機(jī)械振動(dòng)電子課件清華第九章9

=

f

x,t+

c

+

EJ?t

2

?t

?x

4?y

2

(x,t

)

?y(x,t

)

?y

4

(x,t

)rA(

)

(0

<

x

<

L)(9.5-1)(

)

(

)0假設(shè)模態(tài)函數(shù)關(guān)于阻尼也存在類似的正交性Lrsr

r

rscYx

Y

x

dx

=

2z

w

d

(i,

j

=1,

2,)(9.5-2)9.5

連續(xù)系統(tǒng)的隨機(jī)響應(yīng)有線性外阻尼作用的均質(zhì)等截面梁的動(dòng)力學(xué)方程，可以在方程(6.4-7)中增加與?y

?成t

比例的阻尼項(xiàng)，設(shè)c為粘阻系數(shù)，有式中Qr(t)是廣義隨機(jī)力。應(yīng)用模態(tài)分析法，將解y(x,t)寫成模態(tài)函數(shù)的線性組合，引入變換(9.5-3)￥r

=1將變換(9.5-3)代入方程(9.5-1)，得到廣義坐標(biāo)qr(t)(r=1,2,…)的相互無關(guān)的常微分方程組y(x,t

)=

Yr

(x)qr

(t

)2r

=1,2,(9.5-4)=

Q t

)rr

rr

r

rr+w

q t

)q

t

)+

2V

w

q

t

)(9.5-5)0dx

(r

=1,2,x,

t

)Y

(x)f

(Q

(t

)=Lrr根據(jù)相關(guān)函數(shù)與譜密度函數(shù)以及脈沖響應(yīng)函數(shù)以h(t)與復(fù)頻響應(yīng)函數(shù)H(w)之間的傅里葉變換對(duì)關(guān)系式(9.4-40)和(3.11-6)，導(dǎo)出Q

QR

t之w間、r

s

r

sQ

QS(

)(

)r

sqr

qsr

r

s

sQr

Qss

rSRQ

Qr

sh

(l

)h

(l

)w

edw

dl

dl￥

￥￥iw

t+l-l-￥ -￥-￥2p￥￥-￥-￥R

(t)=

1(t

+

lr

-

ls

)hs

(ls

)dls

dlr

=

hr

(lr

)(9.5-7)(

)r

sqr

qsr

r

r

r

rr

rQ

Qh

l￥￥-￥-￥￥￥-￥-￥R

(t)=

E

Q

(t

-

l

)h

(l

)dlQ

(t

+t

-

l

)h

(l

)dl

s

s

s

s s

=R

(t

+

lr

-

ls

)hs

(ls

)dls

dlr(9.5-6)利用卷積積分寫出方程(9.5-4)的解，并計(jì)算平穩(wěn)響應(yīng)過程qr(t)與qs(t)之間的互相關(guān)函數(shù)，得到(

)

(

)(

)

(

)*1r

1

s

2rsQr

QsY

xY

xHiwt(t)w

H

w

S(w

)e

dw2p￥

￥r

=1

s=1￥

￥￥-￥r

=1

s=1利用式(9.5-3)和(9.5-7)計(jì)算梁上不同位置x1和x2處的平穩(wěn)響應(yīng)過程y(x1,t)與y(x2,t)之間的互相關(guān)函數(shù)，得到Ry

(x1

,

x2

,t

=

E

y

(x1

,

t y

(x2

,

t

+t

==

Yr

(x1

)Ys

(x2

)Rqr

qs(9.5-9)*

wqr

qs

r

s

Qr

Qsw

SS

(w

)=

H

(

)H

(

)

(w

)(9.5-8)再根據(jù)相關(guān)函數(shù)與譜密度函數(shù)間的傅里葉變換對(duì)關(guān)系，導(dǎo)出r

sQ

QR

tr

sQ

QS

w

之設(shè)則有x1為,x2載,w荷)f(x1,t)與f(x2,t)之間的互譜密度，S

f(

)(

)

(

)

(

)(

)

(

)(

)1

2

1

20

01

21

20

0L

Lr

1

s

2

fL

Lr

1

s

2fRQ

Qr

sYx

Y

x

RY

x

Y

xSiwtx

,

x

,t

dx

dxx

,

x

,t

edw

dx

dx2p￥-￥t

==

1

(9.5-11)從而導(dǎo)出(9.5-12)1

20

0x

x

S x

,

x

dx

dxL

Lr

1

s

2

f

1

2Q

Qr

s

Y

(

)Y

(

)

(

,t)S

(t)=令上式中x1=x2，即得到響應(yīng)的自相關(guān)函數(shù)。再令t

=0，得到響應(yīng)的均方值。由上式還可得到y(tǒng)(x1,t)與y(x2,t)之間的互譜密度為(w

)

(9.5-10)*

wx

Y

x

H

H

w

SY

(

)

(

)

(

)

(

)￥

￥S

(x

,

x

,w

)=r

=1

s

=1

r

1

s

2

r

s

Qr

Qsy

1

2圖9.5-1例9.5-1如圖9.5-1所示，一均質(zhì)等截面簡支梁，長度為L，單位體積質(zhì)量為r，等截面橫截面積為A，抗彎剛度為EJ，粘阻系數(shù)為c，梁上作用一集中力F(t)，是均值為零的平穩(wěn)正態(tài)白噪聲過程，自譜S0為已知。求梁上力作用點(diǎn)P處的撓度

y(xP,t)的功率譜密度和均方值。(

)(

)

(

)

(

)

(

)

(

)(

)

()

(

)00r

sLrr

P

r

Pr

P

s

PQ

Qr

1

s

2

0YRQQr

sSxY

x

SS

eiwtdw2p￥-￥Q

t

=

-x

F

t

d

x

-

x

dx

=

-Y

x

F

t(t)=

E

Qr

(t

)Qs

(t

+t)

=

Yr

(xP

)Ys

(xP

)RF

(t)=

1

Y

(x

)Y

(x

)w

=

Y解：將集中力視為分布在

x

=

x附P

近很小一段梁上的分布力，即f

(x,t

)=

-F

(t

)d(x

-

xP

)則有*r

s

Qr

Qsy

PSY

(x

)Y

(x

)H

(w

)H

(w

)

(w

)

r

P

s

P￥

￥S

(x

,w

)=r

=1

s

=1利用式(9.5-10)計(jì)算P點(diǎn)處的撓度y(xP,t)的功率譜密度，得到則系統(tǒng)的復(fù)頻響應(yīng)函數(shù)為1rH

(w

)=w

2

-w

2

+

2iz

w

wr

r

r=

r

A

rp

4EJ

-

r

Aw

2

+icw

L

(r

=

1,

2,)xP，,w

)得到代入功率譜密度S

y￥

￥

424r

=1

s=1y

P

L

EJA

L

EJL

LL2-

rAw

2

-

icw

sp-

r

w

-

icwrp4S0

sin

2

rpxP

sin

2

spxPS

(x

,w

)=簡支梁的固有頻率和正則化模態(tài)在例6.6-1中給出

(r

=

1,2,)EJ

2=

L

rpxsinrAL

L, Yr

(x)=rA

rp

2w

r(

)

(

)*

(

)

(

)12

2r

P

s

P

0r

sYx

Y

x

SHw

H

w

dw2p￥

￥￥-￥r

=1

s=1=P點(diǎn)處撓度的均方值可令式(9.5-9)中x1

=x2

和=xtP=0，導(dǎo)出Ry

(xP

,0

=

E

y

(xP

,

t

2(

)242rr

r(

)

L

H

p

p

r

A2z

w

3

cEJ￥-￥

w

dw

==

rp

1

242￥-￥￥=2prr

=1P

0rPH

(w

)

dw(x

)SYE[y

(x

,t

)]通常阻尼比xr較小，若w

s與ws離開較遠(yuǎn)，可略去積分中的交叉乘積項(xiàng)，近似寫成積分可利用前面所述的積分公式，可得dw2￥-￥rH

(w

)代入Ry

(xP

,0

=

E[得y

(到x

,

t

]2P(

)21P2L2

SE

yx

,

tr4sin4

P

Lrpx

0

p

4cEJ￥r

=1=

由于偶數(shù)階模態(tài)相對(duì)梁中點(diǎn)為反對(duì)稱，中點(diǎn)成為偶數(shù)階模態(tài)的節(jié)點(diǎn)，因此只有奇數(shù)階模態(tài)對(duì)響應(yīng)的均方值作出貢獻(xiàn)。由上式還可看出高階模態(tài)對(duì)撓度均方值的影響迅速減小。￥

L

,t

=

0

12L2

S

2E

y

2

p

4

cEJ

r

1,3,5,

r

4=當(dāng)xP

=L時(shí)2，得到梁中點(diǎn)撓度的均方值為嚴(yán)格地說，工程中的許多實(shí)際問題都是非線性的，又都是隨機(jī)的，所以很有必要來研究非線性隨機(jī)振動(dòng)問題。在土木、機(jī)械、交通運(yùn)輸、航空航天、生物、海洋、核工程等領(lǐng)域內(nèi)，對(duì)非線性隨機(jī)振動(dòng)問題已經(jīng)作了大量的研究，迄今已經(jīng)發(fā)展了許多精確的或近似的分析方法，主要是FPK方程法、等效線性化法和攝動(dòng)法。此外，還有隨機(jī)平均法、等效非線性系統(tǒng)法、矩函數(shù)微分方程法及各種截?cái)喾桨浮M靜態(tài)法、泛函級(jí)數(shù)展開法及數(shù)值模擬

(或MonteCarlo)法等。9.6

非線性系統(tǒng)的隨機(jī)響應(yīng)單自由度非線性系統(tǒng)在隨機(jī)激勵(lì)下，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程可表示為my

+

cy

+

ky

+

eg

(

y,

y)

=

F

(t)(9.6-1)式中g(shù)(y,y

)為y和y

的非線性函數(shù)，通常是關(guān)于y和y

的多項(xiàng)式，e是一個(gè)正的小參數(shù)，F(xiàn)(t)是零均值的平穩(wěn)隨機(jī)過程。設(shè)等效系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程可以表示為my

+(c

+

ceq

)

y

+(k

+

keq

)

y

=

F

(t)(9.6-2)式中ceq和keq分別為與g(y,

y

)等效的線性阻尼及剛度系數(shù)。用式(9.6-2)的解作為式(9.6-1)的近似解。顯然，把式(9.6-2)的平穩(wěn)響應(yīng)代入式(9.6-1)，形成兩個(gè)方程之差(9.6-3)e(

y,

y)

=

eg(

y,

y)

-

ceq

y

-

keq

y選取ceq和keq，使得eqeq

?

?c?kE

e2

=

0，?

E

e2

=

0(9.6-4)將式(9.6-3)代入，可得[

]22eqeqeqeqeE

yg

(

y,

y)

-

c

E

y

=

0

-

k

E

[yy

]=

0eE

[yg

(

y,

y)]-

c

E

[yy]-

k

E

y(9.6-5)由此可解得ceq

=keq

=e{E[

y2

]E[

yg(

y,

y)]

-

E[

yy]E[

yg(

y,

y)]}E[

y2

]E[

y

2

]-(E[

yy])2e{E[

y

2

]E[

yg(

y,

y)]

-

E[

yy]E[

yg(

y,

y)]}E[

y2

]E[

y

2

]-(E[

yy])2(9.6-6)可以證明，滿足上式的ceq與keq確實(shí)使E[e2]達(dá)極小值。eqeqc

=

e

E

yg(

y,

y)

,

k

=

e

E

yg(

y,

y)E[

y

2

]

E[

y2

](9.6-8)當(dāng)激勵(lì)F(t)為平穩(wěn)隨機(jī)過程時(shí)，并且只考慮響應(yīng)過程y(t)達(dá)到平穩(wěn)后的情形，根據(jù)平穩(wěn)隨機(jī)過程與其一階導(dǎo)數(shù)過程是正交的性質(zhì)，即E[yy

]=

0則式(9.6-6)可以簡化為(9.6-7)這里要注意，式(9.6-6)和式(9.6-8)并不是求ceq和keq的顯式，因?yàn)槠渲泻衴(t)或y

(t)，而它們又是由包含待求系數(shù)ceq和keq的方程(9.6-2)式解出的，所以合理的ceq和keq需要經(jīng)過迭代過程來確定。假定某一次迭代之前ceq和keq已經(jīng)求得，這時(shí)，等效線性系統(tǒng)的響應(yīng)也可以認(rèn)為是高斯過程，y(t)和 (t)的y聯(lián)合概率密度為

+2exp1

1

y

2y

2

p(

y,

y

)

=2y

s

y2

s2ps

ys

y(9.6-9)式中均方響應(yīng)σy和 依賴于ceq和keq的函數(shù)。如s是y(9.6-10)F(t)是高斯白噪聲，其協(xié)方差函數(shù)為CF

(t)

=

2pS0d(t)則(9.6-11)e

eey=(k

+

k

)(c

+

c

)

m(c

+

c

)=

,s

2pS0

pS0s

2y例9.6-1考慮硬彈簧杜芬振子對(duì)高斯白噪聲的平穩(wěn)響應(yīng)。其非線性系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程可表示為my

+

cy

+

ky

+

eg(

y,

y

)

=

F

(t)式中g(shù)(

y,

y

)

=

ky

3試確定其穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。解：根據(jù)已知條件有E[

yg(

y,

y)]

=

kE[

yy3

]

=

0,E[

yg(

y,

y)]

=

kE[

y4

]

=

3k

(E[

y2

])2pS0c(k

+

3ekE[

y2

(t)])E[y2

(t)]=由此得到c

=

0，k

=

3ekE[

y2

]eq

eq設(shè)激勵(lì)是功率譜密度函數(shù)為S0的高斯白噪聲，得到ck由上式可得3e(E[y

2(t)])2

+

E[y

2

(t)]-

pS0

=

0展開為泰勒級(jí)數(shù)把上式中的

1+12e

pS0ck0ck

2

ck

8

ck

1

pS

1

pS

2=1

+

12e

0

-

12e

0

+pS

1

+12e當(dāng)取其中的前三項(xiàng)代入E[y2(t)]的表達(dá)式，得到2

ck

ckE[y

(t)]?2

pS0

-

3epS0

ck

2-1

+1

E[y

(t)]=pS01

+12e6e

解此代數(shù)方程，按照E[y2(t)]的物理意義，只取其正根為不確定性主要來源于兩個(gè)方面：一是統(tǒng)計(jì)因素；二是非統(tǒng)計(jì)因素。結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的隨機(jī)響應(yīng)主要取決于兩方面因素：①載荷的隨機(jī)性；②結(jié)構(gòu)參數(shù)的隨機(jī)性。9.7

隨機(jī)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的非線性隨機(jī)振動(dòng)隨機(jī)結(jié)構(gòu)響應(yīng)可分為三種類型：①確定結(jié)構(gòu)對(duì)隨機(jī)載荷的響應(yīng)；②隨機(jī)結(jié)構(gòu)對(duì)確定載荷的響應(yīng)；③隨機(jī)結(jié)構(gòu)對(duì)隨機(jī)載荷的響應(yīng)。確定結(jié)構(gòu)的響應(yīng)分析主要有兩種方法：①M(fèi)onte

Carlo數(shù)值摸擬方法；②隨機(jī)有限元法。一.隨機(jī)場隨機(jī)場：是隨機(jī)過程概念在空間域(場域)上的自然推廣，隨機(jī)場與隨機(jī)過程名稱的不同是由于將時(shí)間變量t改為空間坐標(biāo)x，隨機(jī)結(jié)構(gòu)的隨機(jī)參數(shù)一般是空間坐標(biāo)的隨機(jī)函數(shù)，它們可模型化為隨機(jī)場r(x)。隨機(jī)過程與隨機(jī)場還有一個(gè)差別，作為隨機(jī)過程的參數(shù)的時(shí)間t有明顯的有序性，而作為隨機(jī)場的參數(shù)x的有序性則不那么明顯，這個(gè)差別將導(dǎo)致它們相關(guān)結(jié)構(gòu)的差別。2ax

-

x￠2

ρr

(x,x￠)=

exp-(9.7-3)2．指數(shù)型相關(guān)結(jié)構(gòu)ax

-

x￠ρr

(x,x￠)=

exp-(9.7-2)二.隨機(jī)場的相關(guān)結(jié)構(gòu)隨機(jī)場的相關(guān)結(jié)構(gòu)一般是指隨機(jī)場的協(xié)方差函數(shù)或相關(guān)函數(shù)。1．三角型相關(guān)結(jié)構(gòu)x

-

x￠?

ax

-

x￠<

aa

x

-

x￠r0ρ

(x,x￠)=

1

-(9.7-1)3．高斯型相關(guān)結(jié)構(gòu)三.隨機(jī)場的離散化隨機(jī)場主要有三種離散化方法：中點(diǎn)法最早與最簡單的方法是取場在有限元中點(diǎn)上隨機(jī)變量代表該單元的場。形函數(shù)法單元上的隨機(jī)場由場在單元節(jié)點(diǎn)上的隨機(jī)變量通過形函數(shù)進(jìn)行插值得到。局部平均法單元上的隨機(jī)場由場在單元上的局部平均來代表，隨機(jī)場的相關(guān)特性由局部平均的協(xié)方差矩陣來描述。為不失一般性，以圖9.7-1表示一個(gè)定義于區(qū)域W

上的二維隨機(jī)場及其剖分形式。圖中W

i表示單元面積，xci表示單元幾何形心點(diǎn)，xj表示單元節(jié)點(diǎn)編號(hào)，單元個(gè)數(shù)為n，單元節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)為m。圖9.7-1現(xiàn)以二維隨機(jī)場為例，說明這三種離散化方法的基本思想。r

(x

=

r

(xci(9.7-4)中點(diǎn)法進(jìn)行隨機(jī)場離散是指以單元幾何形心點(diǎn)上定義的隨機(jī)變量r(xci)代替單元隨機(jī)場r(x)，取在此基本原則下，原隨機(jī)場離散為隨機(jī)變量集合bi=r(xci)(i=1,2,…,n)，各變量的數(shù)字特征及變量間相關(guān)特征由形心點(diǎn)隨機(jī)變量bi的相應(yīng)值決定。如顯然，中點(diǎn)法進(jìn)行隨機(jī)場離散，只有當(dāng)單元?jiǎng)澐趾苄』蛟S機(jī)場變異性很小時(shí)，才可能有較好的精度。iciE

(b

=

E

r

(x

Var

(bi

=

Var

r

(xci

(9.7-5)(9.7-6)Cov

(bi

,

bj

=

Cov

r

(xci

),r

(xcj

(9.7-7)為了改進(jìn)中點(diǎn)法的精度，通過節(jié)點(diǎn)間形函數(shù)的插值來逼近原單元內(nèi)隨機(jī)場。單元隨機(jī)場由場在節(jié)點(diǎn)上的隨機(jī)變量通過形函數(shù)的插值得到，即qr

(x)=

Ni

(x)ri(9.7-8)i=1式中q

為單元節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)，Ni(x)為插值形函數(shù)，

ri=r(xi)為在xi(i=1,

2,…,q)處的離散值。單元隨機(jī)場數(shù)字特征與節(jié)點(diǎn)隨機(jī)變量數(shù)字特征之間關(guān)系為qi=1E

r

(x)

=

Ni

(x)E

(ri

)(9.7-9)q

qCov[r(xk

),r(xl

)]=

Ni

(xk

)N

j

(xl

)Cov(ri

,rj

)i

=1

j

=1式中xk和xl為x域中的任意兩點(diǎn)。(9.7-10)在局部平均法中，采用各離散單元的局部平均隨機(jī)變量代表單元隨機(jī)場。即取iΩiir(xi

)dxiΩb

=

1(9.7-11)iiE[r(xi

)]dxiE(b

)=

1W

i(9.7-12)iiiVar[r(xi

)]dxidxiΩ1Var(b

)=2

WWW

i(9.7-13)ji

jCov[r(xi

),r(x

j

)]dxidx1

W

i

W

jW

WCov(bi

,bj

)=(9.7-14)于是，原隨機(jī)場離散為隨機(jī)變量集合(bi

，i=1,

2,

…,m)。bi的均值、方差和協(xié)方差為引用隨機(jī)變量相關(guān)系數(shù)概念，上式又可寫為jij1s

[r(xi

)]s

[r(x

j

)]r[r(xi

),

r(x

j

)]dxidxW

iW

jW

WCov(bi

,bj

)=(9.7-15)式中xi與xj分別為W

i和W

j域中的點(diǎn)。局部平均法在精度上介于中點(diǎn)法與形函數(shù)法之間，但由于采用這類離散化方法易于利用常規(guī)有限元公式，因而應(yīng)用較為廣泛。四.隨機(jī)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的非線性隨機(jī)振動(dòng)分析非線性隨機(jī)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的振動(dòng)方程為My

+

g

b,y,y

=

F

b,t

(9.7-16)式中M，g，y和F分別為廣義質(zhì)量矩陣，非線性函數(shù)向量，位移響應(yīng)向量和外力向量。把加速度向量y，

外力向量F和非線性函數(shù)向量g在隨機(jī)參數(shù)向量均值E

b

附=近b

展開成二階泰勒級(jí)數(shù)，有(9.7-17)qq

qi=1

?bij=1

?bi?bjdbidbj2

i=1dbi

+?2

y?y

1y

=

y

+定義阻尼及剛度矩陣為(9.7-18)qq

qi=1

?bij=1

?bi?bjdbidbj2

i=11dbi

+?2

F?FF

=

F

+(9.7-19)qdbi?bi

?bi

i=1

?bi?y

+

C

+

Kg

=

g

+

?g

?y+++i

jq

qj

ji

ji

ji

j?bi

?b?bi

?bi=1

j=1

db

db2

?b

?b2

?b

?b2

?b

?b1?K

?y

1

?2

y+

K+

C?2

g

1?C

?y?2

y(9.7-20)?y

TC

=

?g(9.7-21)?yTK

=

?g式中一階方程(e項(xiàng)):將式(9.7-17)，式(9.7-18)和式(9.7-19)代入方程(9.7-16)式，合并同階項(xiàng)，可得到與方程(9.7-16)式相一致的零階方程，一階方程和二階方程。零階方程:(9.7-22)My

+

g

=

F(9.7-23)1i?bi

?bi

?biM

?y

+

C

?y

+

K

?y

=

F(i=1,2,…,q)(9.7-24)?bi

?biF

=

?F

-

?g1i式中(9.7-25)二階方程(e2項(xiàng))：My2

+

Cy2

+

Ky2

=

F2(9.7-26)i

jq

qi

jCov(b

,b

)?b

?b?2yy2

=(9.7-27)2i

jq

qi

jCov(b

,b

)?b

?b?2

yy

=(9.7-28)1212122q

qi

jCov(bi

,bj

)i=1

j=1i=1

j=1i=1

j=1?b

?b?2

yy

=(9.7-29)---q

qi

jj

jj

i

ji=1

j=1

2Cov(b

,b

)2

?bi?b

2

?b

?b

?bi

?b

?bi

?b1

?2

F

1F

=?2

g

?C

?y

?K

?y

從方程(9.7-22)式，(9.7-23)式和(9.7-25)式中均值，方差和協(xié)方差ii

i?b

?b

?b2

2

2解出

y,y,，y

?y

,

?，y

,

?y

從y而,y可,y以確定動(dòng)力響應(yīng)的(9.7-30)i

jq

qjCov(b

,b122i=1

j=1?bi?b?2

y=

y

+

y

=

y

+E[y](9.7-31)[

]i

jjCov(b

,b122q

qi=1

j=1?bi?b?2

y=

y

+

y

=

y

+E

y(9.7-32)i

jjCov(b

,b122q

qi=1

j=1?bi?b+=+[

]=?2

yyyyE