行列式按行列展開(kāi)

1.6行列式按行（列）展開(kāi)返回學(xué)習(xí)目的：降階法計(jì)算高階行列式例如可見(jiàn)一個(gè)三階行列式可以轉(zhuǎn)化成三個(gè)二階行列式的計(jì)算。一般，將高階行列式轉(zhuǎn)化為低階行列式后，計(jì)算會(huì)更簡(jiǎn)便。問(wèn)題：一個(gè)n階行列式是否可以轉(zhuǎn)化為若干個(gè)n－1階行列式來(lái)計(jì)算？定義1：在n階行列式中，把元素所在的第i行和第j列劃去后，余下的n－1階行列式叫做元素的余子式。記為稱(chēng)為元素的代數(shù)余子式。例如：例1解:求出行列式行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即定理1：證明：（先特殊，再一般）分三種情況討論，我們只對(duì)行來(lái)證明此定理。(1)假定行列式D的第一行除外都是0。由行列式定義，D中僅含下面形式的項(xiàng)其中恰是的一般項(xiàng)。所以，(2)設(shè)D的第i行除了外都是0。把D轉(zhuǎn)化為(1)的情形把D的第行依次與第行，第行，······，第2行，第1行交換；再將第列依次與第列，第列，······，第2列，第1列交換，這樣共經(jīng)過(guò)次交換行與交換列的步驟。由性質(zhì)2，行列式互換兩行（列）行列式變號(hào)，得，(3)一般情形證畢。例如，行列式按第一行展開(kāi)，得利用行列式按行按列展開(kāi)定理，并結(jié)合行列式性質(zhì)，可簡(jiǎn)化行列式計(jì)算：計(jì)算行列式時(shí)，可先用行列式的性質(zhì)將某一行（列）化為僅含1個(gè)非零元素，再按此行（列）展開(kāi),變?yōu)榈鸵浑A的行列式，如此繼續(xù)下去，直到化為三階或二階行列式。計(jì)算高階行列式的方法例1:計(jì)算行列式練習(xí)：用降階法（按行按列展開(kāi)）計(jì)算行列式的值。=57利用性質(zhì)及展開(kāi)定理計(jì)算行列式的例題：例1：按第二列展開(kāi)按第二行展開(kāi)例2：行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即推論：證明：由定理1，行列式等于某一行的元素分別與它們代數(shù)余子式的乘積之和。在中，如果令第i行的元素等于另外一行，譬如第k行的元素則，第i行右端的行列式含有兩個(gè)相同的行，值為0。綜上，得公式在計(jì)算數(shù)字行列式時(shí)，直接應(yīng)用行列式展開(kāi)公式，并不一定簡(jiǎn)化計(jì)算，因?yàn)榘岩粋€(gè)n階行列式換成n個(gè)（n－1）階行列式的計(jì)算并不減少計(jì)算量，只是在行列式中某一行或某一列含有較多的零時(shí)，應(yīng)用展開(kāi)定理才有意義。但展開(kāi)定理在理論上是重要的。例2:證明范德蒙德(Vandermonde)行列式證明：用數(shù)學(xué)歸納法(1)當(dāng)n=2時(shí)