第12講 復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)問題

太和亮劍教育高考專項(xiàng)突破精準(zhǔn)輔導(dǎo)案微信公眾號(hào)：太和亮劍教育高考專項(xiàng)突破精準(zhǔn)輔導(dǎo)案微信公眾號(hào)：thljjy0209第12練復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)問題一、基礎(chǔ)知識(shí)：1、復(fù)合函數(shù)定義：設(shè)y，f(t),t，g(x),且函數(shù)g(x)的值域?yàn)閒(t)定義域的子集，那么y通過t的聯(lián)系而得到自變量X的函數(shù)，稱y是x的復(fù)合函數(shù)，記為y，f…g(x)?2、復(fù)合函數(shù)函數(shù)值計(jì)算的步驟：求y，g…f(x)?函數(shù)值遵循“由內(nèi)到外”的順序，一層層求出函數(shù)值。例如：已知f(x)=2x,g(x)，x2-x，計(jì)算g…f(2)]解:f(2)，22，4???g…f(2)]，g(4)，123、已知函數(shù)值求自變量的步驟：若已知函數(shù)值求x的解，貝y遵循“由外到內(nèi)”的順序，一層層拆解直到求出x的值。例如：已知f(x)=2x，g(x)=x2-2x，若g[f(x)?=0，求x解:令t，f(x)，則g(t)=0nt2—2t，0解得t，0,t，2當(dāng)t，0nf(x)=0n2x，0，則xe<當(dāng)t，2nf(x)，2n2x，2，則x，1綜上所述：x,1由上例可得，要想求出g[f(x)?=0的根，則需要先將f(x)視為整體，先求出f(x)的值，再求對(duì)應(yīng)x的解，這種思路也用來解決復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)問題，先回顧零點(diǎn)的定義：4、函數(shù)的零點(diǎn)：設(shè)f(x)的定義域?yàn)镈，若存在xeD，使得f(x)=0，則稱x，x為000f(x)的一個(gè)零點(diǎn)5、復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)問題的特點(diǎn)：考慮關(guān)于x的方程g…f(x)]，0根的個(gè)數(shù)，在解此類問題時(shí),要分為兩層來分析，第一層是解關(guān)于f(x)的方程，觀察有幾個(gè)f(x)的值使得等式成立；第二層是結(jié)合著第一層f(x)的值求出每一個(gè)f(x)被幾個(gè)x對(duì)應(yīng)，將x的個(gè)數(shù)匯總后即為g…f(x)]=0的根的個(gè)數(shù)6、求解復(fù)合函數(shù)y，g…f(x)?零點(diǎn)問題的技巧：

(1)此類問題與函數(shù)圖象結(jié)合較為緊密，在處理問題的開始要作出f(x),g(x)的圖像(2)若已知零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的范圍，則先估計(jì)關(guān)于f(x)的方程g[f(x)?，0中f(x)解的個(gè)數(shù)，再根據(jù)個(gè)數(shù)與f(x)的圖像特點(diǎn)，分配每個(gè)函數(shù)值f(x)被幾個(gè)x所對(duì)應(yīng)，從而確i定f(x)的取值范圍，進(jìn)而決定參數(shù)的范圍i復(fù)合函數(shù)：、典型例題例1:設(shè)定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)，<廠，若關(guān)于x的方程1,x，1f2(x)+bf(x)+c，0由3個(gè)不同的解x,x,x123思路：先作出f(x)的圖像如圖：觀察可發(fā)現(xiàn)對(duì)于任意的y，滿足y，f(x)的x的個(gè)數(shù)00分別為2個(gè)(y>0,y豐1)和3個(gè)(y，1)，已知有3個(gè)解，從而可得f(x)=1必為000f2(x)+bf(x)+c，0的根，而另一根為1或者是負(fù)數(shù)。所以f(x)=1，可解得:iD.8D.8思路：可將Ix2—11視為一個(gè)整體，即t(x)=lx2—11，則方程變?yōu)?2—3t+2，0可解得：t，1或t，2，則只需作出t(x)=x2—1的圖像，然后統(tǒng)計(jì)與t，1與t，2的交點(diǎn)總數(shù)即可,共有5個(gè)答案：C例例3：11已知函數(shù)f(x)，lx+I—Ix—Ixx關(guān)于x的方程f2(x)+af(x)+b，0(a,b€R)恰有6個(gè)不同實(shí)數(shù)解，則a的取值范圍是f(x?+b，0，故考慮作出思路：所解方程f2(x)+af(x)+f(x?+b，0，故考慮作出f(x?的圖像：f(x)=f(x?，2,0vf(x?v212解得<4vav<2答案：<4vav<2i2如圖，由圖像可知，例4：已知定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)，<2〔x一丿一1,0<x<21()，則關(guān)于x的方—f(x一2),x>212丿程6[f(x)]2<f(x?<1，0的實(shí)數(shù)根個(gè)數(shù)為()A.6B.7C.8D.9思路：已知方程6[f(x)]2-f(x)—1=0可解，得f(x)=i,f(x)，<y，y，—1與y，f(x)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可。由奇函數(shù)可先做出x>0的圖像，x>2時(shí)，f(x)=2f(x一2)，則x€(2,4‘的圖像只需將x€(0,2‘的圖像縱坐標(biāo)縮為一半即可。正半軸圖像完成后可再利用奇函數(shù)的性質(zhì)作出負(fù)半軸圖像。通過數(shù)形結(jié)合可得共有7個(gè)交點(diǎn)答案：B—丄L-亠丄巧J-1*i1，只需統(tǒng)計(jì)小煉有話說：在作圖的過程中，注意確定分段函數(shù)的邊界點(diǎn)屬于哪一段區(qū)間。例5:若函數(shù)f(x)，x3+ax2+bx+c有極值點(diǎn)x,x，且1211(f(x)》,2af(x)+b二0的不同實(shí)根的個(gè)數(shù)是A.3B.4C.5D.6思路：f'(x)=3x2+2ax+b由極值點(diǎn)可得：x,x為3x2+2ax+b=0①的兩根，觀察12到方程①與3(f(x)》，2af(x)+b=0結(jié)構(gòu)完全相同，所以可得3(f(x)》,2af(x)+b=0的兩根為f(x)=x,f(x)=x，其中f(x)=x，若x?x,112211112可判斷出x是極大值點(diǎn)，x是極小值點(diǎn)。且12f(x)=x…x=f(x)，所以y=f(x)與f(x)有兩22111個(gè)交點(diǎn)，而f(x)與f(x)有一個(gè)交點(diǎn)，共計(jì)3個(gè)；若2x…x，可判斷出x是極小值點(diǎn)，x是極大值點(diǎn)。且1212f(x)=x?x=f(x)，所以y=f(x)與f(x)有兩個(gè)交點(diǎn)，而f(x)與f(x)有一個(gè)221112交點(diǎn)，共計(jì)3個(gè)。綜上所述，共有3個(gè)交點(diǎn)答案：A例6：已知函數(shù)f(x)=|x2-4x+，若方程[f(x)]2+bf(x)+c=0恰有七個(gè)不相同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是()A.(-2,0)B.(-2,-1)C.(0,1)D.(0,2)思路：考慮通過圖像變換作出f(x)的圖像(如圖)，因?yàn)閇f(x)]2+bf(x)+c=0最多只能解出2個(gè)f(x)，若要出七個(gè)根，則f(x)=1,f(x)<(0,1)，所以12-b=f(x),f(x)<(1,2)，解得:b<(-2,-1)12答案：B例7：已知函數(shù)f若關(guān)于x的方程f2(x)-mf(x),m-1=0恰有4個(gè)不相等ex的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()

A.,丄￡U(2,e)B.,1C.'1,1+-'D.,1)—,e(e丿(e丿(e丿(e丿X小一,X>0思路：f(x)=<!ee,分析/(x)的圖像以便于作圖，xc—,X<0、exx>0時(shí)，f'(x)=(1一x)e-x,從而f(x)在(0,1)單調(diào)遞增，在(1,+‘)單調(diào)遞減，f(1)=—,且當(dāng)x'+‘,y'0，所以xe正半軸為水平漸近線；當(dāng)x<0時(shí)，f'(x)=(x-1)e-x，所以方程f2(x)—mf(x)+m—1=0中，f0,1],f(x)“,方程f2(x)—mf(x)+m—1=0中，f0,1],f(x)“,1)—,+‘ke丿2ke丿fi(x)“為根分布問題，設(shè)t=f(x)則12—mt+m—1=0的兩才根tr1),1)“0,—,t“—,+‘ke丿2ke丿從而將問題轉(zhuǎn)化設(shè)g(0)>0m—1>0k1,1+丄[12—mt+m—1，則有<,1)?V111八，解得m“g—<0一—m?_+m—1=0ke丿ke丿、e2e1(t)=答案：C小煉有話說：本題是作圖與根分布綜合的題目，其中作圖是通過分析函數(shù)的單調(diào)性和關(guān)鍵點(diǎn)來進(jìn)行作圖，在作圖的過程中還要注意漸近線的細(xì)節(jié)，從而保證圖像的準(zhǔn)確。fax+1,x—0例8：已知函數(shù)f(x丿={則下列關(guān)于函數(shù)y=f(f(x))+1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷Ilogx,x”0I2正確的是()當(dāng)a”0時(shí)，有4個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)a<0時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)當(dāng)a”0時(shí)，有3個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)a<0時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)無論a為何值，均有2個(gè)零點(diǎn)無論a為何值，均有4個(gè)零點(diǎn)思路：所求函數(shù)的零點(diǎn)，即方程f[f(x)]=—1的解的個(gè)數(shù)，先作出f(x)的圖像，直線

y€ax+1為過定點(diǎn)(0,1)的一條直線，但需要對(duì)a的符號(hào)進(jìn)行分類討論。當(dāng)a?0時(shí)，圖像如圖所示，先拆外層可得f(x)=—-<0,f(x)€1，而f(x)有兩個(gè)對(duì)應(yīng)的x，也1a2212有兩個(gè)對(duì)應(yīng)的x，共計(jì)4個(gè)；當(dāng)a<0時(shí)，f(x)的圖像如圖所示，先拆外層可得f(x)=2，且f(x)且f(x)=12只有一個(gè)滿足的x所以共一個(gè)零點(diǎn)。結(jié)合選項(xiàng)，可判斷出A正確1廣11廣1n左?；廣/PJ=a中,g”f(x)?-a=0(a為正實(shí)數(shù))的實(shí)數(shù)根最多有個(gè)思路：先通過分析f(x),g(x)的性質(zhì)以便于作圖，f'(x)=3x2-6x=3x(x-2)，從而f,x)在(-—,0),(2,+—)單增，在(0,2)單減，且f(0)=1,f(2)=—3，g(x)為分段函數(shù)，作出每段圖像即可，如圖所示，若要實(shí)數(shù)根最多，則要優(yōu)先選取f(x)能對(duì)應(yīng)x較多的情況，由f(x)圖像可得，當(dāng)f(x)—,-3,1)時(shí)，每個(gè)f(x)可對(duì)應(yīng)3個(gè)x。只需判斷g'f(x)f(x)能在(-3,1)取得的值的個(gè)數(shù)即可，觀察g(x)圖像可得，當(dāng)a—1,二時(shí)，可以有2個(gè)f(x)—(―3,1)，從

而能夠找到6個(gè)根，即最多的根的個(gè)數(shù)答案：6個(gè)例io：已知函數(shù)y，f(x)和y，g(x)在[-2,2?的圖像如下，給出下列四個(gè)命題:方程f[g(x)]，0有且只有6個(gè)根方程g[f(x)]，0有且只有3個(gè)根方程f[f(x)]=0有且只有5個(gè)根方程g[g(x)]=0有且只有4個(gè)根>J'則正確命題的個(gè)數(shù)是()A.則正確命題的個(gè)數(shù)是()A.1B.2思路：每個(gè)方程都可通過圖像先拆掉第一層，找到內(nèi)層函數(shù)能取得的值，從而統(tǒng)計(jì)出x的總數(shù)。(1)中可得g(x)e(-2,-1),g(x)=0,g(x)w(1,2)，進(jìn)而g有2個(gè)對(duì)應(yīng)的x，1231g(x)有3個(gè)，g有2個(gè)，總計(jì)7個(gè)，(1)錯(cuò)誤；23⑵中可