.優(yōu)化技術(shù)應用價值很大函數(shù)的最大、最小值怎樣求函數(shù)在一個區(qū)間上的最大、最小值呢？回憶以前學過的知識：若

f

(

x)

?

C([a,

b]

)

,

則

f

(

x)

必在[a,

b]

上取到它的最大值和最小值.如果

f

(

x)

在(a,

b)內(nèi)取得其最大值和最小值,則這些最值一定是函數(shù)的極值.f

(x)的最大值和最小值可能在區(qū)間的端點x

=

a

,

x

=

b

處取得,

也可能在區(qū)間內(nèi)部取得.溫故而知新求一個連續(xù)函數(shù)在[a,b]上的最大值和最小值,只要先求出函數(shù)f

(x)在(a,b)內(nèi)的一切極值可疑點(駐點和一階導數(shù)不存在的點),然后比較極值可疑點的函數(shù)值及區(qū)間端點函數(shù)值,其中最大者就是函數(shù)f

(x)在區(qū)間區(qū)間[a,

b]

上的最小值.[a,

b]上的最大值,最小者就是函數(shù)f

(x)在求最值的幾個特殊情況(1)

若

f

(

x)

?[a,

b]

,

則

f

(b)

為最大值,f

(a)為最小值.(2)

若f

(x)fl[a,b],則f

(a)為最大值,f(b)為最小值.(3)

若

f

(

x)

?

C([a,

b]

)

,在(a,

b)內(nèi)只有唯一點一個極大(小)值點

,

則該點就是函數(shù)的最大(小)值點

.實際判斷原則在處理實際問題時：若f

(x)?

C(I)，且在區(qū)間

I

上只有唯一的一個極值可疑點x0

,而由實際問題可以斷定函數(shù)

f(

x)在區(qū)間

I

上存在最大(小)值，則點x0

必為函數(shù)

f

(

x)

的最大(小)值點.求

f

(

x)

=

x4

-

2x2

+

5

在[-2, 2]

上的最大和最小值.f

(x)

=

4x3

-

4x

=

4

x

(x

+1)(x

-1)令

f

(

x)

=

0,

得極值可疑點:x

=-1,

x

=0,

x

=1,

(駐點)計算函數(shù)值:f

(-1)

=

4

,

f

(0)

=

5

,

f

(1)

=

4

;f

(-2)

=13

,

f

(2)

=13

,(端點值)例8解故

f

(

x)

在[-2, 2]

上的最大值和最小值為:ymax

=

max{4,

5,

4,13,13

}

=13=

min{4,

5,

4,

13,

13

}

=

4yminx

=

-2

,

x

=

2

.x

=

-1

,

x

=1.最大值點為:最小值點為:沒有什么新的東西用薄鐵片沖制圓柱形無蓋容器,要求它的容積一定,問應如何選擇它的半徑和高度才能使用料最省?設容積(體積)為V

,半徑為r

,高為h

.用料最省即指容器的表面積A

最小.V

=

p

r

2

hp

r

2h

=

Vr故

A

=

p

r

2

+

2p

r

h

=

p

r

2

+

2V令

d

A

=

2p

r

-

2V

=

0

,

得d

r

r

2Vr

=

3

,p應用題例8解是A

的唯一極值可疑點,Vp因為r

=3又

A

的最小值一定存在

,所以,

r

=

3

V

為A

的最小點,p故當要求的容器的容積為A

時,選擇半徑V

,pr

=

3可使用料最省.Vp高h

=3=

6p

>

0

.Vpr

=3Vpr

=3=

(2p

+

r3

)4Vd

2

Ad

r

2事實上如果不放心,可用二階導數(shù)進行判斷.某出版社出版一種書,

印刷x

冊所需成本為y

=25000

+5x

(元)每冊售價p

與x

間有經(jīng)驗公式1000

30x=

6

(1-

p

)假設書可全部售出,

問應將價格

p定為多少才能使出版社獲利最大？練習以Q

表示獲利,則Q

=

p

x

-

y200x由經(jīng)驗公式,得p

=

30

-于是200Q

=

(30

-

x

)

x

-

(25000

+

5x)200

200-

5

=

0x令

Q￠=

(30

-

x

)

-得唯一極值可疑點x

=2500

(冊),解100又

Q￠=

-

1

,故x

=2500

為極大點,即為Q

的最大點.從而應將價格p

定為200200=30

-2500

=17.5 (元)x=2500x

)p

=

(30

-此時最大獲利為maxx=2500Q

=

[(30

-

x

)

x

-(25000

+

5x)]200=6250(元)將一根直徑為d的圓木鋸成截面為矩形的梁.問應如何選擇矩形截面的高h

和寬b才能使梁的抗彎截面模量W

最大？hdb由力學知識,梁的抗彎截面模量為W

=

1

bh26由右圖可以看出：例10解h2

=

d

2

-

b2

(

0

<

b,

h

<

d

)

.問題歸結(jié)為求函數(shù)W

的最大值：6W

=

1

b

(d

2

-

b2

)

.6

3令

W

￠=

1

(d

2

-

3b2

)

=

0

,

得駐點

b

=

1

d

.由于梁的最大抗彎截面模量一定存在,

故當3b

=32

d

時,1

d

,

h

=

梁的抗彎截面模量最大.此時,

d

:

h

:

b

=

3

:

2

:1.唯一的一個證明：當0

￡

x

￡1,

p

>1時,1pp+

(1-

x)

￡1.2

p-1

￡

x記

f

(

x)

=

x

p

+

(1-

x)

p

,

x

?

[0,

1]

,令

f

(

x)

=

px

p-1

-

p(1-

x)

p-1

=

0

,2得駐點x

=1

,例11證例10x(0,

1/2)1/

2(1/

2

,

1)y-0+y極小fmax

=

max{

f

(0)

,

f

(1)

,

f

(1/

2)}=

max{1,

1

,

1

}

=1,2

p-1fmin

=

min{

f(0)

,

f

(1)

,

f

(1/

2)}1=

min{1,

1

,

1

}

=(

p

>1

),2

p-12

p

-1故當

0

￡

x

￡1,

p

>1

時,

fmin

￡

f

(

x)

￡

fmax

,12

p-1￡

x

p

+

(1-

x)

p

￡1.即與端點值比較利用導數(shù)的性質(zhì)證明不等式是一種常用的技巧,

它包含以下幾個部分:利用微分中值定理利用泰勒公式(二階以上的)利用函數(shù)的單調(diào)性利用函數(shù)的極值和最值實際判斷原則在處理實際問題時：若f

(x)?

C(I)，且在區(qū)間I

上只有唯一的一個極值可疑點x0

,而由實際問題可以斷定函數(shù)f

(x)在區(qū)間I

上存在最大(小)值，則點x0

必為函數(shù)f

(x)的最大(小)值點.練習1在半軸為a,b(a>0,b>0)的橢圓中，求面積最大的矩形。x2

y2a2

+

b2

=1x2a2S

=4xy

=4bx

1-, (x

>0,

y

>0)x2a2S2

=16b2x2

(1-), (x

>0,

y

>0)1

平均成本最小(等于其相應的邊際成本)某工廠生產(chǎn)產(chǎn)量為（件）時，生產(chǎn)成本函數(shù)為

C(x)=9000+40x+0.001x2求該廠生產(chǎn)多少件產(chǎn)品時，平均成本達到最??？并求其最小平均成本和相應的邊際成本。三、經(jīng)濟學中的優(yōu)化問題解：C

(x)

=C(x)/x=9000/x+40+0.001x9000x2C'

=-+0.001令C'=0,得駐點x=3000x3∵C"=1800>0，且駐點唯一，極小值即為最小值。C

'(3000)

=

40

+

0.002

·3000

=

46C

(3000)

=

46,C(x)=9000+40x+0.001x2

10解設房租為每月x元租出的房子有

50

-

x

-

180

套每月總利潤為

10R(

x)

=

(

x

-

20)

50

-

x

-

180

2

最大利潤某房地產(chǎn)公司有50套公寓要出租，當租金定為每月180元時，公寓會全部租出去．當租金每月增加10元時，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花費20元的整修維護費．試問房租定為多少可獲得最大利潤？R

(x)

=

70

-

0.2xR(x)=0

x

=350

（唯一駐點）故每月每套租金為350元時收入最高。最大利潤為10890元3

最佳存款利息某家銀行準備新設某種定期存款業(yè)務。假設存款量M

與利率x成正比，經(jīng)預測貸款投資的收益率為16%，那么存款利息定為多少時，才能收到最大的貸款純收益？解：依題意，M=kx（k是正常數(shù)）若貸款總額為M，則銀行的貸款純收益R

(x)=0.16

kx-kx2,得駐點x=0.08令R'(x)=0.16k

-2kx

=0R"(x)

=

-2k

<

0且